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 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico (MA63C-MA70C) / 1o Semestre de 2013 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
Erro, Zero de função, Sistemas Lineares, Ajuste de Curvas (MMQ) 
 
01. Seja a função 
   1ecosxf x2  , representada graficamente abaixo. 
 
          


x
y
 
 
Figura 1: Gráfico de 
   1ecosxf x2  ,  2,10x  . 
 
a) Mostre que a função f(x) tem uma única raiz negativa. 
b) Delimite um intervalo para a menor raiz positiva de f(x), garantindo a unicidade 
da raiz nesse intervalo. 
c) Mostre que o Método de Newton-Raphson gera uma sequência convergente 
para a menor raiz positiva de f(x) no intervalo delimitado no item b. 
d) Calcule a menor raiz positiva de f(x) empregando o Método de Newton-
Raphson, 310 e aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos 
significativos. 
 
  6560.0x ,68.0x ,0.6,0.68I :Re 20 sposta
 
e) O Método de Newton-Raphson pode ser utilizado sem problemas no cálculo 
das demais raízes positivas? Justifique. 
 2 
     
















x
y
 
x
f) Estime o número de iterações necessárias no Método da Bissecção para 
calcular a menor raiz positiva de f(x) no intervalo delimitado no item b com 
precisão 310 . Compare esse número de iterações com aquele obtido 
utilizando o Método de Newton-Raphson (item d). 
 
02. A função polinomial 
 
  8462.71828182e ,
9
e7
x
27
e2063
x
9
e320
xxf 23 




 





 

, 
representada graficamente abaixo, tem três raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Gráfico da função 
 
9
e7
x
27
e2063
x
9
e320
xxf 23 




 





 

. 
 
 Determine a maior raiz de f(x) sabendo que ela se encontra no intervalo 
 1,0I 
. No cálculo dessa raiz: 
a) garanta a unicidade da mesma no intervalo 
 1,0I 
, alterando a amplitude do 
mesmo se necessário; 
b) garanta a convergência do Método de Newton-Raphson no intervalo delimitado 
no item a; 
c) empregue o Método de Newton-Raphson com precisão 310 . Trabalhe com 
aritmética de ponto flutuante com quatro algarismos significativos. 
 
  9067.0x ,9.0x ,0.9,1.0I :Re 20 sposta
 
 
 
 
 3 
03. Um circuito elétrico está representado no diagrama abaixo. 
 
 
 
Figura 3: Circuito elétrico. 
 
 A corrente 
i
, medida em ampères, que flui do nó p para o nó q de uma rede 
elétrica é dada por 
pq
qp
pq
R
VV
i


, 
 
onde 
pV
 e 
qV
 são as voltagens nos nós p e q, respectivamente, e 
pqR
 é a 
resistência, medida em ohms, no arco pq (Lei de Ohm). A soma das correntes que 
chegam a cada nó é nula (Lei de Kirchoff). Assim, as equações que relacionam as 
voltagens podem ser obtidas. 
 No nó 1 da Figura 3, tem-se a equação 
 
0iii 41211A 
, 
ou seja, 
100VV2V40
2
VV
VV
2
V100
421
14
12
1 


 . 
 
 Trabalhando-se de forma análoga nos nós 2, 3 e 4, obtém-se o seguinte 
sistema de equações lineares: 
 
(1) . 
0
0
0
100
V
V
V
V
12505
1320
0121
1024
4
3
2
1









































 
 
a) Solucione o sistema linear (1) empregando o Método de Eliminação de Gauss 
com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com três algarismos 
significativos. 
 
 076,72,68,6V :spostaRe 
 
 4 
b) Calcule uma etapa de refinamento da solução aproximada 
   67.7,59.975.5,71.8,V 0 
. 
        
   076,72,68,6V
,,1.0,3.0,2.0,5.0,8.2,4.0,4.0,5.1r :Re
1
00

 csposta 
c) Solucione o sistema linear usando o Método de Gauss-Seidel,    0,0,0,0V 0  , 
210
, máximo de 5 iterações e aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos. O que se pode afirmar sobre a convergência do método? 
 
 40.3,38.752.3,43.5,V :spostaRe 
 
 A matriz dos coeficientes não é estritamente diagonal dominante. 
 Critério de Sassenfeld: 
 
  1916.0694.0,916.0,875.0,75.0maxM 
. 
 Gauss-Seidel gera uma sequência convergente à solução. 
 
04. Solucione o sistema de equações lineares 
 

































3
2
1
x
x
x
859
494
052
3
2
1
 
 
pelo Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal, utilizando 
aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos. 
 
 41,0.8890.443,0.02 x:spostaRe 
 
 
05. Empregando-se o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e 
dois algarismos significativos na solução do sistema linear 
 































 0.2
0.6
5.2
x
x
x
0.30.10.8
0.40.95.2
0.20.65.1
3
2
1
, 
 
obtém-se a matriz escalonada (com multiplicadores em suas respectivas posições) 
 












7.067.019.0
9.43.931.0
0.20.10.8
, 
 
tendo-se efetuado as permutações 
3p1 
 e 
2p2 
. Utilizando as informações 
dadas e aritmética de ponto flutuante com dois algarismos significativos, obteve-se 
 5 
a solução aproximada    1.2,49.0,1.1x 0  . Calcule uma etapa de refinamento 
dessa solução. 
        
   2.01.0,-0.48,x
,1.0,0065.0,098.0,99.0,74.0,41.0r :Re
1
00

 csposta 
 
06. Considere o seguinte sistema linear: 
 
(2) .
0.1
8.0
05.0
x
x
x
5.10.30.5
0.40.26.1
0.10.20.1
3
2
1


































 
 
a) O Método de Gauss-Seidel é convergente quando aplicado ao sistema (2)? 
Justifique. 
 
 :spostaRe
 A matriz dos coeficientes não é estritamente diagonal dominante. 
 Critério de Sassenfeld (permutando-se linhas): 
 
  195.0835.0,95.0,9.0maxM 
. 
 Gauss-Seidel gera uma sequência convergente à solução. 
b) Solucione o sistema (2) empregando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de 
ponto flutuante com três algarismos significativos, 210 ,    0,0,0x 0  e 
número máximo de iterações igual a 5. 
 
 27,0.02530.278,-0.1- x:spostaRe 
 
 
07. A intensidade 
I
 da radiação de uma fonte radioativa é dada por 
 
t
0eII

. 
 
A tabela abaixo fornece alguns resultados experimentais para 
 tI
. 
 
t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 
I(t) 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 
 
Calcule 
0I
 e 

 pelo Método dos Mínimos Quadrados. Mostre as etapas do 
escalonamento do sistema normal e verifique se o ajuste efetuado é bom ou não. 
Trunque na sexta casa decimal e arredonde se necessário.  
    000908.0e608145.5I,IEQ 
,e608145.5tI :spostaRe
5
1i
2t87557.2
i0
t87557.2i 





 
 
 
 6 
08. Em um circuito, a corrente i foi medida em alguns instantes de tempo e os 
dados obtidos estão relacionados na tabela abaixo. 
 
t (s) 1 1.01 1.02 1.03 1.04 
i (ampères) 3.1 3.12 3.14 3.18 3.24 
 
Ajuste os dados tabelados por uma função 2cxbxe.a)x(f  empregando MMQ. 
Calcule o erro quadrático cometido no ajuste e mostre as etapas do 
escalonamento do sistema normal. Trunque na quarta casa decimal e arredonde 
se necessário. Pode-se afirmar que o ajuste efetuado é bom? Por quê? Você 
consegue pensar em uma função que ajusta melhor os dados tabelados? 
      00073.0e0276.1ycb,a,EQ ,e0276.1xf :spostaRe
5
1i
2x1.1
i
x1.1 i  

 
09. Aproxime a função 
  xexf 
, 
  ,x
, pela série trigonométrica 
 













 





 

2
1n
nn
0
L
xn
senb
L
xn
cosa
2
a . 
      
   2xn2.940862sex2cos470431.1 
xsen676078.3xcos676078.3676078.3Xf :spostaRe

 
 
10.Analise o código em C abaixo. Descreva o que ele executa. 
 
#include<stdio.h> 
#include<conio.h> 
#include<math.h> 
#include<stdlib.h> 
 
void main() 
{ 
 float a[20][20],x[20],e,big,temp,relerror,sum; 
 int n,i,j,maxit,itr; 
 
 printf("Enter the number of equations : "); 
 scanf("%d",&n); 
 
 for(i=1;i<=n;i++){ 
 printf("Enter the coefficients of equation %d : ",i); 
 for(j=1;j<=n+1;j++) 
 scanf("%f",&a[i][j]); 
 } 
 
 printf("Enter relative error and maximum number of iterations : "); 
 scanf("%f%d",&e,&maxit); 
 
 7 
 for(i=1;i<=n;i++) 
 x[i]=0; 
 for(itr=1;itr<=maxit;itr++){ 
 big=0; 
 for(i=1;i<=n;i++){ 
 sum=0; 
 for(j=1;j<=n;j++){ 
 if(i!=j) 
 sum=sum+a[i][j]*x[j]; 
 } 
 temp=(a[i][n+1]-sum)/a[i][i]; 
 relerror=fabs((x[i]-temp)/temp); 
 if(relerror>big) 
 big=relerror; 
 x[i]=temp; 
 } 
 if(big<=e){ 
 printf("nConverges to a solution in %d iterationsn",itr); 
 for(i=1;i<=n;i++) 
 printf("%.4ftn",x[i]); 
 getch(); 
 exit(1); 
 } 
 } 
 
 printf("ndoes not converge in %d iterations n",maxit); 
 getch(); 
} 
 
 
11. Refaça todos os exercícios selecionados dos capítulos 1, 2, 3 e 4 do livro 
Noções de Cálculo Numérico (Humes et al).