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Equação da Linha Elástica

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Cap. VII - Equação da Linha Elástica 1
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
1. Cálculo da deformação das vigas por 
integração – No estudo da flexão simples vimos 
que: L = ρθ ; L’= (ρ-y)θ; δ = L’ – L;
δ = - yθ; ε = δ/L. 
Como:
σ= (M/I)*y; do diagrama Tensão X 
deformação - σ = E * ε.
Logo: σ = E * ε = (M/I)*y; e, 
fazendo as substituições devidas, 
encontramos que:
1/ρ = M/(E*I)
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 2
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
1. Cálculo da deformação das vigas por 
integração –
Considerando a viga em balanço 
“AB” e, sabendo que 1/ρ = M/(E*I), 
temos:
1/ρ = -P*X/(E*I).
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
.
Diagrama de Momento
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
2. Equação da Linha Elástica (Equação da 
deformada)
Do cálculo diferencial obtemos a expressão acima, que fornece 
a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x,y).
Para pequenas deformações, podemos escrever:
1/ρ = d2y/ d2x = M/EI
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 5
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
2. Equação da Linha Elástica (Equação da 
deformada)
1/ρ = d2y/ d2x = M/EI
EI dy/dx = ∫Mx dx + C1
(C = condição de 
contorno)
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
2. Equação da Linha Elástica (Equação da 
deformada)
Condições de contorno
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 1. – A viga prismática “AB”, 
simplesmente apoiada, está submetida a uma 
carga uniformemente distribuída “p” por unidade 
de comprimento. Determinar a equação da linha 
elástica e a flecha máxima da viga.
b
h
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 2. – A viga prismática “AB”, 
simplesmente apoiada, está submetida a uma 
carga uniformemente distribuída “p” por unidade 
de comprimento. Determinar a equação da linha 
elástica e a flecha máxima da viga.
b
h
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 9
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 3. – Determinar, para a viga e o 
carregamento indicados: a) equação da linha 
elástica; b) a declividade da linha elástica no 
ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”.
b = 50 mm
H= 150 mm
 Mo = 10 KN.m
a = 2,0 m; b= 3,0 m 
E = 200 GPa 
 
Eq. Linha Elástica; 
d2y/ d2x = M/EI 
 
Declividade - dy/dx = θ 
 
EI dy/dx = ∫Mx dx + C1 
dy/dx = θ 
 
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Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 4. – Determinar, para a viga e o 
carregamento indicados: a) equação da linha 
elástica; b) a declividade da linha elástica no 
ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”.
b = 50 mm
H= 150 mm
 w = 10 KN/m 
L = 6,0 m; 
E = 200 GPa 
 
Eq. Linha Elástica; 
d2y/ d2x = M /EI 
 
Declividade - dy/dx = θ 
 
EI dy/dx = ∫Mx dx + C1 
dy/dx = θ 
 
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 11
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 5. – Determinar, para o 
carregamento indicado: a) equação da linha 
elástica da viga em balanço “AB”; b) a flecha na 
extremidade livre; c) a declividade na 
extremidade livre.
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 12
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
3. Exercício 6. – Determinar, para o 
carregamento indicado: a) equação da linha 
elástica da viga em balanço “AB”; b) a flecha na 
extremidade livre; c) a declividade na 
extremidade livre.
Cap. VII - Equação da Linha Elástica 13
Cap. VII – Equação da Linha Elástica
4. Exercício AC. – Determinar, para a viga e o 
carregamento indicados: a) equação da linha 
elástica; b) a declividade da linha elástica no 
ponto “A”; c) a flecha no ponto “C”.
h
b
Dados:
p = 10 KN/m
E = 200 GPa
a = c = 3,0 m
b = 50 mm
h = 150 mm
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