prova2_MA63C_S43_1_13_gabarito

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1 
 
 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico – MA63C / 1o semestre de 2013 
 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
Aluno(a): ________________________________________________ Turma: S43 
 
Endereço eletrônico: ________________________________________ Data: 02/10/2013 
 
 
Segunda Avaliação Parcial 
Interpolação – Integração numérica – Solução numérica de EDOs 
 
 
Observações: 1a. A leitura e interpretação das questões é parte integrante da prova. 
 2a. Organização é fundamental. 
 
 
Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 APS (2,0) NOTA 
 
 
 Do velocímetro de um automóvel foram obtidas as leituras de velocidade instantânea citadas na 
Tabela 1. 
 
Tabela 1: Velocidades instantâneas. 
 
t(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 
v(km/h) 22 26 27 34 41 44 48 50 58 60 58 61 55 
 
 
01. (Valor: 2,0) Empregando todos os pontos tabelados, interpole 
18t
 à Tabela 1 utilizando um 
polinômio de grau 2. Justifique a escolha do interpolador. Não efetue truncamentos. 
 
02. (Valor: 1,5) Empregue o Método de n-Simpson para aproximar a distância, em km, percorrida pelo 
automóvel cujo velocímetro registrou as velocidades instantâneas listadas na Tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
01. 
 
Tabela 2: Diferenças divididas. (0,5) 
 
t ORDEM 0 0RDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3 
00 22 
 
 
05 26 0.8 
 
 
10 27 0.2 
 
-0.06 
15 34 1.4 
 
0.12 0.012 
20 41 1.4 
 
0.0 -0.008 
25 44 0.6 
 
-0.08 -0.005333... 
30 48 0.8 
 
0.02 0.006666... 
35 50 0.4 
 
-0.04 -0.004 
40 58 1.6 
 
0.12 0.010666... 
45 60 0.4 
 
-0.12 -0.016 
50 58 -0.4 
 
-0.08 0.002666... 
55 61 0.6 
 
0.1 0.012 
60 55 -1.2 
 
-0.18 -0.018666... 
 
Polinômio interpolador 
 
1. Considerando-se os pontos 
 2710,
, 
 3415,
 e 
 4120,
: 
        0015104110272 .tt.ttp 
; 
     23841101827182 ..p 
. 
 
2. Considerando-se os pontos 
 3415,
, 
 4120,
 e 
 4425,
: 
        08020154115342 .tt.ttp 
; 
         68380802018151841151834182 ...p 
. 
 
3. Considerando-se os pontos 
 220,
, 
 265,
 e 
 2710,
: 
        06050800222 .tt.ttp 
; 
         36220605180188001822182 ...p 
. 
 
 
 3 
Pontuação: (1,0) se 1 ou 2 (três pontos mais próximos); (0,5) se 3. 
 
Justificativa: A escolha do interpolador de grau 2 é justificada pelo fato de que as diferenças divididas 
de ordem 2 são, em módulo, quase constantes, enquanto que as diferenças divididas de ordem 3 são, 
em módulo, nulas ou próximas de zero. (0,5) 
 
 
02. (1,5) Descontar 0,5 se a conversão não foi efetuada. 
 
 
       
    
    
 
 
 
345.58 
1641
36
1
 
1641
3
5
 
2754232277
3
5
 
6160504434264585848412725522
3
5
 
42600
3
 
5
0
12
5
1
2
60
0
km
h
km
h
h
km
min
tvtvvv
h
vdtd
i
i
i
i













 



 
 
03. (Valor: 1,5) Uma spline cúbica natural 
 xs
 para uma função 
 xf
 é definida por 
 
 
 
       






4x3 se 33331
3x2 se 25
32
1
32
0
,xdxcxxs
,DxCxxxs
xs
. (3.1) 
 
 Calcule os coeficientes 
c D,C,
 e 
d
. 
 
 
Extremos: 
2x 
 e 
4x 
 
Nó: 
3x 
 
 
1º. 
    1027912796533s 10  DCDCs
 (3.2) 
 
2º. 
 
 4 
 
 
     
 
33323s
322s
2
1
'
2
0
'


xdxcx
DxCxx
 
    12763276233s 10'  DCDCs'
 (3.3) 
 
Solucionando o sistema (3.2)-(3.3): 
 
27
23
3
11
-127D-6C-
-1027D9C
127D6C
-1027D9C












DC
. (0,5) 
 
3º.  
   
    4822
27
23
18
3
11
233s
362s
62s
10
''
1
''
0
''















cccs
xdcx
DxCx
''
 (0,5) 
 
 
4º. Fronteira 
 
     
3
4
0164204s
0
9
26
9
92
3
22
27
23
12
3
11
202s
1
''
0
''














dd
 
 
 
Logo, não é possível definir 
 xs
 como em (3.1). (0,5) 
 
 
 
04. (Valor: 3,0) Seja o Problema de Cauchy (p.v.i.) 
 
     
 








4
9
0
0,2x 23
y
,xyxxy
dx
d
. (4.1) 
 
 a) (1,5) Determine a solução exata do p.v.i. (4.1). 
 b) (1,5) Solucione numericamente o p.v.i. (4.1) empregando o Método de Euler com passo de 
integração 
3
2
h
. Calcule o erro absoluto cometido a cada passo de integração e não trunque 
resultados, exceto o erro. 
 
 5 
a) 
    xxyxy
dx
d
32 
 EDO linear, 1ª ordem, não homogênea 
 
Fator integrante: xdx ee 22   
 
    xx xexyxy
dx
d
e 22 32  




 
 
   xx xexye
dx
d 22 3  
 
 
   
  dxxedxxye
dx
d xx 22 3
 
 
  Cdxxexye xx  
 22 3
 (4.2) 
1
22
2
2
2
2
2x-
422
1
2
2
edv 
C
exe
dxe
xe
dxxe
e
vdx,dudxux
xx
x
x
x
x








 (0,5) 
 
Retornando a (4.2): 
 
  C
exe
xye
xx
x 








42
3
22
2 ; 
 
  xCexxy 2
4
3
2
3

. (0,5) (4.3) 
 
Considerando 
0x
(condição inicial) em (4.3): 
 
      3
4
3
4
9
4
9
4
3
0
2
3
0 02  CCey
. (4.4) 
 
Substituindo (4.4) em (4.3): 
 
  xexxy 23
4
3
2
3

. (0,5) 
 
 
 6 
b) 
Lei recursiva do Método de Euler: (0,5) 
 
  kkkk yxy,xf 23 
 
 
 
 kkk
kkkk
yxy
y,xhfyy
23
3
2
 
1


 
 
Tabela 3: Solução numérica do p.v.i. (4.1) pelo Método de Euler com passo de integração 
3
2
h
. 
(1,0) 
 
k
 
kx
 
ky
 
 kk y,xf
 
 kxy
 
  kk yxy 
 
0 
 
0
 
4
9 
2
9 
4
9 
0
 
1 
 
3
2 
4
21 
2
25 
3
4
3
4
7
e
 381004437 3
4
.e  
2 
 
3
4 
12
163 
6
187 
3
8
3
4
11
e
 
842415263
3
49
3
8
.e 
 
3 
 
2
 
36
1237 
 
43
4
15
e
 
6833391253
9
343 4 .e 