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Álgebra Linear - Área 1

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Álgebra Linear - Área 1 
 
São notações equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 
 
Dizemos que A é a matriz dos coeficientes e [A b] é a 
matriz completa dos sistema. 
 
Sistemas possíveis e impossíveis 
 
Sistema possível e determinado 
Possui apenas uma solução. 
A matriz dos coeficientes possui pivô em cada coluna. 
 
Sistema possível e indeterminado 
Possui infinitas soluções. 
A matriz dos coeficientes não possui pivô em cada 
coluna. 
 
Sistema impossível 
Não possui solução. 
A matriz completa possui alguma linha [0 .. 0 b], com 
b 0. 
 
Combinações lineares 
 
 é combinação linear de , ..., se existirem 
, ..., tais que 
 + ...+ = . 
 
Sistemas homogêneos 
 
Um sistema do tipo A = sempre é possível. 
 
Independência linear 
 
Um conjunto { , ..., } é chamado linearmente 
independente (LI) se 
 + ...+ = 
 
implica = ... = = 0. Caso contrário, o conjunto é 
linearmente dependente (LD). 
 
Assim, um conjunto { , ..., } é LI se a matriz 
[ ... ] possui um pivô em cada coluna. 
 
Transformações lineares 
 
Uma transformação linear é uma função T tal que 
 T( + ) = T( ) + T( ) 
 
Base canônica 
No , = , = . 
 
No , = , = , = . 
 
Se T: é uma transformação linear, então 
existe uma matriz A, chamada, matriz canônica da 
transformação linear, dada por 
 A = [T( ) ... T( )] 
 
tal que T( ) = A . 
 
Uma transformação linear T: é injetora se 
 implicam T( ) T( ). 
Na prática, a matriz canônica possui pivô em cada 
coluna. 
 
Uma transformação linear T: é sobrejetora 
se para cada existe tal que T( ) = . 
Na prática, matriz canônica possui pivô em cada linha. 
 
 
 
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Matriz inversa 
 
Duas matrizes são inversas se A. = , lembrando 
que 
 = é a identidade de ordem 2 
 
 = é a identidade de ordem 3 
 
Para determinar a inversa de A, consideramos a 
matriz [A ] e a escalonamos até obter [ ]. 
 
No caso A = vale . 
 
Bases 
 
Uma base do é um conjunto LI de dois vetores do 
com duas componentes 
 
 , 
 
Uma base do é um conjunto LI de três vetores com 
três componentes 
 , , 
 
Span e Col(A) 
 
Span{ , ..., } é o conjunto de todas as combinações 
lineares desses vetores, ou seja, 
 
 Span { , ..., } = { + ...+ ; } 
 
Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz 
A = [ ... ], chamamos esse conjunto de espaço 
das colunas da matriz, Col(A). 
 
A base de Col(A) é formada pelos vetores de A que 
possuem pivô na forma escalonada. 
 
Nul(A) 
 
O espaço nulo ou núcleo de uma matriz é o conjunto 
 { ; A = } 
 
Para encontrar a base de Nul(A) resolvemos o sistema 
A = . 
 
 
 
 
Teorema do posto 
 
dim Col A = número de pivôs de A = posto de A 
dim Nul A = número de variáveis livres de A = 
 
(Posto de A) + (dim Nul A) = número de colunas

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