Cálculo III-Soluções em séries próximas a um ponto ordinario

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Soluções em Séries Próximas a um Ponto 
Ordinário, Parte I!
•  Até$agora,$vimos$métodos$que$nos$permi4am$resolver$
equações$diferenciais$lineares$de$segunda$ordem$com$
coeficientes$constantes.$$$
•  Agora,$consideraremos$o$caso$em$que$os$coeficientes$são$
funções$da$variável$independente,$que$denotaremos$por$x.$$
•  É$suficiente$considerarmos$a$equação$homogênea$
$já$que$o$método$para$o$caso$nãoBhomogêneo$é$similar.$$
•  Primeiramente,$consideraremos$P,$Q,$R$polinômios.$
•  Mas,$o$método$pode$ser$aplicado$quando$P,$Q$e$R$são$
quaisquer$funções$analí4cas.$$$
,0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
Pontos$Ordinários !
" Considere que P, Q, R são polinômios sem fatores comuns, e 
que queremos resolver a equação abaixo em uma vizinhança 
de um ponto x0: 
"   O ponto x0 é dito ponto ordinário se P(x0) ≠ 0. Como P é 
contínua, P(x) ≠ 0 para todo x em algum intervalo em torno de 
x0. Para x neste intervalo, dividimos a equação diferencial por 
P obtendo 
"   Como p e q são contínuas, temos que existe uma única 
solução, dadas as condições iniciais y(x0) = y0, y'(x0) = y0' 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
 
)(
)()( ,
)(
)()( que em,0)()(2
2
xP
xRxq
xP
xQxpyxq
dx
dyxp
dx
yd
===++
Pontos$Singulares !
" Suponha que queremos resolver a equação abaixo em uma 
vizinhança de um ponto x0: 
"   O ponto x0 é dito ponto singular se P(x0) = 0. 
"   Como P, Q, R são polinômios sem fatores comuns, segue que 
Q(x0) ≠ 0 ou R(x0) ≠ 0, ou ambos. 
" Então, pelo menos um dos dois, p ou q, torna se ilimitado 
quando x → x0, e assim, não se pode garantir solução, e muito 
menos unicidade. 
 
)(
)()( ,
)(
)()( que em,0)()(2
2
xP
xRxq
xP
xQxpyxq
dx
dyxp
dx
yd
===++
Soluções$em$Séries$Próximas$a$Pontos$
Ordinários!
"   Para encontrar uma solução para uma equação diferencial 
próxima a um ponto ordinário x0, 
 assumiremos a representação em séries da solução 
desconhecida y: 
" Enquanto estivermos dentro do intervalo de convergência, 
esta representação de y é continua e tem derivadas contínuas 
de todas as ordens. 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
∑
∞
=
−=
0
0 )()(
n
n
n xxaxy
Exemplo$1:$Soluções$em$Séries (1$de$7)$
" Encontre uma solução em séries da equação 
" Aqui, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = 1. Assim, todo ponto x é um 
ponto ordinário. Tomaremos x0 = 0. 
" Assumindo uma solução em série na forma 
 ao derivar termo a termo obtemos 
" Substituindo estas expressões na equação, ficamos com 
∑
∞
=
=
0
)(
n
n
nxaxy
( )∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−=$$=$=
2
2
1
1
0
1)(,)(,)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xannxyxnaxyxaxy
( ) 01
02
2 =+− ∑∑
∞
=
∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
∞<<∞−=+## xyy ,0
Exemplo$1:$Combinando$Séries$$$(2$de$7) !
" Nossa equação é 
" Mudando os índices, obtemos 
( ) 01
02
2 =+− ∑∑
∞
=
∞
=
−
n
n
n
n
n
n xaxann
( )( )
( )( )[ ] 012
ou
012
0
2
00
2
=+++
=+++
∑
∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
xaann
xaxann
Exemplo$1:$Relação$de$Recorrência$(3$de$7) !
" Nossa equação agora é 
"   Para esta equação ser válida para todo x, o coeficiente de 
cada potência de x deve ser zero, e então 
"   Este tipo de equação é chamada de relação de recorrência. 
( )( )
( )( )
...,2,1,0,
12
ou
...,2,1,0,012
2
2
=
++
−
=
==+++
+
+
n
nn
aa
naann
n
n
nn
( )( )[ ] 012
0
2 =+++∑
∞
=
+
n
n
nn xaann
"   Para determinar a2, a4, a6, …., fazemos: 
Exemplo$1:$Coeficientes$Pares (4$de$7)$
( )( )122 ++
−
=+ nn
aa nn
( ) ...,3,2,1,
)!2(
1
,
12345656
,
123434
,
12
0
2
04
6
02
4
0
2
=
−
=
⋅⋅⋅⋅⋅
−=
⋅
−=
⋅⋅⋅
=
⋅
−=
⋅
−=
k
k
aa
aaa
aaa
aa
k
k
!
"   Para determinar a3, a5, a7, …., fazemos: 
Exemplo$1:$Coeficientes$Ímpares$ (5$de$7)$
( ) ...,3,2,1,
)!12(
1
,
123456767
,
1234545
,
23
1
12
15
7
13
5
1
3
=
+
−
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=
⋅
−=
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
−=
⋅
−=
+ kk
aa
aaa
aaa
aa
k
k
!
( )( )122 ++
−
=+ nn
aa nn
Exemplo$1:$Solução$$$$(6$de$7)$
•  Agora,$temos$a$seguinte$informação:$
•  Assim,$
•  Obs.:$a0$e$a1$são$determinados$pelas$condições$iniciais.$
•  Além$disso,$pelo$teste$da$razão,$podeBse$mostrar$que$estas$
duas$séries$convergem$absolutamente$em$(B∞,$∞),$e$
portanto,$as$manipulações$que$fizemos$na$série$em$cada$
passo$são$válidas.$
11202
0 !)12(
)1(,
!)2(
)1( que em,)( a
k
aa
k
axaxy
k
k
k
k
n
n
n +
−
=
−
== +
∞
=
∑
12
0
1
2
0
0 !)12(
)1(
!)2(
)1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +
−
+
−
= n
n
n
n
n
n
x
n
ax
n
axy
Exemplo$1:$Funções$Definidas$por$PVI$(7$de$7)$
•  Nossa$solução$é$
•  Do$Cálculo,$sabemos$que$esta$solução$é$equivalente$a$
•  De$antemão,$sabiamos$que$cos$x$e$sen$x$eram,$de$fato,$
soluções$fundamentais$da$nossa$equação$diferencial.$
$ $$
•  Porém,$normalmente,$teremos$funções$cuja$definição$
depende$do$PVI.$$$
12
0
1
2
0
0 !)12(
)1(
!)2(
)1()( +
∞
=
∞
=
∑∑ +
−
+
−
= n
n
n
n
n
n
x
n
ax
n
axy
xaxaxy sencos)( 10 +=
∞<<∞−=+## xyy ,0
Teorema$1 !
"   Se x0 é um ponto ordinário da equação diferencial 
 então a solução geral para esta equação é 
 em que a0 e a1 são constantes arbitrárias e y1, y2 são soluções 
em série linearmente independentes que são analíticas em x0. 
" Além disso, o raio de convergência de cada uma das 
soluções em série y1 and y2 é no mínimo do mesmo tamanho 
que o menor dos raios de convergência das séries de p e q. 
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
)()()()( 2110
0
0 xyaxyaxxaxy
n
n
n +=−=∑
∞
=
Raio$de$Convergência !
" Assim, se x0 é um ponto ordinário da equação diferencial, 
então existe uma solução em séries y(x) = Σ an(x - x0)n. 
" Além disso, o raio de convergência de cada uma das 
soluções em série y1 and y2 é no mínimo do mesmo tamanho 
que o menor dos raios de convergência das séries de p e q. 
Estes raios podem ser determinados de duas maneiras: 
1. Encontrar a série para p e q, e então determinar seus raios de 
convergência usando um teste de convergência. 
2. Se P, Q e R são polinômios sem fatores em comum, então pode-se 
mostrar que Q/P e R/P são analíticas em x0, se P(x0) ≠ 0, e o raio de 
convergência da série de potências para Q/P e R/P em torno de x0 é a 
distância entre x0 e o zero mais próximo de P (incluindo zeros 
complexos). 
Exemplo$1 !
" Seja f (x) = (1 + x2)-1. Encontre o raio de convergência da 
série de Taylor de f em torno de x0 = 0. 
"   A série de Taylor de f em torno de x0 = 0 é 
" Usando o teste da razão, temos 
"   Logo, o raio de convergência é ρ = 1. 
" Alternativamente, note que os zeros de 1 + x2 são x = ±i. 
Como a distância, no plano complexo, de 0 a i ou –i é 1, 
temos novamente que ρ = 1. 
!! +−++−+−=
+
nn xxxx
x
2642
2 )1(11
1
1for ,1lim
)1(
)1(lim 22
221
<<=
−
−
∞→
++
∞→
xx
x
x
nnn
nn
n
Exemplo$2 !
" Encontre o raio de convergência da série de Taylor para 
 em torno de x0 = 0 e em torno de x0 = 1. 
Primeiro observe que: 
"   Como o denominador não pode ser zero, estabelecemos os 
limites sobre os quais a função pode ser definida. 
"   No plano complexo, a distância de x0 = 0 até 1 ± i é , 
então, o raio de convergência para a expansão em série de 
Taylor em torno de x0 = 0 é ρ = . 
"   No plano complexo, a distância de x0 = 1 até1 ± i é 1 , então, 
o raio de convergência da expansão em série de Taylor em 
torno de x0 = 0 é ρ = 1. 
 
12 )22( −+− xx
ixxx ±=⇒=+− 10)22( 2
2
2
Exemplo$3: Equação$de$Legendre$(1$de$2)$
"   Determine um limitante inferior para o raio de convergência 
da solução em série em torno de x0 = 0 para a equação de 
Legendre 
" Aqui, P(x) = 1 – x2, Q(x) = -2x, R(x) = α (α + 1). 
" Assim, x0 = 0 é um ponto ordinário, já que p(x) = -2x/(1 – x2) 
e q(x) = α (α + 1)/(1 – x2) são analíticas em x0 = 0. 
" Além disso, p e q tem pontos singulars em x = ±1. 
" Assim, o raio de convergência para as expansões em série de 
Taylor de p e q em torno de x0 = 0 é ρ = 1. 
" Portanto, pelo Teorema 1, o raio de convergência da solução 
em série em torno de x0 = 0 é, no mínimo, ρ = 1. 
( ) constante. uma ,012)1( 2 ααα =++"−""− yyxyx
Exemplo$3: Equação$de$Legendre$(2$de$2)$
" Assim, para a equação de Legendre 
 o raio de convergência da solução em série em torno de x0 = 0 
é no mínimo ρ = 1. 
" Pode-se mostrar que se α é um inteiro positivo, então uma das 
soluções em série termina após uma quantidade finita de 
termos, e assim, converge para todo x, e não apenas para |
x| < 1. 
( ) ,012)1( 2 =++!−!!− yyxyx αα
Exemplo$4: Raio$de$Convergência$$$(1$de$2)$
"   Determine um limitante inferior para o raio de convergência 
da solução em série em torno de x0 = 0 para a equação 
" Aqui, P(x) = 1 + x2, Q(x) = 2x, R(x) = 4x2. 
" Assim, x0 = 0 é um ponto ordinário, já que p(x) = 2x/(1 + x2) e 
q(x) = 4x2 /(1 + x2) são analíticas em x0 = 0. 
" Além disso, p e q tem pontos singulares em x = ±i. 
" Assim, o raio de convergência para as expansões em série de 
Taylor de p e q em torno de x0 = 0 é ρ = 1. 
"   Logo, pelo Teorema 1, o raio de convergência para a solução 
em série em torno de x0 = 0 é no mínimo ρ = 1. 
042)1( 22 =+!+!!+ yxyxyx
Exemplo$4: Teoria$da$Solução$$$(2$de$2)$
" Assim, para a equação 
 o raio de convergência da solução em série em torno de x0 = 0 
é no mínimo ρ = 1, pelo Teorema 1. 
" Suponha que as condições iniciais y(0) = y0 e y(0) = y0' são 
dadas. Como 1 + x2 ≠ 0 para todo x, existe uma única solução 
para o problema de valor inicial em -∞ < x < ∞. 
" Por outro lado, o Teorema 1 garante apenas uma solução na 
forma Σ an xn para -1 < x < 1, em que a0 = y0 e a1 = y0'. 
" Assim, a solução única em -∞ < x < ∞ pode não ter uma 
representação em série de potências em torno de x0 = 0 que 
converge para todo x. 
,042)1( 22 =+!+!!+ yxyxyx
Exemplo$5$
"   Determine um limitante inferior para o raio de convergência 
da solução em série em torno de x0 = 0 para a equação 
" Aqui, P(x) = 1, Q(x) = sen x, R(x) = 1 + x2. 
"   Note que p(x) = sen x não é um polinômio, mas ainda assim, 
possui uma série de Taylor em torno de x0 = 0 que converge 
para todo x. 
" Analogamente, q(x) = 1 + x2 tem um série de Taylor em torno 
de x0 = 0, a saber 1 + x2, que converge para todo x. 
" Portanto, pelo Teorema 1, o raio de convergência da solução 
em série em torno de x0 = 0 é infinito. 
( ) 0)1(sen 2 =++!+!! yxyxy