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2015/2
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Area 2
Seja sucinto pore´m completo. Justifique todo procedimento usado.
Lembre que voceˆ e´ avaliado pelo que tiver escrito, na˜o pelo que tiver
pensado.
Exerc´ıcio 1. Em R2, considere os pontos A = (0, 1) e B = (1, 2).
ˆ Achar a distancia entre A e B.
ˆ Achar a equac¸ao da reta R por A e B.
ˆ Seja P ∈ R o ponto sobre a reta R tal que d(P,A) = d(P,B). Achar P .
ˆ Achar a reta S ortogonal a R tal que P pertence a S.
Exerc´ıcio 2. Em R2 considere as retas R1 dada pela equac¸a˜o x − 3y + 1 = 0 e
R2 dada pela equac¸ao x− 3y + 4 = 0.
ˆ Mostrar que as duas retas R1 e R2 sao paralelas.
ˆ Achar a reta R3, paralela a R1, tal que as distancias respeito a R1 e R2
sejam iguais, ou seja tal que d(R1, R3) = d(R2, R3).
Exerc´ıcio 3. Em R3 considere o conjunto R de pontos
R = {(x, y, z) ∈ R3 tais que x + 2y + z = 0 e 2x + 2y + z = 0}
ˆ Achar uma equac¸ao para a reta R.
ˆ Achar um plano P ortogonal a R tal que D = (2, 2, 2) pertence ao plano
P .
Exerc´ıcio 4. Dadas as retas
R1 =
{
(x, y, z) ∈ R3 tais que x− 1
2
=
y − 2
3
=
z − 3
2
}
R2 =
(x, y, z) ∈ R3 tais que
xy
z
 =
11
1
+ t
11
1
 , t ∈ R

ˆ Achar a distancia entre elas.
ˆ Existe um plano P tal que R1 ∈ P e R2 ∈ P?
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♥
Exerc´ıcio 5. Em R3 considere os tres vetores v1 = (3, 0, 0), v2 = (1, 3, 0), v3 =
(2, 2, 2).
ˆ Calcule o determinante da matriz V = (v1, v2, v3) ou seja a matriz formada
para os tres vetores acima.
ˆ Calcule b = ‖v1‖
ˆ Considere p1 a projecao de v2 sobre v1. Calcule ` = ‖v2 − p1‖
ˆ Calcule h a distancia entre o ponto (1, 1, 1) e o plano com equac¸ao z = 0.
ˆ Calcule b · ` · h.
Exerc´ıcio 6. Em R2 considere as retas R1 dada pela equac¸a˜o 3x − y + 2 = 0 e
R2 dada pela equac¸a˜o 3x− y + 4 = 0.
ˆ Mostrar que as duas retas R1 e R2 sao paralelas.
ˆ Achar uma reta perpendicular a R1.
Exerc´ıcio 7. Em R3 considere o vetor A = (1, 1, 2) Achar dois vetores u, v em
R3 tais que o conjunto {A, u, v} seja uma base para R3.
Exerc´ıcio 8. Considere os vetores x = (1, 0, 2) , y = (1, 1, 1) z = (2, 0, 2).
ˆ Seja w a projec¸ao de x sobre y. Achar w.
ˆ Seja r1 a projec¸ao de x sobre z e seja r2 a projecao de y sobre z. Achar r1, r2.
ˆ Os tres vetores x, (y − w), (z − r1 − r2) sao ortogonais? Porque?
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