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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Marabá - PA, 04 de janeiro de 2016. ROBERTO NAZARENO DA SILVA GONÇALVES GRÁFICOS DE FUNÇÕES BÁSICAS: polinômios, exponencial, logaritmo e trigonométrico 1. Introdução O conhecimento das funções matemáticas e de suas origens é de suma importância para a formação do engenheiro e demais áreas de ciência e tecnologia. Tendo em domínio as funções mais simples e entendendo seus comportamentos, e graças à imensa contribuição de cientistas repassados na história, os atuais profissionais contam com um vasto leque de conhecimento capaz de modelar os fenômenos recorrentes na natureza. As equações diferenciais, por exemplo, quando se tratam de problemas envolvendo taxas de variação de tal fator, pode-se gerar uma solução particular de tal fenômeno, seja ele físico, químico, biológico ou matemático. Neste trabalho estão apresentados alguns exemplos de funções básicas: as polinomiais de 1º, 2º e 3º grau, a exponencial, a logarítmica e as trigonométricas. 2. Gráficos de Funções 2.1. Funções Polinomiais Em matemática, os polinômios possuem formato 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 1 + 𝑎0𝑥 0 = ∑ 𝑎𝑖𝑥 𝑖𝑛 𝑖=0 , com 𝑛 sendo um número inteiro e 𝑎0, 𝑎1... 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 sendo os coeficientes do polinômio. Sua principal característica é a continuidade. 2.1.1. Função Polinomial do 1º grau (ou afim): Sua principal característica é a linearidade, pois se trata de uma reta e representa sua proporcionalidade. Esta mesma pode ser escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que 𝑎 é o coeficiente angular e 𝑏 o coeficiente linear, sendo constante. Quando 𝑎 < 0, torna-se uma função decrescente. Exemplo: A função vermelha tem função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 2 , a verde por 𝑓(𝑥) = 1 5 𝑥 + 1 4 , e a azul por 𝑓(𝑥) = 1 4 𝑥. Figura 1. Exemplos de funções polinomiais do 1º grau. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 2.1.2. Função Polinomial do 2º grau (ou quadrática): Sua característica é por formar um gráfico em formato de parábola. Pode ser escrita 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais. Quando 𝑎 > 0, o gráfico da função possui concavidade para cima. Caso possua 𝑎 < 0, terá concavidade para baixo. As raízes da função, ou seja, os valores de 𝑥 que zeram a função, são obtidas pela fórmula 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 . Exemplo: A função azul corresponde a 𝑓(𝑥) = 𝑥², a preta à 𝑓(𝑥) = 1 3 𝑥2 + 1, e a vermelha à 𝑓(𝑥) = −(𝑥2 + 2𝑥). Figura 2. Exemplos de funções do 2º grau. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 2.1.3. Função Polinomial do 3º grau (ou cúbica): A função polinomial de grau três possui diversas aplicações. Uma aplicação interessante é em otimização, quando se determina uma das arestas de uma caixa retangular onde se deseja obter, a partir de sua derivada, a sua capacidade máxima ou mínima de volume. Exemplo: A dada função vermelha é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1 2 𝑥 − 1. Figura 3. Exemplo de uma função do 3º grau. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 2.2. Função Exponencial As funções exponenciais estão ligadas e são vistas como umas das mais importantes em âmbito de modelagens matemáticas, biológicas e em engenharia. Seus maiores destaques estão em mostrar o crescimento de um fator com dada taxa de variação em determinado intervalo de tempo. Exemplo: A função vermelha é 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e a função azul é 𝑓(𝑥) = 5−𝑥 2 . Figura 4. Exemplo de funções exponenciais. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 2.3. Funções Logarítmicas O logaritmo da base 10 é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural, ou neperiano, tem a constante irracional e (≈ 2.718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é importante para a ciência da computação. Exemplo: A função vermelha é 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 e a função azul é 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 + 1. Figura 5. Exemplo de funções logarítmicas. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 2.4. Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são funções angulares importantes no estudo e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Abaixo estão as funções fundamentais. Exemplo: A função vermelha é 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, a função azul é 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 e a função roxa é a 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. Figura 6. Exemplo de funções trigonométricas. (Fonte: plotagem em www.desmos.com/calculator). 3. Conclusão O estudo básico destas funções pode fornecer ao profissional de engenharia e outras áreas bases importantes em modelagem matemática, principalmente na busca de soluções aproximadas por métodos numéricos de maneira computacional e até mesmo manual. Muitas delas são obtidas como resultados de equações diferenciais ordinárias envolvendo as taxas de variações em situações reais e complexos.
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