A Geometria Analítica e Outros Desenvolvimentos Pré Cálculo -Seminário

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A Geometria Analítica e Outros Desenvolvimentos Pré-Cálculo
Penso, logo existo. René Descartes
10.1 Geometria Analítica
Não existiam ainda organizações de matemáticos profissionais, mas na Itália, França e Inglaterra havia grupos científicos mais ou menos organizados: a Accademia dei Lincei (a que Galileu pertencia) e a Accademia del Cimento, na Itália; o Cabinet Du Puy, na França; e o Invisible College, na Inglaterra. Havia ainda um indivíduo que, durante o período que estamos agora considerando, serviu através de correspondência como centro de distribuição de informação matemática.
Marin Mersenne (1588-1648)
Esse foi o frade Minita, Marin Mersenne (1588-1648), muito amigo de Descartes e Fermat, como de muitos outros matemáticos da época. Embora Mersenne tenha sido responsável por poucos avanços nesta ciência, ele desempenhou um grande papel na matemática do século XVII. Mersenne lutou contra o costume de sigilo e a natureza reservada dos matemáticos parisiense e tentou encorajar os matemáticos a trocarem idéias, aperfeiçoando os trabalhos um dos outros. O monge organizou encontros regulares e seu grupo depois formou o núcleo do que seria a Academia Francesa. 
Quando alguém se recusava a comparecer, Mersenne contava ao grupo o que podia sobre o trabalho da pessoa em questão, divulgando inclusive cartas e documentos, mesmo que tivesse sido enviadas para ele com pedido de sigilo. Depois da morte de Mersenne, seu quarto foi encontrado atulhado de cartas enviadas por setenta e oito correspondentes diferentes.
Enquanto Desargues e Pascal abriam um novo campo, a geometria projetiva, Descartes e Fermat concebiam as idéias da geometria analítica moderna. A essência da idéia, quando aplicada ao plano, consiste em estabelecer uma correspondência entre pontos do plano e pares ordenados de números reais, viabilizando assim uma correspondência entre curvas do plano e equações em duas variáveis, de maneira tal que para curva do plano está associada uma equação bem definida f(x, y)=0 e para cada equação dessas está associada uma curva(ou conjunto de pontos) bem definida no plano. Estabelece-se, além disso, uma correspondência entre as propriedades algébricas e analíticas da equação f(x, y) = 0 e as propriedades geométricas da curva associada. 
Transfere-se assim, de maneira inteligente, a tarefa de provar um teorema em geometria para a de provar um teorema correspondente em álgebra e análise. Há divergências de opinião sobre quem inventou a geometria analítica e mesmo sobre a época que merece o crédito dessa invenção. É óbvio, porém, que para responder a essas questões é preciso antes que haja um entendimento a respeito do que constitui a geometria analítica. 
Já vimos que os gregos antigos dedicaram-se consideravelmente à álgebra geométrica e que a idéia de coordenadas foi usada no mundo antigo pelos egípcios e os romanos na agrimensura e pelos gregos na confecção de mapas. Pesa particularmente a favor dos gregos o fato de que Apolônio deduziu o cerne de sua geometria das secções cônicas de equivalentes geométricos de certas equações cartesianas dessas curvas, uma idéia que parece ter-se originado com Menaecmo.
Nicolle Oresme
 Já observamos também que no século XIV Nicole Oresme antecipou outros aspectos da geometria analítica ao representar graficamente certas leis, confrontando a variável dependente (latitude) com a variável independente (longitude), à medida que se permitia que esta última sofresse pequenos acréscimos. Os que defendem Oresme como o inventor da geometria analítica argumentam com esse aspecto de seu trabalho, que seria a primeira manifestação explícita da equação da reta, e com algumas outras noções a que ele chegou envolvendo espaços de dimensões superior. 
Um século depois de ter sido escrito, o texto de Oresme mereceu várias tiragens, daí que pode ter influenciado matemáticos posteriores. Antes de a geometria analítica poder desempenhar plenamente esse papel, teve de esperar o desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos. Assim, parece mais correto concordar com a maioria dos historiadores que consideram as contribuições decisivas feitas no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto.
René Descartes
René Descartes nasceu perto de Tours em 1596. Aos oito anos de idade foi enviado a uma escola jesuita em La Flèche. Foi então que desenvolveu (de início devido à sua saúde frágil) o hábito que o acompanhou por toda a vida de ficar até tarde na cama de manhã. Posteriormente Descartes consideraria essa horas matinais de descanso como seus períodos de tempo mais produtivos. Em 1612 deixou a escola e foi para Paris onde, logo depois, em companhia de Mersenne e Midorge passou a dedicar parte de seu tempo ao estudo da matemática. Em 1617, juntando-se ao exército do príncipe Maurício de Orange, iniciou uma carreira militar de vários anos. Depois de abandonar a vida militar passou quatro ou cinco anos viajando pela Alemanha, Dinamarca, Holanda, Suiça e Itália.
Retornando a Paris, onde ficaria uns dois anos, continuou seus estudos matemáticos e suas contemplações filosóficas e, por algum tempo, dedicou-se a construir instrumentos ópticos. Depois disso resolveu mudar para a Holanda, então no auge de seu poder, onde viveu cerca de vinte anos, consagrando-se à filosofia, à matemática e à ciência. Em 1649, ele aceitou um convite da rainha Cristina da Suécia para instruí-la em filosofia e estabelecer uma academia de ciências em Estocolmo. 
Descartes nunca teve boa saúde, e o rigor do inverno escandinavo foi demasiado para ele; contraiu um infecção pulmonar, vindo a falecer, prematuramente, no início de 1650. O grande filósofo e matemático foi sepultado na Suécia e os esforços visando levar seus restos mortais para a França não tiveram êxito. Só depois de dezessete anos de sua morte é que seus ossos foram levados para a França e reenterrados em Paris, exceto os da mão direita que foram guardados como "souvenir" pelo alto funcionário francês incumbido do transporte da ossada.
Foi durante a sua estada de vinte anos na Holanda que Descartes produziu seus escritos. Os primeiros quatro anos foram gastos para escrever Le monde, uma descrição física do Universo que acabou sendo abandonada incompleta quando Descartes soube da condenação de Galileu pela Igreja. Pôs-se então a escrever um tratado filosófico sobre a ciência universal sob o título de Discours de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences (Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências). Ele esperava por dúvida sistemática, chegar a idéias claras e precisas, a partir das quais seria possível deduzir inúmeras conclusões válidas. Acompanhavam esse tratado três apêndices: La dioptrique (contendo a primeira publicação da lei da refração - descoberta por Snell), Les météores (que continha entre outras coisas a primeira explicação quantitativa satisfatória do arco-íris) e La Géométrie.
A matemática cresce por acreções, com pouca necessidade de descartar irrelevâncias, ao passo que a ciência cresce em grande parte por substituições quando coisas melhores são encontradas. Não deve causar surpresa ver que a principal contribuição de Descartes à matemática, a fundação da geometria analítica, foi motivada por uma tentativa de voltar ao passado.
O título La Géométrie não deve levar ao engano de pensar que a obra é primariamente geométrica. Já no Discours, do qual La Géométrie é um apêndice, Descartes tinha discutido os méritos relativos da álgebra e da geometria, sem mostrar parcialidade por nenhuma delas. Acusava a segunda de usar demasiado pesadamente diagramas que fatigam a imaginação desnecessariamente, e a primeira de ser uma arte confusa e obscura que embaraça a mente. O objetivo de seu método, portanto, era duplo: (1) por processos algébricos libertar a geometria de diagramas e (2) da significado às operações da álgebra por meio de interpretações geométricas. Seu método em La Géométrieconsistia então em partir de um problema geométrico, traduzí-lo em linguagem de equação algébrica, e depois, tendo simplificado ao máximo a equação, resolvê-la geometricamente.
La géométrie ocupa cerca de cem páginas e se divide em três partes. Trata-se da única publicação matemática de Descartes. A primeira parte contém uma explanação de alguns dos princípios da geometria algébrica e revela um avanço real em relação aos gregos. Para os gregos, uma variável correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis à área de algum retângulo e o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo retângulo.
 Os gregos não iam além disso. Para Descartes, por outro lado, 2x não sugeria uma área, antes porém o quarto termo da proporção 2x:x:1 , suscetível de ser representado por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece x. Usando-se um segmento unitário é possível, dessa maneira, representar qualquer potência de uma variável, ou um produto de variáveis, por meio de um segmento de reta. Com essa arimetização da geometria, Descartes, na primeira parte de La géométrie, marcava x num eixo dado e então um comprimento y, formando um ângulo fixo com esse eixo, com o objetivo de construir pontos cujo x e cujo y satisfizessem uma relação dada. Se por exemplo, temos a relação 2xy , então, para cada valor de x, estamos em condições de construir o y correspondente com quarto termo da proporção acima.
A primeira parte contém ainda instruções detalhadas para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico dos antigos babilônios, mas geometricamente, um tanto à maneira dos gregos antigos. Para resolver a equação 22bazz , por exemplo, Descartes procede do modo seguinte. Tracemos um segmento LM de comprimento b e em L levante-se um segmento NL igual a 2a e perpendicular a LM. Com centro em N construímos um círculo de raio 2a e traçamos a reta por M e N que cortará o círculo em O e P. Então z = OM é o segmento desejado. (Descartes ignorava a raiz PM da equação porque é "falsa", isto é negativa).
A segunda parte de La géométrie traz, entre outras coisas, uma classificação de curvas agora superada e um método interessante de construir tangentes a curvas que, em linhas gerais, é o seguinte. Sejam f(x, y) = 0 a equação da curva dada e (x1, y1) as coordenadas do ponto P da curva pelo qual se deseja traçar a tangente. Seja Q um ponto do eixo x, de coordenadas (x2, 0). Então a equação da circunferência de centro Q e que passa pelo ponto P é 212 21 222y)x(y)x( .
Eliminando-se y do sistema formado pela equação acima e por f(x, y) = 0, obtém-se uma equação em x que leva às abcissas dos pontos onde a circunferência corta a curva dada. Determina-se a seguir x2 de modo que essa equação em x tenha um par de raízes iguais a x1. Essa condição faz com que Q seja a interseção do eixo x com a normal à curva em P, uma vez que a circunferência é agora tangente à curva dada em P. Desenhada essa circunferência, pode-se facilmente construir a tangente desejada. Como exemplo do método, considere a construção da tangente à parábola x4y2 no ponto (1,2). Temos aqui
A condição para que essa equação tenha duas raízes iguais é que seu discriminante seja nulo - isto é, que 0)5x2()x2(2 , ou3x2 . Pode-se traçar então a circunferência de centro (3,0) pelo ponto (1, 2) da curva o que propicia a construção da tangente desejada. Descartes aplicou esse método de construir tangentes a muitas curvas diferentes, inclusive a uma das ovais quárticas que tem seu nome. Temos assim um processo geral que nos mostra exatamente o que fazer para resolver nosso problema, mas deve-se confessar que nos casos mais complicados a álgebra necessária pode ser assustadora Aí está um ponto fraco da geometria analítica elementar: muitas vezes sabemos o que fazer mas falta capacidade técnica para fazê-lo. Obviamente há métodos muito melhores do que esse de Descartes para se encontrar tangentes a curvas.
A terceira parte de La géométrie trata da resolução de equações de grau maior que dois. Diz como descobrir raízes racionais, se existem, como abaixar o grau de equação quando se conhece uma raiz, como aumentar ou diminuir as raízes de uma equação de qualquer quantidade, ou multiplicá-la ou dividi-las por um número, como eliminar o segundo termo, como determinar o número de possíveis raízes "verdadeiras" ou "falsas" (isto é, positivas ou negativas) pela bem conhecida regra de sinais de Descartes e como achar a solução algébrica de equações cúbicas ou quárticas. O uso do princípio de identidade de polinômios também começou com Descartes.
Nossa exposição da geometria analítica de Descartes deve ter deixado claro quão longe estavam os pensamentos do autor de considerações práticas que hoje estão tão freqüentemente associadas com o uso de coordenadas. Ele não estabelecia um sistema de coordenadas a fim de localizar pontos como um medidor de terras ou um geógrafo poderiam fazer, nem pensava em suas coordenadas como pares de números. Quanto a isso, a frase "produto cartesiano", tão freqüentemente usada hoje, é um anacronismo. Há trinta e duas figuras no livro, mas em nenhuma delas se encontram colocados explicitamente os eixos coordenados. O texto foi escrito intencionalmente de maneira obscura e como resultado era difícil de ler, o que limitava muito a divulgação de seu conteúdo. Apesar disso, La géométrie de Descartes é o texto mais antigo que um estudante de hoje possa seguir sem encontrar dificuldades com a notação.
Quase que o único símbolo arcaico no livro é o uso de em vez de = para a igualdade. O uso de letras do começo do alfabeto para os parâmetros e das do fim como incógnitas, a notação para potências como 43a,ae assim por diante, o uso dos símbolos germânicos + e , tudo isso fez com que a notação de Descartes se assemelhasse à nossa, pois naturalmente tiramos a nossa dele. As palavras coordenadas, abscissa e ordenada, no sentido técnico que têm hoje, foram contribuições de Leibnitz em 1692. Dentre outras contribuições atribuídas a Descartes figura a quase descoberta da relação 2fav , ligando o número de vértices v, arestas a e faces f de um poliedro conexo.
Ao mesmo tempo em que Descartes formulava as bases da geometria analítica moderna, o assunto também ocupava a atenção de outro gênio matemático francês, Pierre de Fermat. A atribuição da prioridade a Fermat se apóia numa carta escrita a Roberval em setembro de 1636, na qual afirma que suas idéias já tinham então sete anos. Os detalhes a respeito apareceram no artigo Isagoge ad locus planos et solidos, publicado postumamente. Talvez por isso, na mente de muitos, a geometria analítica era considerada invenção de Descartes unicamente. O ponto de vista de Fermat não concordava inteiramente com o de Descartes, pois enquanto Descartes partia de um lugar geométrico e então encontrava sua equação, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar correspondente. São esses os dois aspectos recíprocos do princípio fundamental da geometria analítica. 
Pierre de Fermat
Fermat usou a notação de Viète para escrever seu trabalho que, assim, tinha uma aparência arcaica em termos de simbolismo quando comparado ao de Descartes. Mesmo assim a exposição de Fermat era muito mais sistemática e didática que a de Descartes. Além disso, sua geometria analítica era um tanto mais próxima da nossa no fato de serem as ordenadas usualmente tomadas perpendicularmente ao eixo das abscissas.
Segundo um registro aparentemente confiável, Fermat nasceu em Beaumont de Lomagne, perto de Toulouse, a 17 de agosto de 1601. Sabe-se que morreu em Castres ou Toulouse a 12 de janeiro de 1665. Fermat era filho de um comerciante de couro e recebeu sua educação inicial em casa. Com a idade de trinta anos alcançou o posto de conselheiro do parlamento de Toulouse onde sua atuação se pautou pelo cumprimento de dever, modesta e escrupulosamente. Como advogado humilde e discreto, reservou o melhor de seu tempo de lazer à matemática. Embora publicasse muito pouco durante sua vida, manteve correspondência científicacom muitos dos principais matemáticos de seu tempo e, dessa maneira, exerceu considerável influência sobre seus contemporâneos. Fermat enriqueceu tantos ramos da matemática com tantas contribuições importantes que é considerado o maior matemático francês do século XVII
A Introdução aos lugares de Fermat começa com a equação linear. Usando a notação de Viète, Fermat esboçou primeiro o caso mais simples de equação linear - dado em latim como "D in A aequetur B in E" (isto é, Dx = By em simbolismo moderno). O gráfico, é claro, é uma reta pela origem - ou antes, semi-reta com a origem como extremidade, pois Fermat, como Descartes, não usava abscissas negativas. Fermat em seguida mostrou que 2kxy é uma hipérbole e que uma equação da forma cybxaxy2 pode ser reduzida a uma da forma 2kxy (por uma translação de eixos). A equação 22yx ele considerava como uma só reta (ou semi-reta) pois operava só no primeiro quadrante, e reduziu outras equações homogêneas de segundo grau a essa forma. Depois ele mostrou que byxa22 é uma parábola, que 222cby2ax2yx é um círculo, que 222kyxa é uma elipse, e que 222kyxa é uma hipérbole (da qual deu ambos os ramos). A equações quadráticas mais gerais, em que os vários termos de segundo grau aparecem, Fermat aplicou uma rotação de eixos para reduzi-las a uma das formas anteriores.
É possível que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essa época ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu trabalho sobre lugares. A mais importante dessas foi descrita alguns anos depois em um tratado, também não publicado durante sua vida, chamado Método para achar máximos e mínimos. Fermat estivera considerando lugares dados (em notação moderna) por equações da forma nxy ; por isso elas são freqüentemente hoje chamadas "parábolas de Fermat" se n é positivo ou "hipérboles de Fermat" se n é negativo. Aqui temos uma geometria analítica de curvas planas de grau superior; mas Fermat foi além. Para curvas polinomiais da forma y = f(x) ele notou um modo muito engenhoso para achar pontos em que a função assume um máximo ou um mínimo. Ele comparou o valor de f(x) num ponto com o valor f(x + E) num ponto vizinho.
 Em geral esses valores são bem diferentes, mas num alto ou num baixo de uma curva lisa a variação será quase imperceptível. Portanto para achar os pontos de máximo ou de mínimo Fermat igualava f(x) e f(x + E), percebendo que os valores, embora não exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o intervalo E entre os dois pontos mais perto chega a pseudo-equação de ser uma verdadeira equação; por isso Fermat, depois de dividir tudo por E fazia E = 0. Os resultados lhe davam as abscissas dos pontos de máximo e mínimo do polinômio. Aqui em essência tem-se o processo hoje chamado de diferenciação pois o método de Fermat equivale a achar E e igualar isso a zero. 
Portanto é razoável acompanhar Laplace ao saudar Fermat como descobridor do cálculo diferencial, bem como co-descobridor da geometria analítica. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por outro lado seu método para máximos e mínimos se assemelha ao usado no Cálculo hoje, só que agora se usa em geral o símbolo h ou x em lugar do E de Fermat. O processo de Fermat de mudar ligeiramente a variável e considerar valores vizinhos é a essência da análise infinitesimal.
Durante os anos em que Fermat estava desenvolvendo sua geometria analítica, ele descobriu também como aplicar seu processo de valores vizinhos para achar a tangente a uma curva algébrica da forma y = f(x). Se P é um ponto da curva y = f(x) em que se procura a tangente, e se as coordenadas de P são (a, b), então um ponto vizinho da curva com coordenadas x=a + E, y=f(a + E) estará tão perto da tangente que se pode pensar nele como estando aproximadamente também sobre a tangente. Portanto se a subtangente no ponto P é TQ = c, os triângulos TPQ e TP'Q' podem ser considerados praticamente semelhantes. Portanto tem-se a proporção Ec )Ea(fcb. Multiplicando em cruz, cancelando termos semelhantes, lembrando que b = f(a), então dividindo tudo por E e finalmente pondo E = 0, acha-se facilmente a subtangente c. O processo de Fermat equivale a dizer que E é a inclinação da tangente em x = a.
Fermat não só tinha um método para achar a tangente de curvas da forma nxy , mas também, algum tempo depois de 1629 chegou a um teorema sobre a área sob essas curvas. Suponhamos que se procura a área sob a curva desde x = 0 até x = a. Então Fermat subdividia o intervalo em uma infinidade de subintervalos tomando os pontos com abscissa a, aE, aE2 ,aE3 onde E é uma quantidade menor que um. Nesses pontos, ele levantava ordenadas da curva e depois aproximava a área sob a curva por meio de retângulos. As áreas dos retângulos circunscritos de aproximação, a começar do maior, são dados pelos termos em progressão geométrica )aEa(an , )aEaE(Ea2nn , )aEaE(Ea32n2n , ...
A soma a infinito desses termos é 1n. Quando E tende a um - isto é, os retângulos se tornam cada vez mais estreitos - a soma das áreas dos retângulos se aproxima da área sob a curva. Fazendo E = 1 na fórmula acima para a soma dos retângulos obtemos 1na1n , a área procurada sob a curva nxy desde x = 0 até x = a.
Fermat se ocupara de muitos aspectos da análise infinitesimal - tangentes, quadraturas, volumes, comprimentos de curvas, centros de gravidade. Dificilmente poderia deixar de notar que ao achar tangente a nxy multiplica-se o coeficiente pelo expoente e abaixa-se o expoente de uma unidade, ao passo que ao achar áreas aumenta-se o expoente e divide-se pelo novo expoente. Poderia a natureza inversa desses dois problemas ter-lhe escapado? Embora isso seja improvável, no entanto em lugar nenhum ele chamou a atenção para a relação que hoje se chama o teorema fundamental do cálculo. Talvez ele tenha percebido a natureza inversa dos problemas mas não tenha visto grande significado nisso.
Dentre as várias contribuições de Fermat à matemática, a mais importante é a fundação da moderna teoria dos números. Nesse campo a intuição e o talento de Fermat eram extraordinários. Sua atenção para a teoria dos números provavelmente foi despertada pela tradução latina da Aritmética de Diofanto, feita por Bachet de Méziriac em 1621. Muitas das contribuições de Fermat ao assunto se deram na forma de enunciados e notas escritos nas margens do exemplar que tinha do trabalho de Bachet. Em 1670, cinco anos após sua morte, esse material foi incorporado numa nova, mas infelizmente muito mal impressa, edição da Aritmética, publicada por um dos filhos de Fermat, Clément-Samuel. Muitos dos teoremas enunciados por Fermat mostraram-se depois verdadeiros.
Alguns de seus teoremas ele provou por um método que denominou "descida infinita" - uma espécie de indução ao contrário, processo que Fermat foi dos primeiros a usar. Vejamos, resumidamente, em que consiste. Para provar que uma certa relação ligando inteiros positivos é impossível assuma, ao contrário, que ela possa ser satisfeita por algum conjunto particular de inteiros positivos. A partir dessa suposição mostre que a mesma relação também vale para um outro conjunto de inteiros positivos menores. Então, repetindo o raciocínio, a relação deve valer para outro conjunto de inteiros menores e assim por diante ad infinitum. 
Como os inteiros positivos não podem decrescer em valor indefinidamente, segue-se que a suposição inicial é insustentável e que, portanto, a relação original é impossível. Para tornar claro o método, apliquemo-lo para provar que 2 é irracional. Se ba2 , onde a e b são inteiros positivos, como 12, então ba assim 11ba ba ba b. Mas como 221 , depois de substituir 2 por ba e multiplicar por b obtém-se b< a < 2b. De a < 2b decorre que 0 < 2b a = a1. E de B < a decorre que aab2a1 . Ou seja, a1 é um inteiro positivo menor que a. Repetindo-se o raciocínio chega-se a 22ba2 , onde a2 é um inteiro positivo menor que a1. O processo pode ser repetido indefinidamente. Como, porém, os inteiros positivos não podem decrescer em valorindefinidamente, segue-se que 2 não pode ser racional.
Usando seu método Fermat conseguiu provar a afirmação de Girard de que todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito de uma e uma só maneira como soma de dois quadrados. Mostrou que se 4n + 1 não é a soma de dois quadrados, há sempre um inteiro menor dessa forma que não é a soma de dois quadrados. Usando essa relação recursiva para traz chega-se à falsa conclusão de que o menor inteiro desse tipo, 5, não é a soma de dois quadrados (ao passo que
Fermat usou seu método para provar que nenhum cubo é soma de dois cubos - isto é, que não existem inteiros positivos x, y, z tais que 333zyx . Indo além, Fermat enunciou a proposição geral que para um inteiro n > 2 não há valores inteiros positivos x, y, z tais que nnnzyx . Esta é a famosa conjetura conhecida como "último teorema de Fermat". 
Ela foi enunciada por Fermat na margem de seu exemplar da Aritmética de Diofanto, em tradução de Bachet, ao lado do problema 8 do Livro I: "Dado um número quadrado, dividi-lo em dois quadrados". Na nota marginal de Fermat lêse, "Dividir um cubo em dois cubos, uma quarta potência ou, em geral uma potência qualquer em duas potências da mesma denominação acima da segunda é impossível, e eu seguramente encontrei uma prova admirável desse fato, mas a margem é demasiado estreita para contê-la". Será sempre um enigma saber se Fermat tinha ou não, realmente, uma demonstração correta de sua afirmação. 
O fato é que, desde então, muitos dos mais brilhantes matemáticos empenharam seu talento na resolução do problema. Em algum lugar Fermat demonstrou o caso n = 4; e Euler forneceu um prova para n = 3. Por volta de 1825 Legendre e Dirichlet demonstraram independentemente o caso n = 5; o teorema foi provado em 1839 por Lamé para n = 7. O matemático alemão E. Kummer (1810-1893) empreendeu avanços significativos no estudo do problema. Em 1843 submeteu uma pretensa prova do teorema a Dirichlet que localizou nela um erro de raciocínio. 
Kummer retornou então ao problema com vigor renovado e, em poucos anos, depois de desenvolver um importante aliado na álgebra superior, um assunto chamado teoria dos ideais, deduziu condições de insolubilidade muito gerais para a relação de Fermat. Quase todos os progressos subseqüentes na resolução do problema basearam-se nas investigações de Kummer. 
Paul Wolfskehl
Em 1908 o matemático alemão Paul Wolfskehl legou 100 0 marcos à Academia de Ciências de Götingen como prêmio para a primeira demonstração completa do teorema. O resultado foi uma avalanche de supostas provas motivadas pela glória e pelo dinheiro. O último teorema de Fermat ganhou a distinção de ser o problema matemático com maior número de demonstrações incorretas publicadas. Passados 356 anos, desde o desafio de Fermat, em 1995, o inglês Andrew Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. A prova contém mais de duzentas páginas!
Pascal foi a única pessoa, que não Mersenne, com quem Fermat discutiu idéias. Isto levou à criação de um novo ramo na matemática, a teoria da probabilidade. O eremita matemático ficou conhecendo o assunto através de Pascal, e assim, apesar do seu desejo de isolamento, ele se sentiu obrigado a manter o diálogo. O interesse de Pascal fora despertado por um jogador profissional parisiense, Antoine Gombaud, o cavalheiro de Meré, que lhe apresentou um problema relacionado com um jogo de azar chamado pontos. O jogo envolve ganhar pontos num jogo de dados, onde o primeiro jogador a acumular certo número de pontos é o vencedor e leva o dinheiro. Gombaud estivera jogando com um colega quando foi forçado a sair devido a um compromisso urgente. Surgiu então a questão do que fazer com o dinheiro. A solução mais simples seria dar todo o dinheiro para o jogador com mais pontos, mas Gombaud perguntou a Pascal se havia um modo mais justo de dividir o dinheiro. Pascal deveria calcular a probabilidade que cada jogador teria de vencer se o jogo tivesse continuado e presumindo-se que ambos os jogadores tivessem chances iguais. O dinheiro envolvido seria então dividido de acordo com essas probabilidades calculadas.
Antes do século XVII as leis da probabilidade eram definidas pela intuição e a experiência dos jogadores. Pascal começou uma troca de correspondência com Fermat com o objetivo de descobrir as leis matemática que mais precisamente descrevessem as leis do acaso. O francês analisou a pergunta de Gombaud e logo percebeu que se tratava de um problema relativamente simples. Ele poderia ser resolvido definindo-se, rigorosamente, todos os resultados possíveis do jogo e estabelecendo-se para cada um uma probabilidade. Fermat discutiu o caso em que o jogador A precisava de dois pontos para ganhar e o jogador B de 3. Eis a solução de Fermat para este caso particular. Como é claro que mais quatro partidas decidem o jogo, seja a uma partida ganha por A e seja b uma partida ganha por B; consideremos então os dezesseis arranjos, de ordem 4: a aaab abba bbab baaa ba abab babb abaa baba ab abbb aaba baab bbba b
Os casos em que a aparece duas ou mais vezes são favoráveis a A e há onze deles. Os casos em que b aparece três ou mais vezes são favoráveis a B e há cinco deles. Portanto as apostas devem ser divididas na razão 1:5. Pascal resolveu o problema dos pontos utilizando seu "triângulo aritmético". Indicando por C(n,r) o número de combinações simples, de ordem r, de n objetos, temos que C(4,4) é o número de maneiras de obter quatro letras a, C(4,3) é o número de maneiras de obter três letras a e assim por diante, segue-se que a solução do problema é dada por [C(4,4) + C(4,3) + C(4,2)] : [C(4,1) + C(4,0)] = (1 + 4 + 6) : (4 + 1) = 1 : 5.
É impressionante, e mesmo algo surpreendente, que os matemáticos tenham sido capazes de desenvolver uma ciência (a teoria matemática das probabilidades) que estabelece leis racionais para reger situações determinadas puramente pelo azar. Essa ciência está muito longe de não ter aplicações práticas, como fica evidente pelas experiências efetuadas em grandes laboratórios, pela existência de companhias de seguro altamente respeitáveis e pela logística das empresas de grande porte e da guerra.
Christiaan Huygens (1629-1695)
O grande gênio holandês Christiaan Huygens (1629-1695) levou uma vida rotineira mas notavelmente produtiva. Nasceu em Haia em 1629 e estudou em Leiden sob a orientação de Frans van Schooten. Em 1651, quando tinha vinte e dois anos de idade, publicou um artigo apontando argumentos falsos usados por Saint-Vincent em seu trabalho sobre a quadratura do círculo. Seguiram-se a esse trabalho vários opúsculos sobre a quadratura de cônicas e sobre o aprimoramento trigonométrico de Snell ao método clássico de calcular . Em 1654 ele e seu irmão descobriram uma maneira nova, e superior, de polir lentes; isso propiciou a Huygens condições de resolver muitas questões de astronomia de observação, como a natureza dos anéis de Saturno. O trabalho de Huygens em astronomia o levou, mais tarde, a inventar o relógio de pêndulo com o objetivo de ter meios mais precisos de medir o tempo.
Em 1657 Christiaan Huygens escreveu o primeiro tratado formal sobre probabilidade, baseando-se na correspondência de Pascal-Fermat. Huygens resolveu muitos problemas interessantes e instigantes e introduziu o importante conceito de "esperança matemática": Se p indica a probabilidade de que uma pessoa ganhe uma certa soma s, então sp se denomina sua esperança matemática. Huygens mostrou, entre outras coisas, que se p é a probabilidade de uma pessoa ganhar uma soma a e q é a de ganhar uma soma b, então seu ganho esperado é ap + bq.
Em 1665 Huygens mudou-se para Paris a fim de usufruir de uma bolsa concedida a ele por Luís XIV. É desse período, em 1668, um artigo em que comunicava à Royal Society de Londres sua demonstração experimental de que o momento combinado de dois corpos numa certa direção é igual, antes e depois da colisão.
A maior de suas publicações, Horologium oscillatorium, apareceu em Paris em 1673. Trata-se de um trabalho em cincocapítulos. O primeiro diz respeito ao relógio de pêndulo; o segundo se dedica à discussão de corpos em queda livre no vácuo, deslizando num plano inclinado liso ou ao longo de uma curva lisa; o terceiro inclui um tratamento de evolutas e evolventes; no quarto encontrase um tratamento do pêndulo composto; e o último nos diz respeito à teoria dos relógios. Nele encontramos uma descrição do pêndulo cicloidal para o qual o período de oscilação é o mesmo, não importa quão grande ou quão pequena seja a amplitude da oscilação. Essa última parte se encerra com treze teoremas relacionados com a força centrifuga num movimento circular, sendo demonstrado, entre outras coisas, o fato agora familiar de que num movimento circular uniforme a intensidade da força centrifuga é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade linear e inversamente proporcional ao raio do círculo.
Huygens retornou à Holanda em 1681 onde publicou um tratado em que expunha a teoria ondulatória da luz. Com base nessa teoria foi capaz de deduzir geometricamente as leis da reflexão e da refração e explicar o fenômeno da refração dupla. Como Newton, porém, defendia a teoria de emissão da luz.