Cálculo Margem Fase_UFRS

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ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
Aula 13 – Características de Processos no Domínio da Freqüência 
 
Introdução 
 
Margens de Fase e de Ganho 
 
Relações Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqüência 
 
Aproximação de Sistemas de Ordem Superior 
 
Exercícios 
 
Leituras Adicionais Recomendadas 
 
 
Introdução 
 
 Da mesma forma com que se pode relacionar as características de resposta transitória e de 
estabilidade absoluta e relativa em um sistema controle, cuja dinâmica é descrita por equações 
diferenciais lineares, com o posicionamento de seus pólos de malha-fechada no plano s, pode-se 
também concluir sobre tais características diretamente pela resposta em freqüência do mesmo sistema 
operando em malha-aberta. Concluir sobre o comportamento de um dado sistema, apenas com base em 
sua resposta em freqüência é algo significativo, pois o procedimento é experimental e não necessita 
nem da modelagem matemática e nem da determinação dos parâmetros que compõe a função de 
transferência do sistema, sem os quais não se pode determinar os pólos de malha-fechada do mesmo. 
Adicionalmente, também pode-se projetar controladores apenas com base na resposta em freqüência do 
sistema em malha-aberta, de forma a alterar as características de módulo e de fase do sistema original 
conforme especificações de desempenho estabelecidas a priori. Assim, pode-se concluir que a 
interpretação da resposta em freqüência de sistemas lineares operando em malha-aberta traz ao 
engenheiro ou projetista informações fundamentais tanto sob o ponto de vista de análise quanto sob o 
ponto de vista de projeto de um sistema de controle. 
 
Margens de Fase e de Ganho 
 
 Tomando como base o critério de estabilidade de Nyquist, que relaciona a estabilidade de um 
sistema de controle em malha-fechada através da resposta em freqüência do mesmo sistema operando 
em malha-aberta, pode-se concluir também sobre estabilidade relativa do sistema. Tal conclusão é 
realizada observando-se a proximidade da curva de resposta em freqüência do sistema operando em 
malha-aberta com o ponto –1.0 + j0.0 no plano G(jω)H(jω). Este ponto também pode ser rescrito em 
coordenadas polares como sendo o ponto do plano G(jω)H(jω) que apresenta módulo 1.0 e fase 180º. 
Desta forma, a proximidade da curva de resposta em freqüência do sistema operando em malha-aberta 
ao ponto em questão será avaliada também em módulo e em fase, através de duas medidas definidas 
como margem de ganho e margem de fase respectivamente. 
• Margem de Ganho: Define-se por Margem de Ganho – GM, a faixa de ganho que se pode 
incrementar ou decrementar a curva de resposta em freqüência de módulo da função de 
transferência de malha-aberta de um sistema até que se alcance o ponto de estabilidade crítica, isto 
é: 
1)H(j)G(jG MMM =ωω (13.1) 
sendo ωM a freqüência em que a fase de G(jω)H(jω) é igual a 180º. Pode-se também, rescrever (13.1) e 
expressar a margem de ganho em decibéis, ou seja 
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))H(jG(jlog20
))H(jG(j
1log20G MM
MM
MdB ωωωω −== (13.2) 
• Margem de Fase: Define-se por Margem de Fase - ΦM, como sendo o valor angular a ser 
acrescido ou decrescido à curva de fase da resposta em freqüência de um sistema operando em 
malha-aberta na freqüência em que a curva de módulo da resposta em freqüência deste mesmo 
sistema apresenta valor unitário, ou alternativamente, 0.0 dB, ou seja: 
)j(H)j(G180 dB0dB0
o
M ωω+=Φ (13.3) 
sendo ω0dB a freqüência em que o módulo de G(jω)H(jω) é igual 1 ou, alternativamente 0.0 dB. 
 Informações associadas as margens de ganho e de fase podem ser obtidas diretamente dos 
gráficos de resposta em freqüência de módulo e de fase do sistema em malha-aberta representado na 
forma polar no plano G(jω)H(jω), Figura 13.1, que conjuga em um mesmo gráfico informações de 
módulo e fase de G(jω)H(jω), ou separadamente nas curvas de módulo e de fase do diagrama de Bode 
do mesmo sistema, Figura 13.2. 
 
Fig. 13.1: Representação das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama polar. 
 
Fig. 13.2: Representação das Margens de Ganho e de Fase de um sistema empregando diagrama de 
Bode. 
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1. Considerando um sistema de controle realimentado negativamente, determinar as Margens de 
Ganho – GM e de Fase ΦM deste sistema admitindo a seguinte função de transferência de malha-
aberta: 
)100s)(36s(s
K)s(H)s(G ++= (13.4)
assumindo valores de K=500 e 5000. 
i. Associar os valores obtidos de GM e ΦM com a estabilidade do sistema operando em 
malha-fechada. 
ii. Para os dois valores de K apresentados anteriormente, verificar a estabilidade deste 
sistema empregando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz e o método do Lugar 
Geométrico das Raízes – LGR. 
 
 
 
 
2. Considerando as curvas de resposta em freqüência apresentadas nas Figuras 13.3 a 13.10 e o 
preenchimento da Tabela 13.1, determinar: 
i. As margens de fase e de ganho de cada um destes sistemas; 
ii. Avaliar a estabilidade empregando o critério de estabilidade de Nyquist para cada um 
dos casos, relacionando-a com as medidas de Margens de Ganho – GM e de Fase ΦM 
realizadas no item anterior. 
iii. Relacionar os diagramas de Bode com os seus respectivos diagramas polares. 
iv. Traçar o diagrama de Nyquist completo das Figuras 13.7 a 13.10. 
 
 
 
Fig. 13.3: Diagrama de Bode do primeiro sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 13.4: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta. 
Fig. 13.5: Diagrama de Bode do terceiro sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 13.6: Diagrama de Bode do segundo sistema de controle em malha-aberta. 
 
Fig. 13.7: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
 
 
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Fig. 13.8: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
 
Fig. 13.9: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
 
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Fig. 13.10: Diagrama polar do sistema de controle em malha-aberta. 
 
 
Diagrama de 
Bode 
Diagrama de 
Nyquist 
ΦM GM ω0dB ω180o Estabilidade 
 
 
Fig. 13.3 
 
 
 
 
 
Fig. 13.4 
 
 
 
 
 
Fig. 13.5 
 
 
 
 
 
Fig. 13.6 
 
 
 
Tab. 13.1: Característicasdos sistemas representados pelos diagramas das Fig.13.3 a 13.10. 
 
 
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Relações Entre Resposta Temporal e Resposta em Freqüência 
 
 Muitas vezes a tarefa de relacionar o comportamento temporal de um dado sistema de controle 
diretamente pela análise das curvas de resposta em freqüência deste sistema operando tanto em malha-
aberta quanto em malha-fechada não é obvia para um engenheiro. Contudo, na etapa de projeto de um 
sistema de controle, é comum que o projetista utilize informações provenientes destas curvas 
interpretando-as e alterando-as convenientemente, através da inclusão de redes de compensação, de 
forma que a resposta do sistema em malha-fechada atenda um conjunto de requisitos, normalmente 
especificados no domínio do tempo. Um requisito temporal que freqüentemente é utilizado para 
especificação de um sistema de controle operando em malha-fechada é o sobre-sinal máximo 
percentual da variável de saída do sistema, considerando-se como sinal de referência um degrau. De 
forma a relacionar analiticamente a margem de fase e sobre-sinal percentual, considera-se o sistema de 
controle apresentado na Figura 13.11. 
 
 
)2s(s n
2
n
ξω+
ω Y(s) 
R(s) + 
 
 _ 
 
 
 
 
 
Fig. 13.11: Sistema de segunda ordem. 
 Para determinar analiticamente a expressão matemática da margem de fase deste sistema, 
deve-se primeiramente descobrir a freqüência em que a função de transferência de malha-aberta deste 
sistema apresenta módulo 1, denominada freqüência de zero dB - ω0dB, i.e., 
( ) 1n2ss
2
n
js)s(G =ξω+
ω=ω= (13.5) 
que resulta na equação (13.6), apresenta a seguir: 
( ) 1
4
jG
22
n
24
2
n =
ωωξ+ω
ω=ω (13.6) 
cuja solução é obtida elevando-se os dois lados da expressão (13.6) ao quadrado e, logo em seguida, 
resolvendo-se a equação biquadrada resultante. A freqüência ω0dB que satisfaz (13.6) é a seguinte: 
142 42ndB0 +ξ+ξ−ω=ω (13.7) 
 Determinada a freqüência ω0dB, emprega-se a definição de margem de fase juntamente com a 
equação (13.3), resultando em 
ξ
+ξ+ξ−=ξω
ω+−=Φ
2
142
 tgarc - 90 )
2
 tgarc90 ( 180
42
n
0dB
M (13.8) 
Admitindo que o coeficiente de amortecimento ξ do sistema apresentado na Figura 13.11 varia entre 
1>ξ>0, a margem de fase diminuirá a medida em que diminui o valor de ξ. Uma vez que a máxima 
sobrepassagem percentual do sinal de saída deste sistema é calculada através da expressão 
21e100(%)Mp ξ−
πξ−
= (13.9) 
conclui-se também que conforme diminui o valor de ξ, dentro do intervalo considerado, o valor da 
máxima sobrepassagem percentual aumentará. Portanto, o aumento da margem de fase deste sistema 
implica menor sobrepassagem percentual e vice-versa, estabelecendo através das equações (13.8) e 
(13.9) uma relação clara entre especificações nos domínios da freqüência e do tempo. Na Figura 13.12 
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é apresentado o gráfico que relaciona o ξ com a margem de fase e com o sobre-sinal para o sistema de 
segunda ordem mostrado na Fig. 13.11. 
 
Fig. 13.12: Gráfico que relaciona ξ com MΦ e ξ com Mp de um sistema de segunda ordem . 
 
3. Analise o gráfico da Fig. 13.12 e comente a relação entre o fator de amortecimento, 
margem de fase e sobre-sinal no sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11. 
Pode-se também verificar a relação existente entre a velocidade de resposta da variável de 
saída do sistema apresentado na Figura 13.11, e a curva de resposta em freqüência deste sistema 
operando em malha-fechada. Para tanto relaciona-se as medidas de desempenho temporais deste 
sistema quando excitado com uma entrada do tipo degrau (tempo de subida, tempo de pico e tempo de 
estabilização), com a largura de banda da resposta em freqüência de malha-fechada do mesmo, que 
coincide para o caso do sistema apresentado na Figura 13.11, com a freqüência em que o módulo da 
função de transferência de malha-fechada do sistema apresenta valor igual 
2
1 , i.e: 
2
1
s2s
)s(T
js
2
nn
2
2
n =ω+ξω+
ω=
ω=
 (13.10) 
A freqüência em que a equação (13.10) é satisfeita é denominada ωBW, e é obtida empregando-
se o mesmo procedimento utilizado para determinação da freqüência ω0dB, ou seja: 
( )
2
2
BW
2
n
222
BW
2
n
2
n
2
42
1








ωωξ+ω−ω
ω=



 (13.11) 
 
concluindo-se, pela solução da equação biquadrada resultante de (13.11), que a largura da banda da 
resposta em freqüência de malha-fechada do sistema representado na Figura 13.11 é dada por 
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 ( ) 24421 242nBW +ξ−ξ+ξ−ω=ω (13.12) 
Adicionalmente, sabe-se que os tempos de pico e de estabilização do sistema de segunda ordem em 
questão são expressos pelas seguintes (13.13) e (13.14) apresentadas abaixo: 
2
n
p
1
t
ξ−ω
π= (13.13) 
n
s
4t ξω= (13.14) 
 Conclui-se, com base nas equações (13.13) e (13.14) que os tempos de pico e de estabilização 
de um sistema de segunda ordem representado na Figura 13.11 dependem da freqüência natural e do 
coeficiente de amortecimento deste sistema. Contudo, admitindo-se como exemplo uma subclasse de 
sistemas de segunda ordem com um mesmo coeficiente de amortecimento, percebe-se claramente que 
quanto maior for a freqüência natural do sistema maior será sua largura de banda e, consequentemente, 
menores serão os tempos de pico e de estabilização do mesmo sistema quando excitado por um sinal de 
entrada do tipo degrau, implicando maior rapidez de resposta deste sistema. 
 
 
 
 
4. Para o sistema de segunda ordem esquematizado na Figura 13.11 estabeleça a relação entre o 
fator de amortecimento e as freqüências em que o módulo da função de transferência de malha-
aberta apresenta valor unitário, ω0dB, e a largura de banda do sistema operando em malha-
fechada. Admita valores do fator de amortecimento variando entre 1.0 > ξ > 0.0. 
( ) 24421
142
242
42
BW
dB0
+ξ−ξ+ξ−
+ξ+ξ−=ω
ω
 
 
Fig. 13.13: Relação entre ξ e 
bw
odB
ω
ω
 
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13. 
i. Analise as Fig. 13.14 a 13.16 e verifique a relação entre a margem de fase e o sobre-
sinal das Figuras 13.14 a 13.16. 
ii. Analise as Fig. 13.17 a 13.19 e verifique a relação entre a largura de banda e os tempos 
de estabilização e de pico. 
100 101 102 103
-50
0
50
Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=24.2921 deg. (w=95.4704)
M
ag
ni
tu
de
 [d
B
]
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
100 101 102 103
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
Fa
se
 [d
eg
]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.5
1
1.5
Mp=50 %, qsi=0.21545, Wn=100 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t)
Pm = 24.2921 
Mp = 50% 
 
Fig. 13.14: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.2 e ωn = 100 rad/s 
 
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10
0
10
1
10
2
10
3
-50
0
50
Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=43.463 deg. (w=85.195)
M
ag
ni
tu
de
 [d
B
]
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
100 101 102 103
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
Fa
se
 [d
eg
]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Mp=25 %, qsi=0.40371, Wn=100 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t)
Pm = 43.463 
Mp = 25% 
 
Fig. 13.15: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4 e ωn = 100 rad/s 
 
 
 
 
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10
0
10
1
10
2
10
3
-60
-40
-20
0
20
40
Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=64.6253 deg. (w=65.4627)
M
ag
ni
tu
de
 [d
B
]
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
100 101 102 103
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Aberta -
Fa
se
 [d
eg
]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Mp=5 %, qsi=0.69011, Wn=100 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t)
Pm = 65.4627
Mp = 5% 
 
Fig. 13.16: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.69 e ωn = 100 
 
 
 
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101 102 103
-60
-40
-20
0
20
Largura de Banda 68.5562 rad/s,
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Fechada -
Fa
se
 [g
ra
us
]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.5
1
1.5
Mp=25 %, tp=0.068677 rad/s ts=0.19816 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t) ts = 0.19816 
WB = 68.5562 
 
Fig. 13.17: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4037 e ωn = 50 rad/s. 
10
1
10
2
10
3
-40
-30
-20
-10
0
10
Largura de Banda 137.1125 rad/s,
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Fechada -
Fa
se
 [g
ra
us
]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Mp=25 %, tp=0.034339 rad/s ts=0.09908 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t) ts = 0.09908 
 WB = 137.1125
 
Fig. 13.18: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4037 e ωn = 100 rad/s. 
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101 102 103
-30
-20
-10
0
10
Largura de Banda 274.225 rad/s,
Freqüência [rad/s] Diagrama de Bode - Malha Fechada -
Fa
se
 [g
ra
us
]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0
0.5
1
1.5
Mp=25 %, tp=0.017169 rad/s ts=0.04954 rad/s
Tempo [s] Resposta Temporal - Malha Fechada -
y(
t) ts = 0.04954 
WB = 274.225 
 
Fig. 13.19: Sistema de segunda ordem com ξ = 0.4037 e ωn = 200 rad/s. 
 
Aproximação de Sistemas de Ordem Superior 
 
As relações entre a resposta temporal e a resposta em freqüência estabelecidas pelas equações 
(13.8) a (13.9) e (13.12) a (13.14) são validas para sistemas de segunda ordem, entretanto podem ser 
empregas em sistemas de ordem superior. A condição necessária para efetuar essa aproximação é que o 
sistema de ordem superior apresente comportamento predominantemente de segunda ordem. Para 
demonstrar como empregar as relações desenvolvidas para sistemas de segunda ordem em sistemas de 
ordem superior será analisado o sistema de controle da Figura 13.20, cuja a função de transferência 
G(s) é dada por (13.15) e o ganho K = 1440. A Figura 13.21 apresenta o diagrama de Bode em malha 
aberta deste sistema. 
 
 
K
+
-
R(s) C(s)
G(s)K
+
-
R(s) C(s)
G(s)
 
Fig. 13.20: Sistema original de ordem superior. 
 
A função de transferência em malha aberta do sistema da Fig. 13.20 é dada por 
 
)100s)(36s(s
K100)s(G K ++= (13.15) 
 
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ω0dB
ω180°
Fig. 13.21: Diagrama de Bode do sistema apresentado na Figura 13.20 considerando K=1440. 
 
 Pelo diagrama de Bode apresentado na Figura 13.21 pode-se realizar a medida da margem de 
fase do sistema - ΦM, e a partir daí, considerando-se que o sistema apresenta comportamento 
predominantemente de segunda ordem, calcular o coeficiente de amortecimento ξ e o tempo de pico – 
tp. Alternativamente, uma vez que por hipótese a função de tran cia de malha-aberta do sistema é 
conhecida, pode-se determinar numericamente a margem de fase stema, ou seja: 
 
rad/seg 62.29 1
10036
144400)( 0
22220
=⇒=
++
== dBdBjG ωωωω
ω ωω (13.16) 
Determinada a freqüência ω0dB, determina-se a margem de fase do sistema apresentado na 
Figura 13.20, empregando-se a seguinte expressão: 
 
odBdB
M arcarc 05.3410036
 tan90180 00 =
−

−−=Φ ωω (13.17) 
 A margem de fase do sistema, calculada em (13
coeficiente de amortecimento ξ do sistema, uma vez que a
2
412-
 tan 90
42 ++−=Φ ξ
ξξ
arcoM
representa uma boa aproximação se o sistema em malha
ordem. A partir da resposta temporal a uma entrada d
mostrada na Fig. 13.22, determina-se : e 101.0= Mpspt
Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe H
 
 tan

.17), p
 expre
 ⇒ξ
-fecha
o tipo
3.0=
affner
sferên
 do si
ode ser utilizada para determinação do 
ssão 
0.3027≅ (13.18) 
da for predominantemente de segunda 
 degrau unitário aplicada ao sistema, 
687 
 16
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Mp=0.3687 
Fig. 13.22: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Figura 13.20. 
tp=0.101 seg.
 
Utilizando as equações relativas a um sistema de 2º ordem, na respostas temporal apresentada 
na Fig. 13.22, obtém-se 
3027.0
21 =⇒= −
−
ξξ
πξ
eM p (13.19) 
sradt n
n
p /63.32
1 2
=⇒
−
= ω
ξω
π (13.20) 
 
2
nω
)(~ sC
Logo, a função de tr
sistema de segunda ordem , da
~
R
C
Na Figura 13.24 são 
do sistema apresentado na Fig
curva relativa ao sistema de s
coeficiente de amortecimento 
com eferência um de
Professores: Luís Fernando Al
 
R(s) +
 _ )2( nss ξω+
 
Fig. 13.23: Sistema de segunda ordem. 
ansferência apresentada em (13.21) é uma aproximação, utilizando um 
 função de transferência de malha fechada do sistema da Fig. 13.20. 
9.106475.19
9.1064
2)(
)(
222
2
++=++= sssss
s
nn
n
ωξω
ω
 (13.21) 
apresentadas duas curvas: uma das curvas representa a resposta temporal 
ura13.20 operando em malha-fecha com ganho K=1440, sendo a outra 
egunda ordem aproximado com freqüência natural ωn = 32.63 rad/seg, e 
igual aquele calculado em (13.19). Em ambos os casos é considerando 
grau de amplitude unitária 
o sinal de r
ves Pereira & José Felipe Haffner 17
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Fig. 13.24: Resposta ao degrau do sistema apresentado na Fig. 13.20 e do sistema de segunda ordem 
equivalente apresentado na Fig. 13.23. 
Na Fig. 13.25 é apresentado os diagramas de Bode do sistema original para K = 1440 e do 
sistema de 2º ordem aproximado. 
 
Fig. 13.25: Diagrama de Bode do sistema original para K=1440 e do sistema de 2º ordem aproximado. 
 Pode-se observar na Figura 13.25, que o sistema de segunda ordem aproximado apresenta uma 
resposta bastante próxima à resposta do sistema apresentado na Figura 13.20, observando-se que as 
relações estabelecidas para o sistema de segunda ordem apresentadas poderão servir para calcular, de 
forma aproximada, as características da resposta temporal deste sistema em malha fechada. 
 
 
 
 
6. 
i . Calcule a margem de fase, a margem de ganho e a freqüência de 0 dB para o sistema 
original e para o sistema aproximado. 
ii. Comente sobre o uso das relações estabelecidas para o sistema de segunda ordem para 
determinar a margem de fase , a freqüência de 0 dB e as características da resposta 
temporal de sistemas de ordem superior. 
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Exercícios 
 
1. Considerando os diagramas de Bode apresentados nas Figuras 13.26, 13.27 e 13.28, traçar os 
diagramas de Nyquist e analisar a estabilidade de cada um dos sistemas empregando o critério de 
estabilidade de Nyquist. Nos diagramas de Bode e de Nyquist identificar as margens de fase ΦM e 
de ganho GM de cada sistema. 
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
 (d
eg
); 
M
ag
ni
tu
de
 (d
B
)
Bode Diagrams
-40
-20
0
20
 
10-1 100 101
-200
-150
-100
-50
0
 
 
Fig. 13.26: Diagrama de Bode G1(s)H1(s). 
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
 (d
eg
); 
M
ag
ni
tu
de
 (d
B
)
-150
-100
-50
0
50
 
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-300
-200
-100
0
 
 
Fig. 13.27: Diagrama de Bode G2(s)H2(s). 
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Frequency (rad/sec)
P
ha
se
 (d
eg
); 
M
ag
ni
tu
de
 (d
B
)
-100
-50
0
50
100
 
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-400
-300
-200
-100
0
 
 
Fig. 13.28: Diagrama de Bode G3(s)H3(s). 
2. Considerando os diagramas de Nyquist apresentados na Tabela 13.2. 
Item Diagrama Polar de Nyquist Preencher com os valores da 
Tabela 13.1 
 
 
 
 
 
 
A 
 
 
 
 
 
 
Margem de Fase:______ 
 
Margem de Ganho:______ 
 
Grau relativo do sistema:______ 
 
Estabilidade:______ 
 
 
 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 
 
 
Margem de Fase:______ 
 
Margem de Ganho:______ 
 
Grau relativo do sistema:______ 
 
Estabilidade:______ 
Tabela 13.2: Diagrama de Nyquist e suas principais características. 
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C 
 
 
 
 
 
 
Margem de Fase:______ 
 
Margem de Ganho:______ 
 
Grau relativo do sistema:______ 
 
Estabilidade:______ 
 
 
 
 
 
 
 
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
Margem de Fase:______ 
 
Margem de Ganho:______ 
 
Grau relativo do sistema:______ 
 
Estabilidade:______ 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Margem de Fase:______ 
 
Margem de Ganho:______ 
 
Grau relativo do sistema:______ 
 
Estabilidade:______ 
Continuação da Tabela 13.2: Diagrama de Nyquist e suas principais características. 
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3. Considere o sistema de controle com realimentação unitária e negativa apresentado na Figura 
13.29. 
Y(s) U(s)R(s) E(s) 
 + 
 
 _ 
G(s)K
 
Fig. 13.29: Sistema de controle empregado no exercício 3. 
A Figura 13.30 apresenta o diagrama de Bode da função de transferencia de malha aberta Y(s)/E(s) 
considerando K = 1. 
i. Determine o ganho K necessário para que o sistema apresente uma resposta 
subamortecida a um sinal de entrada do tipo degrau com tempo de estabilização 
menor que 1 segundo e sobre-sinal máximo de 5%. 
ii. Para o ganho especificado no item i determine o erro em regime para os sinais de 
entrada do tipo degrau e rampa.. 
 
Fig. 13.30: Diagrama de Bode da função de transferencia de malha aberta do sistema de controle da 
Fig. 13.30 considerando K = 1 
4. Considere o sistema de controle com realimentação unitária e negativa apresentado na Figura 
13.31. Dica: Utilize os Diagramas de Nyquist da G(s) para K =1 apresentado nas Figuras 13.32 e 
13.33. 
+
-
R(s) C(s)
)4s)(2s)(1s(
K58)s(G +++
⋅=+
-
R(s) C(s)
)4s)(2s)(1s(
K58)s(G +++
⋅=
 
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Fig. 13.31: Diagrama de blocos de um sistema com realimentação unitária e negativa. 
i. Considerando o ganho K = 1, determine a margem de ganho e a margem de fase. 
ii. Qual deve ser o ganho K para a margem de ganho ser igual a 20 dB. 
 
 Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Nyquist Diagrams
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
From: U(1)
To
: Y
(1)
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
Nyquist Diagrams
−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1.5
−1.3
−1.1
−0.9
−0.7
−0.5
−0.3
−0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
From: U(1)
To
: Y
(1)
Fig. 13.32: Diagrama de Nyquist de G(s) utilizado no exercício 4, considerando K=1. 
 
 
Fig. 13.33: Detalhe do diagrama de Nyquist apresentado em Fig. 13.36. 
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13. Determine o valor do ganho K, para a margem de ganho de 10.0 dB para o sistema de 
realimentação unitária da Figura 13.34. Admita as seguintes funções de transferência G(s): 
I. 
)8s)(5s)(2s(
K)s(G +++= 
II. 
)5s)(2s(s
K)s(G ++= 
 
G(s)+
-
R(s) C(s)
 
Fig. 13.34: Diagrama de blocos de um sistema com realimentação unitária e negativa. 
 
6. Para os sistemas do problema 5, encontre o valor do ganho “K” para que a margem de fase de 
seja de 40º. 
 
7. Para o diagrama de blocos apresentado na Figura 13.34, use o método da resposta em freqüência 
para determinar o valor do ganho “K”, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau 
apresente 20% de sobresinal. Admita as seguintes funções de transferência G(s):I. 
)7s)(5s(s
K)s(G ++= 
II. 
)6s)(5s)(4s(s
)2s(K)s(G +++
+= 
 
8. Para o sistema com realimentação unitária da Figura 13.34, com 
)9s)(6s)(3s(s
)11s)(10s(K)s(G +++
++= 
determine: 
 
I. O valor do ganho “K”, de maneira que a resposta a uma entrada do tipo degrau 
apresente 15% de sobresinal. 
II. Especifique um sistema de segunda ordem que produza uma resposta temporal 
aproximadamente igual ao sistema original. 
III. Use o MATLAB para testar seu sistema de segunda ordem aproximado através de 
simulação do sistema empregando o valor de K encontrado do item I. 
 
Sumário 
 
 Foram apresentadas as definições de Margem de Ganho – GM e Margem de Fase - ΦM e suas 
relações com estabilidade relativa de sistemas lineares. Observou-se que, diferentemente dos métodos 
do Lugar Geométrico das Raízes – LGR e do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, em que o 
estudo de estabilidade de um sistema de controle em malha-fechada depende do conhecimento da 
função de transferência do mesmo, as informações associadas a estabilidade de um sistema de controle 
linear operando em malha-fechada também podem ser obtidas experimentalmente através da resposta 
em freqüência deste sistema operando em malha-aberta. Nestes casos, a estabilidade absoluta do 
sistema é determinada empregando o critério de estabilidade de Nyquist, sendo as conclusões de 
estabilidade relativa do sistema realizadas com base em GM e ΦM. Realizou-se também, com base no 
sistema de segunda ordem apresentado na Figura 13.11, a relação entre as características de resposta 
temporal e de resposta em freqüência do sistema do sistema em malha-aberta e malha-fechada 
 
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 25
 
Leituras Adicionais Recomendadas 
 
[1] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing. 
[2] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. 
[3] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-
Wesley Publishing Company. 
[4] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company. 
[5] Ogata, K., Engenharia de Controle Moderno, Prentice-Hall do Brasil, 3º edição.