Lista 3 de cálculo II

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM123 - Ca´lculo Diferencial e Integral II
Lista 3 - Tiago de Oliveira
1. Encontre uma fo´rmula para a n-e´sima soma parcial de cada se´rie e use-a para encontrar a soma da se´rie se ela
convergir.
a) 2 +
2
3
+
2
9
+
2
27
+ . . .+
2
3n−1
+ . . .
b)
9
100
+
9
1002
+
9
1003
+ . . .+
9
100n
+ . . .
c) 1− 1
2
+
1
4
− 1
8
+ . . .+ (−1)n−1 1
2n−1
+ . . .
d) 1− 2 + 4− 8 + . . .+ (−1)n−12n−1 + . . .
e)
1
2.3
+
1
3.4
+
1
4.5
+ . . .+
1
(n+ 1)(n+ 2)
+ . . .
f)
5
1.2
+
5
2.3
+
5
3.4
+ . . .+
5
n(n+ 1)
+ . . .
2. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. (Dica: Nas letras i) , j)
e k) expresse sn como uma soma telesco´pica).
a)
1
3
+
1
6
+
1
12
+ . . .
b)
∞∑
k=2
k2
k2 − 1
c)
∞∑
n=1
1 + 2n
3n
d)
∞∑
n=1
n
√
2
e)
∞∑
n=1
ln
(
n2 + 1
2n2 + 1
)
f)
∞∑
k=0
(pi
3
)k
g)
∞∑
n=1
arctann
h)
∞∑
n=1
(
1
en
+
1
n(n+ 1)
)
i)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
j
∞∑
n=1
3
n(n+ 3)
k)
∞∑
n=1
(e1/n − e1/(n+1))
3. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge. Calcule a soma da se´rie para esses valores de x
a)
∞∑
n=1
(−5)nxn b)
∞∑
n=0
(x− 2)n
3n
c)
∞∑
n=0
2n
xn
d)
∞∑
n=0
enx
4. Mostre que:
a)
∞∑
n=1
[arctan(n+ 1)− arctann] = pi
4
.
b)
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
=∞
c)
∞∑
n=1
1
4n2 − 1 =
1
2
d)
∞∑
n=1
(−1)n+1 2n+ 1
n(n+ 1)
= 1
5. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
∞∑
n=1
an e´ sn =
n− 1
n+ 1
, encontre an e
∞∑
n=1
an.
6. p-se´rie logar´ıtmica
a) Mostre que ∫ ∞
2
dx
x(lnx)p
( sendo p uma constante positiva )
converge se e somente se p > 1.
b) Que implicac¸o˜es o fato do item (a) tem sobre a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=2
1
n(lnn)p
?
Justifique sua resposta.
7. Use o teste da integral para mostrar que
∞∑
n=0
e−n
2
converge.
8. Decida se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes, citando o crite´rio ou resultado utilizado:
a)
∞∑
n=1
3
n2 + 1
b)
∞∑
n=1
1 + 3n2
n3 + 700
c)
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
d)
∞∑
n=1
cos
(
1
n2
)
e)
∞∑
n=1
1
3n + 9
f)
∞∑
n=1
1(
1 +
1
n
)n
g)
∞∑
n=1
√
n
n2 + 5
h)
∞∑
n=1
lnn
n
i)
∞∑
n=1
[
3n+ 2
n
.
4n
5n + 1
]
j)
∞∑
n=1
1
n+
√
n
k)
∞∑
n=1
lnn
n3
l)
∞∑
n=1
1000
3
√
n+ 1 4
√
n3 + 5
m)
∞∑
n=1
n2
n2 + 100
n)
∞∑
n=1
1
n10n
o)
∞∑
n=1
3 + cosn
n2
p)
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
np
)
, p > 0
q)
∞∑
n=1
arctann
r)
∞∑
n=1
n ln
(
n+ 1
n
)
s)
∞∑
n=1
3
√
n+ 2
4
√
n3 + 3 5
√
n3 + 5
t)
∞∑
n=1
√
n+ 1−√n
n
u)
∞∑
n=1
(−1)n+1
5n
v)
∞∑
n=1
n!
nn
w)
∞∑
n=1
lnn
n2
x)
∞∑
n=1
ne−n
2
y)
∞∑
n=1
3n − 5n
8n
z)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
aa)
∞∑
n=1
[
1− cos
(
1
n
)]
ab)
∞∑
n=1
(2n + 3n)1/n
ac)
∞∑
n=1
arctann
n2 + 1
ad)
∞∑
n=1
sen3
(
1
n
)
ae)
∞∑
n=1
23n
32n
af)
∞∑
n=1
e2n
(
2n− 1
n+ 13
)
ag)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
2
5
)1/n
ah)
∞∑
n=1
√
n
(
2n− 1
n+ 13
)n
ai)
∞∑
n=1
(2n2 + 1)n sen(1/n)
n2 + 1
aj)
∞∑
n=1
1
n(1 + ln2 n)
ak)
∞∑
n=1
1 +
1.3
2!
+
1.3.5
3!
+ ... +
1.3.5....(2n− 1)
n!
+ ...
9. Verifique, em cada caso, se a se´rie dada e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
a)
∞∑
n=0
(−1)nn3
en
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n4
c)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
d)
∞∑
n=2
(−1)n2n
n3n+1
e)
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
2
5
)1/n
f)
∞∑
n=1
(−1)nn2
3n
g)
∞∑
n=1
(−1)n−123n
nn
h)
∞∑
n=1
(−1)n+13n
n!
i)
∞∑
n=2
(−1)n+1
n ln2 n
j)
∞∑
n=1
sen(pin)
n!
k)
∞∑
n=0
(−1)n
4n3 + 1
l)
∞∑
n=1
(−1)n−1
(n+ 1)3/4
m)
∞∑
n=0
(−1)nn− 1
10n+ 2
n)
∞∑
n=1
(−1)n−1 lnn
n
o)
∞∑
n=2
(−1)nn lnn
(n+ 1)3
2
10. Teste a se´rie quanto a convergeˆncia ou divergeˆncia
a)
∞∑
n=1
1
n+ 3n
b)
∞∑
n=1
(−1)n n
n+ 2
c)
∞∑
n=1
n22n−1
(−5)n
d)
∞∑
n=2
1
n
√
lnn
e)
∞∑
k=1
k2e−k
f)
∞∑
n=1
(
1
n3
+
1
3n
)
g)
∞∑
n=1
3nn2
n!
h)
∞∑
k=1
2k−13k+1
kk
i)
∞∑
n=0
n!
2.5.8. . . . .(3n+ 2)
j)
∞∑
n=1
(−1)n lnn√
n
k)
∞∑
n=1
(−1)n cos(1/n2)
l)
∞∑
n=1
tan(1/n)
m)
∞∑
n=1
n!
en2
n)
∞∑
k=1
k ln k
(k + 1)3
o)
∞∑
n=1
(−1)n
coshn
p)
∞∑
k=1
5k
3k + 4k
q)
∞∑
n=1
(
n
n+ 1
)n2
r)
∞∑
n=1
1
n1+1/n
s)
∞∑
n=1
(
n
√
2− 1)n
11. Encontre, em cada caso, o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia das se´ries de poteˆncias dadas:
a)
∞∑
n=1
n
√
n(2x+ 5)n
b)
∞∑
n=5
lnn
n3 − 3(x+ 2)
n
c)
∞∑
n=1
1√
nen
(x− e)n
d)
∞∑
n=1
√
n
3n
(x− 1)n
e)
∞∑
n=2
(2x+ 5)n
2n 3
√
n2 − 1
f)
∞∑
n=2
(−1)n lnn
n
(x− 2)n
g)
∞∑
n=0
(2n)!(x− 10)n
n!2n
h)
∞∑
n=0
2x2n+1
2n+ 1
i)
∞∑
n=0
(−1)n+1 2x
2n+1
2n+ 1
j)
∞∑
n=0
xn+1
n+ 1
k)
∞∑
n=0
(−2)nxn
l)
∞∑
n=0
enx
m)
∞∑
n=0
(2x− 1)n
n)
∞∑
n=0
x2n
o)
∞∑
n=0
(x+ 1)n
2n
p)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
q)
∞∑
n=2
n(n− 1)xn−2
r)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
s)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
t)
∞∑
n=0
xn
n!
u)
∞∑
n=0
(−1)n−1x
n
n
v)
∞∑
n=1
x2n−1
(2n− 1)!
w)
∞∑
n=0
x2n
(2n)!
x)
∞∑
n=0
(x+ 3)n
(n+ 1)2n
y)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n
z)
∞∑
n=0
xn
1.3.5.....(2n− 1)
12. Encontre, em cada caso, uma se´rie de poteˆncias em x, que represente as func¸o˜es, encontrando o intervalo de
convergeˆncia(domı´nio).
a) f(x) =
1
1 + x
b) f(x) =
2
3− x
c) f(x) =
x
9 + x2
d) f(x) =
1 + x
1− x
e) f(x) = − ln(1− x)
f) f(x) = ln(1 + x)
g) f(x) = ln(3 + x)
h) f(x) = arctanx
i) f(x) = arctan(ex)
3
13. Encontre o domı´nio das seguintes func¸o˜es
a) f(x) =
∞∑
n=1
xn
n2
b) f(x) =
∞∑
n=1
xn√
n
c) f(x) =
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
2n−1
(2n− 1)!
d) f(x) =
∞∑
n=1
(n+ 1)(3x− 1)n
e) f(x) =
∞∑
n=1
(x− 1)n
n3n
f) f(x) =
∞∑
n=2
(x− 1)n
n lnn
14. Ache a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a integral dada e determine o seu raio de convergeˆncia
a)
∫ x
0
etdt b)
∫ x
0
dt
t2 + 4
c)
∫ x
2
dt
4− t d)
∫ x
0
ln(1 + t)dt
15. Encontre, em cada caso, a se´rie de Maclaurin (Taylor com x0 = 0) das func¸o˜es dadas e o intervalo onde esta e´
representada pela se´rie correspondente:
a) f(x) = ex
b) f(x) = cosx
c) f(x) = senx
d) f(x) = coshx
e) f(x) = sinhx
f) f(x) = arctanx
g) f(x) = e−x
h) f(x) =
senx
x
16. Encontre a se´rie de Taylor de f(x) centrada no valor de a e o raio de convergeˆncia associado.
a) f(x) = x4 − 3x2 + 1, a = 1
b) f(x) = lnx, a = 2
c) f(x) = e2x, a = 3
d) f(x) = cosx, a = pi
Gabarito
1. a) 3
b) 1/11
c) 2/3
d) diverge
e) 1/2
f) 5
2. a) Diverge
b) Diverge
c) Converge, sn = 5/2
d) Diverge
e) Diverge
f) Diverge
g) Diverge
h) Converge, sn = e/(e− 1)
i) Converge, sn = 3/2
j) Converge, sn = 11/6
k) Converge, sn = e− 1
3. a) −1
5
< x <
1
5
;
−5x
1 + 5x
b) −1 < x < 5; 3
5− x
c) x > 2 ou x < −2; x
x− 2
d) x < 0;
1
1− ex
4. Demonstrac¸a˜o
5. an =
2
n(n+ 1)e sn = 1
6. a) Converge para p > 1 e Diverge
para p ≤ 1.
b) A se´rie converge para p > 1.
7. Demonstrac¸a˜o
8. a) Converge
b) Diverge
c) Converge
d) Diverge
e) Converge
f) Diverge
g) Converge
h) Diverge
i) Converge
j) Diverge
k) Converge
l) Converge
m) Diverge
n) Converge
o) Converge
p) Converge se p > 1
q) Diverge
r) Diverge
s) Converge
t) Converge
u) Converge
v) Converge
w) Converge
x) Converge
y) Converge
z) Converge
aa) Converge
ab) Diverge
ac) Converge
ad) Converge
ae) Converge
af) Diverge
ag) Diverge
ah) Diverge
4
ai) Diverge
aj) Converge
ak) Diverge
9. a) Absolutamente Convergente.
b) Absolutamente Convergente.
c) Condicionamente Convergente.
d) Absolutamente Convergente.
e) Divergente
f) Absolutamente Convergente.
g) Absolutamente Convergente.
h) Absolutamente Convergente.
i) Absolutamente Convergente.
j) Absolutamente Convergente.
k) Absolutamente Convergente.
l) Condicionamente Convergente.
m) Divergente
n) Condicionamente Convergente.
o) Absolutamente Convergente.
10. a) Converge
b) Diverge
c) Converge
d) Diverge
e) Converge
f) Converge
g) Converge
h) Converge
i) Converge
j) Converge
k) Diverge
l) Diverge
m) Converge
n) Converge
o) Converge
p) Diverge
q) Converge
r) Diverge
s) Converge
11. a) I = (−3,−2) e r = 1/2
b) I = [−3,−1] e r = 1
c) I = [0, 2e) e r = e
d) I = (−2, 4) e r = 3
e) I = [−7/2,−3/2) e r = 1
f) I = (1, 3] e r = 1
g) I = {10} e r = 0
h) I = (−1, 1) e r = 1
i) I = [−1, 1] e r = 1
j) I = [−1, 1) e r = 1
k) I = (−1/2, 1/2) e r = 1/2
l) I = (−∞, 0) e r =∞
m) I = (0, 1) e r = 1/2
n) I = (−1, 1) e r = 1
o) I = (−3,+1) e r = 2
p) I = (−1, 1) e r = 1
q) I = (−1, 1) e r = 1
r) I = R e r =∞
s) I = R e r =∞
t) I = R e r =∞
u) I == [−1, 1] e r = 1
v) I = R e r =∞
w) I = R e r =∞
x) I = [−5,−1) e r = 2
y) I = {1/2} e r = 0
z) I = R e r =∞
12. a)
∞∑
n=0
(−1)nxn, |x| < 1
b)
∞∑
n=0
1
3n+1
xn, |x| < 3
c)
∞∑
n=0
(−1)n 1
9n+1
x2n+1, |x| < 3
d) 1 + 2
∞∑
n=1
xn, |x| < 1
e)
∞∑
n=0
xn+1
n+ 1
, −1 ≤ x1
f)
∞∑
n=1
(−1)n−1x
n
n
, −1 < x ≤ 1
g)
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
n
n3n
+ ln3, [−3, 3]
h)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
, −1 ≤ x ≤ 1
i)
∞∑
n=0
(−1)ne2n+1 x
2n+1
2n+ 1
,
[−1/e, 1/e]
13. a) r = 1; I = [−1, 1]
b) r = 1; I = [−1, 1)
c) r = +∞, I = R
d) r = 1/3, I = (0, 2/3)
e) r = 3, I = [−2, 4)
f) r = 1, I = [0, 2)
14. a)
+∞∑
n=0
xn+1
(n+ 1)!
; r =∞
b)
c)
∞∑
n=0
xn+1 − 2n+1
4n+1(n+ 1)
; r = 4
d)
15. a)
∞∑
n=0
xn
n!
, I = R
b)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
, I = R
c)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
, I = R
d)
∞∑
n=0
x2n
(2n)!
, I = R
e)
∞∑
n=0
x2n+1
(2n+ 1)!
, I = R
f)
∞∑
n=1
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
, |x| ≤ 1.
g)
∞∑
n=0
(−1)nx
n
n!
, I = R
h)
∞∑
n=1
(−1)n x
2n
(2n+ 1)!
16. a) −1−2(x−1)+3(x−1)2 +4(x−
1)3 + (x− 1)4, r =∞
b) ln 2 +
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n2n
(x − 2)n,
r = 2
c)
∞∑
n=0
2ne6
n!
(x− 3)n, r =∞
d)
∞∑
n=0
(−1)n+1 1
(2n)!
(x − pi)2n, r =
∞
5