152719RECEITAFEDERAL_RACLOGICO_AULA04

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AUDITOR FISCAL DA RECEITA FEDERAL 
Raciocínio Lógico Quantitativo 
Marcos Luciano 
 
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1. Princípio Fundamental de Contagem 
(PFC) 
Antes de enunciar o PFC, vamos observar 
um exemplo: 
 
Uma moça precisa formar um traje composto 
de blusa e calça. Sabe-se que ela possui três 
blusas- rosa, verde e azul - e duas calças- 
branca e preta. Assim, de quantas formas 
possíveis a moça pode formar o traje? 
A partir do exemplo dado podemos 
estabelecer o seguinte entendimento para o 
PFC: 
Caso o evento (o que se pede para 
determinar de quantas formas pode ocorrer) 
pode ser dividido em etapas que são 
sucessivas e independentes de tal forma que 
cada etapa possua sua própria quantidade de 
opções (possibilidades) então a quantidade 
de formas que esse evento pode ocorrer é 
dado pelo produto de cada quantidade de 
opções de cada etapa. 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
 
01. (TÉNICO TRE MG CESPE) Em um 
restaurante que ofereça um cardápio no 
qual uma refeição consiste em uma salada 
— entre salada verde, salpicão ou mista —, 
um prato principal — cujas opções são 
bife com fritas, peixe com purê, frango 
com arroz ou massa italiana — e uma 
sobremesa — doce de leite ou pudim —, a 
quantidade n de refeições possíveis de 
serem escolhidas por um cliente será: 
 
(A) n ≤ 9. 
(B) 10 ≤ n ≤ 14. 
(C) 15 ≤ n ≤ 19. 
(D) 20 ≤ n ≤ 24. 
(E) n ≥ 25. 
 
02. (TÉCNICO JUDICIÁRIO OPERAÇÃO DE 
COMPUTADORES TRE MA CESPE 2009) A 
autenticação dos usuários da rede local de 
computadores do TRE de determinada 
região é feita por senhas alfanuméricas 
compostas de 8 caracteres: os 3 primeiros 
são letras do alfabeto e os 5 últimos são 
algarismos, que não podem ser repetidos. 
Para determinado conjunto de usuários, o 
administrador dessa rede disponibilizou as 
letras A, B, C, D e E e os algarismos 0, 1, 2, 
3, 4, 5 e 6 para a composição de suas 
senhas. 
Nessa situação, a quantidade de possíveis 
senhas disponíveis para os membros 
desse conjunto de usuários é igual a 
 
a) 31. 
b) 45. 
c) 210. 
d) 315.000. 
e) 848.925. 
 
2. Fatorial 
Definição: definimos o fatorial de um 
número natural , denotado por , por: 
 
 
Exemplos: 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Observações: 
 
1) Quando 
. 
 
2) Podemos escrever o fatorial de um 
número natural, , em função do 
fatorial de um outro número natural, desde 
que seja menor que o fatorial de . 
Observe o seguinte exemplo: 
• 
 
• 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• 
 
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FORMAÇÃO DE AGRUPAMENTOS 
ARRANJOS SIMPLES, COMBINAÇÕES 
SIMPLES E PERMUTAÇÕES SIMPLES. 
Exemplo 1: 
 
Num grupo de 20 funcionários de uma 
empresa deseja-se formar um o conselho 
fiscal da empresa com os cargos de 
Presidente, Tesoureiro e Secretario. De 
quantas formas possíveis pode-se formar 
esse conselho fiscal sabendo que é vedada a 
acumulação de cargo? 
 
Exemplo 2: 
 
Numa empresa com 30 funcionários deseja-
se formar uma comissão com três 
funcionários. De quantas formas possíveis a 
comissão pode ser formada? 
 
Exemplo 3: 
 
Na Mega Sena são sorteados seis dezenas 
de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas 
sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta 
simples (ou aposta mínima), na Mega Sena, 
consiste em escolher 6 dezenas. Quantas 
apostas simples são possíveis de se fazer na 
Mega Sena? 
 
MÉTODO PARA DIFERENCIAR OS 
PROBLEMAS QUE ENVOLVEM 
ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E 
COMBINAÇÕES SIMPLES. 
 
Exemplo 1: 
 
Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9 formar 
alguns números com três algarismos distintos. 
 
Exemplo 2: 
 
Com as frutas: laranja, manga, acerola, 
goiaba, uva, morango e melancia formar 
alguns sucos com três frutas distintas. 
 
Exemplo 3: 
 
Quatro amigos - Mário, Carlos, João e Paulo - 
e somente eles participam de uma corrida 
onde todos serão premiados e todos os 
prêmios são distintos. Forme alguns possíveis 
resultados para tal corrida sabendo que não 
há empates. 
 
Arranjos simples 
 
A partir de um universo formado somente por 
n elementos distintos, se os grupos 
(agrupamentos) formados a partir desses 
elementos cada um com p elementos distintos 
(taxa) e n ≥ p, forem distintos entre si pela 
ordem (ou seja, a ordem entre os elementos 
importa!) de seus elementos então esses 
grupos são denominados de Arranjos 
Simples. 
 
Notação: 
 
 
Lê-se: arranjos simples de n (universo) 
elementos escolhidos p a p (taxa). Condição: 
n, p ∊ ℕ; e n ≥ p. 
 
Arranjos simples 
Fórmula: 
 
O número de arranjos simples é dado pela 
seguinte fórmula: 
 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
 
 01. (ANEEL ESAF 2006) Em um 
campeonato de tênis participam 30 duplas, 
com a mesma probabilidade de vencer. O 
número de diferentes maneiras para a 
classificação dos 3 primeiros lugares é 
igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
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(A) 4.360 
(B) 25.240 
(C) 24.460 
(D) 4.060 
(E) 4.650 
 
02. (TFC ESAF) Uma empresa do setor 
têxtil possui 10 funcionários que tem 
curso superior em administração de 
empresas. O diretor de recursos humanos 
recebeu a incumbência de escolher, entre 
10 funcionários, um gerente financeiro, um 
gerente de produção e um analista de 
mercado. Como todos os funcionários são 
capazes para desempenhar essas funções, 
então as diferentes maneiras que o diretor 
de recursos humanos pode escolhê-los é 
igual a: 
 
(A) 720 
(B) 740 
(C) 820 
(D) 920 
(E) 1040 
 
PERMUTAÇÕES 
 
a) Permutações Simples: 
 
A partir de um universo formado somente por 
n elementos distintos, se os grupos 
(agrupamentos) formados a partir desses 
elementos cada um com p elementos distintos 
(taxa) e n = p, forem distintos entre si pela 
ordem (ou seja, a ordem entre os elementos 
importa!) de seus elementos então esses 
grupos são denominados de Permutações 
Simples. 
 
a) Permutações Simples: 
 
Podemos considerar as permutações simples 
como sendo um caso especial de arranjos 
simples em que todos os elementos do 
universo dado participam de todos os grupos 
formados (universo = taxa) não esquecendo 
que um grupo difere do outro apenas pela 
ordem. 
 
Notação: 
 
 
Fórmula: o número de permutações simples é 
dado pela seguinte fórmula: 
 
 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
01. (AUDITOR JUNIOR PETROBRAS) A 
vitrine de uma determinada loja possui 5 
lugares para colocação de manequins. 
Considerando que a loja possui 5 
manequins, em quantas formas diferentes 
eles podem ser arrumados? 
 
(A) 120 
(B) 100 
(C) 50 
(D) 25 
(E) 15 
 
02. (ATA MF 2012) Dos aprovados em um 
concurso público, os seis primeiros foram 
Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e 
Fabiano. Esses seis aprovados serão 
alocados nas salas numeradas de 1 a 6, 
sendo um em cada sala e obedecendo a 
determinação de que na sala 1 será 
alocado um homem. Então, o número de 
possibilidades distintas de alocação 
desses seis aprovados é igual a 
 
(A) 720. 
(B) 480. 
(C) 610. 
(D) 360. 
(E) 540. 
 
03. (ANALISTA TÉCNICO 2013) O número 
de anagramas da palavra FAZENDA que 
começam com FA e nessa ordem é igual a: 
 
(A) 130 
(B) 124 
(C) 120 
(D) 115 
(E) 136 
 
04. (ANEEL ESAF) Dez amigos, entre eles 
Mário e José, devem formar uma fila para 
comprar as entradas para o jogo de 
futebol. O número de diferentes formas 
que esta fila de amigos pode ser formada, 
 
 
 
 
 
 
 
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de modo que Mário e José fiquem sempre 
juntos é igual a: 
 
(A) 2!·8! 
(B) 0!·18! 
(C) 2!·9! 
(D) 1!·9! 
(E) 1!·8! 
 
05. (AFRFB2012) Na prateleira de uma 
estante, encontram-se 3 obras de 2 
volumes e 2 obras de 2 volumes, 
dispondo-se, portanto, de um total de 10 
volumes. Assim, o número de diferentes 
maneiras que os volumes podem ser 
organizados na prateleira, de modo que os 
volumes de uma mesma obra nunca 
fiquem separados, é igual a 
 
(A) 3.260. 
(B) 3.840. 
(C) 2.896. 
(D) 1.986. 
(E) 1.842. 
 
b) Permutações com Elementos Repetidos 
 
A partir de um universo formado por n 
elementos sendo que existem elementos que 
aparecem repetidos, se os grupos 
(agrupamentos) formados a partir desses 
elementos cada um com p elementos (taxa) e 
n = p, forem distintos entre si pela ordem (ou 
seja, a ordem entre os elementos importa!) de 
seus elementos então esses grupos são 
denominados de Permutações com 
Elementos Repetidos. Importante ressaltar 
que os mais uma vez, todos os elementos 
participam inclusive os elementos que 
aparecem repetidos. 
 
b) Permutações com Elementos Repetidos 
Fórmula: 
 
A permutação com elementos permitidos é 
obtida dividindo-se a permutação simples pelo 
produto dos fatoriais das quantidades de 
elementos repetidos. 
 
 
 
Observação: n é o número de elementos 
dados (universo) inclusive os que se repetem. 
 a, b, c,... são as quantidades de 
cada elemento que aparece de forma repetida 
e não os elementos repetidos. 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
 
01. (TRE MA CESPE 2009) A quantidade de 
números diferentes que se obtém 
permutando de todos os modos possíveis 
os algarismos do número 25.554.252 é 
igual a: 
 
(A) 96. 
(B) 204. 
(C) 280. 
(D) 40.000. 
(E) 40.320. 
 
c) Permutações Circulares 
 
Denomina-se permutação circular a contagem 
de elementos dispostos ao redor de um 
círculo ou em forma de círculo. 
 Fórmula: 
Calcula-se o nº de Permutações Circulares de 
n elementos através da seguinte fórmula: 
 
Observação: não é necessário que a figura 
geométrica seja somente o círculo. Pode ser 
um quadrado, um pentágono e assim 
sucessivamente. 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
 
01. (SEDUC CE CESPE) Um professor 
propôs dividir sua turma em 7 grupos de 
alunos; os elementos de um dos grupos 
ficariam no centro de uma circunferência, 
e os demais grupos, posicionados em 6 
locais bem determinados sobre a 
circunferência, teriam a incumbência de 
questionar os elementos do grupo do 
centro a respeito de um assunto pré 
agendado. A figura abaixo ilustra a 
posição dos 7 grupos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nesse caso, a quantidade de formas 
possíveis e distintas de se organizar os 
grupos dos questionadores e 
questionados será igual 
 
(A) 5.040. 
(B) 840. 
(C) 720. 
(D) 120. 
 
02. (ATA MF ESAF 2012) Uma reunião no 
Ministério da Fazenda será composta por 
seis pessoas, a Presidenta, o Vice-
Presidente e quatro Ministros. De quantas 
formas distintas essas seis pessoas 
podem se sentar em torno de uma mesa 
redonda, de modo que a Presidenta e o 
Vice-Presidente fiquem juntos? 
 
(A) 96 
(B) 360 
(C) 120 
(D) 48 
(E) 24 
 
Combinações Simples 
 
A partir de um universo formado somente por 
n elementos distintos, se os grupos 
(agrupamentos) formados a partir desses 
elementos cada um com p elementos distintos 
(taxa) e n ≥ p, não forem distintos entre si 
pela ordem (ou seja, a ordem entre os 
elementos não importa!) de seus elementos 
então esses grupos são denominados de 
Combinações Simples. 
Notação: 
 
 
Lê-se: combinações simples de n (universo) 
elementos escolhidos p a p (taxa). Condição: 
n, p ∊ ℕ; e n ≥ p. 
 
Combinações Simples 
Fórmula: 
 
O número de combinações simples é dado 
pela seguinte fórmula: 
 
 
EXERCÍCIOS EM AULA 
01. (TRANSPETRO CESGRANRIO 2012) A 
vitrinista de uma loja de roupas femininas 
dispõe de 9 vestidos de modelos 
diferentes e deverá escolher 3 para serem 
exibidos na vitrine. Quantas são as 
escolhas possíveis? 
 
(A) 84 
(B) 96 
(C) 168 
(D) 243 
(E) 504 
 
02. (TFC CGU ESAF 2008) Ana precisa 
fazer uma prova de matemática composta 
de 15 questões. Contudo, para ser 
aprovada, Ana só precisa resolver 10 
questões das 15 propostas. Assim, de 
quantas maneiras diferentes Ana pode 
escolher as questões? 
 
(A) 3003 
(B) 2980 
(C) 2800 
(D) 3006 
(E) 3005 
 
03. (MPOG ESAF 2010) Beatriz é 
fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um 
programa de reabilitação para 10 
pacientes. Para obter melhores resultados 
neste programa, Beatriz precisa distribuir 
esses 10 pacientes em três salas 
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 
pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e 
na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. 
Assim, o número de diferentes maneiras 
que Beatriz pode distribuir seus pacientes, 
nas três diferentes salas, é igual a: 
 
a) 2.440 
b) 5.600 
c) 4.200 
d) 24.000 
e) 42.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
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04. (AFRFB ESAF 2009) Sabe-se que os 
pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, 
ou seja, estão localizados no mesmo 
plano. Sabe-se, também, que destes sete 
pontos, quatro são colineares, ou seja, 
estão numa mesma reta. Assim, o número 
de retas que ficam determinadas por estes 
sete pontos é igual a: 
 
(A) 16 
(B) 28 
(C) 15 
(D) 24 
(E) 32