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Algebra Linear Nome: Sobrenome: Cartao: Folhas Adicionais : Seja sucinto pore´m completo. Justifique todo procedimento usado. Lembre que voceˆ e´ avaliado pelo que tiver escrito, na˜o pelo que tiver pensado. Avaliac¸ao Exerc´ıcio 1 20 Exerc´ıcio 2 20 Exerc´ıcio 3 20 Exerc´ıcio 4 20 Exerc´ıcio 5 20 Total Bruto Qualidade da resposta ±10 - Presentac¸a˜o do resultado - Coereˆncia do raciocino - Falta / Excesso de detalhes Modificador Nota Vita brevis, ars longa, occasio praeceps, experimentum periculosum, iudicium difficile. 1 ♦ Exerc´ıcio 1. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o linear- mente independente. {(1, 3), (2, 1), (1, 0)} em R2. {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3. {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 3)} em R4. Exerc´ıcio 2. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 1, 1) e A = 1 1 03 2 1 3 1 1 Exerc´ıcio 3. Mostre que a aplicac¸a˜o T (x, y, z) = (x + y + z, y, 2x + 3z) e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1. Exerc´ıcio 4. Dada as matrizes A,B,C A = ( 3 1 3 2 ) , B = ( 3 1 2 3 ) , C = ( 2 0 0 2 ) Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB) e o det(ABCCCC) se na˜o for poss´ıvel explique. Exerc´ıcio 5. Considere, para cada k ∈ R, a matriz. Tk = 1 2 11 3 2 k 0 0 determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de- termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk). Exerc´ıcio 6. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o linear- mente independente. {(2, 1), (1,−2), (1, 0)} em R2. {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3. {(3, 2, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 3, 0), (1, 0, 3, 0, 1)} em R5. Exerc´ıcio 7. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (0, 0, 1) e A = 1 1 03 2 1 3 1 1 Exerc´ıcio 8. 2 ♦ Mostre que a aplicac¸a˜o T (x, y, z) = (10x + y + z, x + y, x + z) e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1. Exerc´ıcio 9. Dada as matrizes A e B A = ( 1 1 0 3 2 1 ) , B = 3 13 2 3 1 Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique. Exerc´ıcio 10. Considere, para cada k ∈ R, a matriz. Tk = 3 2 11 2 1 0 k 0 determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de- termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk). Exerc´ıcio 11. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line- armente independente. {(1, 1), (1,−1), (1, 0)} em R2. {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3. {(2, 0, 2, 0, 0), (0, 2, 0, 2, 0), (2, 2, 0, 0, 1)} em R5. Exerc´ıcio 12. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 1, 0) e A = 3 1 03 2 1 3 1 1 Exerc´ıcio 13. Mostre que a aplicac¸a˜o T (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y, x + 3z) e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1. Exerc´ıcio 14. Dada as matrizes A e B A = 3 13 2 3 1 , B = (3 1 2 3 2 1 ) Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique. 3 ♦ Exerc´ıcio 15. Considere, para cada k ∈ R, a matriz. Tk = 3 2 1k 2 1 0 2 0 determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de- termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk). Exerc´ıcio 16. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line- armente independente. {(1, 1), (−1, 1), (1, 0)} em R2. {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3. {(3, 3, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 3, 0), (3, 0, 3, 0, 1)} em R5. Exerc´ıcio 17. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 0, 1) e A = 3 1 03 2 1 3 1 1 Exerc´ıcio 18. Mostre que a aplicac¸a˜o T (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, x + z) e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1. Exerc´ıcio 19. Dada as matrizes A e B A = ( 3 1 0 3 2 1 ) , B = 3 13 2 3 1 Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique. Exerc´ıcio 20. Considere, para cada k ∈ R, a matriz. Tk = 3 2 11 2 k 0 2 0 determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de- termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk). Exerc´ıcio 21. Dados os conjuntos abaixo determine se eles sa˜o o na˜o sa˜o line- armente independente. {(1, 1), (−1, 1), (1, 0)} em R2. {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} em R3. {(3, 3, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 3, 0), (3, 0, 3, 0, 1)} em R5. 4 ♦ Exerc´ıcio 22. Achar x que resolve a equac¸a˜o Ax = y onde y = (1, 0, 1) e A = 3 1 03 2 1 3 1 1 Exerc´ıcio 23. Mostre que a aplicac¸a˜o T (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, x + z) e´ linear e injetora. Na base padra˜o, achar a matriz que representa T−1. Exerc´ıcio 24. Dada as matrizes A e B A = ( 3 1 0 3 2 1 ) , B = 3 13 2 3 1 Se for poss´ıvel calcule o det(A), det(B), det(AB); se na˜o for poss´ıvel explique. Exerc´ıcio 25. Considere, para cada k ∈ R, a matriz. Tk = 3 2 11 2 k 0 2 0 determine o espac¸o Nul(Tk), determine uma base do espac¸o Imagem(Tk) e de- termine as dimenso˜es de Nul(Tk) e Imagem(Tk). Exerc´ıcio 26. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1) e C = (1, 0). Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B. Achar uma reta R2 que passa pelos pontos B e C. Achar um ponto D tal que d(A,B) = d(B,C) = d(A,D) = d(D,C) onde d(·, ·) e´ a distancia. Exerc´ıcio 27. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 2x− y + 2 = 0. Considere a famı´lia de retas Rk onde 2x− y+k = 0 e k ∈ R. Mostrar que todas as retas Rk sao paralelas a R2. Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual a 2. Exerc´ıcio 28. Em R3 considere o conjunto P de pontos P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0 e x + y + z = 0} Achar uma base do subespac¸o P . Achar uma base do subespac¸o Q ortogonal a P . Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ uma base do subespac¸o Q. Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o P? 5 ♦ Exerc´ıcio 29. Dadas as retas R1 = { (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1 4 = y − 2 1 = z − 3 2 } R2 = (x, y, z) ∈ R3 tais que xy z = 11 1 + t 11 1 , t ∈ R Achar a distancia entre elas. Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P . Exerc´ıcio 30. Em R3 considere os pontos A = (1, 2, 1), B = (2, 4, 2), C = (1, 1, 1). Achar um plano P1 que contem A,B,C. Achar um plano P2 ortogonal a P1. Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1). Exerc´ıcio 31. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1). Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B. Considere os pontos C = (−1, 4) e D = (3, 3). Achar a distancia entre R1 e C. Achar a distancia entre R1 e D. Achar um ponto F tal que d(A,B) = d(A,F ) = d(B,F ) onde d(·, ·) e´ a distancia. Exerc´ıcio 32. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 3x + 2y + 2 = 0. Considere a famı´lia de retas Rk onde 3x + 2y + k = 0 e k ∈ R. Mostrar que todas as retas Rk sao paralelas a R2. Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual a 4. Exerc´ıcio 33. Em R3 considere o conjunto P de pontos P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0} Achar uma base do subespac¸o P . Achar uma base do subespac¸o ortogonal a P . Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ a base do subespac¸o P que voceˆ achou. Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o ortogonal a P? Exerc´ıcio 34. Dadas as retas R1 = { (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1 2 = y − 2 1 = z − 3 2 } R2 = (x, y, z) ∈ R3 tais que xy z = 11 1 + t 11 1 , t ∈ R 6 ♦ Achar a distancia entre elas. Mostre que na˜o existe umplano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P . Exerc´ıcio 35. Em R3 considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 1, 2), C = (3, 4, 5). Achar um plano P1 que contem A,B,C. Achar um plano P2 ortogonal a P1. Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1). Exerc´ıcio 36. Em R2, considere os pontos A = (1, 2) e B = (2, 1) e C = (3, 2). Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B. Achar uma reta R2 que passa pelos pontos B e C. Achar um ponto D tal que d(A,B) = d(B,C) = d(A,D) = d(D,C) onde d(·, ·) e´ a distancia. Exerc´ıcio 37. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o x + 2y + 2 = 0. Considere a famı´lia de retas Rk onde x+ 2y+k = 0 e k ∈ R. Mostrar que todas as retas Rk sao paralelas a R2. Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual a 1. Exerc´ıcio 38. Em R3 considere o conjunto P de pontos P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0 e x + y + z = 0} Achar uma base do subespac¸o P . Achar uma base do subespac¸o Q ortogonal a P . Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ uma base do subespac¸o Q. Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o P? Exerc´ıcio 39. Dadas as retas R1 = { (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1 2 = y − 2 1 = z − 3 2 } R2 = (x, y, z) ∈ R3 tais que xy z = 11 1 + t 12 1 , t ∈ R Achar a distancia entre elas. Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P . Exerc´ıcio 40. Em R3 considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 2, 2). Achar um plano P1 que contem A,B,C. 7 ♦ Achar um plano P2 ortogonal a P1. Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1). Exerc´ıcio 41. Em R2, considere os pontos A = (2, 3) e B = (3, 2). Achar uma reta R1 que passa pelos pontos A e B. Considere os pontos C = (−2, 7) e D = (3, 3). Achar a distancia entre R1 e C. Achar a distancia entre R1 e D. Achar um ponto F tal que d(A,B) = d(A,F ) = d(B,F ) onde d(·, ·) e´ a distancia. Exerc´ıcio 42. Em R2 considere a reta R2 dada pela equac¸a˜o 2x− 3y + 2 = 0. Considere a famı´lia de retas Rk onde 2x − 3y + k = 0 e k ∈ R. Mostrar que todas as retas Rk sao paralelas a R2. Achar as retas da famı´lia Rk tais que a distancia entre elas e R2 seja igual a 2. Exerc´ıcio 43. Em R3 considere o conjunto P de pontos P = {(x, y, z) ∈ R3 tais que 2x + y + 2z = 0} Achar uma base do subespac¸o P . Achar uma base do subespac¸o ortogonal a P . Seja v = v1 ∧ v2 onde {v1, v2} e´ a base do subespac¸o P que voceˆ achou. Calcule v. Qual e´ a relac¸a˜o entre v e o subespac¸o ortogonal a P? Exerc´ıcio 44. Dadas as retas R1 = { (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 3 1 = y − 1 1 = z − 3 2 } R2 = (x, y, z) ∈ R3 tais que xy z = 11 1 + t 11 1 , t ∈ R Achar a distancia entre elas. Mostre que na˜o existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P . Exerc´ıcio 45. Em R3 considere os pontos A = (3, 2, 1), B = (1, 1, 1), C = (1, 2, 3). Achar um plano P1 que contem A,B,C. Achar um plano P2 ortogonal a P1. Achar um plano P3 paralelo a P1 que contem o ponto D = (−1,−1,−1). 8
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