Álgebra linear

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TÓPICOS DE MATEMÁTICA 
APLICADA 
Professor: Erb Ferreira Lins 
Apresentação 
2 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Álgebra linear é um ramo da matemática que 
surgiu do estudo detalhado de sistemas de 
equações lineares, sejam elas algébricas ou 
diferenciais. 
 
 A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e 
estruturas fundamentais da matemática como 
vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, 
sistemas de equações lineares e matrizes. 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 A seguir, veremos algumas aplicações de 
Geometria Analítica e Álgebra Linear às mais 
diversas áreas científicas e tecnológicas. 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto de Estrutura Metálica 
 Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Civil: o 
projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas 
exige resolver um sistema de equações lineares; quanto 
mais complexa for esta estrutura, maior será o número de 
equações e de variáveis. A matriz dos coeficientes do 
sistema deve ser invertível para que a estrutura não 
colapse. Para uma mesma estrutura sujeita a forças 
externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das 
forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa 
da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-
coluna das forças externas. 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto de Estrutura Metálica 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto dos Eixos Traseiros de um Automóvel 
 Na Engenharia Automobilística, a obtenção da frequência 
natural do eixo traseiro de um automóvel através de 
métodos numéricos. Na indústria automobilística, hoje em 
dia, existe uma crescente necessidade de testes em 
componentes ainda na fase de projeto a fim de prever seu 
desempenho quando em condições de operação. 
Fenômenos vibratórios como a ressonância de componentes 
automotivos em relação às velocidades de rotação do 
motor e tipos de terreno devem ser levados em 
consideração, pois podem levar a estrutura a esforços e 
desgastes excessivos diminuindo sua vida útil ou 
aumentando o desconforto do usuário. 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto dos Eixos Traseiros de um Automóvel 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Testes de Comportamento Vibracional 
 O procedimento experimental utilizado pela indústria 
para testes sobre o comportamento vibracional envolve 
um alto custo no desenvolvimento do produto. Assim, é 
necessária a implantação de métodos numéricos 
simples e precisos de forma a predizer as frequências 
naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. 
Para tanto, o Método das Matrizes de Transferência 
oferece não só rapidez e precisão, como simplicidade 
e versatilidade. 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Testes de Comportamento Vibracional 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados 
 Dado uma coleção de dados (pares de números) obtidos 
experimentalmente, busca-se uma curva que possa ser 
ajustada a eles de modo que a diferença entre a curva 
simuladora e os dados seja a menor possível. Dessa forma, 
predições futuras com um grau razoável de precisão podem 
ser feitas com base na curva obtida. Um dos métodos mais 
utilizados para se fazer isso é o método dos quadrados 
mínimos. Ele se reduz à resolução de um sistema linear cujo 
número de variáveis é igual ao número dos dados. 
 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos 
Quadrados 
 
Método dos Elementos Finitos 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto de Peças de Automóveis 
 Atualmente, o projeto de novas peças para automóveis é 
realizado através de simulações em computadores, dada a 
necessidade de produzir modelos novos com o menor custo 
e em menor tempo possíveis. O método dos elementos 
finitos é aplicado na modelagem das peças e no estudo das 
tensões produzidas sobre elas para avaliar a sua 
resistência (procura-se reduzir ao mínimo possível a 
possibilidade de que uma peça se quebre ou não funcione 
como deva, antes de se produzir o protótipo). Isso resulta 
em matrizes freqüentemente com milhares ou milhões de 
variáveis e são necessários algoritmos muito poderosos 
para se lidar com estas matrizes e resolver os sistemas 
lineares resultantes. 
 
Método dos Elementos Finitos 
Aplicações de Álgebra Linear 
 Projeto de Peças de Automóveis 
 
Bibliografia 
 Álgebra Linear com Aplicações, ANTON, Howard e 
RORRES, Chis. Oitava edição, Porto Alegre, Editora 
Bookman, 2001. 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 David C. Lay - Álgebra Linear e suas Aplicações - 
2ª Edição – 1999, Ed. LTC 
Bibliografia 
 Matemática Superior para Engenharia - Ed. 9 - 
Kreyszig, Erwin. 
Vetores e espaços Vetoriais 
Vetores 
 Pense em um vetor como um 
segmento de reta orientado 
em n-dimensões (tem 
“comprimento” e “direção”). 
 Ideia básica: a converter 
geometrias em dimensões 
mais elevadas em álgebra 
 Depois de definir uma base 
camarada ao longo de cada 
dimensão: 𝑥, 𝑦, e 𝑧 
 O vetor é uma matriz 
𝑁 × 1: 𝑣 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑡 
 Geometria começa a se 
álgebra linear em vetores 
como 𝑣 
𝑥 
𝑦 
𝒗 











c
b
a
v

O que é um vetor? 
 São quantidades físicas plenamente descritas 
somente quando há magnitude, direção e sentido. 
 Existem diversos sistemas onde um vetor pode 
descrever quantidades de interesse para 
engenharia. 
Operações sobre o conjunto de vetores 
 Como podemos definir as operações sobre 
quantidades envolvendo vetores? 
 Para que seja um sistema algébrico bem definido, é 
preciso especificar: 
 As operações de soma entre elementos e produto por 
um escalar 
 As propriedades a serem satisfeitas 
Espaço vetorial 
 Sejam dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 pertencentes ao conjunto 
∈ 𝑉 
 
 Se u + v = s ∈ V 
 Se 𝛼u ∈ V, para 𝛼 ∈ ℝ 
 
 O conjunto 𝑉 com essas duas operações é chamado 
espaço vetorial real (ou espaço vetorial) se as 
seguintes propriedades forem satisfeitas: 
Espaço vetorial 
 O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real 
(ou espaço vetorial) se as seguintes propriedades forem satisfeitas: 
 Em relação à adição: 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 
 (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
 ∃ 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 𝑢 
 ∃ − 𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0 
 
 Em relação à multiplicação por escalar 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 
 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼(𝛽𝑢) 
 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 
 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
 1𝑢 = 𝑢 
A 
B 
A 
B 
C 
𝑨 + 𝑩 = 𝑪 
 
(use o método da ponta 
para a cauda para combinar 
vetores) 
Soma de vetores 
 Sejam dois vetores 𝐴 𝑒 𝐵pertencentes ao conjunto 
∈ 𝑅2 
 𝐴 + 𝐵 = 𝑥1, 𝑥2 + 𝑦1, 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝐶 
Soma de vetores 
 A soma pode ser feito utilizando a composição 
da ponta para a cauda para qualquer numero de 
vetores 
Soma de vetores 
 Um partícula está sujeita a ação das forças 
mostradas. Calcule o vetor resultante para cada 
caso. 
Soma de vetores 
 Calcule a direção da força em cada cabo 
Produto por um escalar 
 Altera apenas o comprimento, mas mantem direção 
fixa. 
 A operação de matriz (𝐴𝑣) pode mudar o 
comprimento, também direção e dimensionalidade 
𝑎𝑣 = 𝑎 𝑥1, 𝑥2 = 𝑎𝑥1, 𝑎𝑥2 
Norma de vetores 
 Há diversas formas de calcular a norma. A mais 
comum é a norma 2, que para um vetor no espaço 
ℝ𝑛, é definida por 
𝑥 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + ⋯+ 𝑥𝑛
2 
 Que é a distância Euclidiana a partir da origem 
até o ponto 𝑥, também sendo consideradao 
comprimento do vetor. 
 
𝑥 = 𝑥𝑇𝑥 1/2 
Norma de vetores 
 O comprimento do vetor é obtido a partir da 
norma Euclidiana. 
Norma: propriedades 
31 
 Seja 𝑣 um vetor do espaço 𝑅𝑛 e 𝛼 qualquer 
escalar ∈ 𝑅, então são válidos 
 v ≥ 0 
 v = 0, se e somente se 𝑣 = 0 
 kv = 𝑘 v 
 
 
Norma de um Vetor 
 Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2). Obter v e 
𝑣 . 
 Para se obter v calcula-se como se segue, 
 
 
 Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se 
 
 
 Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido 
do vetor v. 
 
 
 
30v41691)2()4()3()1(v 22222 
)
30
2,
30
4,
30
3,
30
1(
v
v
vˆ 
Norma de um Vetor 
 Propriedades da norma: 
 Dados quaisquer vetores u e v de ℝ𝑛, então segue 
que, 
 
 
 
 
 
 
vuu.v 
vuvu 
Desigualdade de Schwarz 
Desigualdade de Minkowski 
Norma de um Vetor 
 Exemplo Seja o vetor 𝑦 = (1,−2,−4,5,3). Obter 
𝑦 2 e 𝑦 . 
 
 Pode-se calcular primeiramente 
 
 
 Tomando-se a raiz 
 
 
 
55y 
559251641)3()5()4()2()1(y 22222
2

Vetor unitário 
 O vetor com norma 1 é chamado de unitário. Estes 
vetores são úteis quando é preciso especificar uma 
direção e o comprimento do vetor não é relevante. 
 Dado qualquer vetor não nulo 𝑦, o vetor unitário na 
mesma direção será 
𝑦 =
1
𝑦
 𝑦 =
𝑦
𝑦
 
 
 𝑦 É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑦 
 O processo de se encontrar o vetor unitário a partir do 
vetor 𝑦 é denominado de normalização de 𝑦. 
 
 
 
Norma e Vetor unitário 
 Calcule a norma e o vetor unitário para cada vetor 
mostra abaixo 
Distância 
 A distância entre os pontos 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e 
𝑣 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) de ℝ
𝑛 é definida por 
 
 
 
 
 Exemplo: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). 
Calcular a distância d(u,v). 
 
 
 



n
i
ii yxdist
1
2)()( vuvu,d v)(u, 
Distância 
 
 
2
12
2
12 )()()( yyxxdist  u-vvu,





















12
12
1
1
2
2
yy
xx
y
x
y
x
uv
y 
x x1 
y1 
0 x2 
y2 
v 
-u 
(x2-x1) 
(y2-y1) 
u 
Distância 
 Encontre a distância entre os vetores 
Vetores: produto escalar 
 Sejam dois vetores no espaço bi ou tridimensional e 
suponha que esses vetores foram posicionados de 
forma que seu pontos iniciais coincidam, o ângulo 𝜃 
tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, será dado por 
vu
u.v
 cos 
Vetores: produto escalar 
 Exemplo: Encontre o ângulo entre a diagonal do 
cubo e uma de suas arestas 
Vetores: produto escalar 
 Pense no produto escalar como uma multiplicação 
de matrizes 
 
 
 
 A magnitude é o produto escalar de um vetor com 
si mesmo 
 
 
 T
d
A B A B a b c e ad be cf
f
 
      
 
  
TA A A aa bb cc   
v 
w 
 
1 2 1 2 1 1 2 2
( , ) ( , )v w x x y y x y x y1 2 1 2( , ) ( , ) || || || || cosv w x x y y v w 0v w v w
Produto interno 
 Se os vetores 𝑣 e 𝑤 são vetores colunas, então o 
produto interno ou escalar será 𝑤𝑇𝑣 
 
 O resultado será sempre um escalar 
 
Propriedades do Produto Interno 
 No produto interno de vetores há algumas 
propriedades. Sejam 𝑢 𝑒 𝑣 vetores em ℝ𝑛 e 𝛼 um 
escalar em ℝ 
 (𝑢 + 𝑣). 𝑤 = 𝑢. 𝑤 + 𝑣. 𝑤 
 (𝛼𝑢). 𝑣 = 𝛼(𝑢. 𝑣) 
 𝑢. 𝑣 = 𝑣. 𝑢 
 𝑢. 𝑢 = 0 se e somente se, 𝑢 = 0 
Vetor unitário 
 O vetor com norma 1 é chamado de unitário. Estes 
vetores são úteis quando é preciso especificar uma 
direção e o comprimento do vetor não é relevante. 
 Dado qualquer vetor não nulo 𝑦, o vetor unitário na 
mesma direção será 
𝑦 =
1
𝑦
 𝑦 =
𝑦
𝑦
 
 
 𝑦 É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑦 
 O processo de se encontrar o vetor unitário a partir do 
vetor 𝑦 é denominado de normalização de 𝑦. 
 
 
 
Vetor unitário 
 Quando um sistema de coordenadas 
retangulares é introduzido em 𝑅2 ou 𝑅3, 
os vetores unitários nas direções positivas 
dos eixos coordenados são chamados os 
vetores unitários padrão. 
 Em 𝑅2 estes os vetores são denotados por 
 
𝑖 = 1, 0 𝑗 = 0, 1 
 
 Em 𝑅3 estes os vetores são denotados por 
 
𝑖 = 1, 0,0 𝑗 = 0, 1,0 
 𝑘 = (0,0,1) 
 
 
Ângulo entre os vetores 
 Encontre o ângulo entre os vetores 
Ortogonalidade e produto Interno 
 Diz-se que os vetores 𝑣 e 𝑢 são ortogonais ou 
perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se 
𝑣 ∙ 𝑢 = 0). Ou seja, 
 
 
1 1 2 2
1
. 0
n
i i n n
i
v u v u v u v u

     v u
Ortogonalidade 
 Exemplo: Sejam os seguintes vetores 𝑎 =
 (1, −2,3), 𝑏 = (4,5, −1) e 𝑐 = (2,7,4). Calcular 
𝑎. 𝑏 e 𝑎. 𝑐 
 𝑎. 𝑏 = 1 4 + −2 5 + 3 −1 
= 4 − 10 − 3 = −9 
 
 𝑎. 𝑐 = 1 2 + −2 7 + 3 4 
= 2 − 14 − 12 = 0 
 
 
Ortogonalidade 
 Sejam os seguintes vetores 𝑎 = (1,2,1) e 
𝑏 = (3, 𝑦, −2). Encontrar o valor do escalar 𝑦 tal 
que os vetores a e b sejam ortogonais. Desenhar no 
plano 3D. 
0
1
2
3 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Y
X
Z
Exercício: Distância 
 Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular 
a distância dist(u,v). 
 
 
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( )dist x x y y z z       p p p p
Exercício: Ângulos 
 Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular 
o ângulo 𝜃 entre os dois vetores. 
 
 
vu
u.v
 cos 
Exercício: Projeções 
 Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular 
a projeção proj(u,v). 
 
 
*
2
u.v u.v
(u,v) v v u v
v.vv
proj   
Projeções 
 Usando produtos internos 
 𝒑 = 𝒂(𝑎𝑇𝑥) 
 ||𝑎|| = 𝑎𝑇𝑎 = 1 
 
Projeções 
 A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v 
é definida por 
 
 
*
*( , ) 
u v
u
v
v
proj u v u
v



Projeções ortogonal 
 A projeção ortogonal de um vetor u sobre um vetor 
não nulo v é definida por 
 
 
( , ) ( , )perp u v u proj u v 
Exercício projeções 
 
Equação da reta 
 Da geometria analítica, sabemos que uma reta é 
determinada por seus coeficientes angular e linear 
e que um plano no 𝑅3 é determinado por sua 
inclinação. Um forma de especificar a inclinação é 
utilizar um vetor normal. 
 Esta linha tem equação: 
Equação do plano 
 Para o plano temos a equação: 
Distância entre ponto e reta 
 A distância entre um ponto (𝑥0, 𝑦0) e a linha 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
Distância entre ponto e plano 
 A distância entre um ponto (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e a linha 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Produto externo (ou vetorial) 
 O produto vetorial entre os vetores 𝐴 e 𝐵 é o vetor 
𝐶 que é perpendicular aos primeiros 
 A magnitude de 𝐶 é proporcional ao seno do 
ângulo entre 𝐴 𝑒 𝐵 
 A direção de 𝐶 segue a regra da mão direita, se 
estivermos usando um sistema de coordenadas 
dextrógiro 
B 
A 
A×B 
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Produto vetorial como área 
 O produto de dois vetores resulta num terceiro 
vetor ortogonal ao plano que contém os vetores 
originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou 
seja, sua norma, é numericamente igual à área do 
paralelogramo formado por esses vetores. 
 
 
 
u 
v 
|u x v| = área do 
paralelogramo 
ux v 
sen.. vuvu  
Produto vetorial 
 Considere o paralelogramo mostrado 
 
 
 
 
 
 Calcule a área se os pontos A = (1, 2, 0), B = (2, 3, 
1) e C = (1, 0, 4). 
Produto vetorial 
 Diferentemente do produto escalar, que dá como 
resultado um número, o produto vetorial tem como 
resultado, um outro vetor. 
 Definição: Sejam 𝑢 = 𝑎1î + 𝑏1ĵ + 𝑐1𝑘 e 
𝑣 = 𝑎2î + 𝑏2ĵ + 𝑐2𝑘 dois vetores em 𝑅
3. Seu 
produto vetorial é o vetor 𝑢 × 𝑣 definido por: 
 
 
 
 
 
 
 
222
111
cba
cba
kji
vu 

Produto vetorial 
 A igualdade anterior também pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
 
 Exemplo: Sejam 𝑢 = 2î + ĵ + 2𝑘 e 𝑣 = 3î − ĵ −
3𝑘, então: 
 
 
 
 
 
k
ba
ba
j
ca
ca
i
cb
cb
vu ...
22
11
22
11
22
11


)5,12,1(5121
313
212 

 kji
kji
vu

Produto vetorial 
 O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não 
forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, 
𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0 
 
 Por outro lado, 
 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 
 𝑗 × 𝑘 = 𝑖 
 𝑘 × 𝑖 = 𝑗 
 
 
 
Magnitude do produto vetorial 
 Regra da mão direita 
Direção do produto vetorial 
 A regra da mão direita determina a direção do 
produto vetorial 
Produto vetorial 
 Ortogonalização de bases 
 Por exemplo, partindo de se 𝑢 = (1, 2, 1), 𝑣 =
 (−1,1, 2) e 𝑤 = −3, 2, 1 , crie uma base ortogonal 
para o espaço 𝑅3. 
Combinação Linear de Vetores 
 Sejam 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … , 𝑢𝑛 vetores de ℝ
𝑛 e os escalares 
𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, … , 𝑟𝑛 de ℝ. 
 Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e 
realizar a soma deles para se constituir o vetor 
𝑣 = 𝑟1𝑢1 + 𝑟2𝑢2 + 𝑟3𝑢3 + … + 𝑟𝑛𝑢𝑛 
 O vetor 𝑣 é denominando de combinação linear dos 
vetores 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … , 𝑢𝑛 
 Exemplo: Em ℝ2 o vetor 𝑣 = (10,16) é uma 
combinação linear dos vetores 𝑢1 = (1,2) e 𝑢2 =
 (3, 4), pois 
𝑣 = 4𝑢1 + 2𝑢2 
Bases 
 Bases são sistemas de referência 
 
 
 
 
 
 
 
vs 
Bases e Bases ortonormais 
 Um espaço é totalmente definido por um conjunto de 
vetores. 
 Qualquer vetor do espaço é uma combinação linear dos 
vetores da base 
 Ortonormal: Normal + ortogonal 
 Ortogonal: produto escalar é zero 
 Normal: é uma grandeza unitária 
 
𝑥 =
1
0
0
 𝑦 =
0
1
0
 𝑧 =
0
0
1
 
 
𝑥. 𝑦 = 0 𝑦. 𝑧 = 0 𝑧. 𝑥 = 0 
Bases e Bases ortonormais 
 Um conjunto indexado 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 com 𝑛 ≥ 2 e 
𝑣𝑖 ≠ 0 é linearmente independente se a equação 
vetorial 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛 = 0 
 
 Admite apenas a solução trivial 
 
𝑐1 = 𝑐2 = ⋯𝑐𝑛 = 0 
 
v

1v

2v

1
2
2211 vvv
  
Exemplo 
 
Bases e Bases ortonormais 
 O conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑝} é dito ser linearmente 
dependente se 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛 = 0 
 
 tem uma solução não-trivial, ou seja, se há alguns 
pesos, 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 não todos zero, de tal modo a 
equação se mantém. 
 Em tal caso a equação é chamada relação de 
dependência linear {𝑣1, … , 𝑣𝑝}. 
 
Ortogonalidade e Ortonormalidade 
 A partir dos resultados anteriores, dois vetores são 
ortogonais em ℝ𝑛 se e apenas se o seu produto 
interno é zero . 
 Dois vetores são ortonormais se, além de ser 
ortogonais, o comprimento de cada vector é 1. 
 Um conjunto de vetores é dito conjunto ortogonal se, 
de dois em dois, os vetores no conjunto são 
ortogonais. Um conjunto de vetores é ortonormal se 
de dois em dois vetores no conjunto são 
ortonormais. 
Base: definição 
 Seja 𝐻 um subespaço de um espaço vetorial 𝑉. Um 
conjunto indexado de vetores 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} é 
uma base para 𝐻 se 
 𝐵 é um conjunto linearmente independente e 
 O subespaço gerado por 𝐵 coincide com 𝐻 
 
𝐻 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 
Bases canônicas 
 Seja {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} as colunas da matriz identidade 
𝑛 × n, ou seja 
 
 
 
 
 
 O conjunto {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} é chamado 
 de base padrão para 𝑅𝑛. 
e
1
=
1
0
0
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
,e
2
=
0
1
0
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
,...,e
n
=
0
0
1
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
Alguns aspectos sobre ortogonalidade 
 Seja 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣n uma base ortogonal ou 
ortonormal no sentido definido anteriormente. 
 Um resultado importante na análise vetorial é que 
qualquer vector 𝑣 pode ser representado com 
respeito à base ortogonal 𝐵 como 
 
 
 Onde os coeficientes são dados por 
Representação única 
 Suponha que 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑝} é uma base para 
𝑉 e 𝑥 ∈ 𝑉. Então existe um único conjunto de 
escalares 𝑐1, … , 𝑐𝑝 tal que 
 
 O vetor 𝑥 tem sua representação em relação ao 
sistema de coordenadas da base dada por 
𝑥 𝛽 = 
𝑐1
⋮
𝑐𝑝
 
Transformação entre bases ortogonais 
 Seja o vetor 𝑣 = 2,1 , definido na base canônica 
Obtenha este mesmo vetor na base ortogonal 
definida por 𝑢 =
1
1
,
−1
1
 
Transformação entre bases ortogonais 
 Exemplo: sistemas em rotação 







1
4
x   






3
2
x
Exemplo 
Exemplo: bases não ortogonais 
 Considere a base 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2} para o 𝑅
2 tal que 
𝑏1 =
2
−1
, 𝑏2 =
0
1
 . Encontre o vetor 𝑥 ∈ R2 tal 
que 𝑥 𝛽 =
2
3
 
 
 Para 𝑥 𝑒 =
4
1
, encontre 𝑥 𝛽. 
 
Exemplo 
 Considere os vetores abaixo e verifique se eles 
formam uma base para o 𝑅3 
 
1 2 3
0 2 1
v 2 , v 2 v 2
1 0 1
e
     
       
     
           
Bases 
 Uma base é um conjunto gerador que é tão 
pequeno quanto possível. 
 A base é também um conjunto linearmente 
independente que é tão grande quanto possível. 
 Se 𝑆 é uma base de 𝑉, e se 𝑆 é ampliada por um 
vetor 𝑤, então o novo conjunto pode não ser 
linearmente independente, porque 𝑆 abrange 𝑉, e 
𝑤 é, por conseguinte, uma combinação linear dos 
elementos em 𝑆. 
Bases 
 O conjunto abaixo tem dois vetores linearmente 
independentes, mas não forma uma base para o 
𝑅3 
 
Bases 
 O conjunto abaixo tem dois vetores linearmente 
independentes, mas não forma uma base para o 
𝑅3 
 
Bases 
 O conjunto abaixo tem três vetores linearmente 
independentes, é forma uma base para o 𝑅3 
 
Matrizes como um conjunto de vetores 
 Retome o conjunto gerado pela base vetorial 
𝐻 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣 1, 𝑣 2, … , 𝑣 𝑛 
 Qualquer vetor do espaço 𝐻 pode ser escrito como 
𝑢 = 𝑟1𝑣 1 + 𝑟2𝑣 2 + 𝑟3𝑣 3 + … + 𝑟𝑛𝑣 𝑛 
 Ou 
𝑟1𝑣 1 + 𝑟2𝑣 2 + 𝑟3𝑣 3 + … + 𝑟𝑛𝑣 𝑛 = 𝑢 
 
Matrizes como um conjunto de vetores 
 Se 𝑢 for conhecido este é um sistema de 𝑛 equações 
 𝑟1𝑣 1 + 𝑟2𝑣 2 + 𝑟3𝑣 3 + … + 𝑟𝑛𝑣 𝑛 = 𝑢 
 Ou 
𝑟1
𝑣11
𝑣12
⋮
𝑣1𝑛
+ 𝑟2
𝑣21
𝑣22
⋮
𝑣2𝑛
+ … + 𝑟𝑛
𝑣𝑛1
𝑣𝑛2
⋮
𝑣𝑛𝑛
= 𝑢 
 Ou 
𝑣11
𝑣12
⋮
𝑣1𝑛
𝑣21
𝑣22
⋮
𝑣2𝑛
⋯
⋱
𝑣21
𝑣22
⋮
𝑣2𝑛
 
𝑟1
𝑟2
⋮
𝑟𝑛
= 𝑢 
 e 
𝑨𝑟 = 𝑢 
 
 
 
 
 
Matrizes como um conjunto de vetores 
 A matriz 𝐴 tem as colunas formadas pelos 
elementos da base 
𝑨𝑟 = 𝑢 
 
 A solução desse sistema linear indica se o vetor 
pertence ou não ao espaço formado pela base. 
 
 
 
Bases 
 O conjunto abaixo forma uma base para o 𝑅3 e 
tem um vetor linearmentedependente 
 
Exemplo 
 Considere 
 
 
 
 
 Determine se x está em H, e se estiver, quais as 
coordenadas em relação a esta base. 
 
1 2 1 2 1 2
2 1 7
3 , 1 , 3 , { , }& Span{ , }
6 0 12
v v x v v H v v
     
          
     
          
Espaço nulo de uma matriz 
 O espaço nulo de uma matriz 𝐴 de tamanho 𝑚 × 𝑛 
é o conjunto de todos os vetores 𝑣 tais que 
𝐴𝑣 = 0 
 
Espaço nulo de uma matriz 
 Exemplo: Determine o espaço nulo da matriz 
Espaço colunas de uma matriz 
 Para determinar o espaço nulo de uma matriz, é 
necessário colocá-la na forma escalonada por 
linhas. Os elementos das colunas principais são as 
variáveis dependente. Os demais são variáveis 
livres. 
 Ex: 
Base para o espaço das colunas 
 É o espaço gerado por todas as combinações de 
vetores que compõem as colunas de 𝐴 
 As colunas pivôs da matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 forma uma 
base para o espaço das colunas de 𝐴. 
 Também se diz que < 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 > é o espaço 
gerado pelas colunas da matriz 𝐴 =
[𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛], é o espaço das colunas de 𝐴 ou 
𝐶 𝐴 . 
𝐶𝑜𝑙 𝐴 = {𝑏|𝑏 = 𝐴𝑥, 𝑥 ∈ 𝑅𝑛} 
 
 
Bases para o espaço nulo e coluna 
 As operações de linha pode alterar o espaço de uma 
matriz de coluna. 
 As colunas de uma forma escalonada B de A muitas 
vezes não estão no espaço de coluna A. 
 
 Duas visões de um Base 
 Quando o Teorema do espaço gerador é usado, a 
eliminação de vetores de um conjunto gerador deve parar 
quando o conjunto se torna linearmente independentes. 
 Se um vector adicional é excluído, ele não irá ser uma 
combinação linear dos vectores restantes, e, portanto, o 
conjunto menor deixará abrangem 𝑉. 
Espaço colunas de uma matriz 
 Exemplo: Determine o espaço das colunas da 
matriz 
Nul(A) vs. Col(A) 
Nul A Col A 
Nul A é um subespaço do 𝑅𝑛 
São os vetores 𝑣 tais que 
𝐴𝑣 = 0 
Col A é um subespaço do 𝑅𝑚 
São os vetores 𝑣 tais que 
𝐴𝑥 = 𝑣 
Para todos os 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 
Nul A é definida 
implicitamente; i.e., há 
apenas a condição que o 
vetor deve satisfazer 𝐴𝑥 = 0 
Col A é definida 
explicitamente; i.e., há uma 
forma de construir Col A. 
Nul(A) vs. Col(A) 
Nul A Col A 
Nul A é um subespaço do 𝑅𝑛 Col A é um subespaço do 𝑅𝑚 
Nul A é definida 
implicitamente; i.e., há 
apenas a condição que o 
vetor deve satisfazer 𝐴𝑥 = 0 
Col A é definida 
explicitamente; i.e., há uma 
forma de construir Col A. 
Nul(A) vs. Col(A) 
Leva tempo para achar o 
vetores em Nul A 
 
[𝐴 0] 
É fácil encontrar os vetores 
em Col A. as colunas de 𝐴 
são visíveis e outras, 
formadas por elas 
Não há uma relação óbvia entre 
Nul A e as entradas de A. 
Há uma relação óbvia entre 
Col A e as entradas de A, já 
que as colunas de 𝐴 estão 
em Col A 
Nul(A) vs. Col(A) 
Um vetor típico 𝑣 em Nul A 
tem a propriedade que 
𝐴𝑣 = 0 
Um vetor típico 𝑣 em Col A 
tem a propriedade que a 
equação é consistente: 
𝐴𝑥 = 𝑣 
Dado um vetor específico 𝑣, é 
fácil dizer se 𝑣 está em Nul A. 
Só compare 𝐴𝑣. 
Dado um vetor específico 
vector 𝑣, pode levar tempo 
para calcular se 𝑣 está Col A. 
𝐴 𝑣 
 
Nul(A) vs. Col(A) 
O espaço nulo de A é vazio 
somente se a equação 𝐴𝑥 = 0 
tiver a solução trivial 
Col 𝐴 = 𝑅𝑚 se e somente se 
a equação 𝐴𝑥 = 𝑏 tem 
solução para todo 𝑏 em 𝑅𝑚. 
Nul 𝐴 = 0 se e somente se a 
transformação linear é um para 
um 
𝑥 ↦ 𝐴𝑥 
Col A= 𝑅𝑚 se e somente se 
transformação linear mapeia 
𝑅𝑛 para o 𝑅𝑚. 
𝑥 ↦ 𝐴𝑥 
Exemplo 
 Se o espaço das colunas de 𝐴 é um subespaço de 
𝑅𝑘, qual o valor de 𝑘? 
 Se o espaço nulo de 𝐴 é um subespaço de 𝑅𝑘, qual 
o valor de 𝑘? 
 Encontre o espaço Col A e um vetor não nulo nesse 
espaço. 
 Encontre o espaço Nul A e um vetor não nulo nesse 
espaço . 
 
 
Exemplo 
 Determine se o vetor 𝑣 =
−2
−3
1
 está no conjunto 
1
1
1
,
1
−1
5
,
2
1
4
,
−1
−3
3
 
Matrizes 
Matrizes 
 Definição: Chamamos de matriz a todo conjunto de elementos, 
dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras 
maiúsculas do nosso alfabeto. 
 
 Dada uma matriz 𝐴 denotaremos cada elemento da matriz 𝐴 por 
𝑎𝑖𝑗 é o número da linha e 𝑗 é o número da coluna desse elemento. 
 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑚×𝑛
 
 
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 
 
Matrizes 
 Exemplo: uma matriz genérica 3 × 2 teria a forma: 
 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎31 3×2
 
 
 Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de 
importância especial e é prática comum denotá-los por letras minúsculas 
em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um vetor linha 1 × 𝑛 
arbitrário 𝒂 e um vetor coluna 𝑚 × 1 arbitrário 𝒃 podem ser escritos como 
𝑎 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 𝑏 =
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
Tipos de Matrizes 
 Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é 
igual ao de colunas. 
 
 Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a 
linha pela coluna e vice-versa da matriz original. 
 
 
1 3 5
0 2 4
2 3 6
A
1 0 2
3 2 3
5 4 6
TA
Tipos de Matrizes 
 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos 
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os 
demais elementos iguais a zero. 
 
 
 
 
 
 Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual 
todos os seus elementos são iguais a zero. 
 
diagonal principal 







000
000
0
Tipos de Matrizes 
 Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal 
principal são iguais a zero. 
 
 
 
 
 
 Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal 
principal são iguais a zero. 
 
 
 
 
 
 Matriz escalar: Uma matriz escalar é uma matriz diagonal onde todos os elementos da 
diagonal são iguais ao escalar k. 










613
025
004










300
050
002
TAA 
1 2 0
2 7 4
0 4 3
A
 
 
  
 
 
TAA 
0 5 2
5 0 1
2 1 0
A
 
 
  
  Tipos de Matrizes  Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.  Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos com o sinal trocado. 
Traço de uma matriz 
 Se 𝐴 é uma matriz quadrada então o traço de A, 
denotado por 𝑡𝑟(𝐴), é definido pela soma das 
entradas na diagonal principal de 𝐴. O traço de 𝐴 
não é definido se 𝐴 não é uma matriz quadrada. 
 Exemplo: 
56)2(1)(
,
632
420
531














Atr
A
Operações sobre Matrizes 
 Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes 𝐴 e 𝐵 
do mesmo tamanho (ou seja, de mesma ordem), 
dizemos que 𝐴 = 𝐵 se somente se os seus 
elementos são respectivamente iguais. 
Simbolicamente, sendo 𝐴 e 𝐵 matrizes 𝑚 × 𝑛, 
temos: 
𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 
 





















212
1113
231
061
423
152
BABA
Operações sobre Matrizes 
 Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos duas 
matrizes 𝐴 e 𝐵 basta que elas sejam de mesma ordem. Isto é, 
elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número 
de colunas. 
 Define-se a adição 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 como sendo formada pelos 
elementos𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
 Define-se a subtração 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 como sendo formada pelos 
elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 
 Exemplo: 
 
Operações sobre Matrizes 
 Multiplicação de matrizes: Dada duas matrizes 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 e 
𝐵 ∈ ℝ𝑛×𝑝, chama-se produto da matriz 𝐴 pela matriz 𝐵 
que se indica 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 a matriz 𝑚 × 𝑝 definida por 
 
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 
 
 Observações: 
 O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de 
colunas da matriz 𝐴 for igual ao número de linhas da matriz 𝐵. 
 Se as matrizes 𝐴 e 𝐵 são 𝑚 × 𝑛 e 𝑛 × 𝑝 respectivamente, então 
o produto 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 existe e é uma matriz 𝑚 × 𝑝. 
Operações sobre Matrizes 
 Exemplo (Multiplicação): 
2 3
3 1
1 0
2 4
4 5
2 3 3 2 2 1 3 4 12 14
. 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1
4 3 5 2 4 1 5 4 22 24
A e B
C AB
Propriedades 
 𝑀 representa a matriz nula (0) e 𝐴′ = −𝐴 
 
 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
 𝐴 + 𝑀 = 𝐴 
 𝐴 + 𝐴′ = 0 
 
 
Propriedades 
 Seja 𝐼 matriz identidade de mesma ordem de 𝐴, e 
𝑎 e 𝑏 escalares: 
 O produto de uma matriz 𝐴 por um escalar 𝑏 é a 
matriz 𝑏𝐴 obtida pela multiplicação de cada 
entrada da matriz 𝐴 por 𝑏 
 𝑎 𝑏𝐴 = 𝑎𝑏 𝐴 
 𝑎 𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵 
 𝑎 + 𝑏 𝐴 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐴 
 𝐼𝐴 = 𝐴 
Propriedades 
 Multiplicação de Matrizes 
 𝐴 × (𝐵 × 𝐶)=(𝐴 × 𝐵) × 𝐶 
 𝐴 × (𝐵 + 𝐶)= 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶 
 (𝐴 + 𝐵) × 𝐶)=𝐴 × 𝐶 + 𝐵 × 𝐶 
 𝑘(𝐴 × 𝐵)= 𝐴 × 𝑘𝐵 = (𝑘𝐴) × 𝐵 
 
 Em geral: 𝐴 × 𝐵 ≠ B × 𝐴 
 
 
Propriedades 
 𝐴𝑡 𝑡 = 𝐴 
 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
 𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡 
 𝐴 × 𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡 × 𝐴𝑡 
Matrizes em blocos (particionadas) 
 Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou 
particionada em matrizes menores inserindo cortes 
horizontais e verticais entre linhas e colunas. Por 
exemplo, as seguintes são três partições possíveis 
de uma matriz 3 × 4 arbitrária. 
Multiplicação matricial por colunas e 
linhas 
 A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das 
quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um produto 
matricial 𝐴 × 𝐵 sem calcular todo o produto. 
 
𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐴 × 𝐵
= 𝐴 × 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵 
 
𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 × 𝐵
= 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 × 𝐵 
 
 Exemplo: Sejam 
 

















72
10
14
,
062
421
BA
Multiplicação 
 AB = BA? 
 
 
 
 
 
 Multiplicação de um vetor pela matrix 𝐴𝐵: aplicar 
a transformação 𝐵 primeiro e multiplicar por 𝐴 
 Multiplicação não é comutativa! 
 
 
...
... ...
...
... ...
a b e f ae bg
c d g h
e f a b ea fc
g h c d
     
     
     
     
     
     
Inversa de uma Matriz 
 Inversa existe apenas para matrizes quadradas 
que são não singulares 
 Mapeia o espaço ℝ𝑛 para outro espaço ℝ𝑛 
 Algumas matrizes tem inversa, de tal modo que : 
𝐴𝐴−1 = 𝐼 
 Inverter uma matriz é complicado 
 𝐴𝐵𝐶 −1 = 𝐶−1𝐵−1𝐴−1 
Determinante 
 Representa-se o determinante de uma matriz A por 
det A, ou por barras simples verticais, contendo 
todos os elementos da matriz. 
 
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
Cálculo do determinante 
 Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único 
elemento da matriz. Ex: 𝐴 = [3] e det 𝐴 = |3| =
 3 
 Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela 
diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos da 
diagonal secundária. Exemplo: 
Matriz operando em vetores 
 Uma matriz é como uma função que transforma os 
vetores em um plano 
 Matriz operando em ponto geral: transforma os 
componentes X e Y 
 Sistema de equações lineares: matriz é apenas o 
conjunto de coeficientes 
 𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 
 𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 
 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑥
𝑦 =
𝑥′
𝑦′
 
Exemplo 
 Prove que a projeção é na verdade uma 
transformação linear, ou seja 
𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢, 𝑣 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑣 ⋅ 𝑣
𝑣 
 Equivale a 
𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢, 𝑣 = 𝑇𝑢 
 
 Verifique a validade com os vetores 𝑣 = 3 4 𝑇 e 
𝑢 = 1 2 𝑇 
 
𝑃 
𝑥 
𝑦 
𝑡𝑥 
𝑡𝑦 𝑃′ 
𝑡 
Translação 
 𝑃′ = 𝑥 + 𝑡𝑥 , 𝑦 + 𝑡𝑦 = 𝑃 + 𝑡 
P 
P’ 
Translação 
 𝑃′ = 𝑥 + 𝑡𝑥, 𝑦 + 𝑡𝑦 = 𝑃 + 𝑡 
 Defina 𝑃 em coordenadas homogêneas 𝑃 =
𝑥
𝑦 →
𝑥
𝑦
1
 
 𝑃′ =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝑃 +
0 0 𝑡𝑥
0 0 𝑡𝑦
0 0 0
𝑃 =
1 0 𝑡𝑥
0 1 𝑡𝑦
0 0 1
𝑃 
Translação 
 Defina 𝑃 em coordenadas homogêneas 
 
𝑃′ = 𝑇𝑃 
 
𝑇 =
1 0 𝑡𝑥
0 1 𝑡𝑦
0 0 1
 
Exemplo 
 Calcule o deslocamento do ponto 𝑃(3,4) quando 
aplicada a transformação 𝑇 com 𝑡𝑥 = 2 e 𝑡𝑦 =
− 1. 
 
𝑇 =
1 0 𝑡𝑥
0 1 𝑡𝑦
0 0 1
=
1 0 2
0 1 −1
0 0 1
 
Escalamento 
 Escalar uma coordenada significa multiplicar cada 
um de seus componentes por um valor escalar 
 Escalamento isotrópico significa que esse valor 
escalar é o mesmo para todos os componentes 
 2 
Escalamento 
 Escalamento não-isotrópico: valores escalares 
diferentes por componente: 
 
 
 
 
 
 
 Como representar o escalamento na forma de 
matrizes? 
X  2, 
Y  0.5 
Matrizes rescala 
 Rescalonamento: “matriz diagonal” (nota: os eixos 𝑥 
e 𝑦 podem ser reescalados diferentemente) 
 
[1,0]T 
[0,1]T 
[r1,0]
T 
[0,r2]
T 
𝑟1 0 0
0 𝑟2 0
0 0 1
𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎
 
Escalamento 
 Operação de escalamento: 
 
 
 Na forma matricial: 












by
ax
y
x
'
'
Matriz de escalamento 
1
2
0'
0'
rx x
ry y
    
     
    
P 
P’ 
Reecala 
 Contração e dilatação 
𝑇 =
𝑟 0
0 𝑟
 
 Dilatação (r >1), 
 Contração (r <1) 
 
 
Matrizes de rotação 
 Rotação pura: “matriz ortogonal” 
 
𝑅 =
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
 
 
[1,0]T 
[0,1]T 
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
 
 
−𝒔𝒆𝒏 𝜽, 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑻 
𝒄𝒐𝒔 𝜽, 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑻 
𝑃′ 
Rotação 
 Matriz de rotação 
 𝑅 =
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
 
 𝑃′ = 𝑅 × 𝑃 
 
𝑃 
Rotação 
 Matriz de rotação em torno de um eixo no espaço 
 𝑅 =
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
 
 𝑃′ = 𝑅 × 𝑃 
Reflexão 
 Matriz de reflexão sobre um eixo no espaço 
 𝑅 =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 𝑃′ = 𝑅 × 𝑃 
Composição de Matrizes 
 Atenção: ordem das transformações faz diferença 
 Multiplicação de matrizes não é comutativa 
 
p’ = T * R * S * p 
“Global” “Local” 
Ordem das Transformações 
 
x 
y 







y
x
p
R x 
y 






2
2
2
y
x
p
T 
x 
y 







1
1
1
y
x
p
R x 
y 







y
x
1p
x 
y 







2
2
2
y
x
p
T 
(a) 
(b) 
Ordem das Transformações 
 Ex: rotacionar segmento em 45 graus em torno da 
extremidade a 
a a 
Resultado esperado 
Ordem das Transformações 
 Erro: aplicar a rotação de 45𝑜, R(45), afeta as 
duas extremidades 
 Pode-se tentar fazer a rotação e depois retornar o 
ponto a à sua posição original, mas quanto ele 
precisaria ser transladado?Errado! 
R(45) 
a 
a 
Correto 
T(-3) R(45) T(3) 
a 
Como trazer o ponto a de 
volta à posição original?? 
? 
Ordem das Transformações 
 Correto: isolar ponto a dos efeitos 
da rotação 
 
 Transladar a linha para 
colocar a na origem: T (-3) 
 
 
 Rotacionar linha em 45𝑜: R(45) 
 
 
 Transladar a de volta: T(3) 
a 
a 
a 
a 
Composição de Matrizes 
























 







 








1
'
'
1
 
100
010
301
 
100
0)45cos()45sin(
0)45sin()45cos(
 
100
010
301
y
x
y
x
a
a
a
a
T(3) R(45) T(-3) 
A multiplicação começa da última para a primeira transformação 
Rotação ao redor de um ponto fixo for 
a da origem 
 Fazer em 3 etapas 
 Mover ponto fixo para origem 
 Rotacionar 
 Mover ponto fixo de volta 
𝑀 = 𝑇(𝑝𝑓)𝑅 𝜃 𝑇(−𝑝𝑓) 
Composição de Matrizes 
 Transformações podem ser combinadas pela 
multiplicação de matrizes 































































w
y
x
sy
sx
ty
tx
w
y
x
100
00
00
 
100
0cossin
0sincos
 
100
10
01
'
'
'
p’ = T(tx,ty) R() S(sx,sy) p 
Composição de Matrizes 
 Depois de ordenar as matrizes corretamente: 
 Multiplicá-las 
 Guardar resultado em uma só matriz 
 Usar essa matriz para realizar a transformação 
composta em cada um dos pontos que definem o 
objeto transformado (vértices, por exemplo) 
 Todos os Pontos podem ser transformados com uma 
simples multiplicação de vetor por matriz. 
Exercício 
 Considere o triângulo com os seguintes vértices em 
coordenadas homogêneas 
 Rotacione o triângulo 
de 90𝑜 (sentido anti- 
horário) em relação ao 
ponto 𝑃 = (6,5) 
y 
x 
C 
B A 
P 
Etapas da Solução 
 Definir matriz para transladar o triângulo de modo 
que o centro de rotação se mova para a origem do 
sistema de coordenadas 
 Definir matriz para rotacionar o triângulo 
 Definir matriz para transladar o triângulo de volta 
 Gerar matriz combinada da transformação 
 Transformar os vértices do triângulo 
Etapas da Solução 
 Definir matriz para transladar o triângulo de modo 
que o centro de rotação se mova para a origem do 
sistema de coordenadas 
 Centro de rotação: P = (6,5) 
 Translação de -6 unidades em x e -5 unidades em y 
Etapas da Solução 
 Definir matriz para rotacionar o triângulo 
 O ângulo de rotação é medido no sentido anti-horário: 
R(+90o) 
 cos(90o) = 0 e sin(90o) = 1 
Etapas da Solução 
 Definir matriz para transladar o triângulo de volta 
 Translação de 6 unidades em x e 5 unidades em y 
Etapas da Solução 
 Gerar matriz combinada da transformação 
= 
Etapas da Solução 
 Transformar os vértices do triângulo 
y 
x 
C 
B A 
P 
B’ 
 = A’ 
C’ 
Transformações em 3D 
 Mesma idéia que em 2D: 
 Coordenadas homogêneas: (x,y,z,w) 
 Matrizes de trasnformação 4x4 































w
z
y
x
ponm
lkji
hgfe
dcba
w
z
y
x
'
'
'
'
Transformações 3D Básicas 































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0100
0010
0001
'
'
'





































w
z
y
x
t
t
t
w
z
y
x
z
y
x
1000
100
010
001
'
'
'





































w
z
y
x
s
s
s
w
z
y
x
z
y
x
1000
000
000
000
'
'
'
Identidade Escalamento 
Translação 
Transformações 3D Básicas 































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0100
0010
0001
'
'
'
Espelhamento em torno do 
plano YZ 
































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0100
0010
0001
'
'
'
Espelhamento em torno do 
plano XZ 
































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0100
0010
0001
'
'
'
Espelhamento em torno do 
plano XY 
Transformações 3D Básicas 

































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0100
00cossin
00sincos
'
'
'
Rotação em torno de Z: 







































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
'
'
'

































w
z
y
x
w
z
y
x
1000
0cossin0
0sincos0
0001
'
'
'
Rotação em torno de Y: 
Rotação em torno de X: 
Produtos matriciais como combinações 
lineares 
 Sejam 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 𝑥 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 
 Então 
𝐴𝑥 =
𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 ⋯ 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎2𝑛𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛
= 𝑥1
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
+ 𝑥2
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
+ ⋯+ 𝑥𝑛
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛
 
 Dizemos que o produto 𝐴𝑥 de uma matriz 𝐴 por um vetor coluna 𝑥 é uma 
combinação linear dos vetores colunas de 𝐴 com coeficientes provenientes do vetor 
𝑥 
Forma matricial de um sistema linear 
 Considere o sistema linear com 𝑚 equações e 𝑛 
incógnitas: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
… 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
 Podemos escrever na forma matricial. 
Forma matricial de um sistema linear 
 A matriz 𝑚 × 1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um 
produto: 
 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
 
 
 
 
 Denotando estas matrizes por 𝐴, 𝑥 e 𝑏, respectivamente, o sistema original 
de 𝑚 equações e n incógnitas foi substituído pela única equação matricial: 
𝐴𝒙 = 𝒃 
 
Matriz de coeficientes 
Matriz-coluna 
de incógnitas 
Matriz-coluna de 
constantes 
 
Algebra Linear 
Linear Algebra has become as basic and as applicable 
as calculus, and fortunately it is easier. 
--Gilbert Strang, MIT 
Last Chance 
170