prova1_MA70C_S23_1_13_gabarito

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1 
 
 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico – MA70C / 1o semestre de 2013 
 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
Aluno(a): ________________________________________________ Turma: S23 
 
Endereço eletrônico: ________________________________________ Data: 14/08/2013 
 
 
Primeira Avaliação Parcial 
Erro – Zero de funções – Sistemas de equações lineares – Ajuste de curvas 
 
 
Observações: 1a. A leitura e interpretação das questões é parte integrante da prova. 
 2a. Organização é fundamental. 
 
 
Questão 01 Questão 02 Questão 03 APS (2,0) NOTA 
 
 
01. (Valor: 2,0) A função
  xexxf 5.03 
tem uma única raiz real no intervalo
 2,2
, como ilustra 
a Figura 1. 
 
   










x
y
 
 
Figura 1: Gráfico de
   2,2-x ,5.03  xexxf
. 
 
 2 
a) (1,0) Teste as hipóteses do teorema de convergência do Método de Newton-Raphson no 
intervalo
 2,1
, garantindo que 
10 x
pode ser usado como aproximação inicial. 
 
i) 
    0111 5.015.03  eef
 
 
    0822 25.03  eef
 
 
    021 ff
 
 A hipótese do Teorema de Bolzano é satisfeita, o que garante a existência de pelo menos 
uma raiz de
 xf
 no intervalo
 2,1
. (0,2) 
 
ii) 
   1,2x 05.03 5.02'  xexxf
 
   1,2x 0' xf
 
A função
 xf
 não tem mínimos ou máximos locais no intervalo
 2,1
. (0,3) 
 
iii) 
   1,2x 025.06 5.0''  xexxf
 
A função
 xf
 não muda de concavidade no intervalo
 2,1
. (0,3) 
 
 
 
 
 xf
xf
xx
'

 
 
 
 
 
   2,1298175.1298175.01
5.03
1
1
1
1
11
5.0
5.0
'




e
e
f
f (0,2) 
 
 As hipóteses do teorema de convergência são suficientes para garantir que a sequência 
 gerada pelo Método de Newton-Raphson é convergente para a raiz de
 xf
 quando se emprega 
 a aproximação inicial
10 x
. 
 
b) (1,0) Use o Método de Newton-Raphson para aproximar a raiz de
 xf
 em
 2,1I
 com 
aproximação inicial
10 x
, precisão 210 e aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos. 
Lei de recorrência:  
 
1,2,n ,
5.03 1
1
1
1
5.02
5.03
1
1
'
1
1 











n
n
n
n
x
x
n
n
n
nn
ex
ex
x
xf
xf
xx
 (0,2) 
 
Tabela 1: Aproximação da raiz de
  xexxf 5.03 
no intervalo
 2,1
 através do Método de 
Newton-Raphson. (0,8) 
 
n
 
nx
 
 1nn xx
 
0 1.00 
1 1.30 0.30 > 10-2 
2 1.23 0.07 > 10-2 
3 1.23 0 < 10-2 
 
 
 3 
02. (Valor: 4,0) Solucione o sistema de equações lineares 
 
  2.1 :
3
4
3
274
815
069
3
2
1
































x
x
x
 
 
a) (2,0) empregando o Método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de 
ponto flutuante com três algarismos significativos; 
 
Matriz aumentada do sistema: 
 










 3274
4815
3069



~












33.4234.40
33.2834.20
3069



~












33.2834.20
33.4234.40
3069



~ 
 
 L2
’=L2-(0.556)L1
 p2=3 L3
’=L3-(-0.539)L2 
 
 L3
’=L3-(0.444)L1 
 
 ~











008.900
33.4234.40
3069



 (1,0) 
 
 
 
0008.9 33  xx
 
 
 
998.0
34.4
33.4
33.4234.4 232  xxx
 
 
  
999.0
9
99.8
9
998.063
369 121 

 xxx
 
 
 Solução: 
 
 





















0
998.0
999.0
3
2
1
x
x
x
 (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 4 
b) (2,0) utilizando o Método de Gauss-Seidel, aritmética de ponto flutuante com três algarismos 
significativos,    0,0,00 x , precisão 210 e cinco iterações no máximo. Antes de iniciar 
o processo, garanta a convergência do Método de Gauss-Seidel. 
 
 Convergência: (0,5) 
 
 
A matriz 










274
815
069
não é estritamente diagonal dominante










 

n
ijj
ijii aa
,1
. Porém, 
permutando-se a segunda e terceira linhas, a matriz 










815
274
069
é estritamente diagonal 
dominante, o que garante a convergência do Método de Gauss-Seidel (Critério das Linhas). 
 
 Equações do processo iterativo: (0,5) 
 
    
      
      121113
3
1
1
1
2
2
1
1
54125.0
243143.0
63111.0






kkk
kkk
kk
xxx
xxx
xx
 
 
 
Tabela 2: Aproximação da solução do sistema (2.1) através do Método de Gauss-Seidel. (1,0) 
 
k
 
 k
x1
  k
x2
  k
x3
           kkkk vvvVar 321 ,,max 
0 0 0 0 
1 0.333 -0.619 0.369 1 
2 0.745 -0.961 0.154 max{0.553,0.356,1.40} = 1.40 
3 0.973 -1.03 0.020 max{0.234,0.0670,6.70} = 6.70 
4 1.02 -1.02 -0.010 max{0.0461,0.00980,3.00} = 3.00 
5 1.01 -1.00 -0.00625 max{0.00990,0.020,0.600} = 0.600 
 
 
 
   
 
 
   
   

















 0 e 0 se ,1 
0 se ,0 
0 se ,
1
1
1
k
i
k
i
k
i
k
i
k
ik
i
k
i
k
i
k
i
xx
xx
x
x
xx
v
 
 
 5 
03. (Valor: 2,0) Empregando o Método dos Mínimos Quadrados, aproxime a função
 
5
x
xf 
, 
  ,-x
, pela função 
      


7
1
0 cosxg
k
kk kxsenbkxaa
. Escreva todos os termos da 
função aproximadora. 
 
       


x
y
 
Figura 2: Gráfico de
    ,x ,
5

x
xf
. 
 
 
        0,- emímpar é 0  kaaxfxfxf  (0,5) 
 
      

  0 
 
- 
senx 
5
2
sen xf 
1
dxkxdxkxbk
 (3.1) 
Calculando a integral indefinida (integração por partes)
  dxkxxsen
: 
   .cos
1
 v,dv
dx;du ,
kx
k
dxkxsen
xu


 
 
 
          Ckxsen
k
kx
k
x
dxkx
k
kx
k
x
dxkxxsen   2
1
coscos
1
cos
 (0,5) (3.2) 
 
Substituindo (3.2) em (3.1), tem-se que: 
 
 
 6 
         kk
k
k
k
k
k
kxsen
k
kx
k
x
b 1
5
2
cos
5
2
cos
5
21
cos
5
2
0
2








 
; 
 
 
  .1
5
2 k
k
k
b 
 (0,5) 
 
Assim: 
 
 
 ;
1
5
2
71




k
k
kxsen
k
xg
 
 
             
 .7
35
2
 
6
15
1
5
25
2
4
10
1
3
15
2
2
5
1
5
2
xsen
xsenxsenxsenxsenxsenxsenxg


 (0,5) 
 
 
                   
x
y
 
Figura 3: Gráfico de  
 
 



7
1
1
5
2
k
k
kxsen
k
xg
 (vermelho).