Distribuições

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PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS.
1. Uniforme Discreta: ocorre quando cada um dos k valores poss€veis de uma v.a.
discreta X tem mesma probabilidade.
f.d.p.: 
k
xXP 1)(  kixxxx ki ,,2,1=),,,,( 21  .
k
x
XE
k
i
i
 1)(   21
2
)()( XE
k
x
XVar
k
i
i



f.d.a.:  
k
xnxXPxXPxF
xx
i
i
)()()(  

,
onde )(xn  o n‚mero de valores x xi  .
2. Bernoulli: a distribuiƒ„o de Bernoulli ocorre quando a v.a. discreta X assume apenas 
dois valores: sucesso (1) ou fracasso (0), com probabilidades p e (1 – p), 10  p ,
respectivamente:
Notação: )(~ pBernoulliX .
x 0 1 Total
 p x 1 – p p 1
pXE )( )1()( ppXVar 
obs: Cada experimento de uma v.a. de Bernoulli  chamado ensaio de Bernoulli.
f.d.a.: 







1,1
10),1(
0<,0
)(
x
xp
x
xF , 10  p .
3. Binomial: Considere n ensaios de Bernoulli, independentes. Seja X a v.a. que conta 
o número de sucessos nesses n ensaios. Então X tem distribuição binomial com 
parâmetros n e p.
X : número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, independentes.
Notação: ),(~ pnbinomialX .
f.d.p.: xnx pp
x
n
xXP 





 )1()( 100  pen,1,,x  .
pnXE )( )1()( ppnXVar 
f.d.a.: 


xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
4. Hipergeométrica: Esta distribuição ocorre quando executamos extrações, sem 
reposi€o, de uma população finita e verificamos a ocorrência de um dado evento.
Seja uma população de tamanho N, tal que m elementos dessa população apresentam 
uma certa característica e (N – m) não a apresentam. Se selecionamos ao acaso n
elementos sem reposição, então a probabilidade de que nessa amostra existam
exatamente k elementos com a característica de interesse é:
X : número de elementos com a característica na amostra de tamanho n.
Notação: ),,(~ nmNHGX .
f.d.p.: 





















n
N
kn
mN
k
m
kXP )(   ),min()(,0max nmkmNn  .
N
mnXE )( 












 
1
1)(
N
nN
N
m
N
mnXVar
f.d.a.: 


xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
obs: Se N é grande, então a distribuição Hipergeométrica pode ser aproximada pela 
distribuição binomial.
5. Geométrica: Ocorre quando contamos o número de ensaios de Bernoulli, 
independentes, que resultam em fracasso até a ocorrência do primeiro sucesso, em
que psucessoP )( .
X : número de fracassos até a ocorrência do primeiro sucesso.
Notação: )(~ pgeométricaX .
f.d.p.: xppxXP )1()(  10e,2,1,0  px  .
p
pXE )1()( 
2
)1()(
p
pXVar 
f.d.a.: 1)1(1)1(1)()(  xpxXPxXPxF
obs: A geométrica pode, ainda, ser definida pela contagem do número de ensaios até o 
primeiro sucesso, sendo 1)1()(  xppxXP , 10e,2,1  px  .
6. Binomial Negativa ou Pascal: Se agora estamos interessados em contar o número 
de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso, tal que  P sucesso p , então a v.a. X
tem distribuição binomial negativa com parâmetros r e p, e f.d.p. dada por:
X : número de falhas até a ocorrência do r-ésimo sucesso.
Notação: ),(~ prBNX .
f.d.p.: xr pp
r
xr
xXP )1(
1
)( 




 
 10e1,,2,1,0  prx  .
p
prXE )1()(  2
)1()(
p
prXVar 
f.d.a.: 


xx
i
i
xXPxXPxF )()()( .
Quando r = 1 temos a distribuição geométrica com parâmetro p.
obs: Da mesma forma como a geométrica, a distribuição binomial negativa pode ser 
definida pela contagem do número de ensaios até o r-ésimo sucesso.
7. Poisson: a distribuição de Poisson ocorre quando contamos o número de eventos, de 
um certo tipo, que ocorrem num intervalo de tempo, superfície ou volume.
Notação: )(~ PoissonX .
f.d.p.: 
!
e
)(
x
xXP
x


0e,2,1,0  x .
)(XE )(XVar
f.d.a.: 


xx
i
i
xXPxXPxF )()()(
obs: A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando 
n  , p  0, com pn constante.
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS.
1. Uniforme: Seja X uma v.a. continua com distribuição Uniforme no intervalo
];[ ba , a b< , então sua f.d.p. é dada por:
Notação: ),(~ baUX .
f.d.p.: 





 

bxax
bxa
abxf
>ou <se0
se1
)(
2
)( baXE 
12
)()(
2abXVar 
f.d.a.: 
ab
axxF


)( , bxa se
2. Normal: Uma v.a. X tem distribuição normal com parâmetros  e 2 , 2 0 e 
    , se sua f.d.p. é dada por:
Notação: ),(~ 2NX .
f.d.p.: 













2
2
2
)(exp
2
1)( xxf ,
0e
;

 x
.
)(XE 2)( XVar
f.d.a.: duufxF
x


 )()( . )(xF não tem solução algébrica e seus valores 
devem ser obtidos por intermédio de tabela.
obs: Se Z é uma v.a. tal que  )(Xz , então Z tem distribuição Normal 
Padronizada com média 0 e variância 1, ou seja, )1,0(~ NZ e sua f.d.p. é dada por:
f.d.p.: 2
2
e
2
1)( zzf 

 ,   z .
3. Exponencial: Dizemos que uma v.a. X tem distribuição exponencial, ou distribuição 
dos tempos de vida, com parâmetro  ,   0, se a sua f.d.p. é:
Notação: )(~ lexponenciaX .
f.d.p.: 





 


0<se0
0see1
)(
x
x
xf
x
)(XE 2)( XVar
f.d.a.:   x
x
duufxF e1)()(
0
.
obs: Para   1 temos a exponencial padrão com f.d.p. xxf  e)( , se 0x .
4. Gama: Uma extensão da distribuição exponencial é dada pela distribuição gama 
com parâmetros  ,  0, e sua f.d.p. é dada por:
Notação: ),(~ gamaX .
f.d.p.: 












0<se0
0see
)()(
1
x
xx
xf
x
onde dxx x


0
1e)( é chamada função gama.


)(XE
2
)(


XVar
f.d.a.: duufxF
x


 )()( . )(xF não tem solução algébrica.
obs: Para   1 temos a distribuição exponencial com parâmetro  /1 .
5. Qui-quadrado: Uma v.a. X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade 
se a sua f.d.p. for:
Nota€o: 2~ nX  .
f.d.p.: 






 








0<se0
0see
2
2
1
)(
212
2
x
xx
n
xf
xn
n
nXE )( nXVar 2)( 
obs: A distribuição qui-qaudrado é um caso especial da gama, para 2n e 21 .
6. t–Student: Uma v.a. X tem distribuição t–Student com n graus de liberdade se tiver 
f.d.p. dada por:
Nota€o: ntX ~ .
f.d.p.: 
  212
1
2
2
1
)(





















 

n
n
x
nn
n
xf ,  x .
0)( XE
2
)(


n
nXVar , 2n .
obs: Quando o valor de n é grande, a distribuição t-Student aproxima-se da )1,0(N .
7. F de Snedcor: Sejam 21 ~ mX  e 
2
2 ~ nX  , independentes. A v.a. W, definida por 
nX
mX
W
2
1 , tem distribuição F de Snedcor com m e n graus de liberdade, com f.d.p:
Notação: nmFY ,~ .
f.d.p.: ,
122
2)(
2)(
2)2(2
nm
mm
n
wm
w
n
m
nm
nm
wf







 






















 
 0w .
2
)(


n
nWE
)4()2(
)2(2)(
2
2



nnm
nmnXVar , 4n .