Geometria Analitica - Daniel Miranda

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Daniel Miranda e Edson Iwaki
Notas de aula - versa˜o preliminar
Geometria Analı´tica
UFABC - Universidade Federal do ABC
Santo Andre´
http://hostel.ufabc.edu.br/˜daniel.miranda
Versa˜o compilada em: 10 de fevereiro de 2010
Escrito em LATEX.
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SUMA´R IO
Suma´rio 6
1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espac¸o 1
1.1 Vetores: definic¸a˜o geome´trica 2
1.1.1 Soma de Ponto com Vetor 8
1.2 Dependeˆncia e Independencia Linear de Vetores 9
1.3 Base 12
2 Vetores em Coordenadas 15
2.1 Sistemas de Coordenadas 15
2.2 Base Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 18
2.3 Aˆngulo entre dois vetores Produto Escalar 19
2.3.1 Projec¸a˜o Ortogonal 20
2.4 Vetor perpendicular a dois vetores dados: Produto Vetorial 22
2.5 Escolhas de Coordenadas 26
2.6 O problema do lugar geome´trico 29
3 Retas 33
3.1 Equac¸o˜es da reta 33
3.1.1 Equac¸a˜o da reta no plano 34
3.2 Aˆngulos entre retas 38
3.3 Distaˆncias entre pontos e retas 39
4 Planos 43
4.1 Equac¸o˜es do Plano 43
4.2 Paralelismo entre Planos 46
4.3 Distaˆncia de plano a plano 47
4.4 Distaˆncia de um ponto ao plano 47
4.5 Exercı´cios 48
5 Sistemas Lineares e Posic¸a˜o Relativa de Retas, Planos e Hiperplanos 51
5.1 Dependencia e Independencia Linear II 51
5.2 Sistemas Lineares 52
5.3 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares por escalonamento 54
5.4 Interpretac¸a˜o geome´trica 57
5.4.1 Duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de duas retas. 57
5.4.2 Duas equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de dois planos. 58
5.4.3 Treˆs equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de treˆs planos 58
5.4.4 Famı´lias de Retas e Planos 61
5.5 Exercı´cios 62
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6 Cı´rculos e Esferas 65
6.1 Equac¸o˜es Canoˆnicas 65
6.2 Cı´rculo por treˆs pontos 66
6.3 Retas Tangentes e Planos Tangentes 66
6.4 Exercı´cios 66
7 Coordenadas Polares e Esfe´ricas 71
7.1 Coordenadas Polares 71
7.1.1 Trac¸ado de curvas em coordenadas polares 73
7.2 Retas em coordenadas polares 75
7.3 Circunfereˆncia em coordenadas polares 76
8 Mudanc¸a de Coordenadas 81
8.1 Mudanc¸a de Base 81
8.2 Mudanc¸a de Coordenadas 83
8.3 Transformac¸o˜es Ortogonais 86
8.4 Translac¸a˜o 86
8.5 Rotac¸a˜o 89
8.6 Matriz Inversa 92
9 Sec¸o˜es Coˆnicas 93
9.1 Coˆnicas 93
9.2 Elipse 93
9.3 Hipe´rbole 97
9.3.1 Assı´ntotas 99
9.4 Parabo´la 99
9.5 Equac¸o˜es da forma Ax2 +By2 +Cxy+Dx+ Ey+ F = 0 102
9.5.1 Caso 4AB−C2 6= 0 102
9.5.2 Caso 4AB−C2 = 0 103
9.6 *Coˆnicas em coordenadas polares 106
I´ndice Remissivo 106
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1 ESTRUTURA VETOR IAL DO PLANO E DO ESPA C¸O
Denotaremos por E3 o espac¸o euclideano tridimensional e por E2 o plano euclideano.
Dados os pontos A,B quaisquer em E3 (ou em E2). Um segmento orientado AB e´ um
segmento no qual se escolheu um dos extremos A, chamado ponto inicial. O outro ex-
tremo B do segmento e´ denominado ponto final. Para nossas considerac¸o˜es um pontoA e´
considerado um segmento que denominaremos segmento nulo. Esse segmento tambe´m
sera´ denotado por AA.
Diremos que dois segmentos na˜o nulos AB e CD possuem a mesma direc¸a˜o se as retas
AB e CD sa˜o paralelas.
O comprimento do segmento AB sera´ denotado por
∣∣AB∣∣. Essa grandeza tambe´m sera´
chamada de norma do segmento
Definic¸a˜o 1.1 Dizemos que dois segmentos paralelos AB e CD possuem o mesmo sen-
tido se
• caso as retasAB e CD na˜o sejam coincidentes: se as retasAC e BD tiverem intersecc¸a˜o
vazia.
• caso as retas AB e CD sejam coincidentes: se os segmentos AB e CD tem o mesmo
sentido que um segmento EF paralelo e na˜o coincidente.
Caso os segmentos paralelos AB e CD na˜o tenham o mesmo sentido diremos que eles
teˆm sentidos opostos ou contra´rios.
A
B
C
D
mesmo sentido
A
B
C
D
sentido contra´rio
A B
Uma reta diz-se orientada quando se escolheu um segmento orientado sobre ela que
chamaremos positivo, o sentido inverso chama-se negativo. Um eixo e´ uma reta orientada
na qual se fixou um ponto O chamado origem.
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1.1 vetores: definic¸a˜o geome´trica
Um vetor aplicado e´ um segmento de reta orientado. Nessa definic¸a˜o vale destacar que
um vetor tem treˆs aspectos: direc¸a˜o, sentido e comprimento. A direc¸a˜o do vetor e´ a
direc¸a˜o do segmento, o sentido vem de termos escolhido uma orientac¸a˜o no segmento,
ou seja de termos escolhido um ponto inicial e final e o comprimento de um vetor e´ o
comprimento do segmento que o determina.
Graficamente vetores sa˜o representados como flechas, no qual a ponta da flecha
v
aponta na direc¸a˜o do vetor. Os vetores sera˜o denotados ou por fonte em
negriro a, A ou atrave´s de uma flecha superior: −→a , −→A . Dados dois pontos
O e P o vetor comec¸ando em O e terminando em P sera´ denotado
−→
OP.
Dois vetores aplicados sa˜o ditos equivalentes se e somente se eles tem
o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido. Geometrica-
mente isso significa que consideraremos equivalentes os segmentos de reta
que sa˜o paralelos, apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento. Destacamos
que vetores equivalentes na˜o precisam comec¸ar no mesmo ponto!
Proposic¸a˜o 1.2 A relac¸a˜o de ser equivalente desfruta de treˆs popriedades:
1. AB ∼ AB (reflexiva)
2. AB ∼ CD⇒ CD ∼ AB (sime´trica)
3. AB ∼ CD e CD ∼ EF⇒ AB ∼ EF (transitiva)
Quando identificamos os vetores aplicados como descrito acima, obtemos vetores li-
vres ou simplismente vetores. Eles podem ser transportados de um lugar a outro e po-
demos escolher livremente o ponto onde inicia tal vetor.
Dois vetores sa˜o ditos paralelos se tiverem a mesma direc¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.3 O conjunto de todos os vetores de E3 sera´ denotado por V3.
Podemos definir tambe´m V2 o conjunto de vetores associados a E2, i.e. classe de equi-
valeˆncia de segmentos de retas no plano.
Um nu´mero real k sera´ denomindado escalar. Dado um vetor v e um escalar k pode-
mos realizar a multiplicac¸a˜o de k e v obtendo o vetor kv definido do seguinte modo:
v
−v
1
2
v
Se o vetor v e´ nulo ou k e´ zero enta˜o kv = 0
Se k > 0, o vetor kv e´ o segmento de reta com o mesmo
sentido, mesma direc¸a˜o e com comprimento |k| |v| .
Se k < 0 enta˜o o vetor kv tem a mesma direc¸a˜o e sentido
oposto ao vetor A e comprimento |k| |A| .
Dois ou mais vetores podem ser somados pela regra do para-
lelogramo: A soma, u+ v, de dois vetores u e v e determinada
da seguinte forma:
• Tome um segmento orientado que representa u;
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• Tome um segmento orientado que representa v, com origem na extremidade final
de u;
• o vetor u+ v e´ representado pelo segmento orientado que vai da origem de A ate´
a extremidade final de v.
Proposic¸a˜o 1.4 As operac¸o˜es com vetores desfrutam das seguintes propriedades:
Propriedades da soma
S1. Propriedade Comutativa: u+ v = Y+X,
u
v
v
uu+v
S2. Propriedades associativa: (u+ v) +w = u+ (v+w)
u
v
w
u+v
v+w
u+v+w
S3. Elemento Neutro: O+ u = u
S4. Elemento oposto: Para cada vetor u existe um u´nico vetor w tal que u+ (w) = 0.
Esse vetor e´ denominado oposto a w e sera´ denotado −u.
u
-u
Proposic¸a˜o 1.5 Propriedades da multiplicac¸a˜o :
M1. Propriedade distributiva de escalares em relac¸a˜o aos vetores: λ(u+ v) = λu+ λv
M2. Multiplicac¸a˜o por zero 0u = O
M3. Associatividade da multiplicac¸a˜o por escalares (λ1λ2)u = λ1(λ2u)
M4. Distributiva dos vetores em relac¸a˜o aos escalares (λ1 + λ2)u = λ1u+ λ2u
M5. Elemento neutro multiplicativo 1u = u
Todas as propriedades a´lgebricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades
acima. Essas propriedades sa˜o a´nalogas as propriedades dos nu´meros reais e grande
parte da a´lgebra desenvolvida para nu´meros reais se extende para as operac¸o˜es vetoriais.
De modo mais geral podemos definir um espac¸o vetorial como um conjunto com uma
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operac¸a˜o + e uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalares satisfazendo os nove axiomas
acima. Os espac¸os vetoriais sa˜o uma das estruturas matema´ticas de maior importaˆncia.
Vejamos algumas propriedadesalge´bricas dos vetores:
Exemplo 1.6 u+ u = 2u
Demonstrac¸a˜o: Pela propriedade M5 temos que u+ u = 1u+ 1u e pela propriedade
M4 temos que1u+ 1u = (1+ 1)u = 2u e logo u+ u =2u �
Exemplo 1.7 De modo mais geral temos que
ku = u+ u+ · · ·+ u︸ ︷︷ ︸
k vezes
Exemplo 1.8 u+ (−1u) = 0, ou seja o vetor oposto a u e´ −1u.
Demonstrac¸a˜o: Pela propriedade M5 temos que u+ (−1u) = 1u+ (−1u) e pela proprie-
dade M4 temos que 1u+ (−1u) = (1− 1)u = 0u. Finalmente a propriedade M2 nos diz
que 0X = O
Como o vetor oposto e´ u´nico temos que o vetor oposto a u e´ −1X. �
O vetor oposto a u, que como vimos e´ (−1u) sera´ denotado simplesmente por −u.
Podemos definir a subtrac¸a˜o de dois vetores −→u −−→v como a soma −→u + (−−→v ) ou de
outra forma definimos −→u −−→v como o vetor que adicionado a v da´ o vetor −→u .
Exemplo 1.9 u+ v = w se, e somente se, u = v−w.
Demonstrac¸a˜o: Vamos provar a primeira implicac¸a˜o: Se u+ v = w enta˜o, u = v−w
Vamos comec¸ar calculando (u+ v)−v
(u+ v)−v= u+ (v− v) por S2
u+(v− v) = u por M4 e M5
por outro lado
(u+ v)−u = w− v ja´ que por hipotese u+ v = w
�
Exemplo 1.10 Dois vetores u,v sa˜o paralelos se e somente se u =λv para algum λ 6= 0
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Demonstrac¸a˜o: Supoonha que u, v sa˜o paralelos enta˜o temos dois casos a considerar: ou
eles possuem o mesmo sentido ou sentidos opostos.
Vamos tratar peimeiro o caso em que eles tem o mesmo sentido. Neste caso escolhemos
λ =
‖u‖
‖v‖
Com essa escolha temos que provar que u =λv.
Como u e v sa˜o paralelos, u e λv possuem a mesma direc¸a˜o. E como estamos assu-
mindo que u e v possuem o mesmo sentido e como λ e´ maior que zero enta˜o pela
definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalares u e λv possuem o mesmo sentido. Finalmente
‖λv‖ = λ ‖v‖ = ‖u‖‖v‖ ‖v‖ = ‖u‖
O que prova que eles tem o mesmo comprimento.
A demonstrac¸a˜o do caso em que u e λv possuem direc¸a˜o contra´ria e´ analoga, pore´m
nesse caso escolhemos λ = −‖u‖‖v‖ . �
Exemplo 1.11 Treˆs pontos A,B,C pertencem a mesma reta se e somente se
−→
AB = λ
−→
BC.
Exemplo 1.12 Os segmentos que unem os pontos me´dios de dois lados desse triaˆngulo e´
paralelo ao terceiro lado.
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo ∆ de lados AB BC e CA e sejaM1 o ponto me´dio do lado AB e
M2 o ponto me´dio do lado AC. O vetor
−−−→
BM1 e´ igual a metade do vetor
−−−→
AM1 pois ambos
possuem mesma direc¸a˜o e sentido e o comprimeno de
−−−→
BM1 e´ metade do comprimento
de
−−−→
AM1. Analogamente, temos que
Enta˜o temos que �
Exemplo 1.13
Sejam M1,M2,M3 os pontos me´dios dos lados AB,BC e CA do triaˆngulo ABC Prove
que as treˆs medianas teˆm um u´nico ponto comum, que divide AM2,BM3 e CM1 na
raza˜o 2 para 1. Esse ponto e´ conhecido como baricentro do triaˆngulo.
Soluc¸a˜o: E´ facil provar que
−−−→
BM3 = −
−→
CB+
1
2
−→
CA
−−−→
AM2 = −
−→
CA+
1
2
−→
CB
CM1 =
1
2
−→
CA+
1
2
−→
CB
Para provar que as retas que ligam B a M3 e a reta que liga A a M2 sa˜o concorrentes,
supomos por absurdo que elas na˜o sa˜o, ou seja sa˜o paralelas: assim suporemos que existe
λ tal que
−−→
BM3 = λ
−−−→
AM2.
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Usando as expresso˜es anteriores para
−−−→
BM3 e
−−→
AM3temos
−−−→
BM3 = −
−→
CB+
1
2
−→
CA = λ
(
−
−→
CA+
1
2
−→
CB
)
=
−−→
AM3
o que resulta que
−
−→
CB+
1
2
−→
CA− λ
(
−
−→
CA+
1
2
−→
CB
)
= 0(
−1−
1
2
λ
)−→
CB+
(
1
2
+ λ
)−→
CA = 0
Como
−→
CA e
−→
CB na˜o sa˜o paralelos (ou seja sa˜o L.I.) temos que
−1−
1
2
λ = 0
1
2
+ λ = 0
O que implicaria 2 = λ = 12 . Absurdo.
Chamamos G o ponto comum as retas AN e CM e como AGN sa˜o colineares existe λ
tal que AG = λAN ou equivalente que G = A+ λAN
do mesmo modo G = B+ µBP. e logo
A+ λAN = B+ µBP
e como B = A+AB temos que
λAN+AB = µBP
usando as expressoes que obtivemos no inicio temos
−λCA+
λ
2
CB = Cb−CA+ µCB+
µ
2
CA =
(µ
2
− 1
)
CA+ (1− µ)CB
o que implica λ = 23 = µ.
G = A+ 23AN = B+
2
3BP.
Analogamente ache equac¸o˜es a´nalogas para G′ e G” os pontos de interseccao das ou-
tras duas retas conclua que G = G′ = G′′ �
Exercı´cios.
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arEx. 1.1 —Sendo ABCDEFGH o paralelogramo acima, calcule:a) −→AB+−→FG
b)
−−→
AD+
−→
HG
c) 2
−−→
AD−
−→
FG−
−→
BH+
−→
HG
Ex. 1.2 — Resolva a equac¸a˜o nas incognitas x e y:{
x+ 2y = u
3x− 4x = 2x+ v
Ex. 1.3 — Treˆs pontos A,B,C esta˜o na mesma reta se e somente se os vetores AB e AC
sa˜o paralelos.
Ex. 1.4 — Prove que:
a) (−α)v = −(αv)
b) α (−v) = − (αv)
c) −α (−v) = αv
d) ‖λv‖ = |λ| ‖v‖
e) −
−→
AB =
−→
BA
Ex. 1.5 — Prove que se αv =βv e v 6= 0 enta˜o α = β.
Ex. 1.6 — Prove que αv = 0 enta˜o ou α = 0 ou v = 0
Ex. 1.7 — Prove que dados dois vetores u e v na˜o paralelos enta˜o se
λ1u+ λ2v =
−→
O
enta˜o λ1 = λ2 = 0
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1.1.1 Soma de Ponto com Vetor
P
Q = P + v
v
Dado um ponto P e um vetor −→v podemos definir uma soma de
vetor com ponto do seguinte modo.
Seja um representante de −→v que comec¸a em P e seja Q o
ponto final desse representante. Definimos enta˜o:
P+ v := Q
Proposic¸a˜o 1.14 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades:
1. P+O = P
2. P+ u = P+ u se e somente se u = v
3. (P+ u) + v = P+ (u+ v)
Exercı´cios.
Ex. 1.8 — Prove que:
a) P+O = P
b) (P+ u)−u = P
c) P+ u =Q+v enta˜o u =PQ+v
Ex. 1.9 — As diagonais de um paralelogramo se dividem mutualmente ao meio.
Ex. 1.10 — Sendo A e B dois pontos, mostrar que
−→
AB+
−→
BA = 0
Ex. 1.11 — Seja ABCD um quadrila´tero. Se E e´ o ponto me´dio do lado AB e F e´ o ponto
me´dio do lado oposto DC, prove que
−→
EF = 12(
−−→
AD+
−→
BC).
Ex. 1.12 — Seja G o baricentro (ou seja o ponto de encontro das medianas) do triaˆngulo
ABC. Prove que
−→
GA+
−→
GB+
−→
GC = 0.
Ex. 1.13 — Prove que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de
um trape´zio e´ paralelo as bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das bases.
Ex. 1.14 — Prove que existe um u´nico ponto comum as bissetrizes internas de um triaˆngulo
e que esse ponto, conhecido como incentro do triaˆngulo e´ interior a ele.
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Ex. 1.15 — Sejam M,N,P os pontos me´dios dos lados AB,BC e CA do triaˆngulo ABC
Ex. 1.16 —
a) Exprima
−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
CA e
−→
CB
b) Prove que as retas suportes de duas medianas quaisquer do triaˆngulo sa˜o concor-
rentes
c) Prove que as treˆs medianas teˆm um u´nico ponto comum, que divide AN,BP e
CM na raza˜o 2 para 1. Esse ponto e´ conhecido como baricentro do triaˆngulo.
Ex. 1.17 — Sendo ABCDE um hexa´gono regular de centro O prove que
−→
AB+
−→
AC+
−−→
AD+
−→
AE+
−→
AF = 6
−−→
AO
1.2 dependeˆncia e independencia linear de vetores
Um vetorw e´ dito combinac¸a˜o linear dos vetores {vi}i=1...n se existem escalares {αi}i=1...n
tal que
w =
n∑
i=1
α1vi
A B
CD
E
F
e1
e2
e3
e4
e1
e1 =
−→
AB
e2 =
−−→
AD
e3 =
−→
AC
Exemplo 1.15 O vetor
−→
AG e´ combinac¸a˜o
linear de
−→
AB,
−−→
AD,
−→
AE. pois temos que−→
AG =
−→
AB+
−−→
AD+
−→
AE.
Dado um conjunto de vetores, eles sa˜o
ditos linearmente independentes se ne-
nhum deles e´ combinac¸a˜o linear dos ou-
tros dois. Ou de modo equivalente:
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Definic¸a˜o 1.16 Dados v1, . . . , vn, dizemos
que esses vetores sa˜o linearmente inde-
pendentes se
n∑
i=1
α1v1 = 0 se, e somente se, α1 = · · · = αn = 0
Ou seja, a u´nica relac¸a˜o linear entre
os vetores e´ a trivial, ou ainda, o vetor
0 pode ser escrito de modo u´nico como
combinac¸a˜o de vi
Quando um conjunto de vetores {vi}i=1,...n
que na˜o e´ linearmente independente e´
dito linearmente dependente.
Proposic¸a˜o 1.17 Seja u um vetor que possa
ser escrito como combinac¸a˜o linear do con-
junto de vetores linearmente independente
{vi}i=1,...n
u =
n∑
i=1
αivi
enta˜o essa representac¸a˜o e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o: Suponha que a representac¸a˜o
na˜o e´ u´nica
u =
n∑
i=1
αivi =
n∑
i=1
α′ivi
enta˜o:
n∑
i=1
αivi −
n∑
i=1
α′ivi = 0
e logo
n∑
i=1
(αi −α
′
i)vi = 0
Como {vi}i=1,...n isso implica que para
cada i, (αi −α′i) = 0, e assim αi = α
′
i
Portanto a representac¸a˜oe´ u´nica. �
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Exemplo 1.18 Dado um paralelogramo
ABCD. Seja l uma linha reta que inter-
cepta AB,AC e AD nos pontos B1,C1
eD1 respectivamente. Prove que se
−→
AB1 =
λ1
−→
AB,
−−→
AD1 = λ2
−−→
AD e
−−→
AC1 = λ3
−→
AC
enta˜o:
1
λ3
=
1
λ1
+
1
λ2
Soluc¸a˜o: Assuma que
−→
AB = a,
−−→
AD = b
e
−→
AC = a+ b. Enta˜o
−→
AB1 = λ1a,
−−→
AD1 =
λb e AC1 = λ3(a+ b)
Como os treˆs pontosA1,B1 e C1 esta˜o
na mesma reta enta˜o:
−→
BC1 = k
−→
BD1 (1.1)
Mas
−→
BC1 = AC1−AB1 = (λ3 − λ1) a+ ˘2b
e
−→
BD1 = AD1 −AB1 = −λ1a+ ˘2b
Substituindo as expresso˜es acima em
1.1, obtemos:
(λ3 − λ1) a+ ˘2b =− kλ1a+ k˘3b
E logo λ3 − λ1 = k˘2 e ˘2 = k˘3.
Eliminando k temos que λ1λ3+λ2λ3 =
λ1λ2. dividindo por λ1λ2λ3 temos
1
λ3
=
1
λ1
+
1
λ2
�
Exemplo 1.19 Sejam B um ponto no lado
ON do paralelogramo AMNO e e C um
ponto na diagonal OM tais que
−→
OB =
1
n
−−→
ON
e
−→
OC = 11+n
−−→
OM. Prove que os pontos A, B e C esta˜o na mesma reta.
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1.3 base
Um conjunto de vetores {vi}i=1...n gera
um espac¸o vetorial V se qualquer ve-
torw ∈ V puder ser escrito como combinac¸a˜o
linear de {vi}i=1...n
w =
n∑
i=1
αivi
Definic¸a˜o 1.20 Uma base para espac¸o
vetorial V e´ um conjunto ordenado de
vetores {vi} linearmente independentes
e que geram espac¸o vetorial V .
Dados dois vetores no plano e1 e e2
na˜o paralelos, e´ de se esperar que possa-
mos atingir qualquer outro ponto ape-
nas atrave´s de movimentos na direc¸a˜o
de e1 e e2. Ou seja dado um ponto P
esperamos poder escrever o vetor
−→
OP
como soma me1 + ne2. Uma expressa˜o da forma me1 + ne2 e´ dita uma combinac¸a˜o
linear de e1 e e2
Teorema 1.21 (da base para o plano) Qualquer
vetor f pode ser escrito de maneira u´nica
como combinac¸a˜o linear de dois vetores pa-
ralelos (e na˜o nulos) e1 e e2, isto e´:
f = me1 +ne2
com m e n ∈ R u´nicos.
Demonstrac¸a˜o: Dado o vetor f seja o
seu representante que comec¸a no ponto
O e termina num ponto P, assim f =
−→
OP
desenhe uma reta paralela a e1 e a par-
tir do ponto O desenhe uma linha pa-
ralela a e2. Essas linhas se encontram
num ponto K. Enta˜o f =
−→
OK+
−→
KP.
Como
−→
KP e´ paralelo a e1, ele e´ um
escalar vezes e1, ou seja
−→
KP = me1. De
maneira ana´loga
−→
OK = ne2 e desta forma
f = me1 +ne2
12
Ve
rsa˜
o P
rel
im
ina
r
Para provar a unicidade suponha que
possamos escrever C como f = m1e1 +
n1e2 e que f = m2e1+n2e2. Subtraindo
essas equac¸o˜es chegamos que (m1−m2)e1+
(n1 −n2)e2 = 0, ou seja,
(m1 −m2)e1 = (n2 −n1)e2 = 0
e desta forma ou e1 e e2 sa˜o paralelos ou um dos lados e´ nulo e consequ¨entemente temos
que n2 −n1 = 0 = m1 −m2 e logo n1 = n2 e m1 = m2.
Logo f pode ser escrito de uma u´nica
forma como combinac¸a˜o linear de e1 e
e2. �
Corola´rio 1.22 Toda base para o plano
tem exatamente dois vetores.
Um conjunto de vetores {vi}i=1...n gera
o espac¸o se qualquer vetor w do espac¸o
pode ser escrito como combinac¸a˜o linear
de {vi}i=1...n
w =
n∑
i=1
αivi
Teorema 1.23 (Base para o Espac¸o) No espac¸o
tridimensional, sejam e1, e2, e3 treˆs vetores
na˜o nulos, na˜o paralelos entre si e na˜o pa-
ralelos ao mesmo plano. Enta˜o qualquer ve-
tor f no espac¸o pode ser escrito como combinac¸a˜o
linear u´nica de e1, e2, e3, isto e´:
f = le1 +me2 +ne3
com l,m,n ∈ R.
Dada uma base E = {e1, e2, e3} e um
vetor f enta˜o f =le1 +me2 + ne3, a tri-
pla (l,m,n) sa˜o as coordenadas de f na
base E. E denotaremos que a tripla (l,m,n)
sa˜o as coordenadas de f na base E escre-
vendo
f =(l,m,n)E
ou simplesmente f =(l,m,n) quando estiver claro a que base estamos nos referindo.
As operac¸o˜es vetoriais podem ser fei-
tas em coordenadas:
13
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Proposic¸a˜o 1.24 1. Se a = (a1,a2,a3) e b =
(b1,b2,b3) enta˜o a+ b =(a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3)
2. Se a = (a1,a2,a3) enta˜o λa =(λa1, λa2, λa3)
Exemplo
Exerc´ıcio Exercı´cios.
Ex. 3.1 — Mostre que os vetores u, v,w
sa˜o coplanares se, e somente se, um de-
les e´ combinac¸a˜o linear dos outros dois.
Ex. 3.2 — Determine quais dos conjun-
tos abaixos sa˜o L.I.
a) {(1,−1, 2) , (1, 1, 0) , (1,−1, 1)}
b) {(1,−1, 1) , (−1, 2, 1) , (−1, 2, 2)}
Ex. 3.3 — Exprima o vetorw : (1, 1) como
combinac¸a˜o linear de u : (2,−1) e v :
(1,−1).
14
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
2 VETORES EM COORDENADAS
2.1 sistemas de coordenadas
Usando vetores podemos generalizar os conceitos de sistemas de coordenadas.
Um sistema de coordenadas no espac¸o Σ consiste de treˆs vetores na˜o coplanares
f1, f2, f3 (ou seja uma base para o espac¸o) e um ponto O. O sistema de coordenadas
e´ denotado por Σ = (f1, f2, f3,O) e o ponto O e´ chamado origem do sistema de coorde-
nadas
Usando o conhecimento que temos e´ muito fa´cil estabelecer uma bijec¸a˜o entre o espac¸o
e R3 usando o sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O) .
Para isso seja P um ponto do espac¸o e seja o vetor
−→
OP ligando a origem ao ponto P.
Esse vetor e´ chamado vetor posic¸a˜o de P. Pelo teorema da base para o espac¸o temos que−→
OP = af1 + bf2 + cf3. Desta forma associamos ao ponto P a tripla (a,b, c).
Exemplo 2.1 Se i, j e k forem treˆs vetores ortonormais, ou seja eles forem ortogonais entre
si dois a dois e de norma 1. Enta˜o o sistema de coordenadas Σ = (i, j,k,O) e´ o sistema
cartesiano de coordenadas que introduzimos no primeiro capı´tulo. Daqui em diante as
letras i, j e k sempre denotara˜o vetores ortonormais.
Um sistema de coordenadas que na˜o e´ ortogonal e´ dito oblı´quo.
Exemplo 2.2 Se i, j e k forem treˆs vetores ortonormais. Seja enta˜o f1,= i+ k, f2 = j+ i
e f3 = k. O sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O) e´ um exemplo de sistema de
coordenadas obliquo.
A escolha de um sistema de coordenadas nos permite identificar o espac¸o comR3. Pelo
teorema da base a func¸a˜o pi : E3 → R3 e´ uma bijec¸a˜o. Mais ainda dados dois pontos P e
P′ tais que
−→
OP = af1+bf2+ cf3 e
−−→
OP′ = a′f1+b′f2+ c′f3 enta˜o
−→
OP+
−−→
OP′ = (a+ a′) f1+
(b+ b′) f2 + (c+ c′) f3 ou seja pi(P) + pi (P′) = pi (P+ P′) . Analogamente temos pi(λP) =
λ (P) .
Ou seja, somar dois vetores posic¸a˜o e´ equivalente a somar suas coordenadas, atrave´s
da identificac¸a˜o entre E3 e R3
Uma transformac¸a˜o de um espac¸o vetorial em outro que satisfaz que satisfaz pi(P) +
pi (P′) = pi (P+ P′) e pi(λP) = λ (P) e´ dita transformac¸a˜o linear ou homomorfismo li-
near. Uma transformac¸a˜o linear bijetiva e´ dita isomorfismo linear. Dois espac¸os vetoriais
isomorfos sa˜o indistinguiveis do ponto de vista da estrutura de espac¸os vetoriais.
E nesta linguagem, temos que a estrutura de espac¸o vetorial de E3 e de R3 sa˜o isomor-
fas.
Exemplo 2.3
15
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
A B
CD
e1
e2
e3
e1 =
−→
AB
e2 =
−−→
AD
e3 =
−→
AC
Dado um retaˆngulo ABCD conforme
a figura ao lado. Ache as coordenadas
dos pontos A,B,C,D nos seguintes sis-
temas de coordenadas:
1. Σ1 = (A, e1, e2)
2. Σ4 =
(
B, e3, 12e1
)
Soluc¸a˜o: (1) Vamos escrever as coordenadas de A,B,C,D no sistema Σ1 para isso de-
vemos escrever os vetores
−→
AA,
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD como combinac¸a˜o linear de e1 e e2 Por
definic¸a˜o
−→
AB = e1 e
−−→
AD = e2. Temos tambe´m que
−→
AC = e1 + e2 e
−→
AA sendo o vetor
nulo, e´ igual a 0e1 + 0e2. Assim as coordenadas sa˜o:
A : (0, 0) pois AA = 0e1 + 0e2
B : (1, 0) pois AB = 1e1 + 0e2
C : (1, 1) pois AC = 1e1 + 1e2
D : (0, 1) pois AD = 0e1 + 1e2
(2) Agora vamos escrever as coordenadas dos pontos A,B,C,D no sistema Σ4 =(
A, e3, 12e1
)
.
Para tanto devemos escrever os vetores BA,BB,BC e BD como combinac¸a˜o de f1 e f2
sendo f1 = e3 e f2 = 12e1.
Neste caso
−→
BA = −e1 = −2
(
1
2e1
)
= −2f2,
−→
BB = 0f1 + 0f2 e
−→
BC = e2 = −e3 + e1 =
−1f1 + 2f2 e
−→
BD = e3 − 2e1 = f1 − 4f2. Assim as coordenadas dos pontos sa˜o
A : (0,−2)
B : (0, 0)
C : (−1, 2)
D : (1,−4)
�
Exemplo 2.4 Achar as coordenadas de um vetor ligando dois pontos num sistema de
coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O)
Soluc¸a˜o: Dado P1 : (x1,y1, z1) e P2 : (x2,y2, z2). Achar o vetor
−−−→
P1P2 e seu comprimento.
Temos pela definic¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores que−−−→
P1P2 =
−−→
OP2 −
−−→
OP1. Logo como−−→
OP1 = x1f1 + y1f2 + z1f3 e
−−→
OP2 = x2f1 + y2f2 + z2f3 e assim
−−−→
P1P2 = (x2 − x1)f1 + (y2 − y1)f2 + (z2 − z1)f3
−−−→
P1P2 = (x2 − x1,y2 − y1, z2 − z1)
16
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
�
Exemplo 2.5 Achar o ponto me´dio M = (x,y, z) de um segmento com ponto inicial
P1 = (x1,y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2), num sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O)
Soluc¸a˜o: Primeiro vemos que
−−−→
P1P2 = 2
−−−→
P1M ja que eles possuem a mesma direc¸a˜o e∣∣∣−−−→P1P2∣∣∣ e´ duas vezes∣∣∣−−−→P1M∣∣∣.
Assim
(x2 − x1)i+ (y2 − y1)j+ (z2 − z1)k = 2(x− x1)i+ 2(y− y1)j+ 2(z− z1)k
o que implica que
x2 − x1 = 2(x− x1)
y2 − y1 = 2(y− y1)
z2 − z1 = 2(z− z1)
e logo
x =
x1 + x2
2
,y =
y1 + y2
2
, z =
z1 + z2
2
�
Exerc´ıcios Exercı´cios.
Ex. 1.1 — Dado um retaˆnguloABCD con-
forme a figura ao lado. Ache as coorde-
nadas dos pontos A,B,C,D nos seguintes sistemas de coordenadas:
a) Σ1 = (A, e1, e3)
b) Σ2 = (D, e2, e1)
c) Σ3 = (B,−e3, e1)
d) Σ4 =
(
D, 13e3,
1
2e2
)
e) Σ5 = (C, e3 + e1, e2)
Ex. 1.2 — Os pontos me´dios dos lados de um triaˆngulo sa˜o (2, 5) , (4, 2) e (1, 1). Deter-
mine as coordenadas dos treˆs ve´rtices.
Ex. 1.3 — Prove que o segmento de reta que une os pontos me´dios das laterais de um
trape´zio e´ paralelo a`s bases e sua medida e´ a me´dia aritme´tica das medidas das bases.
17
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
2.2 base ortonormais e coordenadas cartesianas
Sejam i e j dois vetores ortonormais e O um ponto no plano. Enta˜o (i, j) e´ uma base
para o plano e pelo teorema da base para o plano, qualquer vetor r comec¸ando em O e
terminando em P pode ser expresso como combinac¸a˜o linear de i e j, ou seja:
r = xi+ yj
Se denotarmos por r o tamanho do vetor r e por θ o aˆngulo entre o eixo OX e o
segmento r, enta˜o:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
O x
y
Os coeficientes (x,y) sa˜o ditos coordenadas do ponto P a` origem. O vetor r =
−→
OP e´
dito vetor de posic¸a˜o de P pois as coordenadas (x,y) de
−→
OP sa˜o as coordenadas do ponto
final P.
O par (r,θ) e´ dito as coordenadas polares do ponto P.
Similarmente em treˆs dimenso˜es escolhemos treˆs vetores unita´rios e mutualmente per-
pendiculares i, j k. Enta˜o podemos escrever o vetor r em coordenadas como
r = xi+ yj+ zk
O vetor r e´ dito vetor de posic¸a˜o do ponto terminal P = (x,y, z).
Pelo teorema de Pita´goras r = |r| =
√
x2 + y2 no caso bidimensional e r = |r| =√
x2 + y2 + z2 no caso tridimensional.
Os aˆngulos α,β,γ que o vetor r faz com os treˆs eixos sa˜o ditos aˆngulos diretores do
vetor sa˜o:
cos(α) =
l√
l2 +m2 +n2
, cos(β) =
m√
l2 +m2 +n2
, cos(γ) =
n√
l2 +m2 +n2
18
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
2.3 aˆngulo entre dois vetores produto escalar
Queremos determinar o aˆngulo entre dois vetores u = u1i+ u2j+ u3k e v = v1i+ v2j+
v3k. .
Comec¸amos escolhendo representantes desses vetores que comec¸em na origem.
u
u v-u
O
Pela lei dos cossenos
|v− u|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos(θ)
O que implica
(u1 − v1)
2 + (u2 − v2)
2 + (u3 − v3)
2 = u21 + u
2
2 + u
2
3 + v
2
1 + v
3
2 + v
2
3 − 2 |u| |v| cos(θ)
e assim
cos(θ) =
u1v1 + u2v2 + u3 + v3
|u| |v|
Chamaremos u1v1+u2v2+u3v3 de produto escalar de u por v ou de produto interno
de u por v e denotaremos por u · v.
Logo mais adiante daremos um sentido mais amplo ao conceito de produto interno,
do qual o produto escalar que acabamos de definir e´ um exemplo.
Exemplo 2.6 Achar o aˆngulo entre u = i+ j+ k e v = i+ j
Exemplo 2.7 Os vetores 3i+ 4j+ k e 2i− 3j+ 6k sa˜o perpendiculares.
Exemplo 2.8 ‖u‖2 = u · u
O produto interno possui as seguintes propriedades, cuja demonstrac¸o˜es sa˜o elemen-
tares e deixamos como exercı´cio:
Proposic¸a˜o 2.9 O produto interno possui as seguintes propriedades:
1. u · v = v · u
2. u· (v+w) = u · v+ u ·w
19
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
3. u · u > 0
4. u · u = 0 se e somente se u = 0
5. u· (λv) = λu · v
Exemplo 2.10 No quadrado ABCD tem se A = (3,−4) e B = (5, 6) . Quais sa˜o as coorde-
nadas dos vetores C e D?
Soluc¸a˜o: Denotando as coordenadas de C e D por C = (c1, c2) e D = (d1,d2). �
Enta˜o temos que
−→
AB = (2, 10),
−→
BC = (c
1
− 5, c2 − 6),
−→
CD = (d1 − c1,d2 − c2 e
−→
DA =
(d1 − 3,d2 + 4).
O vetor
−→
BC e´ perpendicular ao vetor
−→
AB logo o produto interno entre eles e´ nulo:
〈−→
BC,
−→
AB
〉
= 0
O que implica que 2(c1 − 5) + 10(c2 − 6) = 0, que simplificando resulta em
2c1 + 10c2 = 70 (2.1)
Temos ainda que |
−→
AB| = |
−→
BC| =
√
104, logo
(c1 − 5)
2 + (c2 − 6)
2 = 104 (2.2)
Substituindo 2.1 em 2.2 teremos que (c2 − 6)2 = 4 e logo c2 = 8 ou c2 = 4
Quando c2 = 8 por 2.1 c1 = −5 e quando c2 = 4 enta˜o c1 = 15.
O ca´lculo de D e´ ana´logo.
2.3.1 Projec¸a˜o Ortogonal
Dados dois vetores v e u, com u na˜o nulo, vamos decompor o vetor v em dois vetores
p,q tal que p e´ paralelo a u e q e´ perpendicular a u
v = p+ q tal que p‖u e q ⊥ u
Um vetor p tal que v = p+ q com p‖u e q ⊥ u e´ chamado de projec¸a˜o ortogonal de v
sobre u e e´ denotado por Proju v.
Proposic¸a˜o 2.11 Dado u um vetor na˜o nulo, e v um vetor qualquer, enta˜o existe e e´ u´nica a
projec¸a˜o ortogonal de v em u.
20
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Demonstrac¸a˜o: A projec¸a˜o ortogonal se existir deve satisfazer v = p+ q tal que p‖u e
q ⊥ u. Como p deve ser paralelo a u temos que p =λu. e como q =(v− p) ⊥ u . temos
que
(v− p) · u = 0
e logo
(v− λu) · u= 0
v · u−λ ‖u‖2 = 0
e dessa forma
λ =
v · u
‖u‖2
e
p =
v · u
‖u‖2u
A expressa˜o anterior garante a existeˆncia de p e sua unicidade. �
Exerc´ıcios Exercı´cios.
Ex. 3.1 — Pela formu´la do cos ache os treˆs aˆngulos do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o
a) (2,−1) , (7,−1) e (7, 3) (use uma calculadora)
b) (4, 7, 11) , (−3, 1, 4) e (2, 3,−3)
Ex. 3.2 — Prove que os vetores A = 7i− 3j+ 6k,B =3i+ 3j− 2k e C =6i− 16j− 15k sa˜o
mutualmente perpendiculares.
Ex. 3.3 — Ache os treˆs aˆngulos de um triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o (3, 1) , (5,−2) e (6, 3) .
Ache tambe´m a a´rea do triaˆngulo.
Ex. 3.4 — Prove que 〈v,w〉 = 14
(
|v+w|2 − |v−w|2
)
Ex. 3.5 — Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sa˜o perpendiculares entao
ele e´ um losango.
Ex. 3.6 — Decomponha o vetor u = −i− 3j+ 2k como a soma de dois vetores v1 e v2,
com v1 paralelo ao vetor j+ 3k e v2 ortogonal a este u´ltimo.
21
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Ex. 3.7 — Prove que:
a) Proju λv = ˘Proju v
b) Proju(v+w) = Proju v+ Projuw
c) Proju
(
Proju v
)
= Proju v
d) v · Projuw = Proju v ·w
Ex. 3.8 — Calcule o cosseno do aˆngulo formado por duas diagonais de um cubo.
Ex. 3.9 — Prove que |u · v| 6 ‖u‖ ‖v‖ e que |u · v| = ‖u‖ ‖v‖ se e somente se um vetor e´
multiplo do outro.(desigualdade de Schwarz)
Ex. 3.10 — Prove que ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖ (Desigualdade Triangular)
2.4 vetor perpendicular a dois vetores dados: pro-
duto vetorial
Nosso objetivo nessa sec¸a˜o e´ encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, que
na˜o sa˜o paralelos.
Sejam u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k dois vetores na˜o paralelos. E seja
w = xi + yj + zk um vetor qualquer. O vetor w e´ perpendicular a u se w · u = 0.e
perpendicular a v se w · v = 0. As condic¸o˜es w · u = 0. e w · v = 0.podem ser escritas
como o sistema linear :
u1x+ u2y+ u3z = 0
v1x+ v2y+ v3z = 0
ou equivalentemente:
u1x+ u2y = −u3z
v1x+ v2y = −v3z
Usando a regra de Cramer temos que:
l =
∣∣∣∣ −u3n u2−v3n v2
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣ = −n
∣∣∣∣ u3 u2v
3
v2
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣ = n
∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣
22
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
m =
∣∣∣∣ u1 −u3nv1 −v3n
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣ = −n
∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣ = n
∣∣∣∣ u3 u1v3 v1
∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 )
∣∣∣∣
escolhendo
n =
∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣
Enta˜o:
w =
∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣ i+ ∣∣∣∣ u3 u1v3 v1
∣∣∣∣ j+ ∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣k
O vetor w e´ dito o produto vetorial de u e v, e denotamos
w = u× v
Um modo fa´cil de recordar da expressa˜o do produto vetorial e´ atrave´s do seguinte
determinante formal:
Se u = u1i+ u2j+ u3k e v = v1i+ v2j+ v3k enta˜o
u× v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
Teorema 2.12 Dados os vetoresu = (u1,u2,u3) , O produto vetorial possui as seguintes pro-
priedades:
1. Linearidade com relac¸a˜o ao primeiro termo: (u+ v)×w = u×w+ v×w
2. Antisimetria u× v = −v× u
3. Produto misto u· (v×w) = u× v ·w = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

4. ‖u× v‖2 = ‖u‖2 ‖v‖2 − 〈u, v〉2
5. ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin (θ) , sendo θ o aˆngulo entre os vetores u e v.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o dos treˆs primeiros itens e´ direta e e´ deixada como
exercı´cios:
23
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Para demonstratmos a quarta propriedade. Comec¸amos calculando o lado direito:
‖u‖2 ‖v‖2 − 〈u,v〉2 = (u21 + u22 + u23) (v21 + v22 + v23)− (u1v1 + u2v2 + u3v3)2
=
(
u21v
2
1 + u
2
1v
2
2 + u
2
1v
2
3 + u
2
2v
2
1 + u
2
2v
2
2 + u
2
2v
2
3 + u
2
3v
2
1 + u
2
3v
2
2 + u
2
3v
2
3
)
− u21v
2
1 − 2u1u2v1v2 − 2u1u3v1v3 − u
2
2v
2
2 − 2u2u3v2v3 − u
2
3v
2
3
= u21v
2
2 + u
2
1v
2
3 − 2u1u2v1v2 − 2u1u3v1v3 + u
2
2v
2
1 + u
2
2v
2
3 − 2u2u3v2v3 + u
2
3v
2
1 + u
2
3v
2
2
= (u2v3 − u3v2)
2 + (u1v3 − ju3v1)
2 + u1v2 − u2v1
= ‖u× v‖2
Finalmente a afirmac¸a˜o que ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin (θ) decorre facilmente da anterior se
usarmos que 〈u, v〉2 = ‖u‖2 ‖v‖2 · sin (θ)2 , e assim:
‖u× v‖2 = ‖u‖2 ‖v‖2 − 〈u, v〉2
= ‖u‖2 ‖v‖2 − ‖u‖2 ‖v‖2 · sin (θ)2
= ‖u‖2 ‖v‖2
(
1− sin (θ)2
)
=
‖u‖2 ‖v‖2 cos2 (θ)
�
A igualdade ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin (θ) implica que o comprimento do produto vetorial
e´ igual a a´rea do paralelogramo de lados u e v.
u
v
v sin(θ)
Vamos calcular o volume de um paralelepı´dedo, em func¸a˜o dos vetores u =
−→
AB, v =−−→
AD e w =
−→
AE.
O volume do paralelepı´dedo satisaz V = Abh pela altura. Como ja´ vimos a a´rea da
base Ab = ‖A×B‖ . Ja´ a altura e´ a norma da projec¸a˜o de w sobre u× v. Assim
Proju×vw =
u× v ·w
‖u× v‖2u× v⇒∥∥Proju×vw∥∥ = |u× v ·w|‖u× v‖2 ‖u× v‖⇒∥∥Proju×vw∥∥ = |u× v ·w|‖u× v‖
Logo
V = Abh = ‖u× v‖ |u× v ·w|‖u× v‖ = |u× v ·w|
24
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Exercı´cios.
Ex. 4.1 — Calcule o produto vetorial entre
a) 7i− 3j+ 6k e 5i− 15j− 13k
b) 6i− 16j− 15k e 3i+ 3j− 2k
c) 3i+ 3j e 5i+ 4j
Ex. 4.2 — Se u = 3i+ 4j+ k e v =2i+ 3j+ 2k e w = 4i+ 2j+ 3k; Ache
a) 2u+3v− 7w
b) u ·w
c) v ·w,
d) u · v,
e) u× v,
f) v× u
g) w · (v× u)
Ex. 4.3 — Prove que u× v = −v× u
Ex. 4.4 — Prove que u · v = v · u
Ex. 4.5 — Prove que u· (v+w)= u · v+ u ·w
Ex. 4.6 — Prove que u× (v+w)= u× v+ u×w
25
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
ar
Ex. 4.7 — Prove que u× v pode ser escrito como o determinante formal
u× v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Ex. 4.8 — Prove que u· (u× v) = 0 e v· (u× v) de dois modos: primeiro calculando e
segundo lembrando uma propriedade de u× v.
Ex. 4.9 — Prove que em geral u· (v×w) pode ser escrito como o determinante da matriz
que tem como componentes∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 wc3
∣∣∣∣∣∣
[Dica: Escreva o determinante em termos dos menores da primeira linha e compare com u· (v×w).
Isto tambe´m prova que u· (v×w) = v· (w× u). Porque? ]
2.5 escolhas de coordenadas
Um sistema de coordenadas cartesianas pode ser escolhido com qualquer ponto O como
origem e com qualquer duas retas perpendiculares como os eixos. Atrave´s de escolhas
corretas podemos fazer com o que o ve´rtice de certas figuras geome´tricas fiquem ex-
tremamente simples, aumentando por exemplo o nu´mero de zeros, o que facilita a
manipulac¸a˜o alge´brica.
Por exemplo, dado um triaˆngulo ∆ABC. Podemos descrever esse triaˆngulo atrave´s das
coordenadas A : (x1,y1) ,B : (x2,y2) e C : (x3,y3) .
Mas se escolhermos as retas AB como um dos eixos (eixo x) e a altura relativa a
C como o outro eixo (eixo y) e o ponto O de intersecc¸a˜o da reta AB e da altura como
origem teremos que o ve´rtice A tem coordenadas (a, 0) e que o ponto B tem coordenadas
(b, 0) ja´ que ambos os pontos esta˜o sobre o eixo x. Ja´ o ponto C tem coordenadas (0, c) ja´
que esta sobre o eixo y.
Veja que com a escolha adequadas de coordenadas reduzimos o nu´mero de varia´veis
de 6 para 3.
No exemplo que se segue usamos uma escolhas correta de coordenada de modo a faci-
litar a demonstrac¸a˜o de algumas propriedades geome´tricas. Voceˆ consegue demonstrar
esses fatos num sistema arbitra´rio?
Exemplo 2.13 Se um triaˆngulo e´ isosceles, as medianas dos dois lados iguais sa˜o iguais.
26
Ve
rsa˜
o P
re
lim
in
arx
y
O
(x1, y1)
(x2, y2)
(x3, y3)
x
y
O(a, 0) (b, 0)
(0, c)
Soluc¸a˜o: Escolhendo o sistema de coordenadas adequado (conforme descrito acima) po-
demos assumir que as coordenadas do ve´rtice do triaˆngulo sa˜o A : (a, 0), B : (b, 0) e
C : (0, c) . Suporemos que os segmentos CA e CB possuem o mesmo comprimento, ja
que o triaˆngulo e´ isosceles. ou seja
|CA| = |CB|√
a2 + c2 =
√
b2 + c2
e logo a2 = b2 e logo a = b ou a = −b. No caso a = b na˜o temos um triaˆngulo ja´ que
dois ve´rtices coincidem. Logo a = −b.
Seja agoraM1 o ponto me´dio de A e C, pelo exercı´cio ?? temos que as coordenadas de
M1 sa˜o
(
a
2 ,
c
2
)
=
(
−b
2 ,
c
2
)
. Analogamente, o ponto me´dio M2 de B e C tem coordenadas(
b
2 ,
c
2
)
.
Logo
|M1A| =
√
b2
4
+
c2
4
e
|M2B| =
√
b2
4
+
c2
4
27
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ar
e logo as medianas relativas aos ve´rtices A e B sa˜o iguais. �
Exemplo 2.14 Num triaˆngulo retaˆngulo o ponto me´dio da hipotenusa e´ equidistante dos
treˆs ve´rtices.
Soluc¸a˜o: Para um tria´ngulo retaˆngulo ∆ABC com hipotenusa AB um sistema de coorde-
nadas adequado e´ o que toma como origem o ve´rtice C = O e como eixos as retas que
ligam C a A e C a B.
A B
CD
e1
e2
e3
e1 =
−→
AB
e2 =
−−→
AD
e3 =
−→
AC
x
y
O
A : (a, 0)
B : (0, b)
Neste Sistema de coordenadas temos que A : (a, 0) ,
B : (0,b) e C : (0, 0) . O comprimento da hipotenusa e´
|AB| =
√
a2 + b2
Ja´ o ponto me´dio M da hipotenusa tem coordena-
das M :
(
a
2 ,
b
2
)
e logo o comprimento da mediana e´
|CM| =
√
a2
4
+
b2
4
=
1
2
√
a2 + b2 =
1
2
|AB|
Logo temos que a distaˆncia do ve´rtice C aM e´ metade da distaˆncia entre os ve´rtices A
e B, e logo M esta´ equidistante dos treˆs ve´rtices. �
Para exemplificarmos um pouco melhor a escolha de coordenadas apresentamos mais
dois exemplos de sistemas de coordenadas bem adaptados a um problema geome´trico:
a descric¸a˜o de um trape´zio e de um paralelogramo, deixando a voceˆ justificar como
escolhemos o sistema de coordenadas.
x
y
O(a, 0) (b, 0)
(0, c)
(d, c)
trape´zio
x
y
O(a, 0) (b, 0)
(0, c) (b− a, c)
paralelogramo
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Exerc´ıcios Exercı´cios.
Ex. 5.1 — Mostrar que (−5, 0) , (0, 2) e (0,−2) sa˜o os ve´rtices de um triaˆngulo iso´sceles e
achar sua a´rea.
Ex. 5.2 — O triaˆngulo ABC, com A = (−a, 0),B = (a, 0) ,C = (0,y) e´ equila´tero. Quais
sa˜o os possı´veis valores de y?
Ex. 5.3 — Sejam A = (a, 0) e B = (0,a), com a 6= 0. Ache x de modo que o ponto
C = (x, x) seja o terceiro ve´rtice do triaˆngulo equila´tero ABC.
Ex. 5.4 — Qual o ponto do eixo OX e´ equidistante dos pontos A = (1,−3) e B = (3,−1)?
Ex. 5.5 — Dado um paralelogramo ABCD, escolha um sistema de coordenadas ade-
quado e mostre que AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2 (ou seja, a soma dos quadra-
dos dos lados de um paralelogramo e´ igual a` soma dos quadrados das suas diagonais).
Ex. 5.6 — Num triaˆngulo retaˆngulo, a altura relativa a hipotenusa e´ a me´dia geome´trica
das projec¸o˜es ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa. Prove esse fato escolhendo
um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre o eixo OX e o ve´rtice do
aˆngulo reto sobre o eixo OY.
Ex. 5.7 — Se no triaˆngulo ABC as medianas que partem dos ve´rtices A e B sa˜o iguais,
prove que os lados AC e BC sa˜o iguais, logo o triaˆngulo e´ iso´sceles.
Ex. 5.8 — Enunciar e demonstrar a recı´proca do teorema de Pita´goras.
Ex. 5.9 — Se as diagonais de um paralelogramo sa˜o iguais enta˜o ele e´ um retaˆngulo.
2.6 o problema do lugar geome´trico
Um dos problemas fundamentais da geometria analı´tica e´ o problema do lugar geome´trico:
Dada uma figura ou condic¸a˜o geome´trica determinar sua equac¸a˜o ou representac¸a˜o
alge´brica e dada uma equac¸a˜o, ou condic¸a˜o alge´brica determinar sua representac¸a˜o
geome´trica.29
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O lugar geome´trico de uma equac¸a˜o Dada uma equac¸a˜o (por simplicidade em duas
x,y ou treˆs varia´veis x,y, z)
f (x,y) = 0 ou g(x,y, z) = 0 (2.3)
cada par de nu´meros reais ou tripla que satisfizer a equac¸a˜o acima e´ dito soluc¸a˜o da
equac¸a˜o e um ponto cujas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o 2.3 e´ dito pertencente ao
lugar geome´trico da equac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.15 O conjunto dos pares (ou triplas) que satisfazem a equac¸a˜o 2.3 e´ denomi-
nado o lugar geome´trico da equac¸a˜o2.3.
Ressaltamos que o lugar geome´trico depende do sistema de coordenados escolhidos.
Uma condic¸a˜o geome´trica pode ser descrita de va´rias formas alge´bricas e em geral
buscaremos dentre essas uma de maior simplicidade alge´brica. Durante esse processo (e
em va´rios outros) substituiremos uma equac¸a˜o por uma que possui as mesmas soluc¸o˜es.
Diremos que duas equac¸o˜es alge´bricas sa˜o ditas equivalentes se definem o mesmo lugar
geome´trico.
Exemplo 2.16 Um circulo de centro C e raio r e´ definido como o conjunto dos pontos cuja
distancia ao centro e´ r. (condic¸a˜o geome´trica). Se no sistema de coordenadas escolhido
tivermos que C : (a,b) enta˜o todo ponto P : (x,y) no cı´rculo satisfaz
|CP| = r
ou seja√
(x− a)2 + (y− b)2 = r
ou a equac¸a˜o alge´brica equivalente
(x− a)2 + (y− b)2 = r2
Dado um sistema de coordenadas no plano. O lugar geome´trico da equac¸a˜o
(x− a)2 + (y− b)2 = r2
e´ um cı´rculo cujo centro tem coordenadas (a,b) e raio r.
Veja que para o cı´rculo temos que um ponto pertence ao cı´rculo (ou seja esse ponto
dista r do centro) se e somente se satisfizer a equac¸a˜o (x− a)2 + (y− b)2 = r2.
Sempre que tivermos essa relac¸a˜o entre uma curva e sua equac¸a˜o diremos que a
equac¸a˜o e´ a equac¸a˜o da curva.
Definic¸a˜o 2.17 Uma equac¸a˜o f (x,y) e´ dito a equac¸a˜o do lugar geome´trico se todo ponto
que satisfaz a equac¸a˜o pertence ao lugar geome´trico e todo ponto que pertence ao lugar
geome´trico satisfaz a equac¸a˜o.
30
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re
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ar
Exemplo 2.18 A equac¸a˜o do eixo x e´ y = 0
Exemplo 2.19 Como vimos (x− a)2 + (y− b)2 = r2 e´ a equac¸a˜o do cı´rculo de raio r e
centro em P : (a,b) .
Exemplo 2.20 Determinar a equac¸a˜o do lugar geome´trico de um ponto que se move de
modo que a dista˜ncia ao ponto (0, c) e´ sempre igual a distaˆncia ao eixo Y.
FO
D
Soluc¸a˜o: Dados uma reta fixa D, chamada diretriz e
um ponto fixo F chamado foco, a parabo´la e´ o conjunto
dos pontos P equidistantes do foco e da diretriz
PD = FP
�
A reta passando por F perpendicular a D e´ chamada
eixo da parabo´la. O ponto de intersecc¸a˜o entre o eixo
da parabo´la e a para´bola e´ chamado ve´rtice da pa-
rabo´la. O ve´rtice esta´ a metade da distaˆncia do foco
a diretriz.
Escolheremos como sistema de coordenadas os ei-
xos formados pelo eixo da parabo´la
e a reta passando pelo ve´rtice da para´bola perpendi-
cular ao eixo. Essa u´ltima reta e´ paralela a diretriz da
parabo´la.
F : (m, 0)O
D
x = m
P : (x, y)m
Seja 2m a distaˆncia entre o foco e a diretriz D.
No sistema de coordenadas que adotamos F tem
coordenadas (m, 0) e a equac¸a˜o da diretriz e´ x =
−m. Como P satisfaz PD = FP temos que√
(x−m)2 + y2 = x+m
quadrando temos que
(x−m)2 + y2 = (x+m)2
m2 − 2mx+ x2 + y2 =
(
m2 + 2mx+ x2
)
y2 = 4mx
e´ a equac¸a˜o satisfeita pelos pontos da parabo´la neste sistema de coordenadas.
Intersecc¸a˜o Dadas duas equac¸o˜es
f (x,y) = 0
f′ (x,y) = 0
31
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Os pontos que pertencem ao lugar geome´trico de ambas as equac¸o˜es e´ dito ponto de
intersecc¸a˜o. Analiticamente as coordenadas de tal ponto satisfazem ambas as equac¸o˜es.
A intersecc¸a˜o de duas equac¸o˜es pode ser vazia, neste caso diremos que os seus lugares
geome´trico na˜o se interseptam.
Exemplo 2.21 Determinar analı´tica e graficamente os pontos de intersecc¸a˜o de
x− y− 2 = 0
y2 − 5x = 0
Equac¸a˜o de um lugar geome´trico Exemplo 2.22 Determinar a equac¸a˜o dos pontos equi-
distantes de A : (2, 3) e B : (0, 5)
Exercı´cios.
Ex. 6.1 — Escrever a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos no plano que satisfazem
a condic¸a˜o:
a) O conjunto dos pontos P tal que P esta´ sempre duas unidades a esquerda do eixo
X
b) O conjunto dos pontos P tal que P dista sempre duas unidades do eixo X
c) O conjunto dos pontos P tal que a abssica de P e igual ao inverso da sua ordenada
d) O conjunto dos pontos P tal que P esta´ a distaˆncia igual do eixo x e do eixo y.
Ex. 6.2 — Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico de um ponto que se move de modo
de modo que a soma das distancias a dois pontos F : (c, 0) e F′:(−c,O) e´ constante igual
a 2a.
Ex. 6.3 — Determinar a equac¸a˜o do lugar geome´trico de um ponto no espac¸o que se
move de modo que a soma das distancias a dois pontos F : (c, 0, 0) e F′:(−c, 0, 0) e´ cons-
tante igual a 2a.
Ex. 6.4 — Dados dois pontos dois pontos F : (c, 0, 0) e F′:(−c, 0, 0) , determinar a equac¸a˜o
do lugar geome´trico de um ponto P no espac¸o que se move de modo que∣∣|PF|− ∣∣PF′∣∣∣∣ = 2a
Ex. 6.5 — Determinar a equac¸a˜o do lugar geome´trico de um ponto que se move de modo
que a dista˜ncia ao ponto (1, 0, 0) e´ sempre igual a distaˆncia ao plano YZ.
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3 RETAS
3.1 equac¸o˜es da reta
Nesta sec¸a˜o fixaremos um sistema de coordenadas Σ = (e1, e2, e3,O)
Dados dois pontos A e B no espac¸o, vamos determinar a equac¸a˜o da reta r que passa
por
esses dois pontos. Essa equac¸a˜o sera´ ex-
pressa em func¸a˜o do ponto A : (a,b, c) e
do vetor v =
−→
BA = le1 +me2 +ne3. Dado
um ponto X : (x,y, z) ele pertence a reta
r se e somente se
−→
AX = tv. Ou de forma
equivalente:
r : X = A+ vt (3.1)
que expandindo fica
r :

x = a+ lt
y = b+mt
z = c+nt
(3.2)
Essa equac¸a˜o pode ser entendida heuristicamente como a trajetoria de um ponto que
se move no espac¸o tendo o ponto A como o ponto inicial e o vetor v como a velocidade.
Assim pensamos o paraˆmetro t como o tempo. Cada valor de t nos da´ um ponto no
espac¸o.
A equac¸a˜o 3.1 e´ chamada de equac¸a˜o vetorial da reta r, nessas condic¸o˜es o vetor v
e´ chamado um vetor diretor da reta r. As equac¸o˜es em 3.3 sa˜o chamadas as equac¸o˜es
parame´tricas da reta r. Se em 3.3, tivermos l 6= 0,m 6= 0 e n 6= 0, enta˜o podemos eliminar
t e obter:
x− a
l
=
y− b
m
=
z− c
n
que sa˜o as equac¸o˜es de r na forma sime´trica.
Exemplo 3.1 Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A = (2, 0, 1) e B =
(1, 2, 5).
Soluc¸a˜o: Um vetor diretor dessa reta e´ o vetor−→
AB : (−1, 2, 4). Assim uma equac¸a˜o parame´trica
33
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lim
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para essa reta e´ dada por r : X = A+
−→
ABt, ou
seja,
r :

x = 2+−1t
y = 0+ 2t
z = 1+ 4t
(3.3)
A partir das equac¸o˜es parame´tricas acima te-
mos que as equac¸o˜es na forma sime´trica sa˜o:
x− 2
−1
=
y
2
=
z− 1
4
�
3.1.1 Equac¸a˜o da reta no plano
Consideramos um sistema de coordenadas (i, j,k,O) ortogonal.
Lema 3.2 Sejam A = (x1,y1),B = (x2,y2),C = (x3,y3) pontos no plano. Enta˜o a a´rea do
4ABC e´ dada por S = 12 |det
x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
 |.
Demonstrac¸a˜o: Temos que
−→
BA = (x1 − x2,y1 − y2) e
−→
BC = (x3 − x2,y3 − y2). Ale´m
disso, e´ claro que ~v = (y2 − y3, x3 − x2) e´ um vetor ortogonal a
−→
BC.
A a´rea do 4ABC e´ dada por:
S =
1
2
||
−→
BC||h,
onde h = |proj~v
−→
BA| =
|〈−→BA,~v〉|
||~v|| , e´ a altura do 4ABC relativa ao lado BC.
Como ||~v|| = ||
−→
BC||, temos que S = 12 |〈
−→
BA,~v〉|.
Temos que:
|〈−→BA,~v〉| = |(x1 − x2)(y2 − y3) + (y1 − y2)(x3 − x2)|
= |x1(y2 − y3) + y1(x3 − x2) + x2y3 − x3y2|
= |det
x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
 | .
Concluindo a demonstrac¸a˜o do lema. �
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ar
Considerando o caso onde os treˆs pontos A,B,C sa˜o colineares, como o caso onde a
a´rea do 4ABC e´ zero, obtemos o seguinte corola´rio:
Corola´rio 3.3 Treˆs pontos A = (x1,y1),B = (x2,y2),C = (x3,y3) sa˜o colineares se e
somente se |det
x1 y1 1x2 y2 1
x3 y3 1
 | = 0.
Utilizando a condic¸a˜o de colinearidade de treˆs pontos no plano, obtemos a seguinte
equac¸a˜o geralda reta.
Corola´rio 3.4 A toda reta r do plano cartesiano esta´ associada ao menos uma equac¸a˜o da
forma ax+ by+ c = 0, onde a,b, c sa˜o nu´meros reais, a 6= 0 ou b 6= 0, e (x,y) representa
um ponto gene´rico de r.
Exercı´cios
Exercı´cios.
Ex. 1.1 — Desenhe a reta que passa por (−1, 3) e (3, 0). Ache sua equac¸a˜o e onde ela
intercepta os eixos.
Ex. 1.2 —
a) A reta que intercepta o eixo x no ponto (a, 0) e o eixo y no ponto (0,b) sendo
ambos os pontos distintos da origem. Mostre que a equac¸a˜o dessa reta pode ser
escrita como:
x
a
+
y
b
= 1
b) Ache a equac¸a˜o da reta que passa a uma distaˆncia h da origem e cujo segmento
de tamanho h forma um aˆngulo α como o eixo x (veja ??)
[Dica: Ache os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h,α e use o
resultado do ı´tem a. ]
Ex. 1.3 — Dado A : (3, 1) . Ache o ponto B tal que o triaˆngulo OAB seja equ¨ila´tero.
Ex. 1.4 — Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos. Tanto na forma canoˆnica como
na forma parame´trica
a) Pelos pontos (3, 5, 1) e (−2, 3, 2)
b) Pelos pontos (0, 1, 0) e (1, 0, 0)
c) Pelos pontos (0, 1, 1) e (0, 0, 0)
d) Pelos pontos (3, 2, 1) e (6, 1, 4)
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Ex. 1.5 — Dados A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6) determine a equac¸a˜o parame´trica da reta
que passa por A e B. Determine tambe´m os pontos onde essa reta corta os planos coor-
denados XY, XZ e YZ.
Ex. 1.6 — Os lados de um triaˆngulo esta˜o sobre as retas y = 2x+1, y = 3x−2 e y = 1−x.
Ache os ve´rtices desse triaˆngulo.
Ex. 1.7 — Ache a equac¸a˜o das treˆs medianas de um triaˆngulo com ve´rtices (a, 0) , (b, 0) , (0, c).
Ex. 1.8 — Os pontos A = (2, 5) e B = (14, 1) sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a uma reta.
Determine a equac¸a˜o padra˜o e parame´trica dessa reta.
Ex. 1.9 — Chama -se baricentro de um triaˆngulo o ponto de encontro das treˆs medianas.
Determine as coordenadas do baricentro do triaˆngulo ABC nos seguintes casos.
a) A = (1, 5) ,B = (3, 2)C = (2, 4)
b) A = (x1,y1) ,B = (x2,y2) e C = (x3,y3)
Ex. 1.10 — Ache o ponto de trissecc¸a˜o de uma mediana (o ponto que esta´ a 23 do ca-
minho do ve´rtice ao ponto me´dio do lado oposto) e prove que na˜o somente ele satisfaz
a equac¸a˜o das outras duas medianas, mas que tambe´m ele e´ o ponto de trissecc¸a˜o das
outras duas medianas. Conclua que as treˆs medianas sa˜o concorrentes, i.e, elas passam
pelo mesmo ponto.
[Dica: Para triaˆngulo gene´rico as coordenadas podem ser escolhidas de modo que os ve´rtices sejam
(0, 0) , (0,a) e (b, c) ]
Ex. 1.11 — O ponto em que duas retas na˜o paralelas se encontram deve satisfazer ambas
equac¸o˜es. Ache o ponto de intersecc¸a˜o de 3x− 4y = 1 e 4x+ 5y = 22.
Ex. 1.12 — Ache a inclinac¸a˜o, o ponto de intersecc¸a˜o com o eixo y e desenhe. Quando a
inclinac¸a˜o ou o ponto de intersecc¸a˜o na˜o existir, diga.
a) 3x− 4y = 6
b) 2x+ 3y = 6
c) 7y+ 9 = 0
d) xa +
y
b = 1
e) y = mx+ b
f) bx+ ay = 0
g) 4x2 = 9
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h) xy(2x− 3y+ 4) = 0
i) x cos(α) + y sin(α) = h (indique h e α em sua figura).
j) x = 3+ 2t,y = −1− 3t
Nos pro´ximos exercı´cios ache a equac¸a˜o da reta e desenhe uma figura de cada
Ex. 1.13 — A linha que passa por (−5, 7) perpendicular a 4x− 5y = 10.
Ex. 1.14 — Duas linhas por (−1, 1), uma paralela e outra perpendicular a 3x+ 5y+ 8 = 0
Ex. 1.15 — A reta que passa por (0,b) perpendicular a xa +
y
b = 1
Ex. 1.16 — No triaˆngulos de ve´rtice (a, 0) , (b, 0) , (0, c):
a) ache as equac¸o˜es das treˆs alturas
b) ache as equac¸o˜es das treˆs medianas
c) prove que as treˆs alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do
triaˆngulo.
d) prove que as treˆs medianas se encontram num ponto O′, chamado circuncentro
do triaˆngulo.
Ex. 1.17 — Ache duas linhas de inclinac¸a˜o 23 que fazem com os eixos coordenados um
triaˆngulo de a´rea 43
Ex. 1.18 — Mostre que para quaisquer valores de s e t as retas (2s+ 3t) x+ (3s− 2t)y =
5s + 4t passam pelo mesmo ponto. Mostre tambe´m que toda reta que passa por esse
ponto e´ representada por uma equac¸a˜o da forma acima para uma escolha conveniente
de s e t.
Ex. 1.19 — Determine a e b de modo que as equac¸o˜es x = at+ 1 e y = bt+ 5 sejam uma
representac¸a˜o parame´trica da reta y = 2x+ 3.
Ex. 1.20 — Identifique a linha cujas equac¸o˜es sa˜o 2x− 1 = 4y+ 8 = 3z− 5. Ache o vetor
diretor e treˆs pontos que pertenc¸am a essa reta.
Ex. 1.21 — Fac¸a o mesmo para a reta 2x = 3 e 4y = 5.
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Ex. 1.22 — Ache a equac¸a˜o padra˜o da reta 3x− 2y+ 5z = 6, 2x+ y− 3z = 0. Escreva a
equac¸a˜o da reta na forma parame´trica.
Ex. 1.23 — Ache a equac¸a˜o da reta perpendicular ao plano que passa pelos pontos
(3, 4, 2) , (−1, 5, 3), (2, 1, 4) e que passe pela origem.
Ex. 1.24 — Sejam P = (1, 0, 1) e Q = (0, 1, 1). Em cada um dos casos a seguir ache um
ponto C da reta PQ tal que a a´rea do triaˆngulo ABC seja 12 .
a) A = (1, 2, 1),B = (1, 2, 3).
b) A = (1, 3, 2),B = (2, 2, 2).
c) A = (3, 0, 2),B = (2, 1, 2).
d) A = (3,−2, 1),B = (0, 0, 1).
3.2 aˆngulos entre retas
Exercı´cios
Exercı´cios.
Ex. 2.1 — Ache o aˆngulo agudo entre as retas 3x− 4y+ 1 = 0 e 2x+ 3y = 5
Ex. 2.2 — Qual o aˆngulo entre o eixo x e 5x+ 12 = 1?
Ex. 2.3 — Ache duas retas passando por (1,−1) que faz um aˆngulo de 45o com 3x−4y =
7.
Ex. 2.4 — Ache os treˆs aˆngulos de um triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o (2, 1) , (−1, 2) , (3,−2).
Veja se eles somam 180o
Ex. 2.5 — Seja α um dos aˆngulos formados pelas retas ax+ by = c e y = px+ q. Deˆ
uma expressa˜o para |cosα| .
Ex. 2.6 — Escreva a equac¸a˜o da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45o com
a reta x2 +
y
√
3
2 = 1.
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Ex. 2.7 — Mostrar que os quatro pontos (2, 2), (5, 6), (9, 9) e (6, 5) sa˜o os ve´rtices de um
losango e que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma e´ perpendicular a
outra.
Ex. 2.8 — O segmento retilı´neo que une os pontos me´dios de dois lados opostos de
qualquer quadrila´tero e o segmento retilı´neo que une os pontos me´dios das diagonais
do quadrila´tero cortam se mutualmente ao meio.
3.3 distaˆncias entre pontos e retas
Sejam P = (x0,y0) ponto no plano e r : ax + by + c = 0, reta no plano. Desejamos
determinar a distaˆncia entre P e r.
Sabemos que ~n = (a,b) e´ um vetor ortogonal a r. De fato, e´ fa´cil de observar que para
quaisquer pontos A = (x1,y1) e B = (x2,y2) em r, temos que 〈~n,−→AB〉 = 0.
Seja s : X = P+λ~n, a reta perpendicular a r passando por P. Nesse caso, um ponto de s
e´ da forma (x0+ λa,y0+ λb). Desejamos obter a intersecc¸a˜o de s com r, Q = r∩ s. Como
Q deve satisfazer a equac¸a˜o de r, a(x0 + λa) + b(y0 + λb) + c = 0. Isolando λ, obtemos
que λ = −ax0−by0−c
a2+b2
e Q = (x0 − a(
ax0+by0+c
a2+b2
),y0 − b(
ax0+by0+c
a2+b2
)).
Logo d = d(P, r) = d(P,Q) = |ax0+by0+c|√
a2+b2
.
Exercı´cios
Exercı´cios.
Ex. 3.1 — Ache as distaˆncias entre os pontos e as retas dadas:
a) (−3, 4) a 5x− 2y = 3.
b) (−2, 5) a 7x+ 3 = 0.
c) (−3, 4) a 4y+ 5 = 0.
d) Origem a 3x− 2y+ 6 = 0.
Ex. 3.2 — Determine a distaˆncia δ entre o ponto A = (3, 1) e a reta x + 2y = 3.Pelo
seguinte me´todo: primeiro ache o ponto B sobre essa reta tal que d (A,B) = δ. Escreva a
equac¸a˜o da reta de forma parame´trica r = r0+vt e calcule o produto interno dos vetores−→
AB e v. Conclua.
Ex. 3.3 — Ache o comprimento das alturas de um triaˆngulo com ve´rtices (a, 0) , (b, 0) , (0, c).
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Ex. 3.4 — Ache a distaˆncia entre as duas retas paralelas: 3x + 2y = 6 e 6x + 4y = 9.
(Porque essas retas sa˜o paralelas?)
Ex. 3.5 — Prove que a distaˆncia entre duas retas paralelas cujas equac¸o˜es sa˜o Ax+By+
C = 0 e Ax+By+C′ = 0 e´:
|C−C′|√
A2 +B2
Ex. 3.6 — Ache os pontos da reta y = 2x+ 1que esta˜o situados a distaˆncia 2 da origem.
Ex. 3.7 — Quais sa˜o as retas paralelas a reta 3x− 4y = 1 que esta˜o a distaˆncia 5desta?
Ex. 3.8 — A reta r e´ representada parametricamente por x = at+ b e y = ct+ d deter-
mine o ponto o ponto P em que a reta r intersepta a reta s cuja equac¸a˜o e´ αx+βy = c.
Ex. 3.9 — Determinar as equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto(3, 1) e tal que a distaˆncia
desta reta ao ponto (−1, 1) e´ igual a 2
√
2. (Duas soluc¸o˜es)
Ex. 3.10 — Determinar a equac¸a˜o do lugar geome´trico de um ponto que se move de
maneira que sua distaˆncia a reta 4x− 3y+ 12 = 0 e´ sempre igual a duas vezes a distaˆncia
ao eixo x.
Ex. 3.11 — O aˆngulo de inclinac¸a˜o de cada uma de duas retas paralelas e´ α. Se uma reta
passa pelo ponto (a,b) e a outra pelo ponto (c,d), mostrar que a distaˆncia entre elas e´
|(c− a) sinα− (d− b) cosα|
Ex. 3.12 — Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (2, 1, 5) e que intercepta a reta
x− 1
3
=
y+ 2
4
=
z− 3
2
perpendicularmente.
(−2, 1) e´ sempre igual a treˆs vezes a distaˆncia a reta y+ 4 = 0.
Ex. 3.13 — Determinar a distaˆncia do ponto a reta:
a) ponto (7, 7, 4) a` reta 6x+ 2y+ z− 4 = 0 e 6x− y− 2z− 10 = 0
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b) ponto (−1, 2, 3) a` reta x−76 =
y+3
−2 =
z
3
Ex. 3.14 — Determinar a distaˆncia d do plano 3x − 12y + 4z − 3 = 0 ao ponto A =
(3,−1, 2) pelo seguinte processo: Encontrar o ponto B , pe´ da perpendicular desde A ate´
o plano. Enta˜o determinar d como o comprimento do segmento AB.
Ex. 3.15 — Determine a distaˆncia do ponto (2, 2, 2) a reta
x = 2t+ 1
y = 3t+ 2
z = 5t+ 1
Ex. 3.16 — Determine a distaˆncia entre as retas r que tem equac¸a˜o parame´tricas:
x = 2t+ 1
y = 3t+ 2
z = 5t+ 1
e a reta s que tem equac¸a˜o parame´trica:
x′ = 4s+ 1
y′ = 2s+ 2
z′ = 1s+ 5
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4 PLANOS
4.1 equac¸o˜es do plano
Nesta sec¸a˜o fixaremos um sistema de coordenadas Σ = (e1, e2, e3,O) .
Queremos achar a equac¸a˜o do plano pi que passa pelos pontos P0,P1, P2.na˜o colineares.
Para isso consideraremos os vetores B =
−−−→
P0P1 e C =
−−−→
P0P2
Teorema 4.1 O ponto P pertence ao plano Π se e somente se existirem nu´meros reais s, t tais que
P = P0 +Bs+Ct
Se no sistema Σ temos que B =(b1,b2,b3), C =(c1, c2, c3) e P0 = (x0,y0, z0) , enta˜o as
coordenadas de P satisfazem:
x = x0 + b1s+ c1t
y = y0 + b2s+ c2t
z = z0 + b3s+ c3t
Demonstrac¸a˜o: O vetor
−−→
P0P e´ paralelo ao plano pi, bem como os vetores A e B sa˜o para-
lelos. Logo podemos escolher representantes desses treˆs vetores pertencentes ao plano pi.
O teorema da base para o plano nos diz enta˜o que existem s e t tais que
−−→
P0P = Bs+Ct
Ou de modo equivalente que
P = P0 +Bs+Ct
Escrevendo esa equac¸a˜o em coordenadas temos
x = x0 + b1s+ c1t
y = y0 + b2s+ c2t
z = z0 + b3s+ c3t
�
As equac¸o˜es acima sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas do plano.
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Exemplo 4.2 Calcular as equac¸a˜o parame´trica do plano que passa pelos pontosA= (1, 2, 3)
B= (2, 2, 2) e C= (2, 3, 4). Neste caso os vetores
−→
AB = (1, 0,−1) e
−→
AC = (0, 1, 2) sa˜o Logo
um con equac¸o˜es parame´tricas do plano sa˜o:
x = 1+ 1s
y = 2+ 1t
z = 3− s+ 2t
d = 0 e portanto o plano passa pela origem.
Daqui em diante suporemos que o sistema de coordenadas e´ ortonormal Σ = (i, j,k,O) .
Seja Π um plano e
−→
A = (a,b, c) um vetor perpendicular a esse plano.
Teorema 4.3 Existe um nu´mero real d tal que o plano Π e´ o lugar geome´trico da equac¸a˜o ax+
by+ cz = d. Isto e´ um ponto P = (x,y, z) pertence ao plano Π se, e somente se, suas coordenadas
satisfazem a relac¸a˜o acima.
Demonstrac¸a˜o: Sejam dois pontos P1 = (x1,y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2) no plano Π. Como
o vetor
−−−→
P1P2 e´ perependicular a
−→
A temos calculando o produto interno que:
a(x2 − x1) + b (y2 − y1) + c(z2 − z1) = 0
e assim
ax1 + by1 + cz1 = ax2 + by2 + cz2
e logo se definirmos d = ax1+by1+cz1. Teremos que ax2+by2+cz2 = d para qualquer
P2.
Assim P = (x,y, z) ∈ Π⇒ ax+ by+ cz = d
Reciprocamente, se as coordenadas do ponto P = (x,y, z) satisfazem a relac¸a˜o ax+
by+ cz = d tomando P1 = (x1,y1, z1) teremos por definic¸a˜o de d que d = ax1 + by1 +
cz1 e subtraindo chegamos:
a(x2 − x1) + b (y2 − y1) + c(z2 − z1) = 0
Ou seja o segmento
−−→
P1P e´ perpendicular ao vetor
−→
A e consequentemente pertence a
Π. �
Para que o plano fique determinado o vetor
−→
A e´ na˜o nulo. Assim sempre que referir-
mos a equac¸a˜o do plano estamos assumindo que a2 + b2 + c2 6= 0.
Exemplo 4.4 A equac¸a˜o do plano que e´ perpendicular ao vetor A = (1, 2, 3) e que conte´m
o ponto P = (0, 0, 0). Como o vetor perpendicular ao plano e´ A =(1, 2, 3) pelo teorema
acima a equac¸a˜o desse plano e´ da forma
1x+ 2y+ 3z = d
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para algum d. O valor de d pode ser calculado dado que o ponto P = (0, 0, 0) pertence a
esse plano logo
1 · 0+ 2 · 0+ 3 · 0 = d
e logo d = 0.
Exemplo 4.5Demodo mais geral um plano que tem como vetor perpendicularA = (a,b, c)
e passa pela origem tem equac¸a˜o
ax+ by+ cz = 0
Exemplo 4.6 A equac¸a˜o do plano que e´ perpendicular ao vetor A = (1, 2, 3) e que conte´m
o ponto P = (1, 1, 0). Pelo teorema acima temos que a equac¸a˜o do plano e´
1x+ 2y+ 3z = d
Como P = (1, 1, 0) pertence ao plano esse ponto satisfaz a equac¸a˜o
1+ 2+ 0 = d
e logo d = 3
Exemplo 4.7 A equac¸a˜o de um plano e´
4x+ 6y+ 2z = 12. (4.1)
Encontrar suas intersecc¸o˜es sobre os eixos coordenados e as equac¸o˜es de seus trac¸os
sobre os planos coordenados. Construir a figura.
Fazendo z = 0 na equac¸a˜o 4.1 encontramos as equac¸o˜es do trac¸o no plano XY como
sendo
4x+ 6y = 12 e z = 0 sobre o plano XY
Essa reta intercepta o eixo x no ponto de coordenada x = 3, isto e´ no ponto (3, 0, 0) e
intercepta o eixo y no ponto (0, 2, 0) .
Semelhantemente sa˜o encontradas as equac¸o˜es dos outros trac¸os como sendo:
4x+ 2z = 12 e y = 0 sobre o plano XZ
6y+ 2z = 12 e x = 0 sobre o plano YZ
Seja a origem O e o ponto P1 = (x1,y1, z1) os extremos do segmento orientado de
comprimento p e com aˆngulos diretores α,β,γ.
Queremos obter a equac¸a˜o do plano perpendicular a OP1 que passa por P1
As coordenadas do ponto P1 sa˜o x1 = p cos (α), y2 = p cos (β) e z2 = p cos (γ) .
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Logo a equac¸a˜o do plano e´ da forma
xp cos (α) + yp cos (β) + pz cos (γ) = d
Como P1 satisfaz a equac¸a˜o desse plano temos que:
d = p2(cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ)) = p2
E logo a equac¸a˜o do plano apo´s uma pequena simplificac¸a˜o e´:
x cos (α) + y cos (β) + z cos (γ) = p
sendo p igual ao comprimento da normal trac¸ada desde a origem ate´ o plano e α,β,γ
sa˜o os aˆngulos diretores da normal orientada desde a origem ate´ o plano.
Essa equac¸a˜o e´ dita forma normal da equac¸a˜o do Plano
4.2 paralelismo entre planos
Discutiremos agora quando duas equac¸o˜es determinam o mesmo plano, planos paralelos
ou planos concorrentes.
As equac¸o˜es ax+ by+ cz = d e kax+ kby+ kcz = kd definem o mesmo plano para
k 6= 0. Reciprocamente se as equac¸o˜es ax+ by+ cz = d e a′x+ b′y+ c′z = d′ definem o
mesmo plano enta˜o existe k 6= 0 tal que a = ka′, b = kb′, c = kc′ e d = kd′.
De forma mais geral dois planos ax+ by+ cz = d e a′x+ b′y+ c′z = d′ sa˜o paralelos
se e somente se existe k 6= 0 tal que a = ka′, b = kb′, c = kc′.
As equac¸o˜es ax+ by+ cz = d e a′x+ b′y+ c′z = d′ na˜o determinam planos paralelos
ou coincidentes (e portanto se intersectem numa reta) se os vetores normais N = (a,b, c)
e N′ = (a′,b′, c′) na˜o sa˜o multiplos um do outro.
Esta e´ outra forma de descrever uma reta no espac¸o: como o lugar geometrico dos
pontos que satisfazem as equac¸o˜es:
ax+ by+ cz = d
a′x+ b′y+ c′z = d′
com os vetores N = (a,b, c) e N′ = (a′,b′, c′) na˜o sa˜o multiplos um do outro.
Exemplo 4.8 A reta definida pelos planos x+ 2y+ 3z = 6, 4x+ 5y+ 6z = 15 conte´m os
pontos (0, 3, 0) e (1, 1, 1) e logo suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o:
x = t
y = 3− 2t
z = t
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4.3 distaˆncia de plano a plano
Deduziremos uma expressa˜o para a distaˆncia entre os planos paralelos Π e Π′. Sem perda
de generalidade podemos assumir que esses planos possuem equac¸o˜es ax+ by+ cz = d
e ax+ by+ cz = d′ respectivamente , com d 6= d′ pois do contra´rio seriam coincidentes.
A reta r = {(at,bt, ct), t ∈ R} passa pela origem e e´ perpendicular aos planos Π e Π′.
Seja P e P′ os pontos de intersecc¸a˜odessa reta com esses planos. A distaˆncia entre os
planos e´ igual a distaˆncia entre os pontos P e P′.
Como ambos os pontos pertencem a reta r eles podem ser descritos como P = (at,bt, ct)
e P′ = (at′,bt′, ct′).
Como P ∈ Π temos
a(ta) + b(tb) + c(tc) = d
e logo
t =
d
a2 + b2 + c2
Analogamente
t′ =
d′
a2 + b2 + c2
e logo
d(Π,Π′) = d(P,P′) =
|d′ − d|√
a2 + b2 + c2
4.4 distaˆncia de um ponto ao plano
Como matema´ticos fazem cafe´.
Qual a distaˆncia entre o ponto P = (x0,y0, z0) ao plano Π.
Se escolhermos d0 = ax0 + by0 + cz0 enta˜o o plano Π0 de equac¸a˜o ax+ by+ cz = d0
conte´m P0. Ale´m disso a distaˆncia d(P0,Π) = d(Π′,Π) e portanto
d(P0,Π) =
|ax0 + by0 + cz0 − d|√
a2 + b2 + c2
Uma consequencia da formula anterior e´ que a distaˆncia do plano a origem e´
|d|√
a2 + b2 + c2
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4.5 exercı´cios
Equac¸o˜es do plano
Exercı´cios.
Ex. 5.1 — Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto (−2,−1, 5) e e´ perpendi-
cular a reta l que passa pelos pontos (2,−1, 2) e (−3, 1,−2) .
Ex. 5.2 — Um plano chama-se vertical quando conte´m o eixo z. Escreva a equac¸a˜o do
plano vertical que passa pelos pontos (2, 3, 4) e (1, 1, 758) .
Ex. 5.3 — Escreva a equac¸a˜o geral de um plano vertical.
Ex. 5.4 — Sejam A = (3, 1, 3) , B = (5, 5, 5) ,C = (5, 1,−2) , D = (8, 3,−6) . Mostre que as
retas AB e CD sa˜o concorrentes e ache uma equac¸a˜o para os planos que as conte´m.
Ex. 5.5 — Supondo abc 6= 0, escreva a equac¸a˜o do plano que corta os eixos x,y e z nos
pontos (a, 0, 0) , (0,b, 0) (0, 0, c) respectivamente
Ex. 5.6 — Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelos treˆs pontos na˜o colineares
(2,−1, 1) , (−2, 1, 3) e (3, 2,−2) .
Ex. 5.7 — Dado o plano 4x+ 6y+ 3z− 12 = 0. Encontrar suas intersecc¸o˜es com os eixos
coordenados e as equac¸o˜es de seus trac¸os sobre os planos coordenados. Desenhe a figura.
Ex. 5.8 — Sejam A = (3, 1, 3),B = (5, 5, 5),C = (5, 1,−2) e D = (8, 3,−6). Mostre que as
retas AB e CD sa˜o concorrentes e ache as equac¸o˜es para o plano que as conte´m.
Ex. 5.9 — Determinar a equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto (a,b, c) e cuja distaˆncia
a` origem seja
√
a2 + b2 + c2.
Ex. 5.10 — Escreva a equac¸a˜o parame´trica do plano que passa pelo ponto (5, 1, 3) e que
tem como normal o vetor (1,−4, 2) .
Ex. 5.11 — Escreva a equac¸a˜o parame´trica do plano que passa pelo ponto (3,−2, 6) e e´
paralelo ao plano 4y− 3z+ 12
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Ex. 5.12 — Determinar o valor de k a fim de que os dois planos kx− 2y+ 2z− 7 = 0 e
4x+ ky+ 6z+ 9 sejam perpendiculares.
Ex. 5.13 — Seja X um conjunto no espac¸o que conte´m pelo menos dois pontos, Suponha
que X tem a seguinte propriedade: a reta que une dois pontos quaisquer de X esta´ contida
inteiramente em X. Prove que X e´ uma reta, um plano ou o espac¸o todo.
Ex. 5.14 — Sejam AB e CD retas paralelas. Ache uma equac¸a˜o para o plano determinado
por elas.
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5 S I STEMAS L INEARES E POS I C¸ A˜O RELAT IVA DE
RETAS , PLANOS E H IPERPLANOS
5.1 dependencia e independencia linear ii
O teorema da base no plano nos diz que um vetor v no plano pode ser representado a
partir de dois vetores e1 e e2 na˜o colineares como combinac¸a˜o linear u´nica v =ae1+be2.
Uma consequeˆncia desse resultado e´ que dados treˆs vetores no plano um deles sem-
pre pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros dois. Analogamente no espac¸o,
dados 4 vetores um deles sempre pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros
treˆs.
Dado um conjunto de vetores, eles sa˜o ditos linearmente independentes se nenhum
deles e´ combinac¸a˜o linear dos outros dois. Ou de modo equivalente:
Definic¸a˜o 5.1 Dados v1, . . . , vn ∈ V , dizemos que esses vetores sa˜o linearmente inde-
pendentes se
n∑
i=1
α1v1 = 0 se, e somente se, α1 = · · · = αn = 0
Ou seja, a u´nica relac¸a˜o linear entre os vetores e´ a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser
escrito de modo u´nico como combinac¸a˜o de vi
Quando um conjunto de vetores {vi}i=1,...n que na˜o e´ linearmente independente e´ dito
linearmente dependente.
Proposic¸a˜o 5.2 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinac¸a˜o linear do conjunto de
vetores linearmente independente {vi}i=1,...n
u =
n∑
i=1
αivi
enta˜o essa representac¸a˜o e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o: Suponha que a representac¸a˜o na˜o e´ u´nica
u =
n∑
i=1
αivi =
n∑
i=1
α′ivi
enta˜o:
n∑
i=1
αivi −
n∑
i=1
α′ivi = 0
51
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e logo
n∑
i=1
(αi −α
′
i)vi = 0
Como {vi}i=1,...n isso implica que para cada i, (αi −α
′
i) = 0, e assim αi = α
′
i
Portanto a representac¸a˜o e´ u´nica. �
Em Rn podemos dar uma condic¸a˜o equivalente para um conjunto de vetores serem
linearmente independentes. Tomemos k vetores vk emRn. Com eles contruimos a matriz
A cuja i−e´sima coluna e´ determinada por vi
A = (v1|v2| . . . |vk)
Discutir a dependeˆncia linear entre v1, . . . vk corresponde a resolver o sistema:
AX = 0
Onde X =(xi)i=1,...,k sa˜o as varia´veis.
Esse sistema linear pode ter:
1. Soluc¸a˜o u´nica X = 0, e assim os vetores sa˜o linearmente independentes.
2. Se a soluc¸a˜o na˜o for u´nica, enta˜o o vetor 0 na˜o tera´ representac¸a˜o u´nica e logo os
vetores sera˜o linearmente dependentes.
Exemplo 5.3 Os vetores A =(1, 0) e B =(1, 1) sa˜o linearmente independentes.
Exemplo 5.4 Treˆs vetores no plano sa˜o sempre linearmente dependentes
5.2 sistemas lineares
Um conjunto de m equac¸o˜es e n inco´gnitas
n∑
k=1
aikxk = bi,i = 1, . . .m
e´ chamado sistema (Σ) . Esse sistema pode ser representado na forma matricial como
(Σ) : AX = B
sendo A uma matriz m×n com coeficientes aik, isto e´,
Am×n = (aik)i=1,...,m
j=1,...,n
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B e´ a matriz m× 1 com coeficientes (bi1)i=1,...,m
B1×m = (bi1)i=1,...,m
e
X1×m = (xk1)k=1,...,m
E logo o sistema pode ser visto como:
a11 a12 · · · a1m
a21
. . . a2m
...
. . .
...
an1 an2 · · · anm


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn

Um ponto Y =
 y1...
yn
 = (yi1)i=1,...,n de Rn e´ dito soluc¸a˜o de (Σ) se AY = B. O
conjunto de soluc¸o˜es de (Σ) sera´ denotado por [Σ] .
Um sistema (Σ) pode ser classificado de acordo com o fato de possuir ou na˜o soluc¸a˜o
em:
• Sistemas possı´veis: Um sistema (Σ) e´ dito possı´vel se o seu conjunto de soluc¸o˜es e´
na˜o vazio, [Σ] 6= ∅
• Sistemas impossı´veis: Um sistema (Σ) e´ dito impossı´vel se o seu conjunto de
soluc¸o˜es vazio, [Σ] = ∅
Um sistema possı´vel e´ dito determinado quando possuir uma u´nica soluc¸a˜o. Caso
contra´rio o sistema e´ dito indeterminado.
A seguinte proposic¸a˜o nos diz que o conjunto de soluc¸o˜es de um sistema permanece
inalterado se modificarmos o sistema por certas transformac¸o˜es. Essa afirmac¸a˜o e´ base
para o me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas lineares conhecido por escalonamento.
Comec¸amos definindo um conjunto de transformac¸o˜es de sistemas lineares conhecido
como transformac¸o˜es elementares.
Definic¸a˜o 5.5 Transformac¸o˜es elementares:
1. Trocar a ordem de duas linhas de (Σ) .
2. Multiplicar uma linha por um escalar k 6= 0
3. Substituir a i−e´sima linha pela soma da i−e´sima linha com a j−e´sima linha.
Cada uma dessas transformac¸o˜es gera um novo sistema (Σ′) a partir do sistema origi-
nal (Σ) , pore´m o conjunto de soluc¸o˜es dos sistemas e´ a mesma. Esse e´ o conteu´do do
pro´ximo teorema.
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Teorema 5.6 O conjunto de soluc¸o˜es de (Σ) coincide com o conjunto de soluc¸o˜es de (Σ′), isto e´
[Σ] = [Σ′] , se o sistema (Σ′) e´ obtido de (Σ) por um conjunto de transformac¸o˜es elementares.
Definic¸a˜o 5.7 Dois sistemas (Σ) e (Σ′) que possuem as mesmas soluc¸o˜es sa˜o ditos siste-
mas equivalentes.
5.3 resoluc¸a˜o de sistemas lineares por escalona-
mento
As transformac¸o˜es elementares nos fornecem um me´todo para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es
lineares:
Exemplo 5.8  −1 2 53 4 0
2 3 4
 xy
z
 =
 23
−1

A matriz aumentada de tal sistema e´: −1 2 5 23 4 0 3
2 3 4 −1

Multiplicando a primeiralinha por (−1) obtemos
∼
 1 −2 −5 −23 4 0 3
2 3 4 3

Multiplicando a primeira linha por −3 e somando na segunda
∼
 1 −2 −5 −20 10 15 9
2 3 4 3

Multiplicando a primeira linha por −2 e somando na segunda:
∼
 1 −2 −5 −20 10 15 9
0 7 14 7

Dividindo a ultima linha por 7 e invertendo a posic¸a˜o da segunda e terceira linha
temos:
∼
 1 −2 −5 −20 1 2 1
0 10 15 9

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Multiplicando a segunda linha por −10 e somando na terceira
∼
 1 −2 −5 −20 1 2 1
0 0 −5 −1

Finalmente multiplicando a u´ltima linha por −15 obtemos:
∼
 1 −2 −5 −20 1 2 1
0 0 1 15

Desta forma temos que 1 −2 −50 1 2
0 0 1
 xy
z
 =
 −21
1
5

e desta forma z = 15 , substituindo o valor de z na segunda equac¸a˜o obtemos y+ 2(
1
5) =
1⇒ y = 35 . Substituindo o valor de z e y na primeira equac¸a˜o obtemos x− 2(35) − 5(15) =
−2⇒ x = 15 . E desta forma resolvemos o sistema.
Outra forma de resolver o sistema e´ continuar o processo de simplificac¸a˜o:
∼
 1 −2 −5 −20 1 2 1
0 0 1 15

No sistema acima pegamos a segunda linha multiplicamos por 2 e adicionamos na
primeira:
∼
 1 0 −1 00 1 2 1
0 0 1 15

E agora multiplicamos a ultima linha por −2 e adicionamos na segunda
∼
 1 0 −1 00 1 0 35
0 0 1 15

e somando a ultima linha na primeira obtemos
∼
 1 0 0 150 1 0 35
0 0 1 15

ou seja x = 15 , y =
3
5 e z =
1
5 .
O sistema que terminamos de resolver pode ser interpretado geometricamente como
a intersecc¸a˜o dos planos Π1 dado pela equac¸a˜o 2y− x+ 5z = 2, Π2 dado pela equac¸a˜o
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3x+ 4y = 3 e Π3 dado pela equac¸a˜o 2x+ 3y+ 4z = −1. Esses treˆs planos se interceptam
exatamente no ponto x = 15 , y =
3
5 e z =
1
5 .
Exemplo 5.9 O sistema linear (Γ) dado por
−4 4 68 −16
6 48 276 −30
1 1 −3 2
−3 −3 9 −6


x
y
z
w
 =

−28
96
9
−27

A matriz ampliada desse sistema e´:
−4 4 68 −16 −28
6 48 276 −30 96
1 1 −3 2 9
−3 −3 9 −6 −27

escalonando temos:
∼

−4 4 68 −16 −28
6 48 276 −30 96
1 1 −3 2 9
−3 −3 9 −6 −27
 ∼

1 −1 −17 4 7
6 48 276 −30 96
1 1 −3 2 9
−3 −3 9 −6 −27

∼

1 −1 −17 4 7
1 8 46 −5 16
1 1 −3 2 9
−3 −3 9 −6 −27
 ∼

1 −1 −17 4 7
1 8 46 −5 16
1 1 −3 2 9
1 1 −3 2 9

Multiplicando a primeira linha por −1 e somando na segunda e depois na terceira e
na quarta respectivamente:
∼

1 −1 −17 4 7
0 9 63 −9 9
0 2 14 −2 2
0 2 14 −2 2

dividindo a segunda linha por 9 a terceira por 2 e a quarta por 2 temos:
∼

1 −1 −17 4 7
0 1 7 −1 1
0 1 7 −1 1
0 1 7 −1 1

somando a segunda na terceira e na quarta obtemos
∼

1 −1 −17 4 7
0 1 7 −1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

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ou seja obtemos que um sistema equivalente inicial e´:{
x− y+ 17z+ 4w = 7
y+ 7z−w = 1
Resolvendo o sistema em func¸o˜es dos paraˆmetros livres z = t,w = s temos
(x,y, z,w) = (8− 3s− 24t, 1− 7t+ s, t, s)
5.4 interpretac¸a˜o geome´trica
Um sistema linear pode ser interpretado como a intersecc¸a˜o de hiperplanos em Rn.
Nesta sec¸a˜o vamos trabalhar com os casos de baixa dimensa˜o, isto e´, intersecc¸o˜es de
retas e planos.
5.4.1 Duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de duas retas.
Como ja´ vimos, o sistema linear (Γ) dado pelas equac¸o˜es{
Ax+By = C
Ax+B′y = C′
pode ser interpretado como a intersecc¸a˜o de duas retas.
No caso em que A2+B2 = 0 ou A′2+B′2 = 0 o sistema claramente na˜o possui soluc¸a˜o.
Por isso daqui em diante descartaremos esse caso
No caso em que A′ = kA, B′ = kB, C′ = kC com k 6= 0 enta˜o essas retas sa˜o coinciden-
tes e a intersecc¸a˜o e´ a pro´pria reta
ou seja [Γ ] = {(x,y) : Ax+By = C} ou parametricamente (supondo A 6= 0)(
x
y
)
=
(
C
A
0
)
+
(
C− BAt
t
)
O caso em que A = 0 e B 6= 0 e´ ana´logo.
O caso em que A′ = kA, B′ = kB, mas C′ 6= kC com k 6= 0. As duas retas sa˜o paralelas
e o conjunto soluc¸a˜o e´ vazio, [Γ ] = ∅·
Ja´ o caso em que os vetores diretores das retas na˜o sa˜o colineares, isto e´, na˜o existe k
tal que A′ = kA, B′ = kB simultaneamente, as retas se interceptam num u´nico ponto.
E o sistema e´ determinado.
Exemplo 5.10 O sistema {
3x+ 2y− 8 = 0
2x− y− 3 = 0
geometricamente e´ a intersecc¸a˜o de duas retas na˜o paralelas, logo o conjunto soluc¸a˜o e´
um u´nico ponto. Escalonando o sistema e´ fa´cil ver que a u´nica soluc¸a˜o desse sistema e´ o
ponto (2, 1) .
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5.4.2 Duas equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de dois planos.
Os planos podem ser paralelos, se interceptar numa reta ou coincidir.
Exemplo 5.11 {
6x− 4y+ 2z = 8
9x− 6y+ 3z = 12
definem o mesmo plano, logo uma equac¸a˜o pode ser eliminada e assim z = −3x+
2y+ 4. Portanto as soluc¸o˜es desse sistema sa˜o:(t, s,−3t+ 2s+ 4)
Exemplo 5.12 Ja´ o sistema {
6x− 4y+ 2z = 8
9x− 6y+ 3z = 12
determina uma reta.
5.4.3 Treˆs equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas: Intersecc¸a˜o de treˆs planos
1o caso: Os treˆs planos podem coincidir
Neste caso cada equac¸a˜o e´ um mu´ltiplo das outras.
Exemplo 5.13 
x+ y+ 2z = 2
2x+ 2y+ 4z = 4
3x+ 3y+ 6z = 6
2o caso: Dois dos planos coincidem e o terceiro os intercepta segundo uma reta
Exemplo 5.14 
x+ 2y− z = 3
2x+ 4y− 2z = 6
3x+ 6y+ z = 9
Neste caso duas equac¸o˜es sa˜o mu´ltiplas uma da outra e a terceira na˜o e´ paralela as
duas primeiras.
58
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in
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3o caso Dois planos coincidem e o terceiro e´ paralelo.
Exemplo 5.15 
x+ 2y− z = 3
2x+ 4y− 2z = 6
3x+ 6y− 3z = 8
Neste caso os treˆs planos possuem o mesmo vetor normal, mas somente duas equac¸o˜es
sa˜o mu´ltiplas uma da outra.
4o caso: Os planos sa˜o paralelos dois a dois
Neste caso os treˆs planos possuem vetores normais mu´ltiplos um do outro, mas ne-
nhuma equac¸a˜o e´ mu´ltipla uma da outra.
Exemplo 5.16 
x+ 2y− z = 3
2x+ 4y− 2z = 5
3x+ 6y− 3z = 7
5o caso: Dois planos sa˜o paralelos e o terceiro os intercepta segundo retas paralelas.
Neste caso dois planos possuem vetores normais mu´ltiplos um do outro, e o terceiro
um vetor normal na˜o coplanar com os dois primeiros
Exemplo 5.17 
x+ 2y− z = 3
2x+ 4y− 2z = 5
6x+ 6y− 5z = 7
6o caso: Treˆs planos distintos que tem uma reta em comum
Como na˜o temos paralelismo nem coincideˆncia entre os planos, os vetores normais N1,
N2, N3 a esses planos sa˜o na˜o colineares, ou seja nenhum deles e´ mu´ltiplo do outro.
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Como existe uma reta r que pertence a esses treˆs planos, essa reta e´ perpendicular aos
vetores N1, N2, N3 que consequ¨entemente sa˜o coplanares, logo pelo teorema da base
eles sa˜o dependentes lineares ou seja
N3 = α1N1 +α3N2
Como existe um ponto P0 = (x0,y0, z0) que pertence aos treˆs planos temos que
N1 · (x0,y0, zo) = d1
N2 · (x0,y0, z0) = d2
N3 · (x0,y0, z0) = d3
Como N3 = α1N1 +α3N2 temos que
d3 = N3 · (x0,y0, z0)
= (α1N1 +α3N2)N3 · (x0,y0, z0)
= α1d1 +α2d2
E logo a terceira equac¸a˜o e´ combinac¸a˜o linear das duas primeiras.
7o caso: Os treˆs planos se interceptam dois a dois segundo treˆs retas paralelas.
Neste caso como no anterior os vetores N1, N2, N3 sa˜o coplanares e consequentemente
dependentes lineares.
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Ve
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arMas neste caso as treˆs equac¸o˜es na˜o sa˜o multiplas uma da outra.
∗o caso: Os tres planos possum um u´nico ponto em comum
5.4.4 Fam´ılias de Retas e Planos
Para encontrar o ponto de intersecc¸a˜o de duas retas no plano resolvemos um sistema
linear com duas equac¸o˜es:
ax+ by = c
a′x+ b′y = c′
Por exemplo o ponto (2, 1) e´ o ponto de intersecc¸a˜o das retas:{
3x+ 2y− 8 = 0
2x− y− 3 = 0
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Dadas duas constantes m e n construimos enta˜o uma nova equac¸a˜o linear
m (3x+ 2y− 8 = 0) +n (2x− y− 3 = 0) = 0
que e´ uma equac¸a˜o de uma reta que passa pelo ponto (2, 1) ja´ que o ponto (2, 1) faz cada
expressa˜o entre parenteses zero.
Uma expressa˜o desse tipo e´ dita uma familia de retas passando pelo ponto (2, 1) .
Teorema 5.18 Dadas duas retas r = {(x,y) : ax+ by+ c = 0} e r′ = {(x,y) : a′x+ b′y+ c′ =
0} na˜o paralelas que se interceptam num