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1 / 2 www.gustavoviegas.com PROF. GUSTAVO VIEGAS MATEMÁTICA RESUMO TEÓRICO Álgebra Linear - Área 1 São notações equivalentes A = Dizemos que A é a matriz dos coeficientes e [A b] é a matriz completa dos sistema. Sistemas possíveis e impossíveis Sistema possível e determinado Possui apenas uma solução. A matriz dos coeficientes possui pivô em cada coluna. Sistema possível e indeterminado Possui infinitas soluções. A matriz dos coeficientes não possui pivô em cada coluna. Sistema impossível Não possui solução. A matriz completa possui alguma linha [0 .. 0 b], com b 0. Combinações lineares é combinação linear de , ..., se existirem , ..., tais que + ...+ = . Sistemas homogêneos Um sistema do tipo A = sempre é possível. Independência linear Um conjunto { , ..., } é chamado linearmente independente (LI) se + ...+ = implica = ... = = 0. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente (LD). Assim, um conjunto { , ..., } é LI se a matriz [ ... ] possui um pivô em cada coluna. Transformações lineares Uma transformação linear é uma função T tal que T( + ) = T( ) + T( ) Base canônica No , = , = . No , = , = , = . Se T: é uma transformação linear, então existe uma matriz A, chamada, matriz canônica da transformação linear, dada por A = [T( ) ... T( )] tal que T( ) = A . Uma transformação linear T: é injetora se implicam T( ) T( ). Na prática, a matriz canônica possui pivô em cada coluna. Uma transformação linear T: é sobrejetora se para cada existe tal que T( ) = . Na prática, matriz canônica possui pivô em cada linha. 2 / 2 www.gustavoviegas.com Matriz inversa Duas matrizes são inversas se A. = , lembrando que = é a identidade de ordem 2 = é a identidade de ordem 3 Para determinar a inversa de A, consideramos a matriz [A ] e a escalonamos até obter [ ]. No caso A = vale . Bases Uma base do é um conjunto LI de dois vetores do com duas componentes , Uma base do é um conjunto LI de três vetores com três componentes , , Span e Col(A) Span{ , ..., } é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores, ou seja, Span { , ..., } = { + ...+ ; } Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz A = [ ... ], chamamos esse conjunto de espaço das colunas da matriz, Col(A). A base de Col(A) é formada pelos vetores de A que possuem pivô na forma escalonada. Nul(A) O espaço nulo ou núcleo de uma matriz é o conjunto { ; A = } Para encontrar a base de Nul(A) resolvemos o sistema A = . Teorema do posto dim Col A = número de pivôs de A = posto de A dim Nul A = número de variáveis livres de A = (Posto de A) + (dim Nul A) = número de colunas
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