aula4_-_te054_-_2013-2

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Prof. Bernardo Leite 2013-2
Circuito RLC série
𝑍 = 𝑗𝜔𝐿 +
1
𝑗𝜔𝐶
+ 𝑅
𝑍
𝜔
Indutor
Capacitor
𝜔0
𝜔0 =
1
𝐿𝐶
𝑍 𝜔0 = 𝑅
Ressonância
Z R
CL
vs
+ vL − + vC −
+
vo
−
Circuito RLC série
𝑣𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 𝑖
𝑣𝐿 𝜔0 = 𝑗𝜔0𝐿 𝑖 = 𝑗𝜔0𝐿
𝑣𝑠
𝑅
𝑣𝐿
𝑣𝑠
𝜔0 =
𝜔0𝐿
𝑅
Fator de qualidade
vL e vC podem ser superiores a vs
(multiplicação de tensão)
Para o circuito ressonante RLC série:
𝑄 =
𝜔0𝐿
𝑅
=
𝑍0
𝑅
Impedância característica:
𝑍0 =
𝐿
𝐶
Z R
CL
vs
+ vL − + vC −
+
vo
−𝑣0
Circuito RLC série
𝐻 𝜔 =
𝑣𝑜
𝑣𝑠
=
𝑅
𝑗𝜔𝐿 +
1
𝑗𝜔𝐶 + 𝑅
=
𝑗𝜔
𝜔0
𝑄
(𝜔0
2−𝜔2) + 𝑗𝜔
𝜔0
𝑄
Largura de banda a 3 dB
𝐻 𝜔
𝜔/𝜔0
𝐻(𝜔+) ² = 𝐻(𝜔−) ² =
1
2
∆𝜔 = 𝜔+ − 𝜔− =
𝜔0
𝑄
Circuito RLC paralelo
Y
RCLis
ioiCiL
𝑌 = 𝑗𝜔𝐶 +
1
𝑗𝜔𝐿
+ 𝐺
𝑌
𝜔
Capacitor
Indutor
𝜔0
𝜔0 =
1
𝐿𝐶
𝑍 𝜔0 = 𝑅
Ressonância
Circuito RLC paralelo
Y
RCLis
ioiCiL
𝑖𝐶 = 𝑗𝜔𝐶 𝑣0
𝑖𝐶 𝜔0 = 𝑗𝜔0𝐶𝑣0 = 𝑗𝜔0𝐶
𝑖𝑠
𝐺
𝑖𝐿
𝑖𝑠
𝜔0 =
𝜔0𝐶
𝐺
Fator de qualidade
iL e iC podem ser superiores a is
(multiplicação de corrente)
Para o circuito ressonante RLC paralelo:
𝑄 =
𝜔0𝐶
𝐺
=
𝑅
𝑍0
Impedância característica:
𝑍0 =
𝐿
𝐶
Circuito RLC paralelo
𝐻 𝜔 =
𝑖𝑜
𝑖𝑠
=
𝐺
𝑗𝜔𝐶 +
1
𝑗𝜔𝐿 + 𝐺
=
𝑗𝜔
𝜔0
𝑄
(𝜔0
2−𝜔2) + 𝑗𝜔
𝜔0
𝑄
𝐻 𝜔
𝜔/𝜔0
Largura de banda a 3dB
𝐻(𝜔+) ² = 𝐻(𝜔−) ² =
1
2
𝑄 =
𝜔0
∆𝜔
Transformação série-paralelo
RS XS
RP
XP
𝑅𝑃 = (1 + 𝑄
2)𝑅𝑆 𝑋𝑃 = 1 +
1
𝑄²
𝑋𝑆
𝑄 =
𝑋𝑆
𝑅𝑆
=
𝑅𝑃
𝑋𝑃
𝑅𝑃 ≈ 𝑄
2𝑅𝑆 𝑋𝑃 ≈ 𝑋𝑆
Para 𝑄 ≫ 1:
Potência
𝑣 𝑡 = 𝑉0 cos𝜔𝑡
𝑖 𝑡 = 𝐼0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) =
𝑉0
𝑍
cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑃 =
1
𝑇
 
𝑇
𝑣 𝑡 ∙ 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑉0𝐼0
2
cos 𝜑 =
𝑉0
²
2 𝑍
cos 𝜑
𝑃 =
𝑉0
²
2𝑅
Para Z = R:
Zv(t)
i(t)
Transferência máxima de potência
vsig
+
vIN
–
Avo∙vIN
Zout
Zin
+
vOUT
–
iOUTZsig
ZL
iIN
𝑍𝑖𝑛 = 𝑍𝑠𝑖𝑔
∗
𝑍𝑜𝑢𝑡 = 𝑍𝐿
∗
Casamento de impedâncias
Rede de 
casamento de 
impedâncias
Zout
Zin
Zsig
ZL
Rede de 
casamento de 
impedâncias
Zin*
Zout*
Para transferência máxima de potência:
Casamento de impedâncias
Rede de 
casamento de 
impedâncias
Zout
Zin
Zsig
ZL
Rede de 
casamento de 
impedâncias
Zin opt
Z out opt
Critérios para impedâncias ótimas:
Transferência de potência (ganho)
Potência de saída
Figura de ruído
Eficiência
…
Redes de casamento de impedâncias
Carga puramente resistiva, Divisor capacitivo
Zin
C1
C2 RL
Cin Rin
𝑅𝑖𝑛 ≈ 1 +
𝐶2
𝐶1
2
𝑅𝐿
Carga puramente resistiva, Rede em L
Redes de casamento de impedâncias
𝑅𝑖𝑛 = 1 + 𝑄² 𝑅𝐿
Rin
C RL
L
C RLL
Rin
C RLL
Rin Rin
C RL
L
𝑅𝑖𝑛 =
𝑅𝐿
1 + 𝑄²
Projeto:
1) A partir do Rin desejado, definir Q e deduzir L (ou C)
2) Para o valor de L (ou C) definido, escolher C (ou L) para ressonar na 
frequência desejada
Carga complexa
Redes de casamento de impedâncias
Lres
C
RL
L
Rin CL
C
RL
L’
Rin CL
Rede em Π
Redes de casamento de impedâncias
Rin
C1 RL
L
C2 C RLL1
Rin
L2
3 elementos
1) Definir Rin
2) Definir ω0
3) Definir Q
3 graus de liberdade
Exemplo 4.1
Um amplificador de radiofrequência apresenta uma impedância de saída de 10 Ω, 
e deve atacar uma carga cuja impedância vale 50 – j 120 Ω em sua frequência de 
funcionamento (2,4 GHz).
Projetar uma rede em L que realiza o casamento de impedâncias para máxima 
transferência de potência na frequência de operação.
Parâmetros de redes
Rede de 2 portas
+
v1
–
+
v2
–
i1
i1
i2
i2
+
v1
–
+
v2
–
i1 i2
𝑥11 𝑥12
𝑥21 𝑥22
Uma rede de 2 portas pode ser completamente 
caracterizada por 4 parâmetros complexos 
(geralmente dependentes da frequência)
Impedância (Parâmetros Z)
𝑣1 = 𝑧11𝑖1 + 𝑧12𝑖2
𝑣2 = 𝑧21𝑖1 + 𝑧22𝑖2
𝑣1
𝑣2
=
𝑧11 𝑧12
𝑧21 𝑧22
𝑖1
𝑖2
𝑧11 = 
𝑣1
𝑖1 𝑖2=0
𝑧12 = 
𝑣1
𝑖2 𝑖1=0
𝑧21 = 
𝑣2
𝑖1 𝑖2=0
𝑧22 = 
𝑣2
𝑖2 𝑖1=0
Parâmetros de redes
Rede de 2 portas
Uma rede de 2 portas pode ser completamente 
caracterizada por 4 parâmetros complexos 
(geralmente dependentes da frequência)
Admitância (Parâmetros Y)
𝑖1 = 𝑦11𝑣1 + 𝑦12𝑣2
𝑖2 = 𝑦21𝑣1 + 𝑦22𝑣2
𝑖1
𝑖2
=
𝑦11 𝑦12
𝑦21 𝑦22
𝑣1
𝑣2
𝑦11 = 
𝑖1
𝑣1 𝑣2=0
𝑦12 = 
𝑖1
𝑣2 𝑣1=0
𝑦21 = 
𝑖2
𝑣1 𝑣2=0
𝑦22 = 
𝑖2
𝑣2 𝑣1=0
+
v1
–
+
v2
–
i1 i2
𝑥11 𝑥12
𝑥21 𝑥22
Exemplo 4.2
Calcular os parâmetros Z e Y para o seguinte modelo de pequenos sinais de 
um amplificador fonte comum.
D
S
G
+
vgs
–
gm∙vgs ro
CGS
1 2
𝑍 =
1
𝑗𝜔𝐶𝐺𝑆
0
−
𝑔𝑚𝑟0
𝑗𝜔𝐶𝐺𝑆
𝑟0
𝑌 =
𝑗𝜔𝐶𝐺𝑆 0
𝑔𝑚
1
𝑟0
Parâmetros de redes
Espalhamento (Parâmetros S)
Zin
Z0
Fonte Rede (1 porta)
PinPavs
Pavs: potência disponível pela fonte
(potência máxima que a fonte é capaz de fornecer)
Pin: potência recebida pela rede
Se Zin = Z0
*:
Pin = Pavs
Se Zin ≠ Z0
*:
Pin = Pavs – Pr
Pr: potência refletida pela rede 
(potência perdida devido ao descasamento de 
impedâncias)
Pr 𝑃𝑟 = 𝑃𝑎𝑣𝑠
𝑍𝑖𝑛 − 𝑍0
𝑍𝑖𝑛 + 𝑍0
2
Γ =
𝑍𝑖𝑛 − 𝑍0
∗
𝑍𝑖𝑛 + 𝑍0
Coeficiente de reflexão:
Γ ≤ 1
Exemplo 4.3
Calcular o módulo do coeficiente de reflexão para uma impedância de 
entrada da rede igual a :
(a) um curto-circuito,
(b) um circuito aberto,
(c) uma carga reativa,
(d) o complexo conjugado da impedância da fonte.
Parâmetros de redes
Espalhamento (Parâmetros S)
Zin
Z0
Fonte Rede (1 porta)
a1
b1
𝑃𝑟 = Γ 𝑃𝑎𝑣𝑠
𝑏1 = Γ𝑎1
Se Zin = Z0
*:
b1 = 0 
Parâmetros de redes
Espalhamento (Parâmetros S)
𝑆11 𝑆12
𝑆21 𝑆22
a1
a2b1
b2
Z1 Z2
𝑏1 = 𝑆11𝑎1 + 𝑆12𝑎2
𝑏2 = 𝑆21𝑎1 + 𝑆22𝑎2
𝑏1
𝑏2
=
𝑆11 𝑆12
𝑆21 𝑆22
𝑎1
𝑎2
𝑆11 = 
𝑏1
𝑎1 𝑎2=0
𝑆12 = 
𝑏1
𝑎2 𝑎1=0
𝑆21 = 
𝑏2
𝑎1 𝑎2=0
𝑆22 = 
𝑏2
𝑎2 𝑎1=0
Rede de 2 portas
S11: medida do casamento na porta 1
S21: medida do ganho direto
S12: medida do ganho reverso
S22: medida do casamento na porta 2