aula 1 Gravitação

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Centro de Educação Superior de Brasília 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves Disciplina : Física II 
 
 
 
Notas de Aula : Física II Curso: Engenharia Civil ( 3° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
 CONCEPÇÕES ANTIGAS SOBRE A ESTRUTURA DO MUNDO 
Ao observarem o céu, os antigos estudiosos procuraram teorias que pudessem explicar a 
estrutura do mundo que viam. Até 1609, todas as observações astronômicas eram feitas a olho 
nu, já que não havia telescópios. Assim, tudo o que se sabia sobre o Universo, chamado de 
Mundo, era pouco e era obtido de forma pouco precisa. 
Apesar dessa falta de instrumental observacional e baseados apenas nas cerca de 6 mil 
estrelas visíveis a olho nu, nos 5 planetas visíveis a olho nu, na Lua e no Sol, os Astrônomos 
anteriores a 1609 procuraram elaborar teorias que explicassem os fatos observados. Dessas 
teorias surgiram os Modelos de Sistemas do Mundo. Para Aristóteles, a Terra era esférica e 
estava fixa no centro do mundo. Aristarco achava que o Sol deveria estar no centro do mundo e 
tudo girava em torno dele, inclusive a Terra. Pode-se considerar Aristarco como sendo o 
iniciador da Astronomia Científica, e isso, muito antes de as bases do método científico terem 
sido sistematizadas por Galileu. 
De maneira geral, todas as teorias da estrutura do mundo se basearam em uma das duas 
hipóteses: o geocentrismo e o heliocentrismo. Algumas poucas teorias admitiam dois centros 
diferentes ao mesmo tempo: alguns astros girariam em torno do Sol e outros em torno da Terra. 
Sistema Geocêntrico 
O movimento diário aparente da esfera celeste levou a humanidade à mais lógica das 
conclusões : a Terra estava no centro do Mundo, e todos os astros giravam em torno dela. A 
essa estrututa, com a Terra no centro, dá-se o nome de Sistema Geocêntrico. Sabemos hoje, que 
esse sistema não é verdadeiro. 
 Na falta de conhecimentos científicos melhores, essa era a teoria mais aceita na 
antiguidade. Ela se baseava não só em dados observacionais disponíveis, mas também em 
dogmas religiosos que supunham o homem como sendo o rei das criaturas existentes e, poe isso, 
deveria ocupar o centro do Mundo. O modelo do Mundo Geocêntrico supunha a Terra fixa e 
tudo o mais girando em redor dela: a Lua, o Sol, os 5 planetas e as estrelas. 
A ordem de colocação desses astros foi estabelecida supondo-se que quanto mais tempo 
o astro levava para dar uma volta em torno da Terra, mais distante ele deveria estar do centro. 
Com os conhecimentos da época, essa ordem era: Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, 
Saturno e, finalmente, a esfera das estrelas “fixas”. Os planetas Urano, Netuno e Plutão não 
tinham ainda sido descobertos por não serem visíveis a olho nu. 
Sistema Híbrido de Heráclides 
Desde muito cedo os antigos astrônomos já haviam notado que os planetas Mercúrio e 
Vênus possuiam uma particularidade que os diferenciava dos demais planetas: os dois nunca 
eram observáveis longe do Sol: ou ficavam visíveis por pouco tempo após o ocaso do Sol ou 
apareciam por pouco tempo antes do nascer do Sol, e sempre nas imediações do Sol. 
 
 
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Para explicar esse fato, Heráclides (388 a .C. - 315 a .C.) propôs um sistema híbrido: o 
Sol, Marte, Júpiter e Saturno giravam em torno da Terra, os planetas Mercúrio e Vênus giravam 
em torno do Sol. Assim, havia dois centros: a Terra e o Sol. Apesar de ser uma teoria 
Geocêntrica, pelo menos parte do Mundo giraria em torno do Sol e não da Terra, daí o nome de 
Híbrida. Apesar de essa teoria ser mais precisa que as teorias geocêntricas anteriores, ela não foi 
muito usada. 
Sistema Geocêntrico de Ptolomeu 
Entre os anos 127 e 151 o astrônomo grego Cláudio Ptolomeu sugeriu uma nova 
estrutura para explicar a morfologia do Universo: essa disposição recebeu o nome de Sistema 
Geocêntrico de Ptolomeu. O Sol e os planetas Marte, Júpiter e Saturno giravam em torno da 
Terra. Para explicar a constante proximidade aparente de Mercúrio e Vênus ao Sol, ele admitiu 
que havia uma ponte entre a Terra e o Sol e que os dois planetas giravam em epiciclos centrados 
nessa ponte. Cada planeta e o Sol giravam, cada qual, em torno de um centro hipotético e esse 
centro girava em torno da Terra. A órbita de cada astro em torno do centro hipotético recebeu o 
nome de epiciclo e a órbita do centro hipotético em torno da Terra recebeu o nome de 
Deferente. 
Com o aparecimento de novos e mais precisos instrumentos astronômicos, a 
determinação observacional dos astros pode ser feita com precisões cada vez melhores. Muitas 
vezes as observações não coincidiam com as previsões feitas por meio das teorias existentes 
sobre os movimentos dos astros. Para melhorar as teorias, passou-se a usar e abusar dos 
conceitos de deferentes e de epiciclos: os astros, em si, não girariam diretamente em torno da 
Terra, mas sim em torno de pontos hipotéticos, que, por sua vez, girariam em torno da Terra. A 
órbita desses centros virtuais em torno da Terra se chamava de deferente e a órbita dos planetas 
em torno dos centros hipotéticos foi chamada de epiciclo. Pelo século XVII, para poder explicar 
o movimento dos astros conhecidos por meio da teoria dos epiciclos, era necessário um 
complexo de cerca de 200 epiciclos. 
Sistema Heliocêntrico de Copérnico 
Para facilitar a representação da estrutura do Mundo aceita por volta do século XVI, em 
1543, o polonês Nicolau Copérnico publica a obra “Revolução dos Corpos Celetes”, na qual 
propõe o Sol como centro do Sistema Solar, estrututra essa que recebeu o nome de Sistema 
Heliocêntrico ; o Sol seria fixo, e os planetas girariam em movimento circular uniforme em 
torno desse centro, exceto a Lua, que giraria em torno da Terra, que por sua vez giraria em torno 
do Sol, todos no mesmo sentido direto de oeste para leste. 
Apesar de essa idéia se contrapor aos ensinamentos da Igreja Católica da época, esse 
modelo permitia explicar diversos fenômenos que não podiam ser explicados pelas diferentes 
teorias geocêntricas, entre eles o movimento irregular dos planetas no céu. Por ser uma teoria 
herética aos olhos da igreja, ela foi muito combatida, mas suas sementes tinham sido lançadas e 
com o passar do tempo ela foi se firmando. Notar que a ordem de colocação dos planetas a 
partir do Sol seguiu a mesma sistemática usada no sistema geocêntrico : quanto mais lento 
parecesse o movimento do planeta entre as estrelas tanto mais distante estaria do Sol. 
 
 
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 Uma prova que foimuito importante para negar o geocentrismo foi a descoberta, por 
Galileu Galilei, em 16l0, do movimento dos satélites de Júpiter em torno de Júpiter e não da 
Terra, como postularia a teoria geocêntrica. Com o tempo, para ajustar a teoria com as 
observações, reintroduziu-se o sistema de epiciclos e deferentes. Muitos epiciclos passaram a 
ser deferentes de outros epiciclos, criando uma estrutura bastante complexa par o mundo 
observado. Fosse qual fosse a teoria adotada, até o início do século XVII as órbitas dos astros 
eram consideradas circulares. 
 Foi com Kepler que a hipótese da forma das órbitas foi reformulada. Ele propôs órbitas 
elípticas para os planetas. Essa é a forma que mais se aproxima da realidade atualmente 
conhecida. Com o advento dos instrumentos de observação do céu, hoje sabemos que o Sol é o 
centro do Sistema Solar, mas não do Universo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Heliocêntrico Sistema Geocêntrico 
 
 
Os físicos adoram estudar fenômenos aparentemente desconexos e mostrar que a 
verdade, existe uma relação entre eles. Esse ideal da unificação vem sendo perseguido há 
séculos. Em 1665, Isaac Newton, então aos 23 anos, prestou uma contribuição fundamental à 
física ao demonstrar que não existe diferença entre a força que mantém a Lua em órbita e a 
força responsável pela queda de uma maçã. Hoje em dia essa idéia é tão familiar que temos 
dificuldade para compreender a antiga crença de que os movimentos dos corpos terrestres e dos 
corpos celestes eram diferentes e obedeciam a um conjunto diferente de leis. 
 
Newton chegou à conclusão de que não só a Terra atrai as maçãs e a Lua, mas também 
cada corpo do universo atrai todos os demais; essa tendência dos corpos de se atraírem 
mutuamente é chamada de gravitação. 
 
 
 
 
 
 
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A universalidade da gravidade não é óbvia para nós porque a força de atração que a 
terra exerce sobre os corpos próximos é muito maior que a força de atração que estes corpos 
exercem uns sobre os outros. Assim por exemplo a Terra atrai a maçã com uma força de 0,8N. 
Nós também atraímos uma maçã próxima e somos atraídos por ela, mas essa força de atração é 
menor que o peso de uma partícula de poeira. 
 
Newton propôs uma lei para essa força, a chamada lei da gravitação de Newton: “ 
toda partícula DO Universo atrai todas as outras com uma força gravitacional cujo o 
módulo é dado por:” 
 
)(
.
.
2
21 NewtondegravitaçãodaLei
r
mm
GF 
 
 Onde m1 e m2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é uma 
constante, conhecida como constante gravitacional, cujo o valor é: 
 
23112211 ..10.67,6/.10.67,6 skgmGoukgmNG  
 
 
 A intensidade da força gravitacional, ou seja, a intensidade da força com a qual duas 
partículas de massas conhecidas separadas por uma distância conhecida se atraem, depende do 
valor da constante gravitacional G. Se G, por algum milagre fosse de repente multiplicada por 
10, seríamos esmagados contra o chão pela atração da Terra. Se G fosse dividida por 10, a 
atrção da Terra se tornaria tão fraca que poderíamos saltar sobre um edifício. 
 
Embora a lei da gravitação de Newton se aplique estritamente a partículas, podemos 
aplicá-la a objetos reais, desde que os tamanhos desses objetos sejam pequenos em comparação 
com a distância entre eles. A Lua e a Terra estão suficientemente distante uma da outra para 
que, com boa aproximação, possam ser tratadas como partículas. O que dizer, porém , do caso 
de uma maçã e a Terra? 
 
Explicação de Newton para as Marés 
 
 A maré é um dos fenômenos naturais mais conhecidos. Esse fenômeno ocorre em razão 
do movimento periódico de subida e descida do nível da água, produzindo dessa maneira as 
chamadas marés altas e marés baixas. Foi Isaac Newton que, a partir da expressão da força 
gravitacional, deu a explicação para esse fenômeno natural. Segundo as explicações do físico e 
matemático Newton, as marés são causadas pela atração do Sol e da Lua e da Lua sobre as 
águas do mar. 
 
 As Forças que atuam sobre as marés ocorrem porque a Terra é um corpo extenso e que o 
campo gravitacional que é produzido pelo Sol ou pela Lua não é homogêneo em todos os 
pontos, pois tem alguns pontos da Terra que estão mais próximos e outros mais distantes destes 
corpos celestes. Esses campos gravitacionais provocam acelerações que atuam na superfície 
terrestre com diferentes intensidades. Dessa forma as massas de água que estão mais próximas 
da Lua ou do Sol sofrem aceleração com intensidades maiores que as massas de água que estão 
mais afastadas desses astros. É essa diferença de pontos mais próximos e mais afastados do Sol 
e da Lua que dão origem às marés. 
 
 
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Newton resolveu o problema da atração entre a Terra e a maçã provando um importante 
teorema , conhecido como o teorema das cascas: 
“Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da 
casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro. 
 
A Terra pode ser imaginada como um conjunto de cascas, uma dentro da outra, cada 
uma atraindo uma partícula localizada fora da superfície da Terra como se a massa da casca 
estivesse no seu centro. Assim, do ponto de vista da maçã a Terra se comporta como uma 
partícula, que está localizada no centro da Terra e possui uma massa igual a massa da Terra. 
 
Suponha que a Terra atraia uma maçã para baixo com uma força de módulo de 0,80N. 
Nesse caso, a maçã atrai a Terra para cima com uma força de 0,80N, cujo o ponto de aplicação é 
o centro da Terra. Embora as forças tenham o mesmo módulo, produzem acelerações quando a 
maçã começa a cair. A aceleração da maçã é aproximadamente 9,8 m/s2, a aceleração dos 
corpos em queda livre perto da superfície da Terra. A aceleração da Terra, medida no 
referencial do centro de massa do sistema maçã –Terra. A aceleração da Terra, medida no 
referencial do centro de massa do sistema maçã-Terra, é apenas cerca de 1 . 10-25 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gravitação e o Princípio da Superposição 
 
A maioria dos modelos que representam fenômenos físicos são lineares. Por exemplo: a 
interação gravitacional entre n partículas pode ser considerada como a composição da interação 
aos pares dessas partículas. Isso acontece por causa do Princípio da Superposição. 
 
Por causa deste princípio essa ciência se presta tão bem à aplicação do reducionismo.É 
dito que a Física é um campo de estudo reducionista porque costuma-se analisar os fenômenos 
extremamente sofisticados através da observação de cada uma das partes simplesque compõe 
este fenômeno. 
 
Dado um grupo de partículas, podemos determinar a força gravitacional a que uma delas 
está submetida devido a presença das outras usando o princípio da superposição. No caso de n 
partículas, podemos escrever o princípio da superposição para as forças gravitacionais que agem 
sobre a partícula 1 como. 
 
nres FFFFFF ,15,14,13,12,1,1 ...


 
 
 
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Onde F1, res é a força resultante a que está submetida a partícula 1 e, por exemplo, F1,3 é 
força exercida pela partícula 3 sobre a partícula 1. Podemos expressar essa equação de forma 
mais compacta através de um somatório: 



n
i
ires FF
2
,1,1
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
A figura abaixo mostra um arranjo de três partículas: a partícula 1, de massa m1= 6,0 kg, 
e as partículas 2 e 3, de massa m2 = m3 = 4,0 kg ; a = 2,0 cm. Qual é a força gravitacional 
resultante F1, res que as outras partículas exercem sobre a partícula 1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) um arranjo de três partículas. ( b ) As forças que as outras partículas exercem sobre a 
partícula de massa m1. 
 
 
 
Gravitação próximo à superfície da Terra 
 
A força de atração gravitacional entre a Terra e um corpo de massa m próximo à sua 
superfície, em princípio deverá ter a mesma forma da atração entre dois corpos quaisquer. 
 
No entanto se esse corpo estiver a uma altura h acima da superfície da Terra, e 
pudermos considerar esta altura muito menor que o raio da Terra, poderemos fazer algumas 
considerações e até aproximações razoáveis sobre o valor desta força de atração o módulo da 
força gravitacional sobre uma partícula de massa m, situada fora do planeta, a uma distância r 
do seu centro, e dada por: 
 
2
.
.
r
mM
GF T
 
 
 
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Se a partícula é liberada, essa força gravitacional faz com que ela caia na direção do 
centro da terra com a aceleração da gravidade ag. Pela segunda lei de Newton, 
 
𝑭𝒓 = 𝒎 . 𝒂𝒈 
 
Substituindo F na primeira equação temos que: 
 
𝑚. 𝑎𝑔 = 𝐺 .
𝑀𝑇 .𝑚
𝑟2
 → 𝑎𝑔 = 𝐺 .
𝑀𝑇
𝑟2
 
( 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎) 
 
A uma altitude h a aceleração da gravidade é menor que na superfície, vamos chamar 
essa aceleração de ah ,Temos que: 
 
𝑎𝑔 = 𝐺 .
𝑀𝑇
𝑟2
 (1) ; 𝑎ℎ = 
𝐺𝑀
𝑟2
= 
𝐺𝑀
(𝑟+ℎ)2
 (2) da equação 1 temos que: 𝐺𝑀𝑇 = 𝑎𝑔𝑟
2 
substituindo na equação 2 temos: 
 
𝑎ℎ = 
𝑎𝑔𝑟
2
(𝑟 + ℎ)2
 → 𝒂𝒉 = 𝒂𝒈. (
𝒓
𝒓 + 𝒉
)
𝟐
 
 
 Sendo h pequeno em comparação com r ( raio da Terra) resulta em 𝑎ℎ ≅ 𝑎𝑔 
 Das equações acima, temos a aceleração gravitacional ag é devida exclusivamente à 
força gravitacional exercida sobre a partícula pela terra. 
 A força gravitacional exercida sobre a partícula é diferente do peso que medimos com 
uma balança, por três razões: 
 
1. A Terra não é uniforme – A densidade da terra varia radialmente. Isso quer dizer que a sua 
densidade varia de ponto para ponto da superfície da Terra. 
 
 
2. A Terra não é uma esfera – É aproximadamente um elipsóide, achatada nos pólos e dilatada 
no equador. 
 
 
 
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3. A Terra gira – O eixo de rotação passa pelos seus pólos norte e sul da Terra. Um objeto 
localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos pólos, descreve uma 
circunferência em torno do seu eixo de rotação e portanto, possui uma aceleração centrípeta 
dirigida para o centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Considere um corpo de 100Kg no interior de satélite artificial em torno da Terra. O satélite 
encontra-se em relação a Terra, à altitude igual ao próprio raio da Terra. Suponha a Terra 
estacionária no espaço. Determine: 
a) a aceleração da gravidade no interior do satélite em relação a aceleração da gravidade 
na superfície da Terra; 
b) O peso do corpo de massa 100Kg na superfície da Terra e na altura em que se encontra 
o satélite. 
 
 
 
Medindo da Constante Gravitacional G 
 
A constante G pode ser calculada da equação da lei da gravitação de Newton (1665), se 
medirmos a atração gravitacional entre duas esferas de massa conhecidas, separadas por uma 
distância estabelecida. O primeiro a efetuar esta medida foi Henry Cavendish, em 1798. 
 
 
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Conhecendo G, podemos achar a massa M da terra usando 
2
.
r
M
Ga Tg 
 
Na superfície da Terra, r = RT. Usando 
2/8,9 smgag 
 obtemos 
 
 
kg
skgm
msm
M
G
Rg
M 24
311
2622
10.0,6
./10.67,6
)10.37,6(.)/8,9(.


 
 
Conhecendo a massa M da terra podemos determinar a sua densidade média. 
 
33
36
24
3
/10.52,5
3
)10.37,6(.4
10.0,6
3
..4
mKg
R
M
V
M
 
 
 
 
 
 
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Corpos em órbita 
 
Considere um planeta de raio R e massa M. Seja m a massa de um satélite em órbita 
circular em torno do planeta à altitude h. 
 A força de interação gravitacional entre M e m é responsável pela aceleração centrípeta 
necessária para manter m em órbita.Essa aceleração é a própria aceleração da gravidade a 
altitude h: 
𝑎𝑐𝑝 = 𝑎𝑔 
 
A partir dessa igualdade, tanto podemos determinar a velocidade orbital como o período 
de revolução do satélite em torno do planeta. 
 
Velocidade: 
 
Sendo 
𝑎𝑐𝑝 = 
𝑉2
𝑟
 𝑒 𝑔ℎ = 
𝐺𝑀
𝑟2
 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑉2
𝑟
= 
𝐺𝑀
𝑟2
 → 𝑉2 = 
𝐺𝑀
𝑟
 → 𝑣 = √
𝐺𝑀
𝑟
 = √
𝐺𝑀
𝑅 + ℎ
 
 
Período: 
 
Sendo 
𝑎𝑐𝑝 = 
𝑉2
𝑟
 = 𝜔2𝑟 = 
4𝜋2
𝑇2
 . 𝑟 𝑒 𝑔ℎ = 
𝐺𝑀
𝑟2
 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
4𝜋2
𝑇2
 . 𝑟 = 
𝐺𝑀
𝑟2
 → 𝑻𝟐 = 
𝟒𝝅𝟐
𝑮𝑴
 𝒓𝟑 
 
OBS: 
 
- a velocidade e o período independem da massa (m) do satélite; 
- a velocidade e o período dependem da massa do planeta (M) e da distância r; 
- Conhecida a velocidade do satélite, a uma determinada altura, determinamos sua energia 
cinética: Temos: 𝑉2 = 
𝐺𝑀
𝑟
 ; 𝐸𝑐 = 
𝑚 .𝑣2
2
 , 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 ∶ 𝑬𝒄 = 
𝑮𝑴𝒎
𝟐𝒓
 
- Demonstra-se que a energia potencial gravitacional, adotando-se o referencial no infinito, é 
dada por: 𝑬𝒑 = −𝑮.
𝑴𝒎
𝒓
 
- a velocidade de um satélite a baixa altitude ( raio da órbita = raio da Terra) , isto é, rasante a 
superfície da Terra , é dado por: 
 𝒗 = √
𝑮𝑴
𝑹
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Velocidade de Escape 
 
A velocidade de escape é a velocidade mínima com a qual um corpo deve ser lançado 
da Terra para que alcance o infinito com velocidade nula. Para que um corpo alcance o infinito, 
a energia total deve ser igual ou superior a zero e, por isso, a velocidade mínima corresponderá 
a uma energia total nula. 
Assim temos: 
Corpo na Terra : 
𝑬𝒄 = 
𝒎 . 𝒗𝟐
𝟐
 ; 𝑬𝒑 = −𝑮.
𝑴𝒎
𝒓
 
 
Corpo no infinito : Ec = 0 ; Ep = 0 ( referencial no infinito) 
 
Portanto: 
𝒎 . 𝒗𝟐
𝟐
− 𝑮.
𝑴𝒎
𝒓
= 𝟎 → 𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒑𝒆 = √
𝟐𝑮𝑴
𝑹
 
Exemplos: 
 
 Um satélite artificial está descrevendo órbita de raio R = 1,2 .10
7
m ao redor da Terra. 
Sendo conhecida a massa da Terra MT = 6 . 10
24 kg e a constante universal G = 6,67.10-11 
N.m2/kg2 determine para esse satélite: 
a) A velocidade orbital; 
b) O período. 
 
 
2) O planeta Marte possui massa de 6,46.1023 kg e raio 3,37.106m. sendo G = 6,67.10 -11N.m2/kg2 
a constante de gravitação Universal, determine: 
 
a) A velocidade de escape nesse planeta; 
b) A velocidade orbital e o período de um satélite artificial que orbite a baixa altitude( 
satélite rasante) nesse planeta ( raio da órbita = raio de Marte). 
 
 
 
Planetas e Satélites: As Leis de Kepler 
 
A humanidade sempre foi fascinada pelo céu noturno, com a infinidade de estrelas e 
com os brilhantes planetas. No final do século XVI, o astrônomo Tycho Brahe estudou os 
movimentos dos planetas e conseguiu fazer observações muito mais exatas que as feitas 
anteriormente por outros observadores. 
 
Com os dados de Tycho Brahe, Johannes Kepler descobriu que as trajetórias dos 
planetas em torno do Sol eram elipses. Mostrou também que tinham velocidades maiores 
quando orbitavam nas proximidades do Sol e menores quando estavam muito afastados. Kepler 
estabeleceu, por fim, uma relação matemática precisa entre o período de um planeta e a sua 
 
 
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distância média ao Sol, e enunciou os resultados da sua investigação em três leis empíricas do 
movimento dos planetas. 
 
1ª Lei de Kepler - Lei das Órbitas 
 Os planetas descrevem órbitas elipticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da 
elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kepler ao descobrir que os planetas giravam em torno do Sol em órbitas elípticas, ficou 
muito decepcionado, pois apesar de ser cientista seu arraigado espírito religioso tinha 
dificuldade de aceitar que Deus tivesse criado algo que não fosse perfeito. 
 Através dessa lei concluímos que os planetas em órbita em torno do Sol apresentam dois 
pontos importantes o Periélio e o Afélio. 
Periélio: É o ponto da órbita de um planeta em que ele está mais próximo do Sol. 
Afélio: é o ponto da órbita de um planeta em que ele está mais afastado do Sol. 
 
 
Uma elipse é um lugar geométrico dos pontos para os quais a soma das distâncias a dois 
pontos fixos, chamados de focos F, é constante como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2ª Lei de Kepler (Lei das Áreas) – Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais 
em tempos iguais.Vamos considerar a área  
Quando o intervalo de tempo for muito pequeno, a área vale aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde r mede aproximadamente a distância entre o Sol e o planeta e θ mede o ângulo varrido 
pela linha quando o planeta se movimenta de posição inicial até a final. A taxa com que essa 
área varia com o tempo é dada por: 
 
n
n
t
A
t
A
t
A





.....
2
2
1
1
 
De maneira mais clara temos que quando um planeta se move em sua órbita , sua 
velocidade linear, sua velocidade angular e o raio de sua órbita variam. No entanto, o vetor que 
liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais. 
Assim temos que: 
𝐴 = 𝑘 . ∆𝑡 
Onde a constante K é a velocidade areolar do planeta (𝑘 = 
𝐴
∆𝑡
) 
Atenção: 
 
 Essa lei nos informa que o planeta se move mais rapidamente quando se encontra 
próximo ao Sol e mais vagarosamente quando está longe dele. Sendo assim, do afélio para o 
periélio, o movimento descrito pelo planeta é acelerado; do periélio para o afélio, o movimento 
descrito por ele é retardado. O planeta tem velocidade máxima no periélio e mínima no afélio 
 
3ª Lei de Kepler - Lei dos Períodos 
 O quociente dos quadrados dos períodos e o cubo de suas distâncias médias do sol é 
igual a uma constante k, igual a todos os planetas. 
 
Ou temos que: 
𝑇1
2
𝑅1
3 = 
𝑇2
2
𝑅2
3 
 
 
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Como o período de rotação de um planeta é equivalente a um ano, conclui-se que 
quanto mais longe o planeta estiver do Sol, mais longo será seu período de rotação, e em 
consequência "seu ano". 
 
Exercícios: 
1) Qual deve ser a distância entre uma partícula de 5,2 kg e uma partícula de 2,4 kg para 
que a atração gravitacional entre elas tenha módulo de 2,3 . 10-12N? 
2) Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacional sobre a Lua. Qual é a razão FSol / 
FTerra entre as duas forças. ( A distância média entre o sol e a Lua é igual a distância média entre 
o Sol e a Terra. 
3)Uma massa M é dividida em duas partes, m e M – m, que são em seguidas separadas por uma 
certa distância. Qual a razão m / M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as 
partículas? 
4) Na figura três esferas de 5,00 kg estão localizadas a distâncias d1= 0,300 m e d2= 0,400 m. 
quais são o módulo e a orientação em relação ao semi - eixo x positivo da força gravitacional 
resultante a que está sujeita a esfera B. 
 
 
 
 
 
 
5) A que distância da Terra deve estar uma sonda espacial ao longo da reta que liga nosso 
planeta ao Sol para que a atração gravitacional do Sol seja igual a atração da Terra? 
6) A que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é 4,9 m/s2? 
7) Edifício de uma milha. Em 1956, Frank Lioyd Wright PR^pos a construção de um edifício 
com uma milha de altura em Chicago. Suponha que o edifício tivesse sido construído. 
Desprezando a rotação da Terra, determine a variação do seu peso se você subisse de elevador 
do andar térreo, onde você pesa 600 N, até o alto do edifício. 
 
 
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8) Quanto pesaria um objeto na superfície da Lua, se pesa 100 N na superfície da Terra? 
Quantos raios terrestres este mesmo objeto deve está do centro da Terra para ter o mesmo peso 
que na superfície da Lua? 
9) Fobos, um satélite de Marte, se move em uma órbita aproximadamente circular com 9,4 . 106 
m de raio, com um período de 7h 39min. Calcule a massa de Marte a partir dessas informações. 
10) A primeira colisão conhecida entre fragmentos espaciais e um satélite artificial em 
operação ocorreu em 1996: a uma altitude de 700 km, um satélite – espião frânces com um 
ano de uso foi atingido por um pedaço de um foguete Ariane que estava em órbita a 10 anos. 
Um estabilizador do satélite foi danificado e ele começou a girar sem controle. Imediatamente 
antes da colisão e em km/h, qual era a velocidade do pedaço de foguete em relação ao satélite 
se ambos estavam em órbitas circulares . 
11) A distância média de Marte ao Sol é 1,52 vez a distância da Terra ao Sol. Use a lei dos 
períodos de Kepler para calcular o número de anos necessários para Marte completar uma 
revolução em torno do Sol. 
12) Qual é a magnitude do campo gravitacional na superfície de uma estrela de nêutrons cuja 
a massa é 1,60 vez a massa do Sol e cujo o raio é de 10,5 km? 
13) Um satélite colocado em órbita elíptica, cujo ponto mais distante está a 360 km da 
superfície da Terra e cujo ponto mais próximo está 180 km da superfície. Calcule o semi eixo 
maior e a excentricidade da órbita. 
14) Com que velocidade mínima uma nave deverá ser lançada da superfície da Terra e liberta-se 
da atração do campo gravitacional? Dados : ( massa da Terra = 6.1024 Kg , raio da Terra = 6400 
km , constante gravitacional = 6,7 . 10-11 N . m2/kg2) 
15) Se a Terra fosse perfeitamente esférica e homogênea, e se não houvesse atmosfera, com que 
velocidade horizontal deveria ser jogada uma pedra para que ela permanecesse em órbita a 
alguns centímetros da superfície terrestre? 
 
16) um satélite da Terra move-se numa órbita circular, cujo raio é 4 vezes maior que o raio da 
órbita circular de outro satélite. Qual a relação T1/T2, entre os períodos do primeiro e do 
segundo satélite? 
 
 a) ¼ b) 4 c) 8 d) 64 e) 100 
 
 
17) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol. Levando-se em conta as Leis de Kepler, pode-
se com certeza afirmar que: 
 
 a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo centro o Sol ocupa; 
 b) num mesmo intervalo de tempo dt, o cometa descreve a maior área, entre duas posições e 
o Sol, quando está mais próximo do Sol; 
 
 
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 c) a razão entre o cubo do seu período e o cubo do raio médio da sua trajetória é uma 
constante; 
 d) o cometa, por ter uma massa bem menor do que a do Sol, não á atraído pelo mesmo; 
e)o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. 
 
18) O período de translação de Urano em torno do Sol equivale a 84 anos terrestres, 
aproximadamente. Supondo o raio médio da órbita de Urano cerca de 4 vezes maior que o da 
órbita de Júpiter, determine, aproximadamente, o período de translação de júpiter, expresso em 
anos terrestres. 
 
19) Uma nave interplanetária parte da Terra e dirigi-se à Lua numa trajetória retilínea 
determinada por um segmento que une o centro da Terra ao centro da Lua. Sabendo-se que a 
massa da Terra MT é aproximadamente igual a 81 vezes a massa da Lua ML, determine o ponto 
no qual é nula a intensidade da força gravitacional resultante que age na nave devido às ações 
exclusivas da Lua e da Terra. Considere a Terra e a Lua estacionárias no espaço, com 
distribuição de massa homogênea e , para efeito de cálculo, com massa total localizada nos seus 
centros. 
 
20)O peso de um corpo na superfície da Terra é de 40 N. Esse mesmo corpo pesa 10N no 
interior de uma nave espacial que se move sob a ação da gravidade em torno da Terra, suposta 
estacionária no espaço. Calcule a distância da nave ao centro da Terra no momento da pesagem 
em função do raio da Terra. 
 
21) Em seu livro intitulado Harmonis Mundi (1619), Kepler, considerado pai da mecânica 
celeste, publica a terceira lei do movimento planetário. A respeito desta e das outras leis, 
analise: 
 
I. Os planetas mais próximos do Sol completam a sua revolução num tempo 
menor que os mais distantes; 
II. O Sol ocupa o centro da trajetória elíptica descrita pelo planeta quando este 
completa seu período; 
III. O movimento de translação é variado, isto é, pode ser acelerado e retardado, 
durante o trajeto do planeta. 
 
Está correto o contido apenas em: 
a) I b) II c) I e II d) I e III e) II e III 
 
22) O raio médio da órbita de Saturno em torno do Sol é cerca de 9,6 vezesmaior do 
que o raio médio da órbita da Terra. Determine, em anos terrestres, o período de revolução de 
Saturno. 
 
23) Durante o primeiro semestre deste ano, foi possível observar o planeta Vênus bem brilhante, 
ao anoitecer. Sabe-se que Vênus está mais próximo do Sol que a Terra. Comparados com a 
Terra, o período de revolução de Vênus em torno do Sol é ................. e sua velocidade orbital é 
................. . As lacunas são corretamente preenchidas, respectivamente, por: 
 
menor; menor b)menor; igual c) maior; menor d)maior; maior e) menor; maior 
 
 
 
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24) O raio médio da órbita de Marte em torno do Sol é aproximadamente quatro vezes maior do 
que o raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol. Assim, a razão entre os períodos de 
revolução, T1 e T2, de Marte e de Mercúrio, respectivamente, vale aproximadamente: 
 
 
25) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do Sol, cuja área =e A = 6,98 . 1022m2. Qual 
é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol entre 0hora do dia 1º de abril até 24 horas do dia 
31 de maio do mesmo ano em m2? 
26) Um planeta orbita em torno de uma estrela massiva. Quando no periélio, o planeta tem uma 
rapidez de 5,0x104 m/s e está a 1015m da estrela. O raio orbital aumenta para 2,2.1015m no 
afélio. Qual a rapidez do planeta no afélio? 
27) A rapidez de um asteróide é 20 km/s no periélio e 14 km/s no afélio. Determine a razão 
entre as distâncias de afélio e periélio. 
Resposta: 
1) 19m 2) 2,16 3) M=2m 4) 2,12.10-8N e 60º 5) 2,6.108m 6) 2,6.106m 
7) ∆𝑷 = −𝟎, 𝟑𝟎𝟑𝑵 8) 1,56.107m 9) 6,5.1023kg 10) 2,7.104km/h 11) 1,83 anos Terres 
12) 1,93.10
12
m/s
2
 13) 6,64.10
6
m ; 0,0136 14) V = 11,2 km/s 15) v = 7.905,94 m/s 16) 
8 17) e 18) 10,5 anos Terrestre 19) 𝒙 = 
𝟗𝒅
𝟏𝟎
 20) d = 2R 21) d 22) 29,7 anos 
Terrestre 23) e 24) 8 25) 1,16.10
22
m
2
 26) 2,3.10
4
m/s 27) 1.4