Deflexão de Vigas

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 4:
DEFLEXÃO DE VIGAS
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Linha Elástica é a curva que representa o eixo da 
viga após a deformação.
Linha Elástica A deflexão “v” é
o deslocamento 
de qualquer 
ponto no eixo 
da viga.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto 
ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
� O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e 
a tangente à curva da linha elástica.
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
dθθθθ dθθθθ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Da figura vemos que:
dsd =θρ .
dθ em radianos
ds
dk θ
ρ
==
1
dθθθθ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Da figura vemos que:
θtg
dx
dv
=






=
dx
dv
arctgθ






=
=
ds
dv
sen
ds
dx
e
θ
θcos
 : 
dθθθθ
Inclinação da Linha Elástica
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ�0
dxds ≈
θθ ≈tg
Logo, fazendo:
radianos. em sendo , θθ=→
dx
dv
Equação válida para 
pequenas rotações2
21
dx
vdk ==
ρ
dx
dk θ
ρ
==→
1
2
2
dx
vd
dx
d
=
θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
z
z
A
AA
x
IE
MkMIkEMdAykE
MdAyykEMydA
⋅
=→=⋅⋅→=⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅→=⋅⋅
∫
∫∫
2
)(σ
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):
ykyE xx ⋅=⋅=⋅= ρ
εεσ
1
 e x
Logo:
Equação Diferencial da 
Linha Elástica
zEI
M
dx
vd
=2
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Convenções de Sinais:
� (1)Eixos:
� (2) Deflexão: 
� (3) Rotações:
� (4) Curvatura k:
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
x(+)
y(+)
v(+)
θ e 
dx
dv
x
y
(+)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Convenções de Sinais:
� (5) Momentos:
� (6) Carregamentos:
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Equações Adicionais:
q
dx
Mq
dx
dVV
dx
dM
−=−== 2
2d
 e ; 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas Não Prismáticas : seção variável com x.
M
dx
vd
xEI =⋅→ 2
2
)( 
V
dx
dM
=
q
dx
dV
−=
)(2
2
xEI
M
dx
vd
=
V
dx
vd
xEI
dx
d
=





⋅→ 2
2
)( 
q
dx
vd
xEI
dx
d
−=





⋅→ 2
2
2
2
)( 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas Prismáticas: rigidez (EI) ���� constante
� Momento Fletor:
VvEIV
dx
vdEIV
dx
dM
zz =
′′′⋅→=⋅→= 3
3
MvEIM
dx
vdEI
EI
M
dx
vd
zz
z
=′′⋅→=⋅→= 2
2
2
2
qvEIq
dx
vdEIq
dx
dV
zz −=⋅→−=⋅→−=
''''
4
4
 
� Força de Cisalhamento:
� Carregamento:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e 
rotações nos apoios.
0 e 0 ==→ Mv
0 e 0 ==→ Mv
0 e 0 =′=→ vv
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e 
rotações em vigas biapoiadas.



==′′=→=
==′′=→=
0M pois 0v e 0 
0M pois 0v e 0 0
vLx
vx
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e 
rotações em vigas engastadas.





==′′′→=
==′′→=
=′=→=
0V pois 0 
0M pois 0 
0v e 0 0
vLx
vLx
vx
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Continuidade:
No ponto C:
( ) ( )CBAC vv ′=′
( ) ( )CBAC vv =
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo1: Determine a equação da Linha 
Elástica para a viga abaixo. Determine também a 
deflexão máxima δmáx e os ângulos de rotação θA
e θB nos apoios.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
a) Expressão para o Momento Fletor:
Reações de apoio:
Momento Fletor:
2
LqRR VBVA
⋅
==
2
2222
x
q
x
qLx
xqxqLM ⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação da Linha Elástica:
2''
22
x
q
x
qLMvEI z ⋅−⋅==⋅
21
43
4634
CxCxqxqLvEI z +⋅+⋅−⋅=⋅
dxxqdxxqLdxvEI z ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅
2''
22
[.(dx)]
∫∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxx
qdxxqLdxvEIz 2'' 22 � 1ª integração 
( ) ∫∫ 





+⋅−⋅=⋅ 1
32
'
3222
CxqxqLvEI z � 2ª integração 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condições de Contorno: 
(I)
(II)
0 0 =→= vx
0 
2
L
 e 0 =′→==→= vxvLx
0000000 (I) 22 =→++−=∴=→= CCvx
24
 .
24
.
2412
0
0..
24
.
12
00 (II)
3
11
4
1
44
1
43
qLCLCqLLCqLqL
LCLqLqLvLx
−=→+=+−=
++−=∴=→=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
deflexãoCxCxqxqLvEI z 2412 21
43 →+⋅+⋅−⋅=⋅






⋅+⋅−⋅= x
L
xx
L
EI
q
v
z 2424
1
12
3
43
� Linha Elástica






⋅+⋅−⋅= x
qL
x
q
x
qL
EI
v
z 242412
1 343
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
rotaçãoCxqxqLvEI z 64 1
32 →+⋅−⋅=′⋅
θrotaçãoLxxL
EI
q
v
z
 
246
1
4
3
32 →





−⋅−⋅=′






−⋅−⋅=′
2464
1 332 qLxqxqL
EI
v
z
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� c) Deflexão máxima x = L/2:
z
máx
z
máx
z
máx
EI
qL
v
LLL
EI
q
v
LLLLL
EI
q
v
⋅
−=






−−=








⋅−





⋅−





⋅=
384
5
4838496
224224
1
212
4
444
343
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� d) Ângulos de rotação: θA e θB
z
AA EI
qL
vx
24
 0
3
−=′∴=→θ
z
BB EI
qL
vLx
24
 
3
=′∴=→θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 2: Calcular a deflexão e a inclinação 
(rotação) do ponto D indicado na viga 
representada abaixo, adotando E = 10GPa.
KNqLRR VBVA 12,32
20,52,1
2
=
×
===
3m
1,2kN/m
D
B
2,2m
A
6cm
16cm
� a) Reaçõesde apoio:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação diferencial da linha elástica: 
43
2
2
3
1
4
32
2
1
3
21
2
1
''''
2624
2,1
26
2,1
2
2,1
2,1
2,1
CxCxCxCxvEI
CxCxCxvEI
CxCxvEI
CxvEI
qvEI
z
z
z
z
z
+⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅
+⋅+⋅+⋅−=′⋅
+⋅+⋅−=′′⋅
+⋅−=′′′⋅
−=−=⋅
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� c) Condições de Contorno:
� (I)
� (II)
� (III)
� (IV)
12,312,30 1 =⇒′′′==→= CvKNVx A
000 2 =⇒′′==→= CvMx A
060,2
2
=′→== v
L
x
03,70
2
6,212,3
6
6.22,10 33
23
−=⇒+⋅+⋅+⋅−= CCx
000 4 =⇒=→= Cvx A
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� d) Rotações e deflexões:
( )
( )xxx
EI
v
xx
EI
v
mkNEI
m
bhI
m
kNGPaE
z
z
z
z
⋅−⋅+⋅−=
−⋅+⋅−⋅=′
⋅=
=
×
==
×==
−
03,752,005,0.1
03,756,12,01
8,204
10.048,2
12
16,006,0
12
101010
34
23
2
45
33
2
6
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� e) Deflexão e Rotação no Ponto D:
( )
( ) mv
radv
mx
234
323
1065,52,203,72,252,02,205,0
8,204
1
109,703,72,256,12,22,0
8,204
1
20,2 Para
−
−
×−=×−×+×−⋅=
×−=−×+×−⋅=′
=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 3: Determine a equação da Linha 
Elástica para uma viga engastada mostrada 
abaixo. Determine também θB e δB na 
extremidade livre.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Reações de apoios:
qLRVA = 2
2qLMA =
22
22
22
2
xqqLxqLM
xqxqLxqLM
−+−=
−+−=
� a) Momento Fletor na viga:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação da Linha Elástica:
DeflexãoCxCxLxxL
EI
q
v
RotaçãoCxxLxL
EI
q
v
xLxL
EI
q
v
qxqLxqLMvEI
z
z
z
z
→





+⋅+−+−⋅=
→





+−⋅+⋅−⋅=






−+−⋅=′′
−+−==⋅
∫∫
∫∫
21
4322
1
32
'
22
22
''
2464
622
22
22
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:
� (I)
� (II)
00 ' =→= vx
00 =→= vx
( ) 0 0000 (I) 11 =⇒+−+−⋅= CCEI
q
z
( ) 0 0000 (II) 22 =⇒+−+−⋅= CCEI
q
z
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Rotação:
z
BBB EI
qL
vLxv
6
 
3
−=′∴=→′=θ
( )22'
3
2
2
'
33
6
622
xLxL
EI
qx
v
x
x
L
x
L
EI
q
v
z
z
−+−⋅=






−⋅+⋅−⋅=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão:
( )222
432
2
46
24
24
1
64
xLxL
EI
qx
v
xx
L
x
L
EI
q
v
z
z
−+−⋅=






⋅−⋅+⋅−⋅=
z
BBB EI
qL
vLxv
8
 
4
−=∴=→=δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 4: Determine a equação da Linha 
Elástica, os ângulos de rotação θA e θB nos 
apoios, a deflexão máxima δmáx e a deflexão δC
no ponto médio.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Reações de apoio:
L
aPR
L
bPR VBVA
⋅
=
⋅
= e 
( ) L)x(a 
a)x(0 
≤≤−⋅−⋅=
≤≤⋅=
axPx
L
PbM
x
L
PbM
� a) Momentos Fletores:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação da Linha Elástica:
( ) L)x(a 
a)x(0 
≤≤−⋅−⋅=′′⋅
≤≤⋅=′′⋅
axPx
L
Pb
vEI
x
L
Pb
vEI
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Integrando temos: Rotações
2
2
2
1
2
2
)(
2
2
CaxPx
L
Pb
vEI
Cx
L
Pb
vEI
+
−⋅
−⋅=′⋅
+⋅=′⋅
42
3
3
31
3
6
)(
6
6
CxCaxPx
L
Pb
vEI
CxCx
L
Pb
vEI
+⋅+
−⋅
−⋅=⋅
+⋅+⋅=⋅
� Integrando novamente: Deflexões
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:
� (I)
� (II)
� (III)
� (IV)
00 =→= vx
0=→= vLx
diresq vvax ′=′→=
diresq vvax =→=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:
42
33
6
)(
6
0 0 (II) CLCaLP
L
PbL
vLx +⋅+−⋅−=∴=→=
0 00 (I) 3 =⇒=→= Cvx
212
22
1
2
 
2
)(
22
 (III) CCCaaP
L
PbaC
L
Pba
ax =⇒+
−
−=+→=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( )
( ) 1222
2
22
42
32
6
 
6
 
0
66
 (II)
CbL
L
PbC
LCbLPb
CLCPbPbL
=−⋅−=
⋅−=−⋅
=+⋅+−
0 
6
)(
66
 (IV)
4411421
42
33
1
3
=⇒+⋅=⋅⇒+⋅=⋅
+⋅+
−
−=⋅+→=
CCaCaCCaCaC
CaCaaP
L
Pba
aC
L
Pba
ax
� Condição de Contorno:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexões:
( )
( ) a)x(0 
6
66
1
222
22
3
≤≤+−⋅=






−⋅−⋅=
bLx
LEI
Pbx
v
xbL
L
Pb
L
Pbx
EI
v
( ) L)x(a 
6
)(
6
3
222 ≤≤−⋅−−−⋅−=
EI
axP
xbL
LEI
Pbx
v
( ) ( ) 





⋅−⋅−
−⋅
−⋅= xbL
L
PbaxP
L
Pbx
EI
v 22
23
666
1
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Rotações:
( )
( ) a)x(0 3
6
62
1
222
22
2
≤≤−−⋅−=′






−⋅−⋅=′
xbL
LEI
Pb
v
bL
L
Pb
L
Pbx
EI
v
( ) ( ) L)x(a 
2
3
6
2
222' ≤≤−⋅−−−⋅−=
EI
axP
xbL
LEI
Pb
v
( ) ( )





−⋅−
−⋅
−⋅=′
22
22
622
1 bL
L
PbaxP
L
Pbx
EI
v
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( )
( )
LEI
bLPab
v
bL
LEI
Pb
v
xv
A
A
AA
6
6
0
22
+
−=′
−⋅−=′
=→′=θ
� Cálculo de θA:
)()( bLbL −⋅+
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( ) ( )
EI
aLPLbL
LEI
Pb
v
Lxv
B
BB
2
3
6
2
222 −
−−−⋅−=′
=→′=θ
( )






+
−−
⋅−=′ b
L
bL
EI
Pb
v B 3
2
2
22
LEI
aLPab
v
L
LbbL
EI
Pb
v
B
B
6
)(
3
32
2
22
+⋅
=′





 −+
⋅=′
� Cálculo de θB:
(b)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão máxima δmáx:
� Ponto de máximo �
( ) b)(a 
39
336
)( para 
2
322
22
2
2222
1
≥
⋅
−⋅
−=








+−








−
⋅
−
⋅=
==
LEI
bLPb
v
bLbLbL
LEI
Pb
v
xxv
máx
máx
máxmáxδ
( )
3
03
6
0
22
1222
bL
x
xbL
LEI
Pb
v
−
=
=−−⋅−
=′
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão no ponto médio x = L/2:
( ) b)(a 43
48
412
26
2
2
L
 xpara 
22
22
2
22
2
≥+−⋅=






+−⋅=








+−





⋅
⋅
=
==
bL
EI
Pb
v
bLL
EI
Pb
v
bLL
LEI
LPb
v
v
C
C
C
CCδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� São vigas em que o número de reações excede o 
número de equações de equilíbrio da estática.
3 reações
2 equações
Estaticamente Indeterminadas
0.
2
.0
00
00
=+−⇒=
=−+⇒=
=⇒=
∑
∑
∑
LRLqLMM
qLRRF
HF
BAA
BAY
Ax
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� São necessárias equações adicionais para obter todas 
as reações.
� O número de reações em excesso ao número de 
equações de equilíbrio é chamado de Grau de 
Hiperestaticidade. 
� Grau = (nº Reações) – (nº Equações)
� Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� As equações adicionais podem ser obtidas 
considerando as deformações da estrutura.
� Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais 
da linha elástica:
qvEI
QvEI
MvEI
z
z
z
−=⋅
=′′′⋅
=′′⋅
''''
� O procedimento para resolução é o mesmo usado para 
vigas isostáticas.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Como exemplo, analisaremos a viga anterior 
determinando as rotações e deflexões da viga.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� b) Equações de equilíbrio:
� (1)
� (2)
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� a) Estaticidade da estrutura:
dasdesconheci reações 3 , , 
0
→
=
VbVAA
A
RRM
H
equilíbrio de equações 2 0 e 0 →== ∑∑ MFY
,
Grau = 3 – 2 = 1 � Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1
2
2qLLRM
qLRR
VBA
VBVA
=⋅+
=+
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� c) Equação no momento fletor:
� Reação redundante � reação em excesso que pode ser 
liberada da estrutura, porém, deixando-a estável e 
estaticamente determinada. 
� Escolhemos RVB como reação redundante, e as outras 
reações serão escritas em função desta.
( )
2
.
22
2
222
2
qxLRqLxRqLqxMxRM
LRqLM
RqLR
VBVBAVA
VBA
VBVA
−





−−⋅−=−−⋅=
⋅−=
−=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� d) Equação diferencial da Linha Elástica:
( )
22
22 qxLRqLxRqLMvEI VBVBz −





⋅−−⋅−==′′⋅
( ) 1
322
622
CqxxLRqLxRqLvEI VBVBz +−⋅





⋅−−⋅−=′⋅
( ) 21
4223
24226
CxCqxxLRqLxRqLvEI VBVBz +⋅+−⋅





⋅−−⋅−=⋅
� Integrando:
� 3 incógnitas � C1, C2 e RVB
� São necessárias 3 condições de contorno
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� e) Condições de contorno:
� (I)
� (II)
� (III)
00 ' =→= vx
00 =→= vx
0=→= vLx
00000 )( 11 =⇒+−−=→ CCI
000000 )( 22 =⇒++−−=→ CCII
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
242466
0
43434 qLLRqLLRqL VBVB
−+−−=
83
 
24
1
4
1
6
1
2
1
6
1 43 qLR
-qLLR VBVB −=∴





−−⋅=





−⋅
8
3qLRVB =
( )
24226
0 
4223 qLLLRqLLRqL(III) VBVB −⋅





⋅−−⋅−=→
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� f) Rotações e Deflexões:






−⋅





⋅−−⋅





−⋅=
68
3
228
31 322
'
qx
xLqLqLxqLqL
EI
v
z






−⋅





⋅−−⋅





−⋅=
2428
3
268
31 4223 qxxLqLqLxqLqL
EI
v
z
( )22' 8156
48
xxLL
EI
qx
v
z
⋅−⋅+−⋅=
( )222 253
48
xxLL
EI
qx
v
z
⋅+⋅−⋅−=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� g) Reações nos apoios:
88
3
22
222 qLLqLqLLRqLM VBA =⋅−=⋅−=
8
5
8
3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3 Método da Superposição
� Em uma viga submetida a várias cargas, os 
deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido 
somando-se algebricamente os deslocamentos, no 
mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo 
isoladamente.
� Exemplo 1:
P
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
( )
z
qB EI
qL
v
8
4
−=
( )
z
qB EI
qL
6
3
−=θ
4.3 Método da Superposição
P
( )
z
PB EI
PL
v
3
3
−=
( )
z
PB EI
PL
2
2
−=θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
( ) ( )
zz
PBqBB EI
PL
EI
qL
vvv
38
33
−−=+=
( ) ( )
zz
PBqBB EI
PL
EI
qL
26
23
−−=+= θθθ
4.3 Método da Superposição
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.3 Método da Superposição
� Exemplo 2:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
( )
z
qC EI
qL
v
384
5 4
−= ( )
z
PC EI
PL
v
48
3
−=
( ) ( )
z
qBqA EI
qL
vv
24
3
=′=′− ( ) ( )
z
PBPA EI
PL
vv
16
2
=′=′−
4.3 Método da Superposição
( ) ( )
BA
PBqBB
PAqAA
PCqCc
vv
vv
vv
θθ
θ
θ
δ
=−




′+′=
′+′=
+=
)()(
)()(
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
zz
BA EI
PL
EI
qL
1624
23
+==− θθ
zz
C EI
PL
EI
qL
48384
5 34
−−=δ
4.3 Método da Superposição
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 3: Determine δB e θA
4.3 Método da Superposição
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
PF
aPaFMA
⋅=
=⋅−=∑
3
2
 
0
3
2
4.3 Método da Superposição
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Viga Engastada:
( )
EI
qb
v qB 8
4
=
( )
EI
Fb
v FB 3
3
=






+−=





+−=
EI
Pb
EI
qb
EI
Fb
EI
qb
B 9
2
838
3434
δ
4.3 Método da Superposição
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Viga Apoiada:
aEI
Pb
aEI
qb
a
B
9
2
8
34
1 +==
δθ
( )
EI
Pa
EIa
a
a
aaP
EIL
bLPab
⋅
=
⋅






+⋅





⋅





⋅
=
⋅
+⋅
=
81
4
6
333
2
6
2
2θ
EI
Pa
aEI
Pb
aEI
qb
A 81
4
9
2
8
234
21 −−−=−−= θθθ
4.3 Método da Superposição
θ1
θ2 δB
P
a
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 4: Determinar θA ; δB ; θC ; θD e δD
4.3 Método da Superposição
10 kN/m
20 kN/m
30 kN
20 kN
A
B C D
3m3m 2m
10 kN/m
20 kN/m
30 kN
40 kN
A
B C
3m3m
60kNm
20 kN
2m
C D
� Sistema Equivalente:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Rotação em A:
EI
ML
EIPL
EI
qL
EI
qL
A +−−−= 16128
3
24
233
θ
EI
ML
EI
PL
EI
qL
EI
qL
B 1648768
5
384
5 2344
+−−−=δ
� Flecha em B:
4.3 Método da Superposição
EIEIEIEIEIA
125,148
6
660
16
630
128
6103
24
610 233
−=
×
+
×
−
××
−
×
−=θ
EIEIEIEIEIB
125,253
16
660
48
630
768
6105
384
6105 2344
−=
×
+
×
−
××
−
××
−=δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Rotação em C:
EI
ML
EI
PL
EI
qL
EI
qL
C 316384
7
24
233
−+++=θ
4.3 Método da Superposição
EIEIEIEIEIC
875,76
3
660
16
630
384
6.107
24
610 233
=
×
−
×
+
×
+
×
+=θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Flecha em D:
EIEI
LCD
750,1532875,76' =×=×= θδ
EIEIEID
333,73
3
220
8
210 34''
−=
×
−
×
−=δ
4.3 Método da Superposição
θC δ’D
θ’D
δ’’D
EIEIEIDDD
417,80750,153333,73'''
=+−=+= δδδ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
EIEIEID
333,53
2
220
6
210 23'
−=
×
−
×
−=θ
4.3 Método da Superposição
θC δ’D
θ’D
δ’’D
EIEIEICDD
542,23875,76333,53'
=+−=+= θθθ
� Rotação em D :
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 5: Determine as reações dos apoios da 
viga abaixo usando o Método da Superposição.
� a) Estaticidade:
� Grau = 4(eq.) – 3(reações) = 1 � Hiperestática
� Reação Redundante RVB
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� b) Equação de Equilíbrio:
VBVAVBVAY RqLRqLRRF −=⇒=−+∴=∑ 00
LRqLMqLLRMM VBAVBAA ⋅−=⇒=−⋅+∴=∑ 2
 0
2
0
22
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� c) Compatibilidade de deslocamento:
( ) ( ) 0=+
VBRBqB
δδ
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
8
3
 0
38
34 qLR
EI
LR
EI
qL
VB
VB
=⇒=
⋅
+−
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� d) Reações dos apoios:
8
3qLRVB =
88
3
22
222 qLLqLqLLRqLM VBA =⋅−=⋅−=
8
5
8
3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� a) Estaticidade:
� 4 - 3 = 1 � Hiperestática RVB � Reação Redundante
� Exemplo 6: Determinar:
a) a reação em cada apoio;
b) a declividade da linha elástica na extremidade A.
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
q
A
B C
2L/3 L/3
L
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� b) Equações de Equilíbrio:
00 =⇒=∑ HCX RF
3
2
22
.
3
2
.0
2
VB
VCVCVBA
RqLRqLLRLRM −=∴=+⇒=∑
VBVCVAVCVBVAY RqLRRqLRRRF −=+∴=++⇒=∑ 0
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� c) Compatibilidade de deslocamento:
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
C
q
A
B
2L/3 L/3
A
RVB
C
2L/3 L/3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
( )
( )
9
4
273
2
33
2
6
3 2222 L
EI
LRLLLL
LEI
LR
VB
VB
RB VB
⋅
⋅
=














−





−⋅⋅






⋅−
−=δ
( ) ( )323 2
24
xLxL
EI
qx
v q +−⋅−= 3
2
 onde Lx =
( ) ( )222
6
xbL
LEI
Pbx
v
VBR
−−⋅−= 3
2
 onde Lx =
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
( )
EI
qLLLLLL
EI
q
qB
432
3 01132,0
3
2
3
22
3
2
24
−=














+





−⋅⋅−=δ
( )
EI
LRVB
VB B
3
01646,0 ⋅⋅=δ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Sabendo-se que δB = 0 e
( ) ( )
VBRBqBB
δδδ +=
VBVCVA RqLRR −=+
qLqLqLqLRVA ⋅=⋅−⋅−= 271,00413,0688,0
qLqLqLRqLR VBVC ⋅=⋅−=−= 0413,0688,03
2
23
2
2
qLR
EI
LR
EI
qL
VB
VB
⋅=⇒
⋅
⋅+⋅−= 688,001646,001132,00
34
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Logo:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� d) Declividade no apoio A:
( ) ( )
VBRAqAA
θθθ +=
( )
EI
qL
qA 24
3
−=θ
( ) ( )
LEI
LLLLR
LEI
bLPab VB
RA VB 6
333
2
6






+⋅





⋅





⋅
=
+⋅
=θ
( )
EI
qL
LEI
LqL
VBRA
3
3
03398,0
6
27
8688,0
⋅
=






⋅⋅
=θ
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� d) Declividade no apoio A:
EI
qL
EI
qL
EI
qL
A
333
00769,003398,0
24
⋅−=
⋅
+−=θ
4.4 Método da Superposição Aplicado em 
Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 1: Sabendo que a viga AE é um perfil 
laminado de aço S310x47,3, que q = 50kN/m, a = 1,5m 
e E = 200GPa, determinar: (a) a declividade em B; (b) a 
deflexão no centro C da viga.
Perfil S310x47,3 � A = 6032mm2; Ix = 90,7x106mm4;
Iy = 3,9x106mm4
q
A B
2a aa
D EC
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 2: Para a viga em balanço com 
carregamento mostrado, determine a declividade e a 
deflexão nos pontos B e D.
q
a a a
A B C D
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 3: A viga em balanço tem seção circular 
com diâmetro de 45mm e está submetida ao 
carregamento mostrado. Determine a inclinação e a 
deflexão nos pontos B e C. Considera E = 200GPa.
2,6kN/m
0,75m 0,25m
A
B C
0,6kN
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 4: Para o carregamento mostrado na figura, 
sabendo-se que as vigas AC e BD têm mesma rigidez à
flexão, determine a reação em B.
10kN/m