Dinâmica dos Fluidos: Conceitos e Equações

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Capítulo 16 – Dinâmica dos fluidos 
16.1 – Conceitos gerais do escoamento dos fluidos 
Hidrodinâmica: fluidos em movimento. Como descrever? 
Abordagem de Lagrange: seguir 
o movimento de cada 
partícula do fluido. 
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 
Abordagem de Euler: descrever os campos de velocidades e 
densidades em cada ponto do espaço e no tempo. 
Leonhard Euler (1707-1783) 
),,,(),,,,( tzyxvtzyx ρ
Adotaremos a abordagem de Euler 
Fluidos ideais: modelo aproximado para os fluidos reais. 
Mais simples, porém com resultados ainda úteis. 
Características dos fluidos ideais 
1. Escoamento estacionário (ou uniforme): velocidade do fluido 
em um dado ponto do espaço não muda com o tempo 
),,(),,,( zyxvtzyxv  =
Campo de velocidades 
Isto não quer dizer que a 
velocidade de uma partícula 
seja constante! 
2. Fluido incompressível: densidade ρ constante 
3. Escoamento não-viscoso: sem atrito, sem dissipação, sem 
molhar (“água seca”) 
4. Escoamento irrotacional: cada “elemento de fluido” tem 
momento angular zero – uma partícula viajaria no fluido sem girar 
16.2 – Linhas de corrrente e equação da 
continuidade 
Campo de velocidades 
Linhas de corrente: linhas tangentes à velocidade do fluido em 
cada ponto 
- No escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem com 
as trajetórias das partículas 
- Linhas de corrente nunca se cruzam: isto levaria a uma indefinição 
da velocidade da partícula no ponto de cruzamento 
Tubo de corrente: 
superfície formada por 
todas as linhas de 
corrente que passam por 
uma curva fechada C 
Visualização das linhas de corrente em um túnel de vento 
Equação da continuidade 
Porção do tubo de corrente 
1m∆
Massa que vai entrar 
no tubo no intervalo 
de tempo t 
2m∆
Massa que vai sair 
do tubo no intervalo 
de tempo t 
111 Vm ∆=∆ ρ tvA 111ρ= tvAm 2222 ρ=∆
Escoamento estacionário: 21 mm ∆=∆
tvAtvA 222111 ρρ = 222111 vAvA ρρ =⇒ constante=⇒ Avρ
Se o fluido for incompressível: 221121 vAvA =⇒= ρρ
Equação da continuidade 
constante== AvR (vazão) Unidades SI: m3/s 
A equação da continuidade é uma conseqüência 
imediata da conservação da massa 
(futuramente, veremos na Física outras equações de continuidade 
que surgem devido à conservação de outras grandezas: carga, 
energia, etc) 
Aplicações em engenharia de tráfego 
Fluxo em uma bifurcação 
com o trânsito engarrafado 
v1 
v2 
v2 
v2<v1 !!! 
16.3 – Equação de Bernoulli 
Daniel Bernoulli 
(1700-1782) 
Vamos aplicar a conservação da energia ao escoamento do fluido: 
Δm 
(tempo t) (tempo t+Δt) 
Teorema trabalho-energia cinética: KW ∆=
2
1
2
2 2
1
2
1 vmvmK ∆−∆=∆Variação de energia cinética: 
( )21222
1 vvVK −∆=∆ ρ
Δm 
pg WWW +=
Trabalho: 
( )12 yyVmghWg −∆−=∆−= ρ
Δm 
Trabalho devido ao peso 
Trabalho devido à pressão 
Trabalho devido ao peso: 
2211 xFxFWp ∆−∆=
Trabalho devido à pressão: 
( ) VppWp ∆−= 21
Δm 
222111 xApxAp ∆−∆=
KWW gp ∆=+Teorema trabalho-energia: 
( ) ( ) ( )21221221 2
1 vvVyyVgVpp −∆=−∆−∆− ρρ
Δm 
Equação de Bernoulli 
constante 
2
1ou 2 =++ gyvp ρρ
2
2
221
2
11 2
1
2
1 gyvpgyvp ρρρρ ++=++
Casos especiais: 
1. Fluido em repouso )0( 21 == vv
Equação de Bernoulli 2
2
221
2
11 2
1
2
1 gyvpgyvp ρρρρ ++=++
2211 gypgyp ρρ +=+ ( )2121 yygpp −−=−⇒ ρ
(equação da hidrostática) 
y
1y
2y
1p
2p
2. Altura constante )0( 21 == yy
2
22
2
11 2
1
2
1 vpvp ρρ +=+
1 
2 
3 
Pela equação de continuidade: 12 vv >
Como regra geral para campos vetoriais, a magnitude do 
campo é maior onde as linhas de campo são mais densas 
Onde a pressão é maior? 
Pressão é maior onde a velocidade é menor e vice-versa! 
21 pp >
Kits LADIF: Folhas e funil com bola de isopor 
Janelas quebradas pelo vento… 
dentro fora 
vento janela 
foradentro pp >
F

Furo no tanque d’água 
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