Duas barras de materiais diferentes mas com o mesmo comprimento L e seção reta

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 19 – TEMPERATURA 
 
53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A 
são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é 
aumentada em ∆T. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade 
dada por 
 1 1 2 2
1 2
E EL L T
E E
α α −
∆ = ∆ + 
 
 
onde αa1 e α2 são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos 
materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o 
aquecimento? 
 (Pág. 182) 
Solução. 
O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não 
estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente. 
 
L1
L L
∆L
L2
∆L1
∆L2
T
T T + ∆
T T + ∆
Barra 1 livre
T T + ∆
Barra 2 livre
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
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Os termos ∆L1 e ∆L2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De 
acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas: 
 1 1L L L L∆ = − −∆ (1) 
 ( )2 2 2L L L L L L L∆ = − −∆ = − + ∆ (2) 
A equação que define o módulo de Young é: 
 F LE
A L
∆
= 
Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, ∆L é a variação observada no 
comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo 
de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + ∆T, 
temos: 
 1 2
1 2
F F
A A
= 
Logo: 
 1 21 2
L LE E
L L
∆ ∆
= 
 1 1 2 2E L E L∆ = ∆ (3) 
Substituindo-se (1) e (2) em (3): 
 ( ) ( )1 1 2 2E L L L E L L L− −∆ = − + ∆ 
Na expressão acima, os termos L1 − L e L2 − L podem ser substituídos pelos equivalentes Lα1∆T e 
Lα2∆T. 
 ( ) ( )1 1 2 2E L T L E L T Lα α∆ −∆ = ∆ + ∆ 
 1 1 1 2 2 2E L T E L E L T E Lα α∆ − ∆ = ∆ + ∆ 
 ( ) ( )1 2 1 1 2 2E E L E E L Tα α+ ∆ = + ∆ 
 1 1 2 2
1 2
E EL L T
E E
α α +
∆ = ∆ + 