Tres barras retas de aluminio invar e aço do mesmo comprimento

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura 
1 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 22 – TEMPERATURA 
 
45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo 
equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar 
será de 59,95o? 
 (Pág. 178) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema para a situação: 
 
Al Inv
Aço
L0 L0 
L0 
LAl
LInv
LAço
T0 T
θ
 
A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à 
temperatura T: 
 θcos2222 AçoAlAçoAlInv LLLLL −+= (1) 
Mas: 
 ( )0 1L L Tα= + ∆ (2) 
Substituindo-se a (2) em (1): 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 22 2 2
0 0 0
0 0
1 1 1
 2 1 1 cos
Inv Al Aço
Al Aço
L T L T L T
L T L T
α α α
α α θ
+ ∆ = + ∆ + + ∆ −
− + ∆ + ∆
 
Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
 2cos 1
Inv Inv Al Al Aço
Aço Al Aço Al Aço
T T T T T
T T T T
α α α α α
α θ α α α α
+ ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + + ∆ +
+ ∆ − + ∆ + ∆ + ∆
 
Reconhecendo-se que os termos envolvendo α2 são muito menores dos que aqueles envolvendo 
apenas α, pode-se desprezar os primeiros: 
 ( )1 2 1 2 1 2 2cos 1Inv Al Aço Al AçoT T T T Tα α α θ α α+ ∆ = + ∆ + + ∆ − + ∆ + ∆ 
 TTTTT AçoAlAçoAlInv ∆−∆−−∆++∆=∆ θαθαθααα cos2cos2cos22122 
 θθαθαααα cos
2
1coscos −=∆+∆+∆−∆−∆ TTTTT AçoAlAçoAlInv 
 ( ) 1cos cos cos2Inv Al Aço Al Aço Tα α α θα θα θ− − + + ∆ = − 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura 
2 
 
( )
1 cos
2
cos cosInv Al Aço Al Aço
T
θ
α α α θα θα
−
∆ =
− − + +
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
o
6o 1 6o 1 6o 1 o 6o 1
o
o 6o 1
1 cos 59,95
2
0,7 10 C 23 10 C 11 10 C cos 59,95 23 10 C
1 46,426497 C
cos 59,95 11 10 C
T
− − − − − − − −
− −
−
∆ =
 × − × − × + × +
=
+ × 


 

 
Por definição: 
 0TTT −=∆ 
 TTT ∆+= 0 
 ( ) ( )o o o20 C 46,426497 C 66,426497 CT = + =  
O valor aproximado de T, com apenas um algarismo significativo, é: 
 o70 CT ≈