teo num diofantinas

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Unidade 8
1. Resolva em Z as equac¸o˜es:
a) 90X + 28Y = 22 b) 50X − 56Y = 74
c) 40X − 65Y = 135 d) 8X − 13Y = 23
2. Para quais valores de c em N a equac¸a˜o 10X + 14Y = c na˜o
possui soluc¸o˜es em N ∪ {0}?
3. Resolva em N ∪ {0} as equac¸o˜es:
a) 16X + 7Y = 601 b) 30X + 17Y = 201
c) 47X + 29Y = 1288 d) 8X + 13Y = 23
4. Dispondo de R$100, 00, quais sa˜o as quantias que se podem
gastar comprando selos de R$5, 00 e de R$7, 00?
5. Determine os mu´ltiplos naturais de 11 e de 9 cuja soma e´ igual
a
a) 79 b) 80 c) 270
6. Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35
quando dividido, respectivamente, por 37 e 48.
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Unidade 8 - Continuac¸a˜o
7. Numa criac¸a˜o de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pe´s.
Quantas sa˜o as galinhas e quantos sa˜o os coelhos, sabendo que a
diferenc¸a entre esses dois nu´meros e´ a menor poss´ıvel?
8. Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau.
Subindo a mesma escada de treˆs em treˆs degraus, sobram dois
degraus. Determine quantos degraus possui a escada, sabendo que
o seu nu´mero e´ mu´ltiplo de 7 e esta´ compreendido entre 40 e 100.
9. (ENC 2002) Em certo pa´ıs, as ce´dulas sa˜o de $4 e $7. Com
elas, e´ poss´ıvel pagar, sem troco, qualquer quantia inteira
a) a partir de $11, inclusive.
b) a partir de $18, inclusive.
c) ı´mpar, a partir de $7, inclusive.
d) que seja $1 maior do que um mu´ltiplo de $3.
e) que seja $1 menor do que um mu´ltiplo de $5.
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Unidade 8 - Continuac¸a˜o
10. De quantas maneiras pode-se comprar selos de R$3, 00 e de
R$5, 00 de modo que se gaste R$50, 00?
11. Sejam a1, a2, . . . , an, c ∈ Z. Mostre que a equac¸a˜o
a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn = c
possui soluc¸o˜es inteiras se, e somente se, (a1, a2, . . . , an)|c .
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