Aula 09 - Deflexão Vigas

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
0. Revisão Flexão Regime Elástico
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
�O mais complexo sistema de cargas pode ser equilibrado internamente
em um elemento com o surgimento de esforços: axiais, cortantes e
momentos fletores;
0. Revisão Flexão Regime Elástico
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� A teoria simplificada de flexão visa estabelecer a relação entre:
�A carga aplicada;
�Omomento fletor gerado;
�As propriedades da seção transversal do elemento;
�E as tensões e deformações resultantes.
� Isto requer que:
� Seja assumido um estado de deformação coerente (reduzir o
problema estaticamente indeterminado para um determinado);
�Que as deformações e as tensões resultantes sejam relacionadas
por leis adequadas;
�Que o equilíbrio de forças internas e externas seja satisfeito.
� A teoria aqui apresentada visa estabelecer uma relação entre a intensidade do
momento fletor com as tensões e deformações geradas em um determinado
elemento estrutural.
0. Revisão Flexão Regime Elástico
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• Considere a viga prismática (seção 1
eixo de simetria, eixo longitudinal no
C.G.);
• Sob flexão pura, eixo da viga flete;
• Planos inicialmente ┴ ao eixo da viga
inclinam ligeiramente;
• Linhas ad e bc permanecem planas;
centróide
eixo da viga
eixo de flexão
“Seções planas permanecem planas após a flexão”.
ds 1d
ds d k
ds
θ
ρ θ
ρ
= ⋅ ∴ = =
k: curvatura
(eq.1)
du
ρ: raio de curvatura
0. Revisão Flexão Regime Elástico
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centróide
eixo da viga
eixo de flexão
: ds
( )
( )
du y d
L du ds y d d
L y d
ρ θ
ρ θ ρ θ
θ
= − ⋅
∆ = − = − ⋅ − ⋅
∆ = − ⋅ (eq.2)
: du
- Como θ e δ são pequenos:
tan
ds dx
θ θ≈
≈
- Dividindo (2) por dx, e sabendo 
que , tem-se:
x y kε = − ⋅
/ xL dx ε∆ =
(eq.3)
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• Redefinição Hipótese Fundamental:
“Em uma viga sob flexão as tensões em suas fibras variam linearmente, ou 
diretamente, com suas respectivas distâncias até a linha neutra”.
x B yσ = ⋅
σx=B·y
B é uma constante que 
relaciona as tensões com 
a distância da fibra em 
análise até a L.N.
Relações entre as tensões e o momento aplicado podem ser obtidas:
0 0xF M= =∑ ∑
(eq.4)
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0 0
x x
A
x x
A
dF dA F dA
F dA
σ σ
σ
= ⋅ ∴ = ⋅
= ∴ ⋅ =
∫
∑ ∫ (eq.5)
- Substituindo (4) em (5), tem-se:
0 0
A A
B y dA B y dA⋅ ⋅ = ∴ ⋅ ⋅ =∫ ∫ (eq.6)
B ≠ 0, logo: 0
A
y dA⋅ =∫ Por definição
A
y dA y A⋅ = ⋅∫
Como A ≠ 0, 0y = C.G. coincide com L.N.
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( )0 0x
A
M M dA yσ= ∴ + ⋅ ⋅ =∑ ∫ (eq.7)
- Substituindo (4) em (7), tem-se:
( )
2
A
A
M B y dA y
M B y dA
= − ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
∫
∫ (eq.8)
Por definição: 2
A
I y dA= ⋅∫ (eq.9)
- Substituindo (9) em (8), tem-se:
M
M B I B
I
= − ⋅ ∴ = − (eq.10)
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- Substituindo (10) em (4), tem-se:
x
M
y
I
σ = − ⋅ (eq.11)
- Como:
x xEσ ε= ⋅ (eq.12) (eq.3).x y kε = −
- Substituindo (12) e (3) em (11), tem-se:
1
( )
M M
E y k y k
I E Iρ
⋅ − ⋅ = − ⋅ ∴ = =
⋅
(eq.13)
Eq. 13 relaciona a curvatura de uma viga com o momento fletor
0. Revisão Flexão Regime Elástico
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(eq.12)
- A tensão será máxima quando , logo:maxy y=
,max maxx
M
y
I
σ = − ⋅
,maxx
E
M
w
σ = − (eq.13)
Ew : módulo resistente elástico da seção
max
E
I
w
y
= (eq.14)
1. Deflexão de Vigas
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� Considere uma viga engastada e livre com uma
carga concentrada para cima em sua
extremidade;
� Sob a ação desta carga o eixo da viga desloca-se
para cima;
� Sendo esta viga uma estrutura plana (x e y);
� Deflexão (ν) ou o deslocamento da viga
representa a translação em y de qualquer
ponto do eixo da viga;
� O eixo da viga desloca-se em uma curva,
denominada curva de deflexão da viga;
� Esta curva é descrita através de equações
diferenciais.
1. Deflexão de Vigas
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� A deflexão (ν) é uma função da coordenada x;
� Sejam os pontos m1 e m2, tomados a
distâncias (x) e (x + dx) da origem;
� Eles terão deflexões (ν) e (ν + dν);
� Quando a viga é flexionada, em cada ponto
existe uma rotação θ além da deflexão ν;
� Considerando-se que a viga tem um centro de
curvatura O’, a distância de O’ até à curva de
deflexão é denominada raio de curvatura (ρ);
1d
ds d k
ds
θ
ρ θ
ρ
= ⋅ ∴ = =
1. Deflexão de Vigas
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� Analisando-se a figura é possível extrair
algumas relações:
tan ; cos ; sin
d dx d
dx ds ds
ν ν
θ θ θ= = =
� Estruturas em geral apresentam pequenos
deslocamentos em serviço;
� Logo, θ é um ângulo muito pequeno. Para
ângulos muito pequenos , logo:cos 1θ ≈
tan
1
d
dx
dx ds
d
k
dx
ν
θ θ
θ
ρ

≈ =

≈ ⇒ 
 = =
1. Deflexão de Vigas
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� A inclinação θ da curva de
deflexão representa o quanto
crescem os deslocamentos a medida
que nos movemos ao longo de x;
d
dx
ν
θ =
� Substituindo a equação acima tem-se:
2
2
1 d d
k
dx dx
θ ν
ρ
= = =
1 M
k
E Iρ
= =
⋅
� Como mostrado anteriormente:
� Logo:
2
2
d M
dx E I
ν
=
⋅
2. Equações Diferenciais de Deflexão
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� No caso de vigas prismáticas (EI constante), as equações diferenciais para
expressar os deslocamentos em função dos momentos, do esforço cortante
ou da carga são:
2
2
d
EI M
dx
ν
=
3
3
d
EI V
dx
ν
=
4
4
d
EI q
dx
ν
= −
� Outra notação:
''EI Mν = '''EI Vν = ''''EI qν = −
� Convenção de sinais para esforços:
3. Integrais de Funções Racionais
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4. Solução de Problemas
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�A resolução de problemas de deflexão inicia com o estabelecimento
de equações para o momento fletor ou esforço cortante em uma
viga;
�Com isso, deve-se resolver integrais múltiplas até obter-se a
informação desejada;
�Com isso, surgem constantes de integração, que podem ser
determinadas impondo-se as condições de contorno da viga;
''EI Mν = '''EI Vν = ''''EI qν = −
4. Solução de Problemas
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a) Viga engastada e em balanço b) Viga bi-apoiada
5. Deflexão e Inclinaçãode Vigas
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5. Deflexão e Inclinação de Vigas
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5. Deflexão e Inclinação de Vigas
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5. Deflexão e Inclinação de Vigas
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5. Deflexão e Inclinação de Vigas
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• Exemplo 1: Determine a equação para estimar os deslocamentos e o
deslocamento máximo da viga abaixo.
x
νmax
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• Exemplo 1:
W
W·L
( )
M W L W x
M W L x
= − ⋅ + ⋅
= − ⋅ −
� Integrando em relação a x:
� Considerando condições de contorno tem-se que para
Logo,
x
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• Exemplo 1:
W
W·L
� Considerando condições de contorno tem-se que para . Logo,
� Integrando em relação a x:
� Considerando condições de contorno tem-se que o deslocamento será máximo
para . Logo:
νmax