AL Hamilton 1 2

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Base e Dimensão
Este Capítulo apresenta algumas noções básicas da Álgebra Linear, introduz
somas diretas e define o espaço quociente.
1.1 Espaços Vetoriais
O corpo R ou o corpo C serão denotados por K.
Definição 1.1 Um espaço vetorial X sobre o corpo K é um conjunto cujos
elementos .chamados vetores/ podem ser somados e multiplicados por escalares,
isto é, os elementos do corpo K. Se x; y; z 2 X e �; � 2 K, as seguintes
propriedades devem ser satisfeitas pela adição e multiplicação por escalar:
.i/ x C y 2 X .fechamento/;
.i i/ .x C y/C z D x C .y C z/ .associatividade/;
.i i i/ x C y D y C x .comutatividade/;
.iv/ existe 0 2 X tal que x C 0 D x .elemento neutro/;
.v/ existe . x/ 2 X tal que x C . x/ D 0 .inverso aditivo/;
.vi/ �x 2 X .fechamento/;
.vi i/ �.�x/ D .��/x .associatividade/;
.vi i i/ �.x C y/ D �x C �y .distributividade/;
.ix/ .�C �/x D �x C �x .distributividade/;
.x/ 1x D x .regra da unidade/.
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2 Base e Dimensão Cap. 1
Denotaremos x C . y/ simplesmente por x y (veja o Exercício 1). A
importância da regra da unidade na definição de espaço vetorial é indicada no
Exercício 3, no final deste Capítulo.
Exemplo 1.2 O conjunto Kn D f.x1; x2; : : : ; xn/ j xi 2 K .i D 1; : : : ; n/g com as
definições usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. �
Exemplo 1.3 O conjunto F de todas as funções ff WS ! Kg definidas num
conjunto S ¤ ; e com as operações de adição e multiplicação por escalar
usualmente definidas é um espaço vetorial. �
Exemplo 1.4 Também são espaços vetoriais o conjunto KŒz de todos os po-
linômios com coeficientes em K (na incógnita z) ou o subconjunto KnŒz de todos
os polinômios de grau menor do que n (na incógnita z). �
Definição 1.5 Um subconjunto Y de um espaço vetorialX é um subespaço se, com
as operações definidas em X , Y for um espaço vetorial.
Exemplo 1.6 O subconjunto de Kn de todos os vetores cuja primeira coordenada
é nula é um subespaço de Kn. Se S D R, os subconjuntos de F (veja o Exemplo
1.3) formados por todas as funções contínuas ou por todas as funções de período �
são subespaços de F . O mesmo acontece com o subconjunto deKŒz formado pelos
polinômios de grau par. �
Veja o Exercício 4 para a caracterização de um subespaço vetorial.
Definição 1.7 Sejam X e Y espaços vetoriais sobre o corpo K. Uma aplicação
T WX ! Y
satisfazendo
T .x C �y/ D T x C �Ty
para quaisquer x; y 2 X e � 2 K é chamada transformação linear ou aplicação
linear. Se X D Y , também chamamos T de operador linear ou simplesmente
operador. Se Y D K, uma aplicação linear é denominada funcional linear.
Se T for uma bijeção, dizemos que T é um isomorfismo e que os espaços X e
Y são isomorfos.
(No caso de aplicações lineares, é usual denotar T .x/ por T x. Em algumas
situações, especialmente para funcionais lineares, não se mantêm tal notação.)
Observação 1.8 Note que, na definição de aplicação linear, estamos indicando as
operações nos espaços vetoriais X e Y da mesma maneira: em T .x C �y/, a soma
x C �y ocorre no espaço X , enquanto ocorre em Y na expressão T x C �Ty . �
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§1.2 Bases 3
1.2 Bases
Definição 1.9 Seja S � X um subconjunto qualquer de um espaço vetorial X .
Uma combinação linear de elementos de S é uma soma .finita/
�1x1 C : : :C �kxk ;
com �1; : : : ; �k 2 K e x1; : : : ; xk 2 S .
O conjunto S é linearmente dependente, se existir um número finito de
elementos
x1; : : : ; xk 2 S
e escalares �1; : : : ; �k 2 K, não todos nulos, tais que
�1x1 C : : :C �kxk D 0:
Caso contrário, o conjunto S é linearmente independente.
O conjunto S gera o espaço X se, para todo x 2 X , existirem .finitos/
elementos x1; : : : ; xj 2 S e escalares �1; : : : ; �j 2 K tais que x D �1x1 C : : :C
�jxj .
Uma base de X é um subconjunto ordenado B que é linearmente independente
e gera X . Um espaço vetorial X tem dimensão finita, se possuir uma base com
um número finito de elementos,1 ou se X D f0g. Caso contrário, ele tem dimensão
infinita.
Lema 1.10 (do intercâmbio de Steinitz) Suponhamos que S D fx1; : : : ; xng gere
o espaço vetorialX e que fy1; : : : ; yjg seja linearmente independente emX . Então
j � n:
Demonstração: Suponhamos que j > n. Como S gera X , temos que
y1 D �1x1 C : : :C �nxn;
sendo ao menos um dos escalares �1; : : : ; �n diferente de zero (veja o Exercício
11). Podemos supor �1 ¤ 0. Temos então que fx2; : : : ; xn; y1g gera X . De fato, se
x 2 X , existem escalares ˛1; : : : ; ˛n tais que x D ˛1x1 C : : :C ˛nxn. Mas, então,
x D ˛1
�
1
�1
.y1 �2x2 : : : �nxn/
�
C ˛2x2 C : : :C ˛nxn;
mostrando o afirmado.
1Diz-se também que o espaço vetorial é finitamente gerado.
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4 Base e Dimensão Cap. 1
De maneira análoga, y2 D ˇ2x2 C : : :C ˇnxn C ˇ1y1, com ao menos um dos
escalares ˇ2; : : : ; ˇn diferente de zero (veja o Exercício 12). Supondo ˇ2 ¤ 0,
verificamos então que o conjunto fx3; : : : ; xn; y1; y2g gera o espaço X . Repetindo
sucessivamente esse procedimento, obtemos que
fy1; : : : ; yng
gera o espaço X . Em particular,
ynC1 D 
1y1 C : : :C 
nyn:
Mas, então,
 
1y1 : : : 
nyn C 1ynC1 C 0ynC2 C : : :C 0yj D 0;
o que contradiz fy1; : : : ; yjg ser um conjunto linearmente independente. 2
Lema 1.11 Todo espaço vetorial X ¤ f0g gerado por um subconjunto S D
fx1; : : : ; xng possui uma base.
Demonstração: Se S for linearmente dependente, um de seus elementos pode ser
escrito como combinação linear dos elementos restantes. Retirando esse elemento,
o conjunto restante continua gerando X . Continuamos retirando elementos que
são combinação linear dos elementos restantes até obter um conjunto linearmente
independente que continua gerando X . 2
Note que o espaço vetorial X D f0g não possui base.
Teorema 1.12 Todas as bases de um espaço vetorialX de dimensão finita possuem
o mesmo número de elementos.
Demonstração: Se B D fx1; : : : ; xng e B0 D fy1; : : : ; yjg forem bases de X , o
Lema 1.10 aplicado ao conjunto linearmente independente B0 e ao conjunto gerador
B mostra que j � n. Aplicando então ao conjunto linearmente independente B e
ao conjunto gerador B0, obtemos n � j . 2
Definição 1.13 Se B D fx1; : : : ; xng for uma base do espaço vetorial X , dizemos
que X tem dimensão n e escrevemos
 !"X D n:
Se X D f0g, X tem dimensão finita igual a zero.
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§1.2 Bases 5
Teorema 1.14 Todo subconjunto linearmente independente S D fy1; : : : ; yjg de
um espaço vetorial X de dimensão n � 1 pode ser completado para formar uma
base de X .
Demonstração: Se S não gerar X , então existe um vetor x1 2 X que não é
combinação linear dos elementos de S . O conjunto
fy1; : : : ; yj ; x1g
é linearmente independente. Repetimos esse procedimento um número finito de
vezes, até obter uma base de X . 2
OTeorema 1.14 mostra-nos como obter diferentes bases para um espaço vetorial
X ¤ f0g de dimensão finita. Assim, X possui muitas bases.
Definição 1.15 Sejam X um espaço vetorial e B D fx1; : : : ; xng uma base de X .
Se x 2 X , então existem .únicos/ escalares �1; : : : ; �n 2 K tais que
x D �1x1 C : : :C �nxn:
O vetor .�1; : : : ; �n/ 2 K
n é chamado representação de x na base B e �1; : : : ; �n
as coordenadas de x na base B. Denotamos também por ŒxB o vetor .�1; : : : ; �n/.
Definição 1.16 Seja ei 2 K
n o vetor cuja i -ésima coordenada é igual a 1, as outras
sendo nulas. O conjunto E D fe1; : : : ; eng é a base canônica do espaçoK
n.
Observação 1.17 Uma base de um espaço vetorial é um conjunto ordenado.
Assim, se B D fx1; x2; : : : ; xng for uma base do espaço X , então B0 D
fx2; : : : ; xn; x1g é outra base deX . O mesmo acontece se a base possuir um número
infinito de elementos. �
Proposição 1.18 Sejam X um espaço vetorial e B D fx1; : : : ; xng uma base de X .
Se x D �1x1 C : : :C �nxn, a aplicação T WX ! K
n dada por
T x D ŒxB D .�1; : : : ; �n/
estabelece um isomorfismo entre X e Kn.
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6 Base e Dimensão Cap. 1
Demonstração: Se x D �1x1 C : : :C �nxn e y D 
1x1 C : : :C 
nxn, então
T .x C ˛y/ D T ..�1 C ˛
1/x1 C : : :C .�n C ˛
n/xn/
D .�1 C ˛
1; : : : ; �n C ˛
n/
D .�1; : : : ; �n/C ˛.
1; : : : ; 
n/ D ŒxB C ˛ŒyB;
mostrando a linearidade de T . Se � D .�1; : : : ; �n/ 2 Kn, então T x D �, para
x D �1x1 C : : :C �nxn, o que prova que T é sobrejetora. Finalmente, Tx D Ty,
então .�1; : : : ; �n/ D .
1; : : : ; 
n/, o que implica �i D 
i para i D 1; : : : ; n e,
portanto, x D y. 2
Observe que somente a ordenação dos elementos da base é que permite dar
sentido à representação de um vetor em uma base. A importância do isomorfismo
destacado na Proposição 1.18 é explorada no Exercício 9.
Observação 1.19 Tendo alcançado esse ponto, não deixa de ser interessante
comparar três concepções do plano. A primeira concepção é o plano como es-
paço euclidiano, o espaço da geometria clássica. Esse espaço é completamente
homogêneo: se, de repente, um objeto fosse transportado para esse plano,
não haveria como localizá-lo. Todos os pontos são absolutamente iguais. A
segunda concepção é o plano como espaço vetorial. Nesse caso, existe um ponto
excepcional: a origem. Um objeto transportado para o plano apenas distinguiria
sua localização como ocupando a origem ou não. A terceira concepção vem com a
introdução de coordenadas, e cria o plano da geometria analítica clássica. Aqui a
localização de cada ponto é muito bem determinada por suas coordenadas.
O isomorfismo entre um espaço de dimensão finita n e o Kn introduz a
possibilidade de medirmos distâncias ou mesmo ângulos. Essa possibilidade será
estudada posteriormente, especialmente nos Capítulos 8 e 10. �
1.3 Somas Diretas
Definição 1.20 Sejam A;B subconjuntos de um espaço vetorial X . Denotamos
por AC B o conjunto de todos os vetores x C y, com x 2 A e y 2 B.
Proposição 1.21 Sejam U;V subespaços de X . Então U C V é subespaço de X .
O subespaço U C V é chamado soma dos subespaços U e V .
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§1.3 Somas Diretas 7
Demonstração: Se z1 D x1 C y1 e z2 D x2 C y2 forem elementos de U C V e
� 2 K, então claramente �z1 C z2 2 U C V (veja o Exercício 4). 2
Definição 1.22 Sejam U;V subespaços de X . O subespaço W D U C V é a
soma direta dos subespaços U e V se cada elemento w 2 W puder ser escrito de
maneira única como
w D x C y:
Nesse caso denotamosW porW D U ˚ V . .Veja a Figura 1.1./
A definição de soma direta pode ser generalizada para a soma de um número
finito de subespaços de X . Assim, W D V1 C : : : C Vn é a soma direta dos
subespaços V1; : : : ;Vn de X se cada elemento w 2 W puder ser escrito de maneira
única na forma w D v1 C : : :C vn.
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U
V
u
v
.u; v/ 2 U ˚ V
Figura 1.1:
SeW D U ˚ V , um ponto w 2 W escreve-se de maneira única como w D uC v.
Proposição 1.23 O subespaçoW D U C V é a soma direta dos subespaços U;V
de X se, e somente se, U \ V D f0g.
Demonstração: Suponhamos queW D U ˚ V . Se z 2 U \ V então w D x C y
também pode ser escrito como w D .x C z/ C .y z/. Como a decomposição
w D x C y é única, devemos ter x D x C z e y D y z. Assim, z D 0 (veja o
Exercício 2.)
Reciprocamente, suponhamos que x1Cy1 e x2Cy2 sejam duas decomposições
de w 2 W . Então x1 x2 D y2 y1 pertencem simultaneamente a U e V . Logo
x1 x2 D 0 D y2 y1, garantindo a unicidade da decomposição. 2
Note que, se fu1; : : : ;uk ; vkC1; : : : ; vng for base de W , então W D U ˚ V ,
com U D< u1; : : : ;uk > e V D< vkC1; : : : ; vn >.
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8 Base e Dimensão Cap. 1
Teorema 1.24 Seja X um espaço vetorial de dimensão finita. Então vale:
.i/ todo subespaço Y de X possui dimensão finita;
.i i/ todo subespaço Y possui um complemento Z � X , isto é, existe um
subespaço Z de X tal que
X D Y ˚Z:
Demonstração: Se Y D f0g, então !"Y D 0. Caso contrário, tome 0 ¤ y1 2 Y .
Se existir y2 2 Y linearmente independente com y1, consideramos então o conjunto
fy1; y2g. Se esse conjunto gerar Y , temos uma base. Se não, podemos acrescentar
y3 2 Y linearmente independente com y1 e y2. Procedendo assim, obtemos
sucessivamente conjuntos linearmente independentes, cada um contendo o anterior.
De acordo com o Lema 1.10, esse processo só pode continuar enquanto esses
conjuntos tiverem menos elementos do que a dimensão de X . Obtemos assim uma
base fy1; : : : ; yjg para Y .
Aplicando então o Teorema 1.14, essa base pode ser completada até obtermos
uma base fy1; : : : ; yj ; x1; : : : ; xn jg para X . Defina Z como o espaço de todas as
combinações lineares dos elementos x1; : : : ; xn j . Claramente Z é um subespaço
de X e Z \ Y D f0g. Logo, pela Proposição 1.23, temos X D Y ˚Z. 2
1.4 Espaço Quociente
Definição 1.25 Seja Y um subespaço de X . Se x1; x2 2 X , dizemos que x1 é
congruente a x2 módulo Y , escrito
x1 � x2 "# Y;
se x1 x2 2 Y .
Podemos dividir o espaço X em diferentes classes de equivalência módulo
Y (veja o Exercício 31). Denotaremos a classe contendo o elemento x por Œx.
(Cuidado para não confundir essa notação com ŒxB, que é a representação do vetor
x na base B.)
Definição 1.26 Se Œx e Œz forem classes de equivalência módulo Y e � 2 K,
definimos
ŒxC Œz D Œx C z; �Œx D Œ�x:
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§1.4 Espaço Quociente 9
Com essas operações, o conjunto de todas as classes de equivalência módulo Y
torna-se um espaço vetorial, denotado por
X
Y
ou X=Y
e denominado espaço quociente de X por Y .
A classe de equivalência Œx muitas vezes é representada por x C Y .
A rigor, precisamos mostrar que as operações em X=Y estão bem definidas,
isto é, independem dos representantes de cada classe de equivalência. Portanto,
suponhamos que x1 2 Œx e z1 2 Œz. Então x1 D x C y1 e z1 D z C y2, com
y1; y2 2 Y . Mas, então, x1C z1 D xCy1C zCy2 D xC zC .y1Cy2/ e, assim,
x1 C z1 � x C z !" Y . Do mesmo modo, �x1 D �x C .�y1/ e �x1 � �x
 !" Y .
Exemplo 1.27 Seja X um espaço vetorial qualquer. Se Y D X , então X=Y D
fŒ0g, pois x � 0 !" Y para todo x 2 X . Por outro lado, se Y D f0g, então
X=Y D X , pois x � y !" Y implica x D y. �
Exemplo 1.28 Seja Y � R2 o subespaço definido por Y D f.x; y/ j 2y D xg.
(Em outras palavras, Y é a reta de equação 2y D x). Na Figura 1.2, os vetores
w1; : : : ; w5 pertencem todos à mesma classe. Assim, o vetor Œw1C Y 2 R2=Y é
uma reta paralela à reta 2y D x. O espaço quociente R2=Y é formado por todas as
retas paralelas à reta 2y D x.
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XXX
XXXy
x
y
Y
Œw1
w1
w2
w3
w4
w5
Figura 1.2:
O subespaço Y é a reta 2y D x. Os vetores w1; : : : ; w5 pertencem todos à mesma
classe. O espaço R2=Y é formado por todas as retas paralelas à reta 2y D x.
Sem dificuldades, podemos estender a interpretação geométrica aqui apre-
sentada ao caso geral. �
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10 Base e Dimensão Cap. 1
Exemplo 1.29 Seja x 2 Kn e considere Y o subespaço de todos os vetores cujas
duas primeiras coordenadas são nulas. Então dois vetores são congruentes módulo
Y se, e somente se, suas duas primeiras coordenadas forem iguais. Isto é,
.x1; x2; x3; : : : ; xn/ � .y1; y2; y3; : : : ; yn/ !" Y , x1 D y1 e x2 D y2:
A classe de equivalência de x 2 Kn pode ser vista como um vetor com duas
componentes, dadas pela primeira e segunda coordenadas de x. �
Teorema 1.30 Consideremos a decomposição
X D Y ˚Z:
Então a aplicação QWZ ! X=Y definida por Q.z/ D Œz é um isomorfismo
canônico. .Um isomorfismo é canônico, se ele independer de escolhas de bases nos
espaços envolvidos./
Assim, se X tiver dimensão finita e fz1; : : : ; zjg for uma base de Z, então
fŒz1; : : : ; Œzj g é uma base de X=Y . Portanto,
"# X=Y D "# Z D "# X "# Y:
Demonstração: Definimos QWZ � X ! X=Y porQ.z/ D Œz. A aplicação Q é
claramente linear.
Cada classe Œx 2 X=Y tem como representante um elemento x 2 X . Mas,
existe uma única decomposição x D y C z, com y 2 Y e z 2 Z. Assim,
Œx D Œy C z D Œz, mostrando queQ é sobrejetor.
Suponhamos que Œz1 D Œz2. Então z1 D z2Cy, com y 2 Y . Mas, isso implica
z1 z2 D y 2 Y . Como z1 z2 2 Z, concluímos que z1 z2 D 0, completando a
demonstração. 2
Exemplo 1.31 (Continuação do Exemplo 1.28) Na Figura 1.3, o espaço R2 é a
soma direta dos subespaços Y e Z. A aplicação Q associa Œw 2 X=Y ao ponto
z0 2 Z, (única) interseção da reta Œw com o subespaço Z. �
1.5 Exercícios
1. Seja X um espaço vetorial. Se x for o inverso aditivo de x 2 X , mostre
que x D . 1/x.
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§1.5 Exercícios 11
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fifi
x
y
Y
Œw
Z
z0
Figura 1.3:
A reta Œw 2 X=Y intercepta o subespaço Z no ponto z0.
2. Seja X um espaço vetorial. Mostre que 0 2 X é único e que �0 D 0 2 X
para todo � 2 K. Mostre também que 0x D 0 para todo x 2 X .
3. Seja X D f.x1; : : : ; xn/ j xi 2 Kg. Defina a soma x C y da maneira usual e
�x D 0 para todo � 2 K e x 2 X . Verifique quais propriedades da definição
de espaço vetorial são satisfeitas.
4. SejaX um espaço vetorial. Mostre que Y � X é um subespaço se, e somente
se, �x C y 2 Y para quaisquer x; y 2 Y e � 2 K.
5. Se X for um espaço vetorial, mostre que os conjuntos X e f0g (que
consiste apenas do elemento neutro aditivo) são subespaços de X , chamados
subespaços triviais.
6. Seja S ¤ ;. Generalize o Exemplo 1.3 e mostre que ff WS ! Kng é um
espaço vetorial.
7. Seja V � Kn o conjunto de todas as n-uplas da forma .0; 0; x3; : : : ; xn/.
Mostre que V é um subespaço de Kn.
8. Seja B D fx1; : : : ; xng uma base do espaço vetorial X . Mostre que cada
elemento x 2 X escreve-se de maneira única como combinação linear dos
elementos de B. (Compare com a Definição 1.15.)
9. Seja U D f.x; y/ 2 R2 j x > 0; y > 0g. Se z1 D .x1; y1/ e z2 D .x2; y2/
forem elementos de U e � 2 R, defina
z1 C z2 D .x1x2; y1y2/; �z1 D .x
�
1 ; y
�
1 /:
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12 Base e Dimensão Cap. 1
.a/ Mostre que U é um espaço vetorial com elemento neutro aditivo .1; 1/.
.b/ Mostre que, se v1 D .e; 1/ e v2 D .1; e/, então B D fv1; v2g é uma base
de U (estamos denotando por e a base dos logaritmos naturais).
.c/ Defina T WU ! R2 por T .z/ D ŒzB, em que ŒzB é a representação de z
na base B. Mostre que T é um isomorfismo.
.d/ Encontre todos os subespaços unidimensionais de U .
10. Seja S � X um subconjunto arbitrário do espaço vetorial X . Mostre
que o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S é
um subespaço de X , chamado (sub)espaço gerado por S e denotado por
< S >. Mostre que, se Y � X for um subespaço tal que S � Y ,
então < S > � Y . (Esse exercício generaliza o procedimento usado na
demonstração do Teorema 1.24).
11. Seja X um espaço vetorial. Se S � X for linearmente independente, mostre
que 0 62 S . Mostre que, se um conjunto possuir um subconjunto linearmente
dependente, então esse conjunto é linearmente dependente.
12. Qual a razão, na demonstração do Lema 1.10, de substituirmos sempre
um dos elementos xj ; : : : ; xn do conjunto fxj ; : : : ; xn; y1; : : : ; yj 1g por um
dos elemento y1; : : : ; yj 1? Porque não podemos substituir yj por um dos
elementos y1; : : : ; yj 1?
13. Seja S D f1; z; z2; : : : ; zn; : : :g. Mostre que S é uma base de KŒz.
14. Seja T WX ! Y uma aplicação linear e defina !"T WD fv 2 X j T v D 0g.
Mostre que T é injetora se, e somente se, !"T D f0g.
15. Exiba um isomorfismo entre Kn e KnŒz.
16. Defina K1 como o espaço de todas as sequências .z1; : : : ; zn; : : :/ com a
soma e multiplicação por escalar definidas de maneira natural. Mostre que
K1 é um espaço vetorial. Considere seu subespaço K10 , formado por todas
as sequências satisfazendo zi D 0, exceto para um número finito de índices.
Mostre que K10 é isomorfo ao espaço KŒz.
17. Sejam T WX ! Y e S WY ! Z aplicações lineares. Mostre que a composta
S ı T D ST é uma aplicação linear.
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§1.5 Exercícios 13
18. Seja T WX ! Y um isomorfismo entre os espaços X e Y . Mostre que a
inversa T 1WY ! X é linear.
19. Mostre que todo espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K é isomorfo
a Kn. Esse isomorfismo é único? Conclua que quaisquer dois espaços de
dimensão n sobre o mesmo corpo K são sempre isomorfos. Os espaços Rn e
Cn são isomorfos?
20. Sejam X , Y espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo K. Mostre
que, se T WX ! Y for um isomorfismo, então a imagem por T de toda base
de X é uma base de Y . Em particular, !"X D !"Y .
21. Seja B D fx1; : : : ; xng uma base de X e Y um espaço vetorial. Escolha
arbitrariamente y1; : : : ; yn 2 Y . Mostre que existe uma única aplicação
linear T WX ! Y tal que T .xi/ D yi para i D 1; : : : ; n. Conclua que,
se fy1; : : : ; yng for uma base de Y , então T é um isomorfismo.
22. Mostre que S é uma base de X se, e somente se, todo elemento x 2 X puder
ser escrito de maneira única como combinação linear dos elementos de S .
23. Seja X um espaço vetorial de dimensão n. Se S D fy1; : : : ; yng � X for um
conjunto linearmente independente, mostre que S é uma base de X .
24. Sejam X um espaço vetorial de dimensão n e S D fy1; : : : ; yng um conjunto
que gera X . Mostre que S é uma base de X .
25. Seja X um espaço vetorial e S D fx1; : : : ; xkg um subconjunto linearmente
dependente formado por vetores não-nulos do espaço X . Mostre que um
deles é combinação linear dos vetores precedentes.
26. Sejam X um espaço de dimensão n e V1 ˚ � � � ˚ Vk uma soma direta de
subespaços de X . Mostre que
 !".V1 ˚ � � � ˚ Vk/ D !"V1 C : : :C !"Vk � n:
27. Sejam X um espaço de dimensão finita e U;V subespaços de X . Mostre que
 !".U C V / D !"U C !"V !".U \ V /.
28. Denotaremos por Mn�n.K/ o conjunto das matrizes n � n com entradas
no corpo K. Defina o conjunto das matrizes simétricas S D fA 2
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14 Base e Dimensão Cap. 1
Mn�n.K/ jA
t D Ag, em que At denota a transposta da matriz A (veja
3.12 para a definição da transposta de uma matriz); defina o conjunto das
matrizes anti-simétricas A D fA 2 Mn�n.K/ jAt D Ag. Mostre que
Mn�n.K/ D S ˚A.
29. Mostre que U \ V é um subespaço de X , se U e V forem subespaços de X .
O subespaço U \ V é a interseção dos subespaços U e V .
30. Seja X um espaço vetorial e W1;W2 subespaços. Mostre que, se X D
W1 [W2, então X D Wi para pelo menosalgum i 2 f1; 2g.
31. Seja � uma relação de equivalência2 num conjunto A. Dado x 2 A, denote
cl.x/ WD fy 2 A j y � xg
a classe de equivalência do elemento x. Mostre que A pode ser escrito como
uma união disjunta de suas classes de equivalência.
32. Mostre que a congruência módulo Y é uma relação de equivalência.
33. Seja Y um subespaço de X com !"Y D !"X . Mostre que Y D X .
34. Seja W � R3 o subespaço (verifique!) formado por todas as soluções da
equação linear homogênea 2x C 3y C 4z D 0. Descreva as classes de
equivalência da congruência móduloW .
35. SejamX um espaço vetorial eM;N subespaços. Dê exemplo desses espaços,
de modo que
.a/ nemM , nem X=M tenha dimensão finita;
.b/ X=M tenha dimensão finita, mas X=N não tenha.
36. Seja T WX ! X um operador linear e W um subespaço invariante por T ,
isto é, T .W / � W . Considere a aplicação NT WX ! X=W definida por
NT .x/ D ŒT x. Mostre que NT é linear e que, se q 2 KŒz satisfizer q.T / D 0,
então q. NT / D 0.
37. SejaW � X um subespaço eQWX ! X=W a aplicação quociente definida
porQ.x/ D Œx. Seja Y � X outro subespaço deX . Mostre queX D W˚Y
se, e somente se, a restriçãoQjY WY ! X=W for um isomorfismo.
2Quer dizer, se x;y; z 2 A, então: .i/ x � x; .i i/ se x � y, então y � x; .i i i/ se x � y e
y � z, então x � z.
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§1.5 Exercícios 15
38. A soma direta de espaços vetoriais X1;X2 é o conjunto X1˚X2 de todos os
pares .x1; x2/ com x1 2 X1 e x2 2 X2. Definindo adição e multiplicação por
escalar coordenada a coordenada, mostre que X1 ˚X2 é um espaço vetorial.
SeX1 eX2 tiverem dimensão finita, então !".X1˚X2/ D !"X1C !"X2.
39. Seja Y um subespaço de X . Mostre que X é isomorfo a Y ˚X=Y .
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Dualidade
Este Capítulo apresenta, para o caso de espaços de dimensão finita, uma
primeira versão do Teorema de Representação de Riesz e também o isomorfismo
canônico entre o espaço X e o bidual X 00. Ele pode ser suprimido numa primeira
leitura ou a critério do instrutor.
2.1 O Espaço Dual
Existem muitas maneiras de produzir espaços vetoriais a partir de espaços ou
subespaços conhecidos. Por exemplo, seM for um subespaço de X , então X=M
é um novo espaço vetorial. Ou, dados os espaços vetoriais X e Y , podemos
considerar o espaço X ˚ Y , apresentado no Exercício 38 do Capítulo 1.
Apresentaremos agora uma forma importante de obter um novo espaço vetorial,
partindo do espaço X :
Definição 2.1 Se X for um espaço vetorial sobre K, consideremos o conjunto
X 0 D f`WX ! K j ` é linearg:
De maneira natural vemos que X 0 tem uma estrutura de espaço vetorial, se
definirmos, para `;m 2 X 0 e � 2 K,
.`Cm/.x/ D `.x/Cm.x/; .�`/.x/ D �`.x/:
Com essas operações, X 0 D f`WX ! K j ` é linearg denota o espaço dual1 de X .
Os elementos de X 0 são chamados de funcionais lineares.
1Também chamado espaço dual algébrico do espaço X , em contraposição ao espaço dual
topológico definido em textos de Análise Funcional. Em espaços de dimensão finita as definições
coincidem.
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§2.1 O Espaço Dual 17
Exemplo 2.2 Seja X D ff W Œ0; 1! R j f é contínuag. Defina `.f / D
R 1
0
f .s/ds
e, para s0 2 Œ0; 1 fixo, m.f / D f .s0/. É fácil verificar que ` 2 X 0 e m 2 X 0. �
Exemplo 2.3 Defina �1WKn ! K por �1.x1; : : : ; xn/ D x1. Então �1 2 .Kn/0. �
Seja fx1; : : : ; xng uma base do espaço vetorial X . Então, para todo x 2 X , existem
escalares `1.x/; : : : ; `n.x/ tais que
x D `1.x/x1 C : : :C `n.x/xn:
Os escalares `i.x/ são justamente as coordenadas de x na base fx1; : : : ; xng.
(Quer dizer, se x D ˛1x1 C : : :C ˛nxn, `i.x/ denota ˛i .)
Teorema 2.4 Sejam B D fx1; : : : ; xng uma base de X e
x D `1.x/x1 C : : :C `n.x/xn:
Então, se ıij denotar 0, se i ¤ j , e 1, se i D j , temos:
.i/ `iWX ! K é um funcional linear e `i.xj/ D ıij , para i; j 2 f1; : : : ; ng;
.i i/ o conjunto f`1; : : : ; `ng é uma base de X
0, chamada de base dual da base B;
.i i i/ se m 2 X 0, então
m.x/ D `1.x/m.x1/C : : :C `n.x/m.xn/:
.iv/ para todo 0 ¤ x 2 X , existe m 2 X 0 tal que m.x/ ¤ 0.
Demonstração: Suponhamos que x D ˛1x1C : : :C˛nxn e y D ˇ1x1C : : :Cˇnxn
(quer dizer, `i.x/ D ˛i e `i.y/ D ˇi). Então x C �y D .˛1 C �ˇ1/x1 C : : : C
.˛n C �ˇn/xn e, portanto, `i.x C �y/ D ˛i C �ˇi D `i.x/C �`i.y/, mostrando
.i/.
Quanto à afirmação .i i/, suponhamos que �1`1 C : : : C �n`n D 0 2 X 0.
Avaliando esse funcional sucessivamente nos vetores x1; : : : ; xn, concluímos que
�1 D : : : D �n D 0. Seja agora m 2 X 0. Então
m.x/ D m.˛1x1 C : : :C ˛nxn/ D ˛1m.x1/C : : :C ˛nm.xn/
D `1.x/m.x1/C : : :C `n.x/m.xn/;
provando não apenas que `1; : : : ; `n geram X 0, mas também a afirmação .i i i/.
Se x ¤ 0, então alguma coordenada `i.x/ na expressão x D `1.x/x1 C : : :C
`n.x/xn não é nula. Considerando m D `i , obtemos .iv/. 2
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18 Dualidade Cap. 2
Observação 2.5 A parte .i i i/ do Teorema 2.4 é uma versão do Teorema de
Representação de Riesz; veja o Teorema 8.23. �
Uma vez que X 0 é um espaço vetorial, esse espaço tem o seu dual, que será
denotado por X 00 e chamado de bidual de X . Note que X 00 é, por definição, o
espaço vetorial de aplicações lineares
X 00 D fLWX 0 ! K j L é linearg:
Quer dizer, L é uma transformação linear que associa, a cada funcional linear
`WX ! K, o número L.`/ 2 K.
Os elementos de X 00 são, aparentemente, complicados. Mostraremos que, em
espaços de dimensão finita, as aplicações lineares em X 00 estão canonicamente
associadas aos vetores do espaço X . Quer dizer, existe um isomorfismo entre X
e X 00 que independe da utilização de bases nesses espaços vetoriais. (A existência
de um isomorfismo entre esses espaços é trivial: se !"X D n, o Teorema 2.4
garante então que !"X 00 D !"X 0 D !"X D n. Espaços vetoriais de mesma
dimensão são sempre isomorfos: veja o Exercício 19 do Capítulo 1.)
Lema 2.6 Para cada x 2 X fixo, considere a aplicação LxWX
0! K definida por
Lx.`/ D `.x/:
Quer dizer, Lx associa a cada funcional linear ` 2 X
0 o valor que ` assume no
ponto x. Então Lx 2 X
00.
Demonstração: Suponhamos que `;m 2 X 0. Então, se ˛ 2 K,
Lx.`C ˛m/ D .`C ˛m/.x/ D `.x/C ˛m.x/ D Lx.`/C ˛Lx.m/:
(Compare essa demonstração com o Exemplo 2.2.) 2
Teorema 2.7 Seja X um espaço vetorial de dimensão finita. Então os espaços X 00
e X são canonicamente isomorfos. Mais precisamente, todo elemento do espaço
X 00 é da forma Lx , para algum x 2 X .
Demonstração: Apesar de ser constituída de etapas simples, a idéia da prova é
relativamente elaborada. Definimos D fLx j x 2 X g. Quer dizer, os elementos
de são as aplicações lineares definidas no lema anterior. Vamos mostrar, em
primeiro lugar, que é um subespaço de X 00. Depois, mostraremos que X é
isomorfo a . Assim, !" D n D !"X 00. Isso quer dizer que D X 00.
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§2.1 O Espaço Dual 19
Sejam Lx;Ly 2 e � 2 K. Consideremos Lx C �Ly . Queremos mostrar
que essa aplicação linear é um elemento de , isto é, Lx C �Ly D Lz para algum
z 2 X . Temos, para ` 2 X 0,
.Lx C �Ly/.`/ D Lx.`/C �Ly.`/ D `.x/C �`.y/ D `.x C �y/ D LxC�y.`/:
Isso mostra que é um subespaço de X 00. Agora definimos:
T W X ! 
x 7! Lx:
Vamos mostrar que T é um isomorfismo entre X e . Temos que
T .x C �y/ D LxC�y D Lx C �Ly D T .x/C �T .y/;
de acordo com o que mostramos na primeira parte. A aplicação T é sobrejetora,
por definição. A injetividade também é clara: se T .x/ D T .y/, então Lx D Ly
e, portanto, Lx.`/ D Ly.`/ para todo ` 2 X 0. Mas, então, `.x/ D `.y/ e
`.x y/ D 0 paratodo ` 2 X 0. Mas, isto implica x y D 0, de acordo com
o Teorema 2.4, .iv/. Isto mostra a injetividade e completa a demonstração. 2
Uma consequência do Teorema 2.7 é que a construção de novos espaços
vetoriais por meio de duais do espaço de dimensão finita X , esgota-se, senão
no próprio espaço X 0 (que já é isomorfo a X ), por certo no espaço X 00, que é
canonicamente isomorfo ao espaço X .
Concluímos este capítulo com a seguinte aplicação dada por Lax [22], sur-
preendente à primeira vista:
Teorema 2.8 Sejam t1; : : : ; tn pontos distintos do intervalo I . Então existem
constantes ˛1; : : : ; ˛n tais queZ
I
p.t/dt D ˛1p.t1/C : : :C ˛np.tn/
para todo polinômio p de grau menor do que n.
Demonstração: O espaço KnŒt  de todos os polinômios p.t/ D a0 C a1t C : : :C
an 1t
n 1 de grau menor do que n é isomorfo a Kn e, portanto, tem dimensão n.
Definimos j`.p/ D p.tj /. Então j` 2 .KnŒt /0. Afirmamos que f`1; : : : ; `ng é
linearmente independente. De fato, suponhamos que
�1`1 C : : :C �n`n D 0 2 .KnŒt /
0:
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20 Dualidade Cap. 2
Isso implica
�1p.t1/C : : :C �np.tn/ D 0; 8 p 2 KnŒt : (2.1)
Considere os polinômios
qi.t/ D
nY
j D 1
j ¤ i
.t tj /:
Cada polinômio qi possui exatamente n 1 raízes nos pontos tj , com j ¤ i .
Substituindo sucessivamente os polinômios qi na relação .2:1/, obtemos �iq.ti/ D
0, o que implica �i D 0. Isso mostra que f`1; : : : ; `ng é linearmente independente
em .KnŒt /0 e, portanto, uma base desse espaço.
Assim, todo funcional linear `WKnŒt  ! R é uma combinação linear dos
funcionais `1; : : : ; `n e, portanto,
` D ˛1`1 C : : :C ˛n`n
para escalares ˛1; : : : ; ˛n 2 K. O resultado segue-se daí ao considerarmos o
funcional linear
p 7!
Z
I
p.t/dt: 2
2.2 Exercícios
1. Considere a base B WD fv1; v2g do R2, em que v1 D .2; 1/ e v2 D .3; 1/.
Ache a base dual de B.
2. Seja RnŒt  o espaço de todos os polinômios (com coeficientes em R) de
grau menor do que n (na incógnita t). Mostre que as seguintes aplicações
pertencem ao dual de RnŒt :
.a/ �i.p.t// D ai para todo i D 0; 1; : : : ; n 1, se p.t/ 2 RnŒt  for dado
por p.t/ D a0 C a1t C : : :C an 1tn 1;
.b/ J.p.t// D
R 1
0
p.t/dt , para todo p.t/ 2 RnŒt .
3. Considere o espaço R2Œt , como antes. Sejam `1WR2Œt ! R e `2WR2Œt ! R
dadas por `1.p.t// D
R 1
0
p.t/dt e `2.p.t// D
R 2
0
p.t/dt . Mostre que
B0 D f`1; `2g é uma base de .R2Œt /0. Ache a base fv1; v2g de R2Œt  da qual
B0 é dual.
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§2.2 Exercícios 21
4. Considere a demonstração do Teorema 2.7. Se X tiver dimensão infinita, o
que podemos concluir?
5. Sejam X um espaço vetorial arbitrário e f WX ! K um funcional linear
não-nulo.
.a/ Mostre que !" f tem codimensão 1, isto é, existe w 2 X tal que
X D !" f ˚ < w >
(< w > denota o espaço gerado por w 2 X ).
.b/ Se gWX ! K for outro funcional linear, então g é um múltiplo escalar
de f se, e somente se, o núcleo de g contiver o núcleo de f .
.c/ Sejam '; f1; : : : ; fr funcionais lineares no espaço X . Mostre que ' é
combinação linear de f1; : : : ; fr se, e somente se, !" f1\� � �\ !" fr �
 !" '.
6. SejamX um espaço vetorial e S � X um subconjunto arbitrário. O anulador
de S é o conjunto S0 D ff 2 X 0 j f .s/ D 0 8 s 2 Sg. Mostre que S0 é
subespaço de X 0.
7. Seja Y � X um subespaço do espaço vetorial de dimensão finita X . Mostre
que #$%X D #$%Y C #$%Y 0. Identificando X e X 00 (de acordo com o
Teorema 2.7), mostre que Y 00 WD .Y 0/0 D Y .
8. Seja
S D f.2; 2; 3; 4; 1/; . 1; 1; 2; 5; 2/; .0; 0; 1; 2; 3/; .1; 1; 2; 3; 0/g um
subconjunto do R5. Obtenha o anulador de < S >.
9. Seja W � X um subespaço e f WW ! K linear. Mostre que existe um
funcional linear 'WX ! K que estende f , isto é, '.w/ D f .w/ para todo
w 2 W .
10. Seja T WX ! Y uma aplicação linear. A aplicação T induz uma aplicação
linear T 0WY 0 ! X 0 da seguinte maneira: para cada funcional `WY ! K,
definimos
T 0WY 0 ! X 0 por T 0.`/ D `T D ` ı T:
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22 Dualidade Cap. 2
Y
X
 
 � @
@R
K
-
T `
` ı T
(A aplicação T 0 é a transposta de T . Alguns autores a chamam de adjunta
de T , mas ela não coincide com a aplicação adjunta que será definida
posteriormente, no Capítulo 8.)
.a/ Mostre que T 0 é uma aplicação linear;
.b/ se S;T WX ! Y forem aplicações lineares, mostre que .S C ˛T /0 D
S 0 C ˛T 0;
.c/ se S WX ! Y e T WY ! Z forem aplicações lineares, mostre que
.ST /0 D T 0S 0;
.d/ se T WX ! Y tiver inversa, mostre que .T 1/0 D .T 0/ 1;
.e/ se X e Y tiverem dimensão finita, identificando X 00 com X e Y 00 com
Y , mostre que T 00W D .T 0/0 é então identificado com T ;
.f / se X e Y tiverem dimensão finita, qual a relação entre os núcleos
e imagens de T e T 0? (Observação: o núcleo e a imagem de uma
aplicação linear estão definidos em 3.10.)
11. Seja X um espaço de dimensão finita, com X D M ˚ N . Considere a
projeção � WX ! M definida por �.x/ D m, se x D m C n. Obtenha a
transposta � 0.