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Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias F´ısica Cla´ssica Rafael, Mendeli Fabio, Suzana Bras´ılia, 2o semestre de 2009 Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Operac¸o˜es com algarismos significativos I O nu´mero de algarismos significativos no resultado de uma multiplicac¸a˜o ou divisa˜o, de va´rios nu´meros na˜o pode ser maior que o menor nu´mero de algarismos significativos qualquer dos fatores, ou divisores I O resultado da adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o de dois nu´meros na˜o tem algarismos significativos ale´m da u´ltima casa decimal na qual os dois nu´meros originais tem algarismos significativos I Exemplos: I 1,23 x 4,321 = 5,31 I 1,040 + 0,2134 = 1,253 Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Exemplos I Calcular as seguintes expresso˜es, dando os resultados em notac¸a˜o cient´ıfica e arredondando-os com o nu´mero correto de algarismos siginificativos: I a) (1, 14)(9, 99x104) I b) (2, 78x10−8)− (5, 31x10−9) I c) 12pi/(4, 56x10−3) I d) 27, 6 + (5, 99x102) Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Grandezas vetoriais e escalares I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc... I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo ele´trico, etc... I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido. Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Grandezas vetoriais e escalares I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc... I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo ele´trico, etc... I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido. Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Grandezas vetoriais e escalares I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc... I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo ele´trico, etc... I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido. Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Exemplo I Exemplo: O movimento de um objeto sobre uma mesa, conforme a figura. I O deslocamento de um objeto do ponto O ao ponto P. I O deslocamento da mesa, que causa o deslocamento do objeto (que agora esta´ parado sobre a mesa) de P para S. I Se o deslocamento fosse simultaˆneo, o objeto passaria diretamente de O para S. Assim, o vetor que liga os pontos O e S e´ o resultado da soma dos vetores de O a P e de P a S. O P S −→ OS = −→ OP + −→ PS Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Soma vetorial - regra do paralelogramo Observe a figura abaixo. Nesta figura, colocamos os vetores da figura anterior na mesma origem, e constru´ımos um paralelogramo para obter o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido do vetor −→ OS . O mo´dulo do vetor −→ OS e´ dado por ∣∣∣−→OS∣∣∣ = √∣∣∣−→OP∣∣∣2 + ∣∣∣−→PS∣∣∣2 + 2 ∣∣∣−→OP∣∣∣ ∣∣∣−→PS∣∣∣ cosφ OP OS PS Ø Propriedades: I −→a +−→b = −→b +−→a I −→d + (−→e +−→f ) = (−→d +−→e )+−→f I Subtrac¸a˜o: −→a −−→b = −→a + ( −−→b ) Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Decomposic¸a˜o de vetores Ao analisar quantidades vetoriais, por vezes e´ importante saber como e´ o comportamento destas quantidades em diferentes direc¸o˜es. Para isto, podemos decompor o vetor. A ide´ia e´ usar a regra do paralelogramo de forma invertida, conforme a figura abaixo. a Ø a x a y x y I ax = a cosφ I ay = a sinφ I ∣∣−→a ∣∣ = √a2x + a2y I −→r = −→a +−→b I rx = ax + bx I ry = ay + by I tg (φ) = ryrx Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Decomposic¸a˜o de vetores Ao analisar quantidades vetoriais, por vezes e´ importante saber como e´ o comportamento destas quantidades em diferentes direc¸o˜es. Para isto, podemos decompor o vetor. A ide´ia e´ usar a regra do paralelogramo de forma invertida, conforme a figura abaixo. a Ø a x a y x y I ax = a cosφ I ay = a sinφ I ∣∣−→a ∣∣ = √a2x + a2y I −→r = −→a +−→b I rx = ax + bx I ry = ay + by I tg (φ) = ryrx Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Vetores unita´rios Uma forma mais simples de es- crever um vetor e´ utilizando a decomposic¸a˜o de vetores e a noc¸a˜o de vetores unita´rios. Um vetor unita´rio e´ um vetor que tem mo´dulo 1 e o mesmo sen- tido e direc¸a˜o dos eixos. O vetor iˆ tem o sentido do eixo x , jˆ do eixo y e kˆ do eixo z . Assim, o vetor −→a do exemplo anterior pode ser escrito como−→a = ax iˆ + ay jˆ Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Multiplicac¸a˜o de vetores Existem duas formas principais de multiplicac¸a˜o de vetores: o produto escalar e o produto vetorial. No produto escalar, o resultado e´ um escalar, ja´ no produto vetorial o resultado e´ um vetor tambe´m. I O produto escalar e´ definido da seguinte forma: −→a · −→b = |−→a ||−→b | cosφ, onde φ e´ o aˆngulo entre os vetores −→a e −→ b . I Note que podemos definir a norma de um vetor atrave´s do produto escalar −→a · −→a = |−→a |2 =⇒ |−→a | = √−→a · −→a . I Como os vetores unita´rios tem tamanho 1, o seu produto escalar com um vetor e´ igual a componente deste vetor na direc¸a˜o do vetor unita´rio −→a · iˆ = |−→a | cosφ = ax I Observe que podemos usar a propriedade acima para escrever o produto escalar em termos das componentes dos vetores −→a · −→b = axbx + ayby Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Produto vetorial O produto vetorial de dois vetores −→a e −→b tem como resultado um vetor −→c cuja direc¸a˜o e´ perpendicular ao plano definido pelos dois vetores −→a e −→b , com o sentido dado pela regra da ma˜o direitae o mo´dulo dado por |−→a ×−→b | = |−→a ||−→b | sinφ. I Propriedades: I −→a ×−→b = −−→b ×−→a (o sentido de −→c e´ invertido por causa da regra da ma˜o direita!). I −→c = −→a ×−→b = ∣∣∣∣∣∣ iˆ jˆ kˆ ax ay az bx by bz ∣∣∣∣∣∣ = (aybz − azby ) iˆ + (azbx − axbz) jˆ + (axby − aybx) kˆ Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Exemplo Os vetores a e b esta˜o orientados conforme indica a figura. A resultante da soma destes vetores vale R. Temos a = b = 5 unidades. Determinar: (a) as componentes de R segundo Ox e Oy, (b) o mo´dulo de R, (c) o aˆngulo que R forma com o eixo Ox. Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operac¸o˜es com vetores Refereˆncias Refereˆncias e segunda lista de exerc´ıcios I Livro texto, pg. 40 a 49. I Exerc´ıcios Halliday e Resnick, todos os do cap´ıtulo 2. Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica Algarismos Significativos Vetores Operações com vetores Referências
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