Problemas Resolvidos - Probabilidade

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(1.1)(1.1)
 Probabilidade e Estatística 
Ciência da Computação A
 2010/2
 Prof. Fernando Deeke Sasse 
Problemas Resolvidos - Probabilidade
1. Um fabricante de lâmpadas para faróis automotivos testa as lâmpadas sob condições 
de alta umidade e alta temperatura, usando a intensidade e vida útil como parâmetros de interesse. 
A tabela abaixo mostra a performance de 130 lâmpadas.
(a) Qual é a probabilidade de que uma lâmpada selecionada aleatoriamente seja insatisfatória sob 
qualquer critério?
(b) Clientes exigem 95% de resultados satisfatórios. O fabricante pode atender a esta exigência?
Solução. 
(a) A tabela apresenta dados mutuamente excludentes, de modo as probabilidades de cada evento se 
somam:
(8+3+2)/130;
1
10
(b) Como a probabilidade da lâmpada não apresentar defeito é 1 - 1/10 = 0.9, a exigência não é 
satisfeita. 
2. Discos de policarbonato são analisados no que se refere a resistência a arranhões e resistência a 
choque. Os resultados de 100 discos são mostrados abaixo
Considere o evento A de que um disco tenha alta resistência a choques e o evento B de que ele tenha 
alta resistência a arranhões.
(a) Se um disco é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha alta resistência a
choque e arranhões?
(b) Se um disco é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha alta resistência 
a choque ou arranhões?
(c) São os eventos A e B mutuamente excludentes?
(d) Determine P(A' ou B), P(A' ou B') e P(A' e B').
(e) Determine P(A | B) e P(B | A).
Solução. 
(2.9)(2.9)
(2.3)(2.3)
(2.6)(2.6)
(2.4)(2.4)
(2.5)(2.5)
(2.8)(2.8)
(2.1)(2.1)
(2.7)(2.7)
(2.2)(2.2)
(a) Devemos determinar P(A e B). Da tabela vemos imediatamente que esta probabilidade é:
P(A and B):=70/100;
(b) Devemos determinar P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) = 1 - P(A' e B')
P(A or B):=79/100+86/100-70/100;
Usando a última fórmula temos também
95/100;
19
20
(c) Não, como visto no item (a)
(d) P(A' ou B) = P(A') + P(B) - P(A' e B)
14/100+79/100-9/100;
21
25
P(A' ou B') = P(A') + P( B') - P(A' e B')
14/100+21/100-5/100;(16+5+9)/100;
3
10
3
10
 Por uma leitura direta da tabela,
(16+5+9)/100;
3
10
Da tabela temos diretamente P(A' e B')= 
(e) Por uma leitura direta da tabela obtemos imediatamente as probabilidades condicionais: 
P(A,B):=70/79;
P(B,A):=70/86;
ou, usando a fórmula para a probabilidade condicional, 
P(B):=79/100;P(A):=86/100;
(3.3)(3.3)
(3.1)(3.1)
(3.5)(3.5)
(3.4)(3.4)
(2.10)(2.10)
(3.2)(3.2)
P(A,B):=P(A and B)/P(B);P(B,A):=P(A and B)/P(A);
;
3. Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 que são defeituosos.
(a) Dois chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que
o segundo seja defeituoso?
(b) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que
todos sejam defeituosos?
(c) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que 
ao menos um deles seja defeituoso?
Solução.
(a) Seja d o evento de que o chip seja defeituoso e p que seja perfeito. Então devemos calcular P(pd)
+P(dd). Ou seja, 
(80/100)*(20/99)+(20/100)*(19/99);
1
5
(b) 
(20/100)*(19/99)*(18/98);
19
2695
evalf(%);
0.007050092764
 (c) Devemos somar as probabilidades de que haja somente 1 chip defeituso com a probabilidade de 
que haja 2 chips defeituosos mais aquela de que haja três chips defeituosos. 
 p=P(dpp) + P(pdp) + P(ppd)+P(ddp)+P(dpd)+P(pdd)+P(ddd)
P(dpp):=(20/100)*(80/99)*(79/98);P(pdp):=(80/100)*(20/99)*
(79/98);P(ppd):=(80/100)*(79/99)*(20/98);
P(ddp):=(20/100)*(19/99)*(80/98); P(dpd):=(20/100)*(80/99)*
(19/98); P(pdd):=(80/100)*(20/99)*(19/98);
(4.3)(4.3)
(3.6)(3.6)
(3.5)(3.5)
(4.2)(4.2)
(2.10)(2.10)
(3.8)(3.8)
(4.1)(4.1)
(3.7)(3.7)
P(ddd):=(20/100)*(19/99)*(18/98);
Portanto, a probabilidade é dada por 
P(dpp)+P(pdp)+P(ppd)+P(ddp)+P(dpd)+P(pdd)+P(ddd);
3977
8085
evalf(%);
0.4918985776
;
4. Oito cavidades em uma ferramenta de injeção-molde produzem conectores plásticos que caem em 
um recipiente. Uma amostra é escolhida entre intervalos de minutos. Suponha que as amostras são 
independentes. 
(a) Qual é a probabilidade de que 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas na cavidade um do 
molde?
(b) Qual é a probabilidade de que 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas em uma mesma 
cavidade do molde?
(c) Qual é a probabilidade de que 4 de 5 amostras sucessivas tenham sido produzidas na cavidade um
do molde?
Solução. 
Eventos:
 - conector foi produzido na cavidade i do molde, . 
 (a) Como os eventos são independentes, a intersecção dos 5 é igual ao seu produto:
(1/8.)^5;
0.00003051757812
 (b) Pela independência dos eventos, 
8*(1/8.)^5;
0.0002441406250
(c) Note que o número de sequências em que 4 de 5 amostras foram produzidas no molde 1 é 5, de 
modo que 
5*(1/8.)^4*(7/8);
0.001068115234
5. No design preliminar de produtos são utilizadas avaliações de clientes. No passado, 95% dos 
produtos de alto sucesso receberam boas avaliações, 60% dos produtos de sucesso moderado 
receberam boas avaliações, e 10% dos produtos de pobre desempenho receberam boas avaliações. 
Além disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso moderado e 25% tiveram 
desempenho pobre. 
(a) Qual é a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliação? 
(b) Se um novo design obtém uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele tenha alto sucesso?
(c) Se um produto não recebe uma boa avaliação, qual é a probabilidade de que ele tenha alto 
sucesso?
(3.5)(3.5)
(6.1)(6.1)
(2.10)(2.10)
(5.1)(5.1)
(5.4)(5.4)
(5.3)(5.3)
(5.2)(5.2)
Solução. 
Eventos: 
A - produto recebe boa avaliação
S - produto tem alto sucesso
M - produto tem médio sucesso
N - produto não faz sucesso
(a) Devemos calcular 
restart:
P(S):=0.4: P(M):=0.35: P(N):=0.25:
P(A,S):=0.95: P(A,M):=0.6: P(A,N):=0.1:
P(A):=P(S)*P(A,S)+P(M)*P(A,M)+P(N)*P(A,N);
(b) Usando as fórmulas para probabilidade condicional temos
P(S,A):=P(A,S)*P(S)/P(A);
 (c) 
P(Ap,S):=1-P(A,S); P(Ap):=1-P(A);
P(S,Ap):=P(Ap,S)*P(S)/P(Ap);
;
6. Um software que detecta fraudes em cartes telefônicos detecta o número de das áreas 
metropolitanas onde as chamadas são originadas a cada dia. São obtidos os seguintes dados: 
- 1% dos usuários legítimos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia. 
- 30% dos usuários fraudulentos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia.
- A proporção de usuários fraudulentos é de 0.01%.
Se um mesmo usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia, qual é 
a probabilidade de que o usuário seja fraudulento?
Solução. 
Eventos: 
M - usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia
L - usuário é legítimo
F - usuário é fraudulento
Note que L e F são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. 
Devemos calcular . 
P(M,F):=0.3:P(M,L):=0.01:P(F):=0.0001:P(L):=1-P(F):
P(F,M):=P(M,F)*P(F)/(P(M,F)*P(F)+P(M,L)*P(L));
 
 7. Denotemos por E1, E2 e E3 amostras que satisfazem especificações de porcentagem de sólidos, 
peso molecular e cor, respectivamente. Um total de 240 amostras são classificadas de acordo com 
estas especificações de acordo estas especificações de acordo com a tabela abaixo: 
(7.3)(7.3)
(3.5)(3.5)
(7.1)(7.1)
(7.2)(7.2)
(2.10)(2.10)
(a) E1, E2 e E3 são eventos mutuamente exclusivos?
(b) E1' , E2' e E3' são eventos mutuamente exclusivos?
(c) Determine P(E1' ou E2' ou E3').
(d) Qual é a probabilidade de que a amostra satisfaça todas as três especificações?
(e) Qual é a probabilidade de que a amostra satisfaça E1 ou E3?
(f) Qual é a probabilidade de que a amostra satisfaça E1 ou E2 ou E3?
Solução. 
(a) Não. Note queE1 XE2 X E3 = 200
(b) Não. Note que E1' X E2' = 4
(c) Diretamente da tabela: 
30/240+9/240+1/240;
1
6
O mesmo resultado pode obtido através da fórmula: 
 
 ou seja,
P1:=(9+6)/240+(5+4)/240+30/240-4/240-6/240-4/240+0/240;
(d) Diretamente da primeira tabela vemos que 
200/240;
5
6
(8.7)(8.7)
(3.5)(3.5)
(8.8)(8.8)
(8.3)(8.3)
(2.10)(2.10)
(8.1)(8.1)
(7.4)(7.4)
(8.2)(8.2)
(7.5)(7.5)
(8.5)(8.5)
(8.4)(8.4)
(8.6)(8.6)
(e) Diretamente da tabela vemos que 
210/240+24/240;
39
40
 (f) 
210/240+24/240+6/240;
1
 
8. Um lote de 140 chips semicondutores é inspecionado através da coleta de amostras de 5 chips. 
Suponha que 10 chips não satisfazem as exigências dos consumidores. 
(a) Quantas amostras diferentes são possíveis?
(b) Quantas amostras de 5 elementos possuem exatamente um chip fora de conformidade? 
(c) Quantas amostras de 5 elementos possuem ao menos um chip fora de conformidade? 
Solução. 
(a) Como o ordenamento na amostra não é importante, devemos calcular combinações de 140 
elementos, 5 a 5. Ou seja, 
140!/(5!)/(140-5)!;
416965528
(b) Um subconjunto contendo exatamente um chip fora de conformidade pode ser formado 
escolhendo-se 1 entre 10 chips que não satisfazem as exigências, ou seja, 10 possibilidades. Em 
seguida selecionamos os subconjuntos correspondentes às 4 partes restantes a partir dos 130 chips 
que satisfazem as exigências. Ou seja, 
10*(130!)/4!/(130-4)!;
113588800
(c) Sejam os eventos
c- conforme
n - não conforme
Devemos agora somar todas as possibilidades: N({n,c,c,c,c}) + N({n,n,c,c,c}) + N({n,n,n,c,c}) + N(
{n,n,n,n,c}) + N({n,n,n,n,n})
with(combinat):
N([n,c,c,c,c]):=numbcomb(140,5);
N([n,n,c,c,c]):=numbcomb(10,2)*numbcomb(130,3);
N([n,n,n,c,c]):=numbcomb(10,3)*numbcomb(130,2);
N([n,n,n,n,c]):=numbcomb(10,4)*numbcomb(130,2);
N([n,n,n,n,n]):=numbcomb(10,5)*numbcomb(130,1);
Portanto, 
N([n,c,c,c,c])+N([n,n,c,c,c])+N([n,n,n,c,c])+N([n,n,n,n,c])+N
(3.5)(3.5)
(8.8)(8.8)
(9.2)(9.2)
(9.1)(9.1)
(9.4)(9.4)
(2.10)(2.10)
(9.3)(9.3)
(9.6)(9.6)
(9.5)(9.5)
([n,n,n,n,n]);
435864538
;
9. Amostras de uma peça moldada de plástico são classificadas com base no acabamento da 
superfície e acabamento da borda. Os resultados envolvendo 110 partes são resumidos como segue:
Denotando por A o evento correspondente a um acabamento de superfície excelente, e B o evento 
correspondente a um acabamento de borda excelente. Se uma parte é selecionada aleatoriamente, 
determine:
 
Solução
restart:
P(A):=(77+4)/110.;
P(Ap):=(9+20)/110.;
P(B):=(77+9)/110.;
P(AeB):=77/110.;
P(AouB):=P(A)+P(B)-P(AeB);
P(AeBp):=4/110.;
10. Um lote de 120 chips semicondutores contém 22 que são defeituosos. 
 (a) Dois chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de 
que o segundo seja defeituoso? 
 (b) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de 
que todos sejam defeituosos?
 (c) Três chips são selecionados aleatoriamente do lote, sem substituição. Qual a probabilidade de que
ao menos um seja defeituoso? 
Solução. 
(3.5)(3.5)
(8.8)(8.8)
(10.1)(10.1)
(10.9)(10.9)
(10.5)(10.5)
(10.3)(10.3)
(2.10)(2.10)
(10.7)(10.7)
(10.6)(10.6)
(10.4)(10.4)
(10.2)(10.2)
(10.8)(10.8)
Eventos: 
D: chip é defeituoso, N: chip não defeituoso
(a) Devemos determinar P2D = P(DD) + P(ND) :
P(DD):=22/120*21/119; P(ND):=(120-22)/120*22/119;
P2D:=P(DD) + P(ND);
evalf(%);
0.1833333333
(b) 
P(DDD):=22/120*21/119*20/118;
evalf(%);
0.005483549352
(c) Devemos calcular P = P(DDD)+P(DDN)+P(DND)+P(NDD)+P(DNN)+P(NDN)+P(NND)
Notemos que P(DDN) = P(NDD) = P(DND) e P(DNN) = P(NDN) = P(NND).
P(DDN):=22/120*21/119*98/118;
P(DNN):=22/120*98/119*97/118; 
Portanto
P = P(DDD)+3*P(DDN)+3*P(DNN);
evalf(%);
 
11. Entre 5 engenheiros e 7 físicos, deve-se formar uma comissão de 2 engenheiros e 3 físicos. De 
quantas maneiras isso pode ser feito se:
(a) Qualquer engenheiro e qualquer físico pode ser selecionado.
(b) Um determinado físico deve ser incluído.
(c) Dois determinados engenheiros não devem ser incluídos. 
Solução.
with(combinat):
(11.3)(11.3)
(3.5)(3.5)
(8.8)(8.8)
(12.1)(12.1)
(11.1)(11.1)
(12.2)(12.2)
(2.10)(2.10)
(11.2)(11.2)
(12.4)(12.4)
(12.3)(12.3)
(12.7)(12.7)
(12.6)(12.6)
(12.5)(12.5)
(a) Número de subconjuntos de engenheiros: C(5,2), número de subconjuntos de físicos: C(7,3) 
numbcomb(5,2)*numbcomb(7,3);
350
(b) 
numbcomb(5,2)*numbcomb(6,2);
150
(c) 
numbcomb(3,2)*numbcomb(7,3);
105
 
12. Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufatura tem uma probabilidade de 99% de 
identificar corretamente um item com defeito e 0.5% de chance de classificar incorretamente um 
produto bom como defeituoso. A companhia tem evidências de que sua linha produz 0.9% de ítens 
defeituosos.
(a) Qual a probabilidade de que um item selecionado para inspeção seja classificado como 
defeituoso?
(b) Se um item selecionado aleatoriamente é classificado como não-defeituoso, qual a probabilidade 
de que ele seja realmente bom?
Solução.
Eventos: D: componente tem defeito, C: inspetor identifica item como sendo defeituoso. 
P(C|D) = 0.99, P(C|D') = 0.005, P(D) = 0.009
(a) P(C) =?
P(C) = P(C|D)P(D) + P(C|D')P(D')
restart;
P(C,D):= 0.99;
P(C,Dp) := 0.5e-2;
P(D) := 0.009:
P(Dp):=1-P(D):
P(C) = P(C,D)*P(D) + P(C,Dp)*P(Dp);
(b) C': inspetor identifica item como sendo bom
P(D'| C') = P(C'|D') P(D')/(P(C'|D') P(D') + P(C'|D) P(D) )
P(Dp,Cp):=P(Cp,Dp)*P(Dp)/(P(Cp,Dp)*P(Dp)+P(Cp,D)*P(D));
P(Cp,D):=1-P(C,D);
P(Cp,Dp):=1-P(C,Dp);
eval(P(Dp, Cp));
(3.5)(3.5)
(12.7)(12.7)
(8.8)(8.8)
(2.10)(2.10)
0.9999087342