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DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ ∆ ∆ ∆w f P f P f x x x x x x f x x xn n n= − = + + + −( ) ( ) ( , , , ) ( , , , )0 1 1 2 2 1 2K K . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f x( ) , temos que P = x, P0 = x0 e ∆y = f x( )− f(x0) = f x x f x( ) ( )0 0+ −∆ . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x ∆ ∆ ∆ ∆ y x f x x f x x = + −( ) ( )0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + ∆x] e dy dx y x f x x f x x f x x x = = + − = ′→ →lim lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆0 0 0 0 0 = taxa de variação (instantânea) de y em relação a x, a partir de x0, por unidade de variação de x. ′ =f x dydx( )0 é a derivada total de y = f x( ) no ponto x0. Exemplo: Consideremos a função y x= , x0 = 9. Então, f x( )0 3= e ′ = =f x x( )0 0 1 2 1 6 . Isto significa que se: (a) x x0 + ∆ = 10, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 1/6; (b) x x0 + ∆ = 11, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 2(1/6); (c) x x0 + ∆ = 8, então f x x( )0 + ∆ = 3 − 1/6. 20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z = f x y( , ) , temos P = (x,y), P0 = (x0, y0) e ∆ ∆ ∆z f P f P f x x y y f x y= − = + + −( ) ( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 0 . Geometricamente: z f(x0+∆x,y0+∆y) ∆z f(x0,y0) y0 y0+∆y x0 P0 y x0+∆x P=(x0+∆x,y0+∆) x Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z de- pende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetor P P0 → = P P− 0 . Portanto, por analogia, temos que: ∆z d P P( )0 = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que, dz d P P z d P P f P f P P PP P P P( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 00 0 = = −−→ → ∆ = lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x y f x x y y f x y x y→ + + − +0 0 0 0 0 0 2 2 é a taxa de variação (instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em rela- ção a x e a y. Exemplo: Calcular a derivada total de z = f x y( , ) = 3x2y, no ponto P0 = (1,2). dz d P P f x y f x y x y x yx y x y ( ) lim ( , ) ( , ) lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2= + + −+ = + + − +→→ →→∆∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ou, dz d P P( )0 = lim∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x y x y x x y x y→→ + + + + + − +0 0 2 2 2 2 6 12 3 6 3 6 = lim∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x y x y x x y x y→→ + + + +0 0 2 2 2 2 12 3 6 3 Como o limite apresenta a indeterminação 0 0 e não apresenta simplificação, vamos usar os caminhos: ( ) C x y x x x x x xx y x1 0 0 2 2 0 0 0 12 6 12 6 12 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ → = ⇒ + = + =→ = → lim lim e C x y y yx y 2 0 0 0 0 3 3 ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ = → ⇒ == → lim Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada total no ponto (1,2). Obs.: Em geral, z = f x y( , ) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resul- tados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, defini- das por: Def. 2: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao número real f x yx ( , )0 0 , definido por f x y f x x y f x y x z x x yx x( , ) lim ( , ) ( ) ( , ),0 0 0 0 0 0 0 0 0= + − =→∆ ∆ ∆ ∂ ∂ desde que o limite exista. Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabe- to Ronde, ∂ , para indicar a derivada parcial. Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é: Def. 3: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao número real f x yy ( , )0 0 , definido por f x y f x y y f x y y z y x yy y( , ) lim ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 0 0 0 0 0 0= + − =→∆ ∆ ∆ ∂ ∂ desde que o limite exista. Exemplos: 1) Determine as derivadas parciais de z = f x y( , ) = 3x2y no ponto (1,2) e, em relação a x e, em relação a y. Solução: (a) Em relação a x: f f x f x x xx x x ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 0 0 2 2 = + − = + −→ →∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = f x x xx x ( , ) lim1 2 6 12 6 6 0 2 = + + −→∆ ∆ ∆ ∆ f x x xx x ( , ) lim ( ) 1 2 12 6 12 0 = + =→∆ ∆ ∆ ∆ . (b) Em relação a y: f f y f y y yy y y ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 0 0 2 2 = + − = + −→ →∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = lim lim∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆y y y y y y→ → + − = = 0 0 6 3 6 3 3. 2) Idem (1) para P0 = (x0,y0) genérico. Solução: (a) Em relação a x: f x y f x x y f x y xx x ( , ) lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0= + −→∆ ∆ ∆ = lim ( ) ∆ ∆ ∆x x x y x y x→ + − 0 0 2 0 0 2 03 3 ∴ f x yx ( , )0 0 = lim∆ ∆ ∆ ∆x x y x y x y x x y x→ + + − 0 0 2 0 0 0 0 3 0 2 03 6 3 3 = lim ( ) ∆ ∆ ∆ ∆x x y y x x x→ + 0 0 0 06 3 ∴ f x y x yx ( , )0 0 0 06= . (b) Em relação a y: f x y f x y y f x y yy y ( , ) lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0= ∆ ∆ ∆→ + − = lim ( ) ∆ ∆ ∆y x y y x y y→ + − 0 0 2 0 0 2 03 3 = lim∆ ∆ ∆y x y y→0 0 23 ∴ f x y xy ( , )0 0 0 23= . Se a função z = f x y( , ) admite derivadas parciais em relação a x e a y em todos os pontos P0 de uma região D do plano IR2, dizemos que z = f x y( , ) é derivável parcialmente em relação a x e a y em D. Neste caso, podemos definir as funções derivadas parciais em D. Isto é: (i) ∂ ∂ z x f x y f x x y f x y xx x = = + −→( , ) lim ( , ) ( , ) ∆ ∆ ∆0 é a função derivada parcial de f x y( , ) em D; (ii) ∂ ∂ z y f x y f x y y f x y yy y = = + −→( , ) lim ( , ) ( , ) ∆ ∆ ∆0 é a função derivada parcial de f x y( , ) em D. Exemplo: Vimos (ex. 2, anterior) que a função f x y( , ) = 3x2y tem derivada parcial em relação a x e em relação a y, em todos os pontos (x0,y0) do IR2. Logo, é derivável parcialmente em IR2 e, suas funções derivadas parciais ou apenas derivadas parciais são: ∂ ∂ z x f x y xyx= =( , ) 6 e ∂∂ z y f x y xy= =( , ) 3 2 . CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE z = f(x,y) Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) não precisamos calcular os limites que as definem. Podemos usar as fórmulas de derivação usadas para o calculo das derivadas de y = f x( ) . (a) Derivada parcial em relação a x: Para calcularmos as derivadas parciais em relação a x, vamos usar a função auxiliar ϕ (x) = f x y( , )0 em que consideramos y = y0 constante. Então: ∂ ∂ z x = ∂∂ ϕ ϕ ϕz x f x y f xx y f x y x x x x x x y y x x x = = + − = + − = ′ = → →0 0 0 0 0 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a x de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando y = y0 = b (constante), temos a função auxiliar ϕ (x) = f x b( , ) = 3x2b. Derivando ϕ em relação a x, obtemos ϕ‘(x) = 6xb. Como ∂∂ z x xb y b = = 6 = ϕ‘(x), voltamos com o valor b = y obtendo ∂ ∂ z x xy= 6 que é a derivada de f x y( , ) em relação a x. 2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para y = y0 = b (constante), a função auxiliar é ϕ (x) = x2 + b2 + 3xb2 + 5x − b + 10. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = 2x + 3b2 + 5. Voltando com b = y, temos que, ∂ ∂ z x f x y x yx= =( , ) 2 3 5 2+ + . (b) Derivada parcial em relação a y: De modo análogo, vamos usar a função auxiliar ψ(y) = f x y( , )0 em que considera- mos x = x0 constante. Então: ∂ ∂ z y = ∂∂ ψ ψ ψz y f x y f x y y f x y y y y y y y x x y y y = = + − = + − = ′ = → →0 0 0 0 0 0 ( , ) lim ( , ) ( , ) lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a y de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando x = x0 = a (constante), temos a função auxiliar ψ (y) = f a y( , ) = 3a2y. Derivando ψ em relação a y, obtemos ψ ‘(y) = 3a2. Como ∂∂ z y a x a = = 3 2 = ψ ‘(y), voltamos com o valor a = x obtendo ∂ ∂ z y x= 3 2 que é a derivada de f x y( , ) em relação a y. 2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para x = x0 = a (constante), a função auxiliar é ψ (y) = a2 + y2 + 3ay2 + 5a − y + 10. Derivando em relação a y obtemos ψ ‘(y) = 2y + 6ay −1. Voltando com a = x, temos que, ∂ ∂ z y f x y y xyy= =( , ) 2 6 1+ − . 30 CASO: Para as funções do tipo w = f x y z( , , ) , de três variáveis, temos que P = (x,y,z), P0 = (x0,y0,z0) e ∆w = f(P) − f(P0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − f(x0,y0,z0). Neste caso, não temos representação geométrica e, por analogia, concluímos que não existe a derivada total de w = f x y z( , , ) em relação conjunta às três variáveis x, y e z. Mas, existem as deri- vadas parciais, isto é: Def. 4: Dada a função w = f x y z( , , ) das três variáveis x, y, z e, o ponto P0 = (x0,y0,z0), en- tão, temos que a derivada parcial de w = f(x,y,z), no ponto P0 e, (i) em relação a x, é dada por ∂ ∂ w x f x y z f x x y z f x y z xx x = = + −→( , , ) lim ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ; (ii) em relação a y, é dada por ∂ ∂ w y f x y z f x y y z f x y z yy y = = + −→( , , ) lim ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ; (iii) em relação a z, é dada por ∂ ∂ w z f x y z f x y z z f x y z zz z = = + −→( , , ) lim ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ , desde que os limites existam. Se as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) existem em todos os pontos P = (x0,y0,z0) de uma região R do IR3, dizemos que w = f x y z( , , ) é derivável parcialmente em R e, podemos calcular suas funções derivadas parciais em relação a x, y e z. (Basta trocar na definição 4, x0 por x, y0 por y, z0 por z e, calcular os limites). Exemplo: Calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10. Sol.: (a) Em relação a x: ∂ ∂ w x f x x y z f x y z xx = lim ( , , ) ( , , ) ∆ ∆ ∆→ + − 0 ∂ ∂ w x = lim ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x x x y z x x y yz x x z x y z xy yz xz x→ + − + + − + + − + − + − 0 3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10 ∂ ∂ w x x y z x x z x y z x y x z x xx = lim∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆→ + + − − 0 2 2 2 2 2 33 3 5 2 = 3x2y2z − 5y − 2z. (b) Em relação a y: ∂ ∂ w y f x y y z f x y z yy = lim ( , , ) ( , , ) ∆ ∆ ∆→ + − 0 ∂ ∂ w y = lim ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆y x y y z x y y y y z xz x y z xy yz xz y→ + − + + + − + − + − + − 0 3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10 ∂ ∂ w y = lim∆ ∆ ∆ ∆y x yz x y z y y x yz x z→ − + − + 0 3 32 5 3 2 5 3= . (c) Em relação a z: ∂ ∂ w z f x y z z f x y z zz = lim ( , , ) ( , , ) ∆ ∆ ∆→ + − 0 ∂ ∂ w z = lim ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆z x y z z xy y z z x z z x y z xy yz xz z→ + − + + − + + − + − + − 0 3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10 ∂ ∂ w z x y z y z x z z x y y x= = 3 2 3 23 2 3 2 ∆ ∆ ∆ ∆ + − + − . CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE w = f(x,y,z) De modo análogo ao caso anterior, vamos calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) em relação as variáveis x, y e z, usando funções auxiliares que são funções de uma única variável. Isto é, as duas outras variáveis são consideradas como constantes. (a) Derivação parcial em relação a x: Vamos considerar a função auxiliar ϕ(x) = f x y z( , , )0 0 em que y = y0 e z = z0 são constan- tes. Então: ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕw x w x f x x y z f x y z x x x x x x y y z z x x = = + − = + − = ′= = → →0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , , ) ( , , ) lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . (b) Derivação parcial em relação a y: Vamos considerar a função auxiliar ψ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e z = z0 são constan- tes. Então: ∂ ∂ ∂ ∂ ψ ψ ψw y w y f x y y z f x y z y y y y y y x x z z y y = = + − = + − = ′= = → →0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , , ) ( , , ) lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . (c) Derivação parcial em relação a z: Vamos considerar a função auxiliar λ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e y = y0 são constan- tes. Então: . ∂ ∂ ∂ ∂ λ λ λw z w z f x y z z f x y z z z z z z z x x y y x z = = + − = + − = ′= = → →0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , , ) ( , , ) lim ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ . Exemplos: 1) Calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10, em rela- ção a x, y e z. Sol.: (a) Em relação a x: Fazendo y = y0 = b e z = z0 = c, constantes, temos que ϕ(x) = f(x,b,c) = x3b2c − 5xb + 3bc − 2xc + 10. Derivando em relação a x, ϕ‘(x) = 3x2b2c − 5b − 2c. Voltando com os valores de b = y, c = z, obtemos ∂ ∂ w x f x y z x y z y zx= = − −( , , ) 3 5 22 2 . (b) Em relação a y: Para x = x0 = a e z = z0 = c, constantes, ψ(y) = f(a,y,c) = a3y2c − 5ay + 3yc − 2ac + 10. Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = 2a3yc − 5a + 3c. Voltando com a = x e c = z, resulta que ∂ ∂ w y f x y z x yz x zy= = − +( , , ) 2 5 33 . (c) Em relação a z: Considerando x = x0 = a e y = y0 = b, resulta que λ(z) = f(a,b,z) = a3b2z − 5ab + 3bz − 2az + 10. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = a3b2 + 3b − 2a. Voltando com os valores de a = x, b = y, resulta ∂ ∂ w z f x y z x y y xz= = + −( , , ) 3 2 3 2 . 40 CASO: GENERALIZAÇÃO Dada a função de n variáveis w = f(x1,x2, . . . ,xn) então, suas derivadas parciais em relação d cada uma das n variáveis é dada por: (a) ∂ ∂ w x f x x x x f x x x xx n n 1 0 1 1 2 1 2 11 = + −→lim ( , , , ) ( , , , ) ∆ ∆ ∆ K K ; (b) ∂ ∂ w x f x x x x f x x x xx n n 2 0 1 2 2 1 2 22 = + −→lim ( , , , ) ( , , , ) ∆ ∆ ∆ K K ; M (n) ∂ ∂ w xf x x x x f x x x xn x n n n nn = + −→lim ( , , , ) ( , , , ) ∆ ∆ ∆0 1 2 1 2K K , desde que os limites existam. As derivadas parciais podem ser calculadas diretamente se considerarmos as outras variáveis como constantes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Calcular as funções derivadas parciais de z = f x y( , ) = 9 2 2− −x y . Em seguida, calcu- lar fx (2,1) e fy(2,1). Sol.: (a) Em relação a x: Para y = b, temos que ϕ (x) = f(x,b) = 9 2 2− −x b . Derivando em relação a x, obtemos: ϕ‘(x) = −− − 2 2 9 2 2 x x b . Voltando com y = b, temos que fx(x,y) = − − − x x y9 2 2 e fx (2,1) = −1; (b) Em relação a y: Considerando x = a, temos que ψ(y) = f(a,y) = 9 2 2− −a y . Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = −− − 2 2 9 2 2 y a y . Voltando com x = a, temos que fy(x,y) = − − − y x y9 2 2 e que fy(2,1) = − ½ . 2) Calcular as derivadas parciais de z = ln(x2 + xy + y2) Sol.: (a) Em relação a x: Fazendo y = b, resulta que ϕ(x) = ln(x2 + xb + b2) cuja derivada é ϕ‘(x) = 22 2x bx xb b + + + . Como b = y, temos que ∂ ∂ z x x y x xy y = ++ + 2 2 2 ; (b) Em relação a y: Para x = a, ψ(y) = ln(a2 + ay + y2) e sua derivada é ψ‘(y) = a y a ay y + + + 2 2 2 . Substituindo a por x, obtemos ∂ ∂ z y x y x xy y = ++ + 2 2 2 . 3) Calcular ∂ ∂ z x e ∂ ∂ z y para z xy x y = + 2 2 2 . Sol.: (a) Cálculo de ∂ ∂ z x : Para y = b, ϕ(x) = 22 2xbx b+ e ϕ‘(x) = 2 2 22 2 2 2 2 b x y bx x x b ( ) ( ) ( ) + − + = 2 22 2 2 2 by bx x b − +( ) . Logo, como b = y, temos que ∂ ∂ z x = 2 23 2 2 2 y xy x y − +( ) . (b) Em relação a y: Fazendo x = a, ψ(y) = 22 2aya y+ e ψ‘(y) = 2 2 22 2 2 2 2 a x y ay y x y ( ) ( ) ( ) + − + = 2 22 2 2 2 2 ax ay a y − +( ) . Logo, como a = x, temos que ∂ ∂ z y = 2 23 2 2 2 x xy x y − +( ) . 4) Determine as derivadas parciais de z y x = arctg . Sol.: (a) Em relação a x: ϕ(x) = f(x,b) = arctg b x . Derivando, ϕ‘(x) = − + − + b x b x b x x b x 2 2 2 2 2 21 = = − + − + bx x x y b x y 2 2 2 2 2 2( ) = . Portanto, ∂ ∂ z x = − + y x y2 2 . (b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y) = arctg y a . Derivando, ψ‘(y) = 1 1 1 2 2 2 2 a y a a a y a+ += = a a a y 2 2 2( )+ . Simplificando por a, e substituindo a por x, obtemos ∂ ∂ z y = x x y2 2+ . 5) Se z xy= tg , determine suas derivadas parciais. Sol.: (a) Em relação a x: ϕ(x) = f(x,b) = tgxb . Derivando, ϕ‘(x) = ( ) sec2 1 x b x bb tg − . Para b = y, temos ∂ ∂ z x = ( ) sec2 1 x y x yy tg − . (b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y) = tgay . Para derivarmos, vamos escrever na forma ψ(y) = f(a,y) = ( ) yy aa 1tg=tg . Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = ( ) a y a y tgln1tg 2 1 − . Para a = x, temos ∂ ∂ z y = − tg tgx y x y 2 ln . 6) Determine as derivadas parciais de w = xy2z3 − 5xy + 3yz. Sol.: A função w é uma função das três variáveis x, y e z. Devemos então calcular as três de- rivadas parciais. Isto é: (a) Em relação a x: Considerando y = b e z = c, constantes, obtemos a função auxiliar ϕ(x) = f(x,b,c) = xb2c3 − 5xb + 3bc. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = b2c3 − 5b. Voltando com o b = y e c = z, obtemos ∂ ∂ w x = y2z3 − 5y. (b) Em relação a y: Para x = a e z = c, temos que ψ(y) = f(a,y,c) = ay2c3 − 5ac + 3yc. Derivando, ψ‘(y) = 2ayc3 + 3c. Voltando com os valores de a = x e c = z, obtemos ∂ ∂ w y = 2xyz3 + 3z. (c) Em relação a z: Considerando x = a e y = b, constantes, temos que λ(z) = f(a,b,z) = ab2z3 − 5ab + 3bz. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = 3ab2z2 + 3b. Voltando com a = x e b = y, temos que ∂ ∂ w z = 3xy2z2 + 3y. 7) Calcule as derivadas parciais de w = xyz. Sol.: a) Em relação a x: ϕ(x) = f(x,b,c) = xbc. Derivando, ϕ‘(x) = bc. Logo, ∂∂ w x = yz. (b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y,c) = ayc. Derivando, ψ‘(y) = acyc -- 1. Portanto, ∂∂ w y = xzyz − 1 . (c) Em relação a z: λ(z) = f(a,b,z) = abz. Derivando, λ‘(z) = abzlnb. Logo, ∂∂ w z = xyzlny. 8) Calcule as derivadas parciais de w x y y z z t t u = + + + . Sol.: Aqui temos w = f(x,y,z,t,u). Vamos, então, calcular cinco derivadas parciais. (a) Em relação a x: ϕ(x) = f(x,b,c,d,e) = x b b c c d d e + + + . Derivando, ϕ‘(x) = 1 b e ∂ ∂ w x = 1 y . (b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y,c,d,e) = a y y c c d d e + + + . Derivando, ψ‘(y) = − +a y c2 1 . Logo, ∂ ∂ w y = − +x y z2 1 . (c) Em relação a z: λ(z) = f(a,b,z,d,e) = a b b z z d d e + + + . Derivando, λ‘(z) = − +b z d2 1 . Logo, ∂ ∂ w z = − +y z t2 1 . (d) Em relação a t: θ(t) = f(a,b,c,t,e) = a b b c c t t e + + + . Derivando, θ‘(t) = − +c t e2 1 . Logo, ∂ ∂ w t = − +z t u2 1 . (e) Em relação a u: ρ(u) = f(a,b,c,d,u) = a b b c c d d u + + + . Derivando, ρ‘(u) = − d u2 . Logo, ∂ ∂ w u = − t u2 . 9) Mostre que se z x y x y = 2 2+ − então, x ∂ ∂ z x + y ∂ ∂ z y = z. Sol.: (a) ∂ ∂ z x = ( ) 2 1 22 2 2 2 2 2 x x y x y x y x xy y x y ( ) ( )( ) ( ) − − + − − − −= ; (b) ∂ ∂ z y = 2 1 22 2 2 2 2 2 y x y x y x y x xy y x y ( ) ( )( ) ( ) ( ) − − + − − + − −= . Substituindo na equação a derivadas parciais, obtemos: x ∂ ∂ z x + y ∂ ∂ z y = x x xy y x y y x xy y x y 2 2 2 2 2 2 2 2− − − + + − − ( ) ( ) = x x y xy x y xy y x y 3 2 2 2 2 3 2 2 2− − + + − −( ) ∴ x ∂ ∂ z x + y ∂ ∂ z y = x x y y x y x y 2 2 2 ( ) ( ) ( ) − + − − = x y x y z 2 2+ − = . # 10) Se x = ρcosθ e y = ρsenθ , determine ∂ ∂ρ ∂ ∂θ ∂ ∂ρ ∂ ∂θ x x y y . Sol.: Derivando parcialmente as funções x = f(ρ,θ) e y = f(ρ,θ), obtemos: ∂ ∂ρ θ x = cos , ∂ ∂θ ρ θ x = − sen , ∂∂ρ θ y = sen e ∂ ∂θ ρ θ y = cos . Substituindo no determinante, obtemos: ∂ ∂ρ ∂ ∂θ ∂ ∂ρ ∂ ∂θ θ ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ x x y y = = cos sen sen cos cos sen − +2 2 = ρ(cos2θ + sen2θ ) = ρ. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (I) Calcular as derivadas parciais de z = f(x,y) em relação a x e a y de: 1) f x y( , ) = 2x − 7y2, no ponto (1,2) 2) f x y( , ) = x2 + 3xy − y2, no ponto (2,1) 3) f x y( , ) = 1 − 3xy, no ponto (1,2) 4) f x y( , ) = xy2 − 3x2y3, no ponto (1, −1) 5) f x y xy x y ( , ) = + , no ponto (2,1) (II) Calcular as derivadas parciais das seguintes funções: 1) f x y( , ) = 3x2 − 2xy + 5y4 + xy2 − 4x + y + 7 2) f x y( , ) = x2 + xy x y 1 2 1 3 2+ 3) f x y( , ) = x y2 75 4) f x y( , ) = 1 3 23 x y 5) f x y( , ) = x y2 2− 6) f x y( , ) = x y − 7 7) z = ex+y 8) z = x y 9) z = x2cosy 10) z = 3cos(xy) + 5sen(xy) 11) z x y x y = − + 12) z = xcosy + ysenx 13) z x y= +ln 2 2 14) z = 1− y2 15) f x y xy x y ( , ) = + 2 2 2 16) z = x y 17) z y x = arctg 18) ( )z x x y= + +ln 2 2 19) z e y x= sen 20) z x y x y = −+arcsen 2 2 2 2 21) z x y = +ln sen 1 22) z e e x y x y = ++cos sen 23) f x y z y xz x y z ( , , ) = ++ + 3 2 2 2 2 24) f x y z( , , ) = ln(xy + z) 25) w = (xy)z 26) w = x y z x y z + + + +2 2 2 27) w = zxy 28) w e xy z xyz= + arctg 3 2 29) w x y z= + +ln 2 2 2 30) f x y z t xyzt( , , , ) ( )= arctg (III) Verificar as identidades ou calcular o valor de: 1) Se z x x y = 2 2 2+ , então, x z x y z y z ∂ ∂ ∂ ∂+ = 2) Se z x x y = 2 2+ , então, x z x y z y ∂ ∂ ∂ ∂+ = 3) Se z xy xe y x= + , então, x z x y z y xy z ∂ ∂ ∂ ∂+ += 4) Se z y x = ln , então, x z x y z y ∂ ∂ ∂ ∂+ = 5) Se w = (x− y)(y− z)(z− x), então, ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w x w y w z + + = 6) Se w x x y x z = + −− , então, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w x w y w z + + = DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Se a função w = f(P) admite derivadas parciais em relação a todas as variáveis independen- tes, x1,x2, ..., xn e, estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais em relação a todas as variáveis, então, suas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de w = f(P). Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis, suas derivadas são chamadas de derivadas parciais de terceira ordem de w = f(P) e, assim, sucessivamente. 1) Para z = f(x, y), temos as seguintes derivadas sucessivas: z f x y z x f z y f ordem z x f z y x f z x y f z y f ordem z x f z y x f z x y x f z y x f z x y f z y x y f z x y f z y f x y a xx xy yx yy a xxx xxy xyx xyy yxx yxy yyx = = = = = = − = = = = = = = = ( , ) ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 1 24 34 1 244 344 yyy a ordem 3 1 244 344 Obs.: O número de derivadas parciais é 2n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de 3a ordem de z = f x y( , ) = x4y5 + 5x3y3 − 4x2y − 5 Sol.: Derivadas de primeira ordem ∂ ∂ z x = 4x3y5 + 15x2y3 − 4xy2 +3 ∂∂ z y = 5x4y4 + 15x3y2 − 4x2y − 5 Derivadas de segunda ordem ∂ ∂ z x 2 = 12x2y5 + 30xy3 − 4y2 ∂∂ ∂ 2 z x y = 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy ∂ ∂ ∂ 2 z y x = 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy ∂∂ 2 2 z y = 20x4y3 + 30x3y − 4x2 Derivadas de terceira ordem ∂ ∂ 3 3 z x = 24xy5 + 30y3 ∂ ∂ ∂ 3 2 z y x = 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂ ∂ ∂ 3 2 z x y = 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂ ∂ 3z y x y = 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂ ∂ ∂ ∂ 3z x y x = 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂ 3 2 z y x = 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂ ∂ ∂ 3 2 z x y = 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂∂ 3 3 z y = 60x4y2 + 30x3 2) Para w = f(x, y, z), temos as seguintes derivadas parciais w f x y z w x f w y f w z f ordem w x f w y x f w z x f w x y f w y f w z y f w x z f w y z f w z f ordem x y z a xx xy xz yx yy yz zx zy zz a = = = = = = = = = = = = = ( , , ) ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 24 34 1 244 344 Obs.: O número de derivadas parciais é 3n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de segunda ordem de w = f x y z( , , ) = x3y4z5 + x2y2z2 + 3xyz + 5x − 6y + 7z − 12. Sol.: Derivadas de primeira ordem ∂ ∂ w x = 3x2y4z5 + 2xy2z2 + 3yz + 5 ∂ ∂ w y = 4x3y3z5 + 2x2yz2 + 3xz − 6 ∂∂ w z = 5x3y4z4 + 2x2y2z + 3xy + 7 Derivadas de segunda ordem ∂ ∂ 2 2 w x = 6xy4z5 + 2y2z2 ∂ ∂ ∂ 2w y x = 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂ ∂ ∂ 2 w z x = 15x2y4z4 + 4xy2z + 3y ∂ ∂ ∂ 2w x y = 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂ ∂ 2 2 w y = 12x3y2z5 + 2x2z2 ∂ ∂ ∂ 2 w z y = 20x3y3z4 + 4x2yz + 3x ∂ ∂ ∂ 2 w x z = 15x2y4z4 + 4xy2z + 3y ∂ ∂ ∂ 2 w y z = 20x3y3z4 + 4x2yz + 3x ∂ ∂ 2 2 w z = 20x3y4z4 + 2x2y2 Teorema 1: Se a função w = f(P) admite derivadas parciais mistas de ordem n, contínuas em uma região R do IRn, então, suas derivadas parciais mistas são iguais. INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 1) DA FUNÇÃO z = f(x,y) 1.1) GEOMÉTRICA Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) , usamos as funções auxiliares ϕ(x) = f(x,y0) e ψ(y) = f(x0,y) nas quais, y0 e x0 são, respectivamente, constantes. (a) Em relação a x: A função ϕ(x) = f(x, y0) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano y = y0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0 + ∆x,y0) sobre a curva ϕ(x). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular da reta s é dado por m x x x xs = + −ϕ ϕ( ) ( )0 0∆∆ = f x x y f x y x ( , ) ( , )0 0 0 0+ −∆ ∆ . Se o ponto P desliza sobre ϕ(x) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por m x x x xt x = + −→lim ( ) ( ) ∆ ∆ ∆0 0 0ϕ ϕ = lim ( , ) ( , )∆ ∆ ∆x f x x y f x y x→ + − 0 0 0 0 0 = ϕ‘(x0) = fx(x0,y0) Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0, y0, z0). A reta t, tangente, pertence ao plano y = y0 = constante que é paralelo ao plano coor- denado x0z. Logo, o ângulo α que t forma com a reta y = y0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0x. Portanto: f x y f P xx ( , ) ( ) 0 0 0= ∂ ∂ = tg α = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano x0z. Analogamente, (b) Em relação a y: A função ψ (y) = f(x0, y) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano x = x0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0,y0 + ∆y) sobre a curva ψ(y). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular da reta s é dado por m y y x ys = + −ψ ψ( ) ( )0 0∆∆ = f x y y f x y y ( , ) ( , )0 0 0+ −∆ ∆ . Se o ponto P desliza sobre ψ(y) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angularé dado por m y y y yt y = + −→lim ( ) ( ) ∆ ∆ ∆0 0 0ψ ψ = lim ( , ) ( , )∆ ∆ ∆y f x y y f x y y→ + − 0 0 0 0 0 = ψ‘(y0) = fy(x0,y0) Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0). A reta t, tangente, pertence ao plano x = x0 = constante que é paralelo ao plano coor- denado y0z. Logo, o ângulo β que t forma com a reta x = x0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0y. Portanto: f x y f P yy ( , ) ( ) 0 0 0= ∂ ∂ = tg β = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano y0z . Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano x0z, isto é, na direção do eixo 0x; (b) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano y0z, isto é, na direção do eixo 0y; (c) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0x; (d) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0y. Sol.: As derivadas parciais de z = f x y( , ) são: fx(x,y) = −2x + 2 e fy(x,y) = −2y + 2 (a) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano x0z é uma reta que pertence ao plano y = 3 e tem como coeficiente angular fx(2,3) = − 4 + 2 = −2; (b) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano y0z é uma reta que pertence ao plano x = 2 e tem como coeficiente angular fy(2,3) = − 6 + 2 = −4; (c) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0x, é uma reta que pertence ao plano y = 1 e tem como coeficiente angular fx(1,1) = − 2 + 2 = 0; (a) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0y, é uma reta que pertence ao plano x = 1 e tem como coeficiente angular fy(1,1) = − 2 + 2 = 0. EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES (a) A equação da reta t1, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale- la ao plano x0z, é dada por: Na forma simétrica x x z z f x y y y x − = − = 0 0 0 0 0 1 ( , ) ou, na forma paramétrica x x y y z z f x yx = + = = + 0 0 0 0 0 λ λ ( , ) . (b) A equação da reta t2, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale- la ao plano y0z, é dada por: Na forma simétrica y y z z f x y x x y − = − = 0 0 0 0 0 1 ( , ) ou, na forma paramétrica x x y y z z f x yy = = + = + 0 0 0 0 0 λ λ ( , ) . Exemplo: Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4); (b) no ponto (1,1,9). Sol.: Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(2,3) = −2; fy(2,3) = −4; fx(1,1) = 0 = fy(1,1), temos que: (a) Paralela ao plano x0z é x y z = = = 2 3 4 2 + − λ λ e, paralela ao plano y0z é x y z = = = 2 3 4 4 + − λ λ (b) Paralela ao plano x0z é x y z = = = 1 1 9 + λ e, paralela ao plano y0z é x y z = 1 = 1+ = 9 λ PLANO TANGENTE − RETA NORMAL As retas tangentes t1 e t2, se interceptam no ponto T = (x0,y0,z0). Logo, determinam um plano que passa por T e que contém as retas t1 e t2. Este plano é o plano tangente ao gráfico de z = f x y z( , , ) , no ponto T. Sua equação geral é dada por z - z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y− y0) cujo vetor normal é r r rn v v= 1 2× , em que rv1 é o vetor diretor de t1 e, rv 2 é o vetor diretor de t2. Isto é, r r r r r r r r r n v v i j k i j k= 1 2 0 0 0 01 0 0 1 × = = − − +f P f P f P f Px y x y( ) ( ) ( ) ( ) ou, r r r rn i j k= + −f P f Px y( ) ( )0 0 . Obs.: Para P = (x0 + ∆x, y0 +∆y) pertencente a uma vizinhança de P0, o valor de z = f x y( , ) , isto é, o valor de f(P) = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) pode ser calculado, aproximadamente, sobre o plano tangente. Ou seja, vale que z = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) ≅ zplano. A reta normal ao gráfico de z = f x y( , ) no ponto T = (x0,y0,z0), tem como vetor diretor o vetor rn . Logo, suas equações paramétricas são x x f x y y y f x y z z x y = − = − = + 0 0 0 0 0 0 0 λ λ λ ( , ) ( , ) e, as equações simétricas são x x f x y y y f x y z z x y − − = − − = − 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) . Exemplo: Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y nos pontos: (a) (2,3,4) (b) (1,1,9) Sol.: (a) Considerando os resultados dos exemplos anteriores, isto é, que fx(2,3) = −2, fy(2,3) = − 4 e que rv1 = (1,0,−2) e rv 2 = (0,1,−4 ), temos que: r r r r r r n v v i j k 1 2= =× − − 1 0 2 0 1 4 = 2 r i + 4 r j + r k é o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é 2x + 4y + z + d = 0. Como o ponto (2,3,4) pertence ao plano, 2.2 + 4.3 + 4 + d = 0, ou, d = −20. Logo, a equação do plano tan- gente é 2x + 4y − z −20 = 0. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que: z − 4 = −2(x − 2) − 4(y − 3) ou que 2x + 4y + z −20 = 0. A equação simétrica da reta normal é x y z − − − 2 2 3 4 4= = e, as paramétricas são x y z = = = 2 2 3 4 4 + + + λ λ λ . (b) Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(1,1) = fy(1,1) = 0, e que rv1 = (1,0,0) e rv 2 = (0,1,0), temos que: r r r r r r n v v i j k = =1 2 1 0 0 0 1 0 × = 0ri + 0rj − rk é o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é: − z + d = 0. Como o ponto (1,1,9) pertence ao plano tangente, −9 + d = 0 ou que, d = 9. Logo, a equação do plano tangente é z −9 = 0 ou z = 9. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que, z − 9 = 0(x −1) + 0(y −1) ou que z − 9 = 0. As equações simétricas e paramétricas da reta normal são idênticas e valem + λ9= 0= 0= z y x . 1.2) TAXA DE VARIAÇÃO Vimos que não existe a derivada total de z = f x y( , ) , no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x e a y, simultaneamente. Mas, podemos avaliar as variações de z em relação a x e, em relação a y, em separado. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0 + ∆x,y0), isto é, na direção do vetor P P0 → ou, do eixo 0x, é dada por ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ z x f P f P x f x x y f x y x = = ( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 . A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0x, é dada por lim ( ) ( ) lim ( , ) ( , ) ( , ) ( )∆ ∆∆ ∆ ∆x x x f P f P x f x x y f x y x f x y z x P→ → − + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= = = ∂ ∂ ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de x, na direção positiva do eixo 0x, a partir de P0 = (x0,y0). Analogamente: (b) Em relação a y: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0,y0 +∆y), isto é, na direção do vetor P P0 → ou, do eixo 0y, é dada por∆ ∆ ∆ ∆ ∆ z y f P f P y f x y y f x y y = = ( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 . A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0y, é dada por lim ( ) ( ) lim ( , ) ( , ) ( , ) ( )∆ ∆∆ ∆ ∆y y y f P f P y f x y y f x y y f x y z y P→ → − + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= = = ∂ ∂ ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de y, na direção positiva do eixo 0y, a partir de P0 = (x0,y0). Exemplo: 1) A temperatura do ponto (x,y) de uma placa metálica plana é dada por T(x,y) = 40 − 43 2 42 2− −x y (T em 0C, x e y em cm) (a) Determine a temperatura no ponto (3,2) e a equação da isoterma que passa por este ponto; (b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação a x e a y? (c) Qual é a temperatura aproximada dos pontos (4,2); (3,3); (2,2) e (3,1)? Sol.: (a) T(3,2) = 40 − 43 2 3 4 22 2− −( ) ( ) = 40 −3 = 37 0C A isoterma que passa pelo ponto (3,2) é a equação de todos os pontos que tem temperatu- ra 37 0C, isto é, a curva de nível T(x,y) = 37 . Substituindo e desenvolvendo obtemos: 40 − 43 2 42 2− −x y = 37 ou (3)2 = 43 − 2x2 − 4y2 ou 2x2 + 4y2 = 34. (b) (i) Em relação a x: ∂ ∂ T x = Tx(x,y) = − −− − 4 2 43 2 42 2 x x y = 2 43 2 42 2 x x y− − e, no ponto (3,2), ∂ ∂ T x Tx ( , ) ( , ) 3 2 3 2= = 2(3) 9 = 6 3 = 2 0C/cm. (Temperatura aumenta de 20C por cm) (ii) Em relação a y: ∂ ∂ T y T x y y x yy = =( , ) − −− − 8 2 43 2 42 2 = 4 43 2 42 2 y x y− − e, no ponto (3,2), ∂ ∂ T y Ty ( , ) ( , ) ( )3 2 3 2 4 2 9 = = = 8 3 ≅ 2,66 0C/cm. (Temperatura aumenta de 2,660C por cm) (c) Os valores aproximados das temperaturas são: T(4,2) ≅ 370C + 20C.1cm = 370C + 20C = 390C T(3,3) ≅ 370C + 2,660C.1cm = 370C + 2,660C = 39,660C T(2,2) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 20C = 370C T(3,1) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 2,660C = 36,340C. 2) DA FUNÇÃO w = f(x,y,z) Vimos que esta função não tem representação geométrica (gráfico). Logo, só pode- mos interpretar suas derivadas parciais através da taxa de variação. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média da função w = f x y z( , , ) entre os pontos P0 = (x0,y0,z0) e P =(x0 + ∆x,y0,z0) é dada por ∆∆ ∆ ∆ w x f x x y z f x y z x = + −( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 . Logo, a taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de w = f x y z( , , ) , a partir de P0 e na direção de P0 a P, isto é, na direção positiva do eixo 0x, é dada por lim ( , , ) ( , , ) ( , , )∆ ∆ ∆x x f x x y z f x y z x f x y z→ + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= que indica o quanto varia w por unidade de variação de x, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0x. (b) Analogamente, a derivada parcial de w = f x y z( , , ) no ponto P0 e em relação a y, indica a taxa de variação de w por unidade de variação de y, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0y e, (c) A derivada parcial de w = f x y z( , , ) , no ponto P0 e em relação a z, indica a taxa de vari- ação de w em relação a variação de z, a partir do ponto P0 e, na direção positiva do eixo 0z. GENERALIZAÇÃO Para w = f(x1,x2, . . ., xn), interpretamos cada derivada parcial como sendo a taxa de varia- ção de w por unidade de variação da respectiva variável xi, i = 1,2, ..., n, a partir do ponto P0 e na direção positiva do eixo xi. Exemplo: 1) O volume de um tronco de cone reto, com altura h, raio da base (maior) R e raio menor r, é dado pela função V(h,r,R) = π 3 2 2h r rR R( )+ + (V em unidades de volume e h,r,R em unidades lineares) Em um determinado instante temos um tronco de cone de dimensões h = 10 cm, r = 2 cm e R = 5 cm. (a) Qual é o volume tronco do cone? (b) Se variarmos só a altura, qual é a variação do volume? (c) Se variarmos só o raio menor, qual é a variação do volume? (d) Qual é a variação do volume em relação ao raio da base? Sol.: (a) O volume do tronco do cone é V = = π π 3 10 4 10 25 130( )+ + cm3. (b) ∂ ∂ πV h V h r R r rR Rh= =( , , ) ( )3 2 2+ + e Vh(10,2,5) = 13π cm3/cm. (c) ∂ ∂ πV r V h r R h r Rr= =( , , ) ( )3 2 + e Vr(10,2,5) = 30π cm3/cm. (d) ∂ ∂ πV R V h r R h r RR= =( , , ) ( )3 2+ e VR(10,2,5) = 40π cm3/cm. 2) O potencial elétrico dos pontos (x,y,z) de uma região do espaço é dado por V x y z x y z( , , ) ln= 2 2 2+ + (V em volts; x,y e z em cm) (a) Determine o potencial elétrico do ponto (1,2,2); (b) Qual é a superfície equipotencial que passa pelo ponto (1,2,2)? (c) Quais são as taxas de variação do potencial V, no ponto (1,2,2), em relação as variações de x, y e z? Sol.: (a) V ( , , ) ln1 2 2 1 2 22 2 2= + + = ln3 = 1,0986 volts. (b) A equação da superfície equipotencial é dada por V(x,y,z) = ln3 (é uma superfície de ní- vel) Substituindo e desenvolvendo, ln x y z2 2 2+ + = ln3 ou x2 + y2 + z2 = 32 , isto é, to- dos os pontos que pertencem à esfera de centro na origem e raio 3 têm o mesmo potencial elétrico e ln3 volts. (c) As taxas de variação são dadas pelas derivadas parciais no ponto (1,2,2), isto ë: (i) Em relação a x: ∂ ∂ V x V x y z x x y z x y z x x y zx = = =( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + e Vx(1,2,2) = 1 1 2 2 1 92 2 2+ + = volts/cm. (ii) Em relação a y: ∂ ∂ V y V x y z y x y z x y z y x y zy = = =( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + e Vy(1,2,2) = 2 1 2 2 2 92 2 2+ + = volts/cm. (iii) Em relação a z: ∂ ∂ V z V x y z z x y z x y z z x y zz = = =( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + e Vz(1,2,2) = 2 1 2 2 2 92 2 2+ + = volts/cm. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcular as derivadas parciais de terceira ordem das seguintes funções: a) f x y( , ) = x4 + 5y3 + 3x2y + 8xy b) f x y( , ) = x3cosy + 4y2senx c) f x y( , ) = ln(x + y) d) z = x3e5y e) z = cos(3x + 5y) f) z = ln(x2 + y) g) z = excosy h) z = exseny i) z x y y x = arctg( )2 2+ j) z = ln x x y x x y − − + − 2 2 2 2 2) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: a) z = arcsen y x 2 b) w = xy + yz + zx c) z = xaybzc d) w = x y z2 2 2+ + 3) Verifique se ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2z x y z y x = para: a) z = arcsen x y x − b) z = 2 2xy y+ c) z = arctg x y xy + −1 d) z = x y 4) a) Mostre que para a função f x y xy x y x y x y x y ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − + ≠ = 2 2 2 2 0 0 0 0 0 se se , temos fxy(0,0) = −1 e fyx(0,0) = 1; b) Dada a função z = ye x 2 , calcular ∂ ∂ ∂ 4 2 2 z x y ; c) Mostre que a função z = x3 − 2xy2 verifica a equação x z x y z y x z x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2+ = ; d) Mostre que a função z = x y x y x + verifica a equação x z x xy z x y y z y 2 2 2 2 2 2 22 0 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = ; e) Mostre que a função z = tg(y + kx) + (y − kx)3/2 verifica a equação da corda vibrante, ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 z x k z y = ; f) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectadosem paralelo, sua re- sistência combinada R em ohms é R R R R R = 1 2 1 2+ . Mostre que ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 2 2 2 2 1 2 4 4R R R R R R R = ( )+ 5) Se f x y( , ) admite derivadas parciais de segunda ordem, chama-se Laplaciano de f à função: r∇ = +2 2 2 2 2f x y f x x y f y x y( , ) ( , ) ( , ) ∂ ∂ ∂ ∂ Calcule r∇2 f x y( , ) para as seguintes funções: a) f x y( , ) = x4 − y4 b) f x y( , ) = sen(x2 − y2) c) f x y( , ) = 1 2 2x y+ d) f x y( , ) = 2 2 2 x x y+ e) f x y( , ) = arctg y x f) f x y( , ) = excosy 6) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de z = 10 22 2− −x y com o plano y = 1 no ponto em que x = 2. 7) Dada a função f x y y x y ( , ) = 2 2 2 1+ + , pede-se determinar: a) O domínio de f; b) As derivadas parciais fx(3,4) e fy(3,4); c) O coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto em que y = 4. 8) Determine a equação do plano tangente e da reta normal às seguintes superfícies: a) z = x2 − 4y2, no ponto P0 = (5,−2) b) z = x2 + y2 , no ponto P0 = (3,4) c) z = x2 + y2 − 4x − 6y + 9, no ponto em que o plano tangente é paralelo ao plano x0y. 9) Através da equação do plano tangente, encontre um valor aproximado para: a) (1,02)3(0,97)2 b) (0,998)31,003 c) ( , ) ( , )4 05 2 932 2+ d) 8 002 3 9623 3, , e) 24 936 81 082 , , f) 36 24, tg44040’ 10) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico z = x2 + 3y2 e o plano x = 2. A que taxa está z variando em relação a x quando o ponto está em (2,1,7)? 11) Um ponto move-se ao longo da intersecção do plano y = 3 e superfície z x y= 29 2 2− − . Qual é a taxa de variação de z em relação a x e em relação a y quando o ponto está em (4,3,3)? 12) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa metálica plano é dada por T x y x y( , ) = 30 50 2 2+ − − . (T em 0C, x e y em cm) a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4); b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e a represente no plano x0y; c) Se a partir do ponto (3,4) um formiga caminhar na direção do eixo 0x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por centímetro aproximadamente? 13) Em uma livraria, o lucro mensal L é uma função do número de vendedores, x, e do capital inves- tido em livros, y, (y em milhares de reais). Em uma certa época tem-se: L(x,y) = 400 − (12 − x)2 − (40 − y)2. a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos; b) Calcule ∂ ∂ ∂ ∂ L x L y ( , ) ( , )7 30 7 30 e ; c) O que é mais lucrativo, a partir da situação do item (a): − aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido; − ou investir mais 1 mil reais, mantendo o número de vendedores? 14) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa é dada por T(x,y) = 2x2 + 3y2 + 15, (T em 0C, x e y em cm). a) Determine a equação da isoterma que passa por (1,2); b) Se a partir do ponto (1,2) nos movermos no sentido positivo do eixo 0x, a temperatura aumenta ou diminui? De quantos 0C por cm, aproximadamente? c) Em que ponto (a,b) a temperatura vale 45 0C, sendo a taxa de variação da temperatura em relação à distância percorrida na direção do eixo 0y, sentido positivo, igual a 12 0C/cm? (considere a e b positivos). 15) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C x y x y( , ) .= + +20 000 2 2 (C em reais). Em um certo mês, foram produzidas 3.000 unidades de A e 2.000 unidades de B. a) Calcule o custo da produção neste mês; b) Calcule ∂ ∂ ∂ ∂ C x C y e ; c) O que é mais conveniente, a partir desta situação: aumentar a produção de A mantendo constante a de B, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique com base nos resultados de (b). 16) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x0y, de modo que a profundi- dade sob o ponto (x,y) é dada por f x y( , ) = 300 − 2x2 − 3y2, (unidades em metros). Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9), ache a taxa de variação da profundidade na direção leste e na direção norte. 17) O potencial elétrico V no ponto (x,y,z) é dado por V x y z x y z ( , , ) = + + 100 2 2 2 (V em volts, x, y e z em cm). Ache a taxa de variação de V, no ponto (2,−1,1) na direção: a) do eixo 0x b) do eixo 0y c) do eixo 0z 18) A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula I V R L = +2 2 2ω , em que I é a corrente, V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Ache e interprete ∂∂ I R e ∂ ∂ I L . 19) A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula R E I = , em que I é a corrente em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Calcule e interprete o significado de ∂ ∂ ∂ ∂ R I R E e quando I = 15 ampères e E = 110 volts. 20) A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os supercomputadores modernos, entretanto, têm entre dois e vários milhares de processadores. Um supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de speedup. A speedup S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um mul- tiprocessador, do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl é uma fórmula usada para determi- nar S S p q p q p q ( , ) ( ) = + −1 em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser realizada utilizando todos os processadores disponíveis em paralelo − isto é, usando-os de maneira que os dados sejam processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, ocorre quando q = 1. a) Se q = 0,8, ache a speedup quando p = 10; 100 e 1.000. Mostre que a speedup S não pode exceder a 5, independente do número de processadores disponíveis. b) Ache a taxa instantânea de variação de S em relação a q. c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processa- dores afeta esta taxa de variação? d) A eficiência E de um cálculo por multiprocessador pode ser calculada pela equação: E p q S p q p ( , ) ( , )= Mostre que, se 0 ≤ q < 1, E(p,q) é uma função decrescente de p e, portanto, sem paralelismo com- pleto, o aumento de número de processadores não aumenta a eficiência do cálculo. 21) No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas e à pro- fundidade x pode ser dada, aproximadamente, por T x t T e t xx( , ) sen( )= −−0 λ ω λ em que T0, ω e λ são constantes. O período de sen(ωt − λx) é 24 horas. a) Calcule e interprete ∂ ∂ ∂ ∂ T x T t e . b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor ∂ ∂ ∂ ∂ T t k T x = 2 2 em que k é uma constante. 22) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inala- ção de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula V(x,y) = 27,63y − 0,112xy. Calcule e interprete o significado de ∂ ∂ ∂ ∂ V x V y e . 23) Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à profun- didade oceânica de x metros, pode ser aproximada por: I x t I e t D kx( , ) sen ( )= −0 3 π em que I0 é a intensidade de luz ao meio-dia, D é a extensão do dia (em horas) e k é uma constante positiva. SeI0 = 1.000, D = 12 e k = 0,1, calcule e interprete ∂ ∂ ∂ ∂ I t I x e quando t = 6 e x = 5. 24) O volume V de um cone circular reto é dado por V x y x= π 24 42 2 2− em que y é o compri- mento da geratriz e x é o diâmetro da base. Encontre a taxa de variação do volume em relação à ge- ratriz e do volume em relação ao diâmetro quando x = 16 cm e y = 10 cm.
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