METODOS AVANÇADOS EM ECONOMETRIA

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Econometria – Hill, Grifith e Judge – Editora Saraiva
Capítulo 3
O Modelo de Regressão Linear 
Simples: Especificação e 
Estimação
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3.1 Um Modelo Econômico 
• A função de regressão simples
| 1 2( | ) y xE y x x= µ = β + β
• Inclinação da reta de regressão 
2
( | ) ( | )E y x dE y x
x dx
∆β = =
∆
“∆” denota “mudança em” 
(3.1.1) 
(3.1.2) 
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3.2 Um Modelo Econométrico 
Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -I
• O valor médio de y, para cada valor de x, é dado pela 
regressão linear 
1 2( )E y x= β + β
• Para cada valor de x, os valores de y se distribuem em 
torno do seu valor médio, seguindo distribuições de 
probabilidade que têm todas a mesma variância,
2var( )y = σ
• Os valores de y são todos não correlacionados e tem 
covariância zero. A implicação disso é que não existe 
qualquer associação linear entre eles.
cov( , ) 0i jy y =
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Essa hipótese pode se tornar mais forte se assumirmos 
que os valores de y são todos estatisticamente 
independentes.
• A variável x não é aleatória e deve assumir pelo menos 
dois valores diferentes 
• (opcional) Os valores de y são normalmente distribuídos 
em torno de sua média para cada valor de x,
2
1 2~ [( ), ]y N xβ + β σ
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3.2.1 Introduzindo o Termo de Erro 
O termo de erro aleatório é
1 2( )e y E y y x= − = − β − β
Rearranjando, temos 
1 2y x e= β + β +
y é a variável dependente; x é a variável explanatória ou 
independente 
(3.2.1) 
(3.2.2) 
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Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples -II 
RS1. 1 2y x e= β + β +
RS2. ( ) 0E e = ⇔ 1 2( )E y x= β + β
RS3. 
2var( ) var( )e y= σ =
RS4. cov( , ) cov( , ) 0i j i je e y y= =
RS5. A variável x não é aleatória e deve assumir pelo 
menos dois valores diferentes. 
RS6. (opcional) Os valores de e são normalmente 
distribuídos em torno de sua média
2~ (0, )e N σ
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3.3 Estimação dos Parâmetros para a Relação de 
Despesas 
3.3.1 O Princípio de Mínimos Quadrados 
• A reta ajustada da regressão é 
1 2ˆt ty b b x= +
• O resíduo de mínimos quadrados 
1 2ˆ ˆt t t t te y y y b b x= − = − −
• Qualquer outra reta ajustada
* * *
1 2ˆt ty b b x= +
• A reta de mínimos quadrados tem a menor soma de 
resíduos ao quadrado 
2 2 *2 * 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )t t t t tte y y e y y= − ≤ = −∑ ∑ ∑ ∑
(3.3.1) 
(3.3.2) 
(3.3.3) 
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• As estimativas de mínimos quadrados são obtidas pela 
minimização da função da soma de quadrados 
2
1 2 1 2
1
( , ) ( )
T
t t
t
S y x
=
β β = − β − β∑
• Obtenha as derivadas parciais 
1 2
1
2
2 1
2
2 2 2
2 2 2
t t
t t t t
S T y x
S x x y x
∂
= β − + β
∂β
∂
= β − + β
∂β
∑ ∑
∑ ∑ ∑
• Iguale as derivadas a zero 
1 2
2
1 2
2( ) 0
2( ) 0
t t
t t t t
y Tb x b
x y x b x b
− − =
− − =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
(3.3.4) 
(3.3.5) 
(3.3.6) 
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• Rearranjando a equação 3.3.6, temos duas equações 
usualmente conhecidas como equações normais, 
1 2t tTb x b y+ =∑ ∑
2
1 2t t t tx b x b x y+ =∑ ∑ ∑
• Fórmulas para as estimativas de mínimos quadrados 
( )2 22
t t t t
t t
T x y x y
b
T x x
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 2b y b x= −
Como essas fórmulas funcionam para qualquer dos valores 
da amostra de dados, elas são os estimadores de mínimos 
quadrados.
(3.3.7a) 
(3.3.7b) 
(3.3.8a) 
(3.3.8b) 
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3.3.2 Estimativas para a Função de Despesa com 
Alimentação 
( )2 2 22
(40)(3834936,497) (27920)(5212,520)
(40)(21020623,02) (27920)
0,1283
t t t t
t t
T x y x y
b
T x x
−
−
= =
−
−
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
1 2 130,313 (0,1282886)(698,0) 40,7676b y b x= − = − =
Um modo conveniente de mostrar os valores de b1 e b2 é 
escrever a reta de regressão estimada ou ajustada:
ˆ 40,7676 0,1283t ty x= +
(3.3.9a) 
(3.3.9b) 
(3.3.10) 
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 3.3.3 Interpretação das Estimativas 
• O valor b2 = 0,1283 é uma estimativa de β2, a 
quantidade que a despesa com alimentação cresce 
semanalmente quando a renda semanal aumenta em $1. 
Assim, nós estimamos que se a renda subir $100, as 
despesas semanais com alimentação aumentarão 
aproximadamente $12,83.
• Estritamente falando, a estimativa de intercepto b1 = 
40,7676 é uma estimativa do gasto semanal com 
alimentação para uma família com renda nula.
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3.3.3a Elasticidades 
• A elasticidade renda da demanda é um modo útil de 
caracterizar a resposta da despesa do consumidor à 
mudanças na renda. Dos princípios microeconômicos, a 
elasticidade de qualquer variável y em relação a outra 
variável x é
variação percentual em /
variação percentual em /
y y y y x
x x x x y
∆ ∆η = = = ⋅
∆ ∆
• Em um modelo econômico linear dado pela equação 3.1.1, 
nós mostramos que 
2
( )E y
x
∆β =
∆
• A elasticidade da despesa “média” em relação à renda é
2
( ) / ( ) ( )
/ ( ) ( )
E y E y E y x x
x x x E y E y
∆ ∆η = = ⋅ = β ⋅
∆ ∆
(3.3.11) 
(3.3.12) 
(3.3.13) 
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( , ) (698,00,130,31)x y =
• Um modo alternativo freqüentemente utilizado é mostrar 
a elasticidade no “ponto das médias” 
já que é um ponto representativo da reta de regressão. 
2
698,00ˆ 0,1283 0,687
130,31
xb
y
η = ⋅ = × =
3.3.3b Previsão 
Suponha que nós queremos prever a despesa semanal com 
comida para um domicílio com uma renda semanal de $750. 
Essa previsão é conduzida pela substituição de x = 750 na 
nossa equação estimada para obter 
ˆ 40,7676 0,1283 40,7676 0,1283(750) $130,98t ty x= + = + =
Nós prevemos que um domicílio com uma renda semanal de 
$750 gastará $130,98 por semana em comida. 
(3.3.14) 
(3.3.15) 
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3.3.3c Exame da Saída do Computador 
Dependent Variable: DESP.ALIM
Method: Least Squares
Sample: 1 40
Included observations: 40
 VARIABLE Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
 C 40.76756 22.13865 1.841465 0.0734
 INCOME 0.128289 0.030539 4.200777 
0.0002
R-squared 0.317118 Mean dependent var 130.3130
Adjusted R-squared 0.299148 S.D dependent var 45.15857
S.E. of regrression 37.80536 Akaike info criterion 10.15149
Sum squared resid 54311.33 Schwarz criterion 10.23593
Log likelihood -201.0297 F-statistic 17.64653
Durbin-Watson stat 2.370373 Prob(F-statistic) 0.000155Figura 3.10 Saída da Regressão pelo EViews 
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Dependent Variable: DESP. ALIM
Analysis of Variance
 Sum of Mean
Source DF Squares Squares F Value Prob>F
Model 1 25221.22299 25221.22299 17.647 0.0002
Error 38 54311.33145 1429.24556
C Total 39 79532.55444
 Root MSE37.80536 R-square 0.3171
 Dep Mean 130.31300 Adj. R-sq 0.2991
 C.V. 29.01120
Parameter Estimates
 Parameter Standard T for HO:
Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > T 
INTERCEP 1 40.767556 22.13865442 1.841 0.0734
INCOME 1 0.128289 0.03053925 4.201 0.0002
Figura 3.11 Saída da Regressão pelo SAS
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3.3.4 Outro Modelo Econômico
• O modelo “log-log” 1 2ln( ) ln( )y x= β + β
• A derivada de ln(y) em relação a x é 
[ln( )] 1d y dy
dx y dx
= ⋅
• A derivada de em relação a x é 1 2 ln( )xβ + β
1 2
2
[ ln( )] 1d x
dx x
β + β
= ⋅β
• Colocando esses dois pedaços em igualdade um com o 
outro e resolvendo para β2: 
2
dy x
dx y
β = ⋅ = η (3.3.16) 
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