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Provas 1 e 2 Prof. Paolo Giulietti

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Algebra Linear
Nome: Sobrenome:
Cartao: Folhas Adicionais :
Seja sucinto pore´m completo. Justifique todo procedimento usado.
Lembre que voceˆ e´ avaliado pelo que tiver escrito, na˜o pelo que tiver
pensado.
Avaliac¸ao
Exerc´ıcio 1 20
Exerc´ıcio 2 20
Exerc´ıcio 3 20
Exerc´ıcio 4 20
Exerc´ıcio 5 20
Total Bruto
Qualidade da resposta ±10
- Presentac¸a˜o do resultado
- Coereˆncia do raciocino
- Falta / Excesso de detalhes
Modificador
Nota
Vita brevis,
ars longa,
occasio praeceps,
experimentum periculosum,
iudicium difficile.
1
♦
Exerc´ıcio 1. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o linear-
mente independente.
ˆ {(1, 3), (2, 1), (1, 0)} em R2.
ˆ {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3.
ˆ {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 3)} em R4.
Exerc´ıcio 2. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 1, 1) e
A =
1 1 03 2 1
3 1 1

Exerc´ıcio 3.
Mostre que a aplicac¸a˜o
T (x, y, z) = (x + y + z, y, 2x + 3z)
e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1.
Exerc´ıcio 4.
Dada as matrizes A,B,C
A =
(
3 1
3 2
)
, B =
(
3 1
2 3
)
, C =
(
2 0
0 2
)
Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB) e o det(ABCCCC) se na˜o for
poss´ıvel explique.
Exerc´ıcio 5. Considere, para cada k ∈ R, a matriz.
Tk =
1 2 11 3 2
k 0 0

determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de-
termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk).
Exerc´ıcio 6. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o linear-
mente independente.
ˆ {(2, 1), (1,−2), (1, 0)} em R2.
ˆ {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3.
ˆ {(3, 2, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 3, 0), (1, 0, 3, 0, 1)} em R5.
Exerc´ıcio 7. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (0, 0, 1) e
A =
1 1 03 2 1
3 1 1

Exerc´ıcio 8.
2
♦
Mostre que a aplicac¸a˜o
T (x, y, z) = (10x + y + z, x + y, x + z)
e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1.
Exerc´ıcio 9.
Dada as matrizes A e B
A =
(
1 1 0
3 2 1
)
, B =
3 13 2
3 1

Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique.
Exerc´ıcio 10. Considere, para cada k ∈ R, a matriz.
Tk =
3 2 11 2 1
0 k 0

determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de-
termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk).
Exerc´ıcio 11. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line-
armente independente.
ˆ {(1, 1), (1,−1), (1, 0)} em R2.
ˆ {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3.
ˆ {(2, 0, 2, 0, 0), (0, 2, 0, 2, 0), (2, 2, 0, 0, 1)} em R5.
Exerc´ıcio 12. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 1, 0) e
A =
3 1 03 2 1
3 1 1

Exerc´ıcio 13.
Mostre que a aplicac¸a˜o
T (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y, x + 3z)
e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1.
Exerc´ıcio 14.
Dada as matrizes A e B
A =
3 13 2
3 1
 , B = (3 1 2
3 2 1
)
Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique.
3
♦
Exerc´ıcio 15. Considere, para cada k ∈ R, a matriz.
Tk =
3 2 1k 2 1
0 2 0

determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de-
termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk).
Exerc´ıcio 16. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line-
armente independente.
ˆ {(1, 1), (−1, 1), (1, 0)} em R2.
ˆ {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3.
ˆ {(3, 3, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 3, 0), (3, 0, 3, 0, 1)} em R5.
Exerc´ıcio 17. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 0, 1) e
A =
3 1 03 2 1
3 1 1

Exerc´ıcio 18.
Mostre que a aplicac¸a˜o
T (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, x + z)
e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1.
Exerc´ıcio 19.
Dada as matrizes A e B
A =
(
3 1 0
3 2 1
)
, B =
3 13 2
3 1

Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique.
Exerc´ıcio 20. Considere, para cada k ∈ R, a matriz.
Tk =
3 2 11 2 k
0 2 0

determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de-
termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk).
Exerc´ıcio 21. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line-
armente independente.
ˆ {(1, 1), (−1, 1), (1, 0)} em R2.
ˆ {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3.
ˆ {(3, 3, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 3, 0), (3, 0, 3, 0, 1)} em R5.
4
♦
Exerc´ıcio 22. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 0, 1) e
A =
3 1 03 2 1
3 1 1

Exerc´ıcio 23.
Mostre que a aplicac¸a˜o
T (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, x + z)
e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1.
Exerc´ıcio 24.
Dada as matrizes A e B
A =
(
3 1 0
3 2 1
)
, B =
3 13 2
3 1

Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique.
Exerc´ıcio 25. Considere, para cada k ∈ R, a matriz.
Tk =
3 2 11 2 k
0 2 0

determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de-
termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk).
Exerc´ıcio 26. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1) e C = (1, 0).
ˆ Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B.
ˆ Achar uma reta R2 que passa pelos pontos B e C.
ˆ Achar um ponto D tal que d(A,B) = d(B,C) = d(A,D) = d(D,C) onde
d(·, ·) e´ a distancia.
Exerc´ıcio 27. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 2x− y + 2 = 0.
ˆ Considere a famı´lia de retas Rk onde 2x− y+k = 0 e k ∈ R. Mostrar que
todas as retas Rk sao paralelas a R2.
ˆ Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual
a 2.
Exerc´ıcio 28. Em R3 considere o conjunto P de pontos
P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0 e x + y + z = 0}
ˆ Achar uma base do subespac¸o P .
ˆ Achar uma base do subespac¸o Q ortogonal a P .
ˆ Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ uma base do subespac¸o Q. Calcule v.
Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o P?
5
♦
Exerc´ıcio 29. Dadas as retas
R1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1
4
=
y − 2
1
=
z − 3
2
}
R2 =
(x, y, z) ∈ R3 tais que
xy
z
 =
11
1
+ t
11
1
 , t ∈ R

ˆ Achar a distancia entre elas.
ˆ Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P .
Exerc´ıcio 30. Em R3 considere os pontos A = (1, 2, 1), B = (2, 4, 2), C =
(1, 1, 1).
ˆ Achar um plano P1 que contem A,B,C.
ˆ Achar um plano P2 ortogonal a P1.
ˆ Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1).
Exerc´ıcio 31. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1).
ˆ Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B.
ˆ Considere os pontos C = (−1, 4) e D = (3, 3). Achar a distancia entre R1
e C. Achar a distancia entre R1 e D.
ˆ Achar um ponto F tal que d(A,B) = d(A,F ) = d(B,F ) onde d(·, ·) e´ a
distancia.
Exerc´ıcio 32. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 3x + 2y + 2 = 0.
ˆ Considere a famı´lia de retas Rk onde 3x + 2y + k = 0 e k ∈ R. Mostrar
que todas as retas Rk sao paralelas a R2.
ˆ Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual
a 4.
Exerc´ıcio 33. Em R3 considere o conjunto P de pontos
P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0}
ˆ Achar uma base do subespac¸o P .
ˆ Achar uma base do subespac¸o ortogonal a P .
ˆ Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ a base do subespac¸o P que voceˆ achou.
Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o ortogonal a P?
Exerc´ıcio 34. Dadas as retas
R1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1
2
=
y − 2
1
=
z − 3
2
}
R2 =
(x, y, z) ∈ R3 tais que
xy
z
 =
11
1
+ t
11
1
 , t ∈ R

6
♦
ˆ Achar a distancia entre elas.
ˆ Mostre que na˜o existe umplano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P .
Exerc´ıcio 35. Em R3 considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 1, 2), C =
(3, 4, 5).
ˆ Achar um plano P1 que contem A,B,C.
ˆ Achar um plano P2 ortogonal a P1.
ˆ Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1).
Exerc´ıcio 36. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1) e C = (3, 2).
ˆ Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B.
ˆ Achar uma reta R2 que passa pelos pontos B e C.
ˆ Achar um ponto D tal que d(A,B) = d(B,C) = d(A,D) = d(D,C) onde
d(·, ·) e´ a distancia.
Exerc´ıcio 37. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o x + 2y + 2 = 0.
ˆ Considere a famı´lia de retas Rk onde x+ 2y+k = 0 e k ∈ R. Mostrar que
todas as retas Rk sao paralelas a R2.
ˆ Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual
a 1.
Exerc´ıcio 38. Em R3 considere o conjunto P de pontos
P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0 e x + y + z = 0}
ˆ Achar uma base do subespac¸o P .
ˆ Achar uma base do subespac¸o Q ortogonal a P .
ˆ Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ uma base do subespac¸o Q. Calcule v.
Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o P?
Exerc´ıcio 39. Dadas as retas
R1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1
2
=
y − 2
1
=
z − 3
2
}
R2 =
(x, y, z) ∈ R3 tais que
xy
z
 =
11
1
+ t
12
1
 , t ∈ R

ˆ Achar a distancia entre elas.
ˆ Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P .
Exerc´ıcio 40. Em R3 considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (3, 1, 2), C =
(2, 2, 2).
ˆ Achar um plano P1 que contem A,B,C.
7
♦
ˆ Achar um plano P2 ortogonal a P1.
ˆ Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1).
Exerc´ıcio 41. Em R2, considere os pontos A = (2, 3) e B = (3, 2).
ˆ Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B.
ˆ Considere os pontos C = (−2, 7) e D = (3, 3). Achar a distancia entre R1
e C. Achar a distancia entre R1 e D.
ˆ Achar um ponto F tal que d(A,B) = d(A,F ) = d(B,F ) onde d(·, ·) e´ a
distancia.
Exerc´ıcio 42. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 2x− 3y + 2 = 0.
ˆ Considere a famı´lia de retas Rk onde 2x − 3y + k = 0 e k ∈ R. Mostrar
que todas as retas Rk sao paralelas a R2.
ˆ Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual
a 2.
Exerc´ıcio 43. Em R3 considere o conjunto P de pontos
P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que 2x + y + 2z = 0}
ˆ Achar uma base do subespac¸o P .
ˆ Achar uma base do subespac¸o ortogonal a P .
ˆ Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ a base do subespac¸o P que voceˆ achou.
Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o ortogonal a P?
Exerc´ıcio 44. Dadas as retas
R1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 tais que x− 3
1
=
y − 1
1
=
z − 3
2
}
R2 =
(x, y, z) ∈ R3 tais que
xy
z
 =
11
1
+ t
11
1
 , t ∈ R

ˆ Achar a distancia entre elas.
ˆ Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P .
Exerc´ıcio 45. Em R3 considere os pontos A = (3, 2, 1), B = (1, 1, 1), C =
(1, 2, 3).
ˆ Achar um plano P1 que contem A,B,C.
ˆ Achar um plano P2 ortogonal a P1.
ˆ Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1).
8

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