09-deformacao de vigas em flexao - pt

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Deformação de Vigas 
em flexão
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Mecânica dos Materiais
9 - 2
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
• A relação entre o momento flector e a 
curvatura, para flexão pura, mantém-se 
válida para o caso de uma viga em flexão 
sujeita a forças transversais:
EI
xM )(1
=
ρ
• Para a viga encastrada sujeita a uma força 
concentrada na extremidade, temos:
EI
Px
−=ρ
1
• A curvatura varia linearmente com x :
• Na extremidade A, ∞== A
A
 ρ
ρ
,01
• No apoio B, PL
EI
B
B
=≠ ρ
ρ
 ,01
x
9 - 3
• A curvatura é zero nos pontos em que o 
momento flector é zero, i.e., nas extremidades e 
no ponto E.
EI
xM )(1
=ρ
• A deformação da viga é côncava para cima ∪∪∪∪
onde o momento flector é positivo e côncava 
para baixo ∩∩∩∩ onde o momento flector é 
negativo.
• A curvatura máxima ocorre onde o valor do 
momento flector é máximo.
• A equação da deformação da viga – equação da 
linha da elástica – é necessária para determinar 
a deformação máxima (flecha máxima) e a 
rotação.
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
9 - 4
Equação da Linha elástica 
• A seguinte relação é válida (demonstrável 
através da Análise Matemática):
EI
M
dx
yd
dx
dy
dx
yd
=≈














+
= 2
2
232
2
2
1
1
ρ
• Substituíndo e integrando:
( )
( )
( ) 21
00
1
0
2
2
CxCdxxMdxyEI
CdxxM
dx
dyEIEI
xM
dx
ydEI
xx
x
++=
+=≈
=
∫∫
∫θ
Equação da curvatura:
Equação das rotações:
Equação da linha elástica: 
9 - 5
Equação da linha elástica
( ) 21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
++= ∫∫
• As constantes são determinadas a partir das 
condições de fronteira.
• Três casos para vigas estaticamente 
determinadas:
– Viga simplesmente apoiada
0,0 == BA yy
– Viga em balanço
0,0 == BA yy
– Viga encastrada
0,0 == AAy θ
9 - 6
Determinação da equação da linha elástica a partir 
da força distribuída
• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,
( ) ( )xw
dx
dV
dx
Md
xV
dx
dM
−=== 2
2
• A equação para a deformação será
( )xw
dx
ydEI
dx
Md
dx
ydEIxM −==⇒= 4
4
2
2
2
2
)(
( ) ( )
43
2
22
13
16
1 CxCxCxC
dxdxdxdxxwxyEI
++++
−= ∫∫∫∫
• Integrando 4 vezes, obtém-se,
• As constantes são calculadas a partir das 
condições de fronteira.
9 - 7
Vigas estaticamente indeterminadas
• Considere-se a viga encastrada em A e com um 
apoio móvel em B.
• Condições de equilibrio estático:
000 =∑=∑=∑ Ayx MFF
A viga é estaticamente indeterminada.
( ) 21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
++= ∫∫
• Temos também a equação da deformada,
que introduz duas incógnitas adicionais, mas 
que fornece três equações adicionais a partir 
das condições de fronteira:
0:00:0 ====θ= yLxyx
9 - 8
Exemplo 9.1
Para a parcela AB da viga, calcular
(a) A equação da linha elástica, 
(b) Deformada máxima.
Resolução:
• Escrever uma expressão para M(x)
e para a equação diferencial da 
linha elástica.
• Integrar a equação diferencial duas 
vezes e aplicar as condições de 
fronteira para obter a equação da 
deformada.
• Localizar o ponto com tangente 
nula ou ponto da deformada 
máxima. Calcular a deformada 
máxima.
9 - 9
Exemplo 9.1
• Expressão para M(x) e equação diferencial 
da linha elástica.
- Reacções:
↑




 +=↓=
L
aPR
L
PaR BA 1
- Diagrama de corpo livre para secção AD,
( )Lxx
L
aPM <<−= 0
x
L
aP
dx
ydEIxM
dx
ydEI −=⇒= 2
2
2
2
)(
- Equação diferencial da linha elástica,
9 - 10
Exemplo 9.1
PaLCLCL
L
aPyLx
Cyx
6
1
6
10:0, em
0:0,0 em
11
3
2
=+−===
===
• Integrar a equação diferencial duas vezes e 
aplicar as condições de fronteira para obter 
a equação da deformada:
21
3
1
2
6
1
2
1
CxCx
L
aPyEI
Cx
L
aP
dx
dyEI
++−=
+−=
x
L
aP
dx
ydEI −=2
2














−=
32
6 L
x
L
x
EI
PaLy
⇒+−=














−=⇒+−=
PaLxx
L
aPyEI
L
x
EI
PaL
dx
dyPaLx
L
aP
dx
dyEI
6
1
6
1
31
66
1
2
1
3
2
2
Substituíndo,
9 - 11
Exemplo 9.1
• Localizar o ponto de deformada máxima.














−=
32
6 L
x
L
x
EI
PaLy LLx
L
x
EI
PaL
dx
dy
m
m 577.0
3
31
6
0
2
==⇒














−==
• Deformada máxima.
( )[ ]32max 577.0577.06 −= EIPaLy
EI
PaLy
6
0642.0
2
max =
9 - 12
Exemplo 9.3
Para a viga representada na figura, determinar a reacção
emA, obter a equação da linha elástica e determinar a 
rotação em A. 
(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)
9 - 13
Exemplo 9.3
• Análise de momentos numa secção D:
L
xw
xRM
Mx
L
xw
xR
M
A
A
D
6
0
32
1
0
3
0
2
0
−=
=−








−
=∑
L
xw
xRM
dx
ydEI A 6
3
0
2
2
−==
• Equação da linha elástica:
9 - 14
Exemplo 9.3
L
xw
xRM
dx
ydEI A 6
3
0
2
2
−==
• Integrando duas vezes:
21
5
03
1
4
02
1206
1
242
1
CxC
L
xw
xRyEI
C
L
xw
xREI
dx
dyEI
A
A
++−=
+−== θ
• Aplicar as condições de fronteira:
0
1206
1
:0, em
0
242
1
:0, em
0:0,0 em
21
4
03
1
3
02
2
=++−==
=+−==
===
CLCLwLRyLx
CLwLRLx
Cyx
A
Aθ
• Resolver em ordem à reacção em A
0
30
1
3
1 4
0
3
=− LwLRA ↑= LwRA 010
1
9 - 15
Exemplo 9.3
xLw
L
xw
xLwyEI 





−−





=
3
0
5
03
0 120
1
12010
1
6
1
( )xLxLx
EIL
wy 43250 2
120
−+−=
• Substituir C1, C2, e RA na equação da 
linha elástica:
( )42240 65
120
LxLx
EIL
w
dx
dy
−+−==θ
EI
Lw
A 120
3
0
=θ
• Diferenciar para calculo das rotações:
em x = 0,
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas:
9 - 16
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont.
9 - 17
Deformadas e rotações de vigas encastradas:
9 - 18
Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont.
9 - 19
9 - 20
Método da Sobreposição
Principio da Sobreposição:
• As deformações de vigas sujeitas a 
combinações de forças, podem ser obtidas 
como a combinação linear das deformações 
causadas pelas forças individuais.
9 - 21
Exemplo 9.7
Para a viga sujeita aos carregamentos 
representados, determine a rotação e a 
deformada no ponto B.
Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”
como ilustrado, temos:.
9 - 22
Exemplo 9.7
Loading I
( )
EI
wL
IB 6
3
−=θ ( )
EI
wLy IB 8
4
−=
Loading II
( )
EI
wL
IIC 48
3
=θ ( )
EI
wLy IIC 128
4
=
No segmento de viga CB, o momento flector é 
zero e a linha elástica é uma recta:
( ) ( )
EI
wL
IICIIB 48
3
== θθ
( )
EI
wLL
EI
wL
EI
wLy IIB 384
7
248128
434
=




+=
9 - 23
Exemplo 9.7
( ) ( )
EI
wL
EI
wL
IIBIBB 486
33
+−=+= θθθ
( ) ( )
EI
wL
EI
wLyyy IIBIBB 384
7
8
44
+−=+=
EI
wL
B 48
7 3
=θ
EI
wLyB 384
41 4
=
Combinando as duas soluções:
9 - 24
9 - 25
9 - 26
9 - 27
9 - 28
9 - 29
9 - 30
Aplicação do métododa Sobreposição a vigas 
estaticamente indeterminadas
O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar 
as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:
1. Escolher uma das reacções como 
redundante e eliminar (ou modificar) 
o apoio correspondente.
2. Determinar a deformada da viga 
sem o apoio redundante.
3. Tratar a força de reacção redundante 
como uma incógnita que, em 
conjunto com as outras forças deve 
originar deformações compatíveis 
com o apoio original.
9 - 31
Exemplo 9.8
Para a viga e carregamento representado na 
figura, determinar a reacção em cada apoio e 
a rotação na extremidade A.
• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.
• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada 
zero no ponto B.
9 - 32
Exemplo 9.8
• Deformada em B devido à força distribuida:
( )
EI
wL
LLLLL
EI
wy wB
4
3
34
01132.0
3
2
3
22
3
2
24
−=













+





−





−=
• Deformada em B devida à força redundante:
( )
EI
LRLL
EIL
Ry BBRB
322
01646.0
33
2
3
=











=
• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0
( ) ( )
EI
LR
EI
wLyy BRBwB
34
01646.001132.00 +−=+=
↑= wLRB 688.0
• Para equilibrio estático,
↑=↑= wLRwLR CA 0413.0271.0
9 - 33
Exemplo 9.8
( )
EI
wL
EI
wL
wA
33
04167.0
24
−=−=θ
( )
EI
wLLLL
EIL
wL
RA
32
2 03398.0
336
0688.0
=














−





=θ
( ) ( )
EI
wL
EI
wL
RAwAA
33
03398.004167.0 +−=+= θθθ
EI
wL
A
3
00769.0−=θ
Rotação na extremidade A: