Alg_Aula04

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Álgebra Linear
Espaço Vetorial
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Espaço Vetorial
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Espaços Vetoriais
• Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, 
não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e 
multiplicação por escalar, R X V→ V, tais que, para 
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multiplicação por escalar, R X V→ V, tais que, para 
quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes 
propriedades sejam satisfeitas:
Espaços Vetoriais
• Propriedades:
� i) (u + v) + w = u + (v + w)
� ii) u + v = v + u
� iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo
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• 0 é o vetor nulo
� iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0
� v) a(u + v) = au + av, a escalar
� vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares
� vii) (ab)v = a(bv)
� viii) 1.u = u
Espaços Vetoriais
• Designamos por vetor um elemento do espaço 
vetorial
• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2
� V é um espaço vetorial
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� V é um espaço vetorial
• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é 
entendida como a adição de matrizes
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w) 
( )
( ) ( )
wvu
=

+
 ++
=
=





+













+





=++
121112121111
2221
1211
2221
1211
2221
1211
wwvuvu
ww
ww
vv
vv
uu
uu
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )wvu ++=












+





+





=
=





++
++
+





=
=





++++
++++
=





++++
++++
=
=





+





++
++
=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
222222212121
121212111111
222222212121
121212111111
2221
1211
22222121
12121111
ww
ww
vv
vv
uu
uu
wvwv
wvwv
uu
uu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
wvuwvu
ww
ww
vuvu
vuvu
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Operação vetorial genérica
Axioma 2: u + v = v + u
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11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22
u u v v v v u u
u u v v v v u u
       
+ = + = + = +       
       
u v v u 
Interpretação concreta
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo
para V, tal que u + 0 = u para todo u em V.
0 





≡ Então,.
00
00
 Seja
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u0uu
0
=





=





+





=+∈∀




≡
2221
1211
2221
1211
00
00
,
Então,.
00
 Seja
uu
uu
uu
uu
V
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um 
oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0
u 





−−
−−
≡− Então,. Seja 1211
uu
uu
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( )
0
uuu
=





=





−−
−−
=





−+−+
−+−+
=













−−
−−
+





=−+∈∀



 −−
00
00
)()(
)()(
,
22222121
12121111
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
2221
uuuu
uuuu
uuuu
uuuu
uu
uu
uu
uu
V
uu
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 5: k (u + v) = k u + k v
( )vu
vv
vv
uu
uu
kk =












+





=+
2221
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( ) ( )
( ) ( )
vu kk
vkvk
vkvk
ukuk
ukuk
vkukvkuk
vkukvkuk
vukvuk
vukvuk
vuvu
vuvu
k
+=





+





=





++
++
=






++
++
=





++
++
=
 
2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
22222121
12121111
22222121
12121111
22212221
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u
( ) ( )u
uu
uu
lklk =





+=+
2221
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( ) ( )
( ) ( )
uu lk
ulul
ulul
ukuk
ukuk
ulukuluk
ulukuluk
ulkulk
ulkulk
uu
+=





+





=
=





++
++
=





++
++
=

2221
1211
2221
1211
22222121
12121111
2221
1211
2221
Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u)
( )u
uu
uu
lklk =












=
2221
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ulk
uu
uu
lk
ulkulk
ulkulk
ulkulk
ulkulk
ulul
ulul
k
=





=






=





=





=
 
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
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Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 8: 1u = u
uu =





=





=





=
2221
1211
2221
1211
2221
1211
11
11
11
uu
uu
uu
uu
uu
uu
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Espaços Vetoriais
• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um 
espaço vetorial:
� Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)
� Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:
• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
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• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
� Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:
• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u
� Logo V não é um espaço vetorial
Subespaços Vetoriais
• Definição: Dado um espaço vetorial V, um 
subconjunto W, não vazio, será um subespaço 
vetorial de V se:
� i) Para quaisquer u, v ∈W, tivermos u + v ∈W
� ii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈W, tivermos au ∈W
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Subespaços Vetoriais
• Observações:
� 1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por 
escalar) não obteremos um vetor fora de W
� Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço 
vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas
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vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas
� Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a 
(viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que 
contém W
Subespaços Vetoriais
• Observações:
� 2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente 
conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da 
definição quando a = 0)
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� 3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois 
subespaços (que são chamados de subespaços triviais):
• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo
• O próprio espaço vetorial
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• Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano passando pela 
origem
W
Observe que, se W não passasse 
pela origem, não seria um subespaço
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W pela origem, não seria um subespaço
Os únicos subespaços de R3 são a 
origem, as retas e planos que passam 
pela origem e o próprio R3
Subespaços Vetoriais
• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R}
� Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira 
coordenada nula
� Vamos verificar as condições (i) e (ii):
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� (i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈W
Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈W
� (ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈W
� Portanto, W é subespaço vetorial de R5.
Subespaços Vetoriais
• Teorema: Interseção de subespaços
� Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial 
V, a interseção W1∩∩∩∩W2 ainda é um subespaço de 
V
• Observe que W1 ∩W2 nunca é vazio já que eles sempre 
contêm, pelo menos, o vetor nulo
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contêm, pelo menos, o vetor nulo
• Exemplo 1: V = R3, W1∩∩∩∩W2 é a reta de 
interseção dos planos W1 e W2
W1
W2
Subespaços Vetoriais
• Embora a interseção gereum subespaço 
vetorial, isso necessariamente não acontece 
com a união
• Teorema: Soma de subespaços
� Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial 
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� Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial 
V. Então o conjunto
• W1 +W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2}
� é subespaço de V
• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = 
W1+W2 é o plano que contém as retas
Subespaços Vetoriais
• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é 
chamado soma direta de W1 com W2, 
denotado por W1 ⊕W2
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denotado por W1 ⊕W2
Combinação Linear
• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn
∈V e a1, a2, ...,an números reais
• Então o vetor
� v = a1v1 + a2v2 + .... anvn
• é um elemento de V ao qual chamamos de 
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• é um elemento de V ao qual chamamos de 
combinação linear de v1, v2, ..., vn
� Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o 
conjunto W de todos os vetores de V que são 
combinação linear desse é um subespaço vetorial
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn]
Combinação Linear
• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)
� Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x, 
y) = x(1, 0) + y(0, 1)
• Ou seja, v = x.v1 + y.v2
• Exemplo 2:
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1 0
0 0
v1 = 
0 1
0 0
v2 =
Então [v1, v2] = : a, b ∈ Ra b
0 0
Dependência e Independência Linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, 
..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é 
linearmente independente (LI), ou que o vetores 
v1, v2, ..., vn são LI se a equação:
� a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
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1 1 2 2 n n
implica que a1 = a2 = .... = an = 0
� {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes 
vetores for combinação linear dos outros.
• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é 
linearmente dependente (LD) ou que os vetores 
v1,v2, ...,vn são LD
Dependência e Independência Linear
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)
• e1 e e2 são LI, pois
� a1.e1 + a2.e2 = 0
� a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0
� (a1, a2) = (0, 0)
� a = 0 e a = 0
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� a1 = 0 e a2 = 0
• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1
= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI
• Exemplo 3: V = R2
� {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:
� ½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)
Base de um Espaço Vetorial
• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de 
vetores de V será uma base de V se:
� i) {v1,v2, ...,vn} é LI
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� i) {v1,v2, ...,vn} é LI
� ii) [v1,v2, ...,vn] é V
Esse conjunto gera todos os vetores de V.
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)
• {e1, e2} é base de V, conhecida como base 
canônica de R2
• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de 
V = R2
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V = R
�De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então 
a = b = 0
• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI
�Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V, 
temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)
�Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear 
dos vetores (1,1) e (0,1)
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, 
pois é um conjunto LD
�Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não 
são zero necessariamente
• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma 
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base de R3
�Base canônica de R3
� i) {e1, e2, e3} é LI
� ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3
• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3
�É LI mas não gera todo R3
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos 
que geram um espaço vetorial V. Então dentre 
esses vetores podemos extrair uma base de V.
� Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI
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• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado 
por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. 
• Então, qualquer conjunto com mais de n
vetores é necessariamente LD (e, portanto, 
qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)
Base de um Espaço Vetorial
• Corolário: Qualquer base de um espaço 
vetorial tem sempre o mesmo número de 
elementos. Este número é chamado dimensão 
de V, e denotado por dim V
• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2
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• Exemplo 1: V = R : dim V = 2
� {(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V
• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3
• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4
1 0
0 0
0 1
0 0
É uma
base de V
0 0
1 0
0 0
0 1
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um 
espaço vetorial V de dimensão finita pode ser 
completado de modo a formar uma base de V
• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n 
vetores LI formará uma base de V
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vetores LI formará uma base de V
• Teorema: Se U e W são subespaços de um 
espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 
dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso:
�dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩W)
Base de um Espaço Vetorial
• Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de 
V, cada vetor de V é escrito de maneira única 
como combinação linear de v1, v2, ...,vn.
• Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e 
v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos 
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v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos 
esses números ai de coordenadas de v em 
relação à base β e denotamos por:
[v]β = 
a1
...
an
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 1: V = R2
• β = {(1, 0), (0, 1)}
• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1)
• Logo:
[(4, 3)]β = 
4
Observe que os 
coeficientes são 
representados 
como elementos 
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[(4, 3)]β = 
3
como elementos 
de uma matriz 
coluna.
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 2: V = R2
• β = {(1, 1), (0, 1)}
• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1
• Logo:
[(4, 3)]β = 
4
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[(4, 3)]β = 
-1
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 3: Observe que a ordem dos 
elementos de uma base influi na matriz das 
coordenadas de um vetor em relação à esta 
base
• V = R2
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• V = R
• β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)}
[(4, 3)]β1 = 
4
3
[(4, 3)]β2 = 
3
4
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: Considere:
�V = {(x, y, z): x + y – z = 0}
�W = {(x, y, z): x = y}
�Determine V + W
�V: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y
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�V: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y
• Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]
�W: x = y
• Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
36
cont…
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)
�Como:
�V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]
�W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
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�Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]
�Mas espera-se que o resultado esteja no R3, 
logo essa base deve ter algum elemento LD
37
cont…
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)
– Vamos escalonar....
1 0 1
0 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 -1 -1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
v1
v2
v3
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cont…
1 1 0
0 0 1
0 -1 -1
0 0 1
0 0 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0 ElementoLD (v3)
v3
v4
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)
�Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)]
�Assim, V + W = R3
�dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)
�V∩W = ??
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�V∩W = ??
39
cont…
Base de um Espaço Vetorial
• Exemplo 4: (cont..)
�V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}
= {(x,y,z); x = y = z/2}
= [(1, 1, 2)]
�dim (V∩W) = 1
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�dim (V∩W) = 1
�dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)
�dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3
• Como esperado....
40
Mudança de Base
• Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases 
ordenadas de um mesmo espaço vetorial V
• Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como:
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�v = x1u1 + ... + xnun
�v = y1w1 + ... + ynwn
(1)
41
Mudança de Base
• Como podemos relacionar as coordenadas de 
v em relação à base β
[v]β = 
x1
…
xn
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• com as coordenadas do mesmo vetor v em 
relação à base β’
xn
[v]β’ = 
y1
…
yn
42
Mudança de Base
• Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever 
os vetores v e w como combinação linear dos uj, 
isto é:
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un (2)
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2 12 1 22 2 n2 n
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
• Substituindo (2) em (1):
v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun) 
= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)
43
(2)
Mudança de Base
• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas 
em relação a uma base são únicas temos:
x1 = a11y1 + ... + an1yn
.....
xn = a1ny1 + ... + annyn
Observe que as linhas
viraram colunas!
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n 1n 1 nn n
• Ou, em forma matricial
44
x1
…
xn
y1
…
yn
=
a11 ... a1n
… … …
an1 … ann
Mudança de Base
• Isso é denotado por:
=
a11 ... a1n
… … …
an1 … ann
[ I ]β
β’
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• Temos:
45
an1 … ann
[v]β = [ I ] [v]β’β
β’
[ I ] ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base ββ
β’
Mudança de Base
• Observe que, encontrando , podemos 
encontrar as coordenadas de qualquer vetor v
em relação à base β, multiplicando a matriz 
[ I ]β
β’
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pelas coordenadas de v na base β’
46
Mudança de Base
• Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)} 
bases de R2:
w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)
⇒ 2a +3a = 1 e -a +4a = 0
[ I ] = ?β
β’
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⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0
⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11
w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)
⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1
⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11
47
Mudança de Base
• Exemplo: (cont.)
– Assim: 
• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)
• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)
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=
4/11 -3/11 
1/11 2/11
[ I ]β
β’
48
Linhas tornam-se
colunas!!!
Mudança de Base
• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para 
encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8)
� [(5, -8)]β = [(5, -8)]β’[ I ]β
β’
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= = 
49
4/11 -3/11 
1/11 2/11
5
-8
4
-1
Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)
A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Temos [v]β = [v]β
• Um fato importante é que e são 
matrizes inversíveis:
[ I ]β
β’
[ I ]β’
β [ I ]β
β’
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matrizes inversíveis:
� ( )-1 = 
50
[ I ]β
β’ [ I ]β’
β
A Inversa da Matriz Mudança de Base
• Exemplo:
�Do exemplo anterior, vamos calcular a partir 
de . Note que é fácil de ser 
calculada pois β’ é a base canônica:
[ I ]β
β’
[ I ]β’
β[ I ]β’
β
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• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)
• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)
�Assim: = 
�Então: = -1 = 
51
[ I ]β
β’
[ I ]β’
β 2 3
-1 4
2 3
-1 4
4/11 -3/11 
1/11 2/11
Espaço Vetorial
• Exercício 18: Considere o subespaço de 
R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), 
v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)
� a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
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� a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
� b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual 
sua dimensão?
� c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
52
Espaço Vetorial
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:
(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) + 
Cont.
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(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) + 
c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)
53
a – 2c + d = 2
-a + 2c = -3
b + c = 2
b + c = 2
1 0 -2 1 2
-1 0 2 0 -3
0 1 1 0 2
Espaço Vetorial
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1
Logo, como existe solução, o vetor pertence a 
Cont.
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Logo, como existe solução, o vetor pertence a 
[v1,v2,v3,v4]
54
Espaço Vetorial
• Exercício 18:
� b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual 
sua dimensão?
Cont.
1 -1 0 0 1 -1 0 0
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1 -1 0 0
0 0 1 1
-2 2 1 1
1 0 0 0
1 -1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
Com isso, descobrimos que v2 (ou v3) é combinação 
linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por 
[v1,v2,v4] ou [v1, v3, v4].
Espaço Vetorial
• Exercício 18:
� b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual 
sua dimensão?
� Base = [v1,v2,v4] ⇒ dim = 3
Cont.
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� Base = [v1,v2,v4] ⇒ dim = 3
� c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
� Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então 
[v1,v2,v3,v4] ≠ R4
56
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Considere o subespaço de 
R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), 
v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).
• [v ,v ,v ]=R3?
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• [v1,v2,v3]=R3?
57
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 1:
� Existem a, b, c tal que:
(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)
Cont.
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a + c = x
a - b = y
b + c = z
a = 2x – y - z
b = x - y
c = -x + y + z
Ou seja, há valores para a, b e c que 
podem gerar qualquer vetor no R3.
Espaço Vetorial
• Exercício 19: Solução 2:
� Vamos tentar escalonar:
Cont.
1 1 0
0 -1 1
1 0 0
0 1 0…
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0 -1 1
1 1 1
0 1 0
0 0 1
…
O que isso significa?
Significa que, com esses vetores e operações 
lineares, conseguimos gerar a base canônica. 
Logo, podemos gerar todo o R3.
Exercícios Sugeridos
• 2
• 4
• 6
• 7
• 8
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• 8
• 9
• 11
• 15
• 25
• 29
A Seguir...
• Transformações Lineares
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