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⇨Curso de Matemática Básica.
⇨Aula-03: Potenciação, Radiciação e Operações com Números Racionais.
↣ CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: Denominamos Conjunto dos Números Racionais, ao conjunto dos números que podem ser escritos da forma , em que a ℤ e b ℤ*. Na fração , a é o numerador e b o denominador. 
↦SÍMBOLO: ℚ. 
↦REPRESENTAÇÃO DECIMAL: É importante notar que todo número racional pode ser representado por um número decimal. Passamos um número racional para forma de número decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Nessa passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 
→ 1° Caso -Decimal Exata:O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero. 
- EXEMPLOS:
01) 02) 03) 04) 
→2°Caso – Dízima Periódica:O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica. 
- EXEMPLOS: 
01)(período 1)
02)(período 285714)
03) (período 3) 
	É importante observar que todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração e, portanto, representará um número racional. 
	Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. 
- EXEMPLOS: 
01) 0,28 
02) 3, 756 
03) 63, 4792 
Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar a sua fração geratriz. 
- EXEMPLOS:
01) 0, 777 ... 02) 3, 5454...
03) 2, 67191919... 04) 1, 352352... 
↦OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS: 
→ ADIÇÃO ALGÉBRICA: Para adicionarmos algebricamente dois ou mais números racionais escritos na forma fracionária: 
- EXEMPLOS:
01)
02)
03) 0,3 – 0,22 + 0,888... - 0,555... 
→ MULTIPLICAÇÃO:
-EXEMPLOS:
01)
02) (0,2) (- 0,03) (- 0, 777...) 
03)
→ DIVISÃO: 
- EXEMPLOS: 
01)
02) 5 : 
03) A expressão é igual a:
a) 1/18.
b) 1/12.
c) 1/6.
d) 2/3.
e) 3/2.
↣POTENCIAÇÃO: 
↦ DEFINIÇÃO: Seja a um número real e n um número inteiro. Denominamos potência de base a e expoente n ao número an, tal que:
 , para n > 1. 
A partir da definição, decorre que: 
→ a1 a
→ a2a .a
→ a3a .a . a
→ a0 1
→ a-n
- EXEMPLOS: 
01) 30 1. 05) ( - 3)3 (- 3) . (- 3) . (- 3) - 27. 
02) ( - 7)0 1. 06)
03) 52 25. 07) (0)3 0.
04)
- CALCULE: 
01) (- 3)2
02) – 32
03) – 23
04) – (- 2)3
↦PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: Seja aℝ, b ℝ, m ℝ e n ℝ, então valem as seguintes propriedades: 
₁.PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: am . anam + n. 
₂. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DEMESMA BASE: am : an am – n.
₃. DISTRIBUTIVA DA POTENCIAÇÃO EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO: (a . b)m am . bm
₄. DISTRIBUTIVA DA POTENCIAÇÃO EM RELAÇÃO À DIVISÃO:
₅. POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA: (am)nam.n.
↪Observações:
¹Cuidado com a base!!! 
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
²Potência com expoente inteiro negativo!!!
- CALCULE: 
01) (a2 . b3)2 . (a3 . b2)3
02)
03)
04)
05)
↣RADICIAÇÃO:
↦ DEFINIÇÂO: Dados um número real a0 e um número natural n, demonstra-se que existe sempre um número real positivo ou nulo b tal que bn a. Ao número b chamaremos raiz enésima aritmética de a e indicaremos pelo símbolo em que a é chamado radicando e n é o índice. 
- EXEMPLOS: 
01) porque 25 32. 
02) porque 73 343.
03) porque 52 25.
04) porque 07 0.
05) 1 porque 16.
↪Observação: 
₁. A partir da definição decorre que para todo a 0.
₂.Observemos na definição dada que:
e não 
e não 
 No entanto, . Todas estas são sentenças verdadeiras em que o radical "não é quem causa" o sinal que o antecede.
₃.É necessário estar atento no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito: 
- EXEMPLOS:
01) e não 
02) e não 
↦PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO:
₁. 
₂. . 
₃.(b 
₄. 
₅.
↪Observação: Racionalização de Denominadores.
↪Lista de Exercícios: 
→ Lista de exercícios de Números Racionais: 
01)(FUVEST-SP/UNIFRA-2007):Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy ?
a) À esquerda de 0. d) Entre y e 1. 
b) Entre 0 e x. e) À direita de 1. 
c) Entre x ey. 
02)(CEFET-PR): O numerador de uma fração imprópria da mesma classe de equivalência da dízima periódica 2,666... e que tem denominador 12, é: 
a) 6. b) 9. c) 16. d) 32. e) 34. 
03)(Covest-PE): Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes: 
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
b) O número real pode ser representado sob a forma , sendo p e q inteiros, q ≠ 0. 
c) O número real representado por 0. 372222... é um número racional. 
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional. 
04)O valor da expressão é:
a) 
05)(UFRN-RN): O valor de 
a) 0.333... b) 1.333... c) 3.333... d) 3. e) 12. 
06) Somando-se o mesmo número ao numerador e ao denominador da fração obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor da fração original. Que número é esse? 
07)(Unificado-RJ): Observe o algoritmo abaixo, o qual a divisão de certo número natural não nulo a por 8: 
Mesmo sem informação sobre a parte inteira do quociente, podemos afirmar que o menor número natural, maior que a, que é divisível por 8 (quociente natural e resto zero) é: 
a) a + 1. b) a + 2. c) a + 3. d) a + 4. e) a + 5. 
08)(CESGRANRIO-RJ): Efetuando e simplificando obtemos:
a) b) c) d) e) .
09)(EPCAR-MG): A expressão , com a 0 e a b é idêntica a
a) b) c) a- 2 - b- 2. d) a2 + b2. e) a- 6 - b- 6.
010)(FGV-SP): Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira: 
a) a > b a2> b2. d) 
b) a > b ac>bc. e) a2 = b2a = b.
c) ≥ a. 
011)(PUC): O valor numérico da expressão para é:
a) 63/4. b) 12. c) 7/2. d) – 1/16. e) - 12. 
012)(FGV-SP): O valor de é:
a) . b) c) 1. d) 315. e) 515.
013)(UFMG-M): Efetuando as operações indicadas na expressão obtemos: 
a) 0,220. b) 0,256. c) 0,296. d) 0,560. e) 
014)(PUC-MG): O resultado simplificado da expressão é:
a) b) . c) d) e) 1.
015)(PUC-SP): O número (0, 666...)2 é igual a:
a) 0,3666... b) 0,363636... c) 0,4000... d) 0,444... e) 0,1333....
016)(UFRGS-RS): O denominador de uma fração excede o numerador em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao denominador, a fração torna-se equivalente a ¾. A fração original é:
a) b) c) d) e) 
017)(MACKENZIE-SP): O valor da expressão é:
a) 8. b)32. c) 64. d) 150. e) 160. 
018)(EPCAR-MG): O valor numérico da expressão é:
a) – 9. b) – 6. c) – 9/10. d) – 9/37. e) – 7/45.
019)(PUC): Se , então o valor de x é:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) – 1.
020)(UFMG-MG): O valor de é:
a) b) c) d) e) .
→ Lista de exercícios de Potenciação:
021)(UFRGS-RS): Se (x-1 + y-1) = 2, então y é igual a: 
a) b) c) d) . e) 
022)(UFRGS-RS-2005): Considere as desigualdades abaixo:
I) 32000< 23000. 
II) 
III) 
Quais são verdadeiras ?
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) apenas II e III. 
023)(UFRGS-RS): Simplificando a expressão obtém-se um número: 
a) negativo. d) maior que 4 e menor que 7.
b) maior que 0 e menor que 1. e) maior que 7. 
c) maior que 1 e menor que 4. 
024) Se nℤ e aℝ*, simplifique as expressões:
a) 22n + 1 . 21 – n . 23 – n
b) 
c) 
d) 
025)(UFSM): A expressão mℝ, é igual a:
a) b) c) d) 
026)(FAFRA-1997): Se n5 1000 e b3 100, então o expoente que devemos elevar o número b para obtermos o número n é:
a) 0,5. b) 0,9. c) 1,2. d) 1,5. e) 2,0.
027)(UFMG-MG): Sejam a e b números reais positivos. Todas as afirmativas estão corretas, exceto: 
a) ax + y ax . ay, x, y ℝ. d) ax – y x, y ℝ.
b) (ab)x ax . bx, x ℝ. e) ℝ.
c) , x, y ℝ. 
028)(CERSGRANRIO-RJ): Simplificando , encontramos:
a) 59. b) 50. c) 25. d) 15. e) 5.
029)(ULBRA): A expressão é equivalente a:
a) 3n + 1. b) 3n – 1. c) 3n + 3. d) 3n + 2. e) 3.
030)(UFSM): O valor da expressão é igual a:
a) 2-1. b) 20. c) 21/2. d) 24. e) 26.
031) A diferença entre 20000012 e 19999992 é
a) 2. b) 4. c) 2 . 106. d) 4 . 106. e) 8 . 106.
032)(UFRGS-RS-2013): O algarismo das unidades da soma 4454 + 5545 é
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
033)(UFSM): Se 102y 25, então 10-y é igual a: 
a) 5. b) 1/5. c) 25. d) 1/25. e) – 5. 
034)(MACKENZIE-SP): Se (2x . ky + 1. 5t + 3).(2x – 1. ky . 5t + 1) 150, então k vale: 
035)(FUVEST-SP): Dos números abaixo, o que está mais próximo de é:
a) 0,625. b) 6,25. c) 62,5. d) 625. e) 6250.
036)(UFSM): Sabendo-se que "n" é um número para e "a" é real e não nulo, a expressão pode ser escrita como: 
a) na. b) a-n. c) a2n. d) zero. e) um.
037)(IPA-RS): O valor de 310 + 310 + 310 é
a) 910. b) 310. c) 313. d) 311. e) 911.
038)(UFSM): Simplificando a expressão obteremos:
a) b) 2- (n + 5). c) 28. d) 
039)(UFPEL-RS): O valor da expressão é:
a) 0,125. b) 0,25. c) 0,50. d) 0,75. e) 1. 
040)(DESAFIO)(PUC-RS): Considerando a tabela abaixo, dê potências de a, onde a é um real positivo e diferente de 1: 
A é igual a:
a) n + p. b) m + q. c) n . q. d) p . q. e) m . p. 
→ Lista de exercícios de Radiciação: 
041)(PUC-SP): Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Um exemplo é: 
a) . d) 
b) e) 
c) 
042)(UFSM): A expressão é igual a: 
a) . b) 3 + . c) 10 - d) 3.e) 10 + 
043)(UEL-PR): O menor número inteiro n, estritamente positivo, que torna a expressão 3500.n um cubo perfeito é 
a) 35. b) 49. c) 56. d) 98. e) 105. 
044)(UFRGS-RS): A solução da equação é:
a) b) c) d) 1. e) 
045)(PUC-RJ): O valor de é: 
a) 4,444... b) 4. c) 4,777... d) 3. e) 
046)(CONCURSO BANRISUL-2001): Se o número é: 
a) ímpar. b) negativo. c) nulo. d) irracional. e) primo. 
047)(FGV-SP): Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: 
a) x . y é racional. 
b) y . y é irracional. 
c) x + y é racional. 
d) x – y + é irracional. 
e) x + 2y é irracional. 
048)(U. Tuiuti-PR): O número é: 
a) irracional negativo. b) natural. c)racional mas não negativo. d) inteiro negativo. e) n.d.a. 
049)(UFSM-1995): Desenvolvendo obtém-se o resultado a + b, com a e b números reais. O valor de b é:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 6.
050)(UFPEL-RS-INVERNO 2005): Durante muitos séculos, acreditou-se que os números racionais fossem suficientes para resolver qualquer problema numérico que pudesse surgir. Admita-se que a medida de uma grandeza, em qualquer unidade, podia sempre ser expressa através de um número racional. Não se sabe ao certo, mas supõe-se que da escola pitagórica surgiu um problema que lançou por terra a suficiência dos números racionais, ao querer saber qual a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade. 
	Assim 
 d2 = 12 + 12
 d = 
	Com base no texto e em seus conhecimentos, analise as afirmativas abaixo. 
I. O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
II. Se a e b são irracionais, então é irracional. 
III. Se a é racional, e b é irracional, então a + b é irracional.
IV. Se a é racional, e b é irracional, então a.b é irracional. 
	É correto afirmar que
a) somente I e III são verdade. d) somente II, III e IV são verdadeiras.
b) somente II e IV são falsas. e) todas as afirmativas são verdadeiras.
c) somente I e II são falsas. f) I.R. 
051)(UFRGS-RS): O valor de é
a) b) . c) d) e) 
052)(UFSM): A expressão , com x > 0 e Y > 0 é igual a: 
a) . b) . c) d) e) 
053)(UFSM-1996): Sendo a 0, o número real pode ser escrito como 
a) . b) c) d) . e) .
054)(UFSM): Efetuando-se obtém-se um número:
a) ímpar. b) irracional. c) maior que d) múltiplo de 3. e) quadrado perfeito.
055)(CESGRANRIO-RJ): Um número real x, que satisfaz , é:
a) 5,7. b) 5,8. c) 6. d) 6,3. e) 6,6. 
056)(UFRN-RN): é igual a:
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.
057)(U. C. SALVADOR-BA): A média geométrica de dois números positivos a e b é igual a . Sabendo-se que a média geométrica de dois números é igual a 6 e um deles é o quádruplo do outro, então: 
a) o menor deles é um número primo. d) o maior deles é um número primo.
b) o maior deles é um número ímpar. e) o menor deles é um número par.
c) o menor deles é um número quadrado perfeito. 
058)(UFRGS-RS-2010):O quadrado do número é
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.
059)(UFSM): Simplificando a expressão + , obtém-se:
a) b) c) d) e) .
060)(DESAFIO)(PUC-RS): A soma é igual a:
a) b) c) d) . e) 
↪Gabarito:
01) B 02) D 03) C 04) E 05) D 06) 07) E 08) E 09) B 010) C 011) A 012) E 013) A 014) E 015) E 016) D 017) E 018) C 019) D 020) B 021) B 022) B 023) D 024) 025) D 026) B 027) C 028) E 029) C 030) D 031) E 032) B 033) B 034) k = 3 035) E 036) D 037) D 038) D 039) E 040) E 041) A 042) D 043) D 044) B 045) B 046) E 047) E 048) B 049) E 050) 051) C 052) A 053) C 054) E 055) C 056) A 057) A 058) C 059) A 060) C
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