Cálculo II- Derivadas e Integrais

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 Apostila de Cálculo II – Prof. Rubens
 	
NOTAS DE AULAS PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO II
Prof . Rubens A. M. Machado
 		
2015
EMENTA
* Aplicações de Derivada
* Integrais
OBJETIVO
* Raciocinar lógica e organizadamente;
* Aplicar com clareza e segurança os conhecimentos adquiridos;
* Utilizar estes conhecimentos em outras situações que surgirão a longo de sua atividade acadêmica.
MÉTODO DE AVALIAÇÃO
* N1 = 4 pontos
* N2 = 6 pontos
 
DATAS DE PROVAS
N 1: 
N 2: 
Exame: 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA BÁSICA
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A.: funções, limites, derivação e integração. São Paulo: Makron Books, 1992.
LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P., EDWARDS, Bruce H. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro:LTC, 1994.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Você verá como a derivada pode ser interpretada como taxa de variação. Assim sendo, a derivada pode representar conceitos como taxa de crescimento populacional, custo marginal do produtor, velocidade de um objeto móvel, taxa de inflação ou taxa com a qual os recursos naturais estão se esgotando.
Você provavelmente já percebeu a relação entre derivadas e taxa de variação. A derivada é o coeficiente angular da tangente e o coeficiente angular de qualquer reta é um número que mede sua maior ou menor inclinação em relação ao eixo horizontal. 
 A análise do comportamento das funções será feita detalhadamente usando definições e teoremas que envolvem derivadas.
1. TAXA DE VARIAÇÃO E ANÁLISE MARGINAL
Velocidade Média e Instantânea
Vamos iniciar com uma situação prática que servirá como modelo para uma discussão mais geral.
Imagine um carro se movendo numa estrada reta, sendo S(t) sua distância após t horas do ponto de partida. Suponha que você deseje determinar a velocidade do carro num certo tempo t, mas não possui acesso ao velocímetro do carro. Eis o que você pode fazer.
Você precisa conhecer, primeiro, a posição do carro no tempo t e, depois, no tempo t + (t, isto é, determinar S(t) e S(t + (t).
Calcule, então, a velocidade média do carro entre t e t + (t como se segue.
Velocidade média = 
 = 
Como a velocidade do carro varia durante o intervalo de tempo t e t + (t, a velocidade não será igual à velocidade instantânea (a velocidade mostrada no velocímetro) no tempo t. Entretanto, quando (t é pequeno, é pequena a possibilidade de variações drásticas de velocidade. Então, a velocidade instantânea será uma boa aproximação da velocidade média.
Pode-se calcular a velocidade instantânea no tempo t fazendo (t tender a zero na expressão da velocidade média.
Note que a expressão da velocidade média 
 é exatamente a razão incremental encontrada na definição de derivada. Quando (t tende a zero, este quociente tende ao valor da derivada de S. Segue-se que a velocidade instantânea no tempo t é justamente a derivada S’(t) da função-distância.
Definição: A velocidade instantânea de um objeto móvel é a derivada S’(t) de sua
função-distância, isto é,
Velocidade = derivada da distância
Exemplo Encontre a velocidade média nos instantes t = 1 e t = 2 de um objeto em queda livre cuja função posição é dada por S(t) = - 4,9t2 + 30, onde S está em metros e t em segundos.
Solução Derivando, temos que a função velocidade é v(t) = S‘(t) = - 9,8t.
Portanto, a velocidade em t = 1 é v(1) = - 9,8m/s e a velocidade em t = 2 é v(2) = 19,6m/s.
Definição: Se S é a função posição de um objeto se movendo em linha reta, então a aceleração do objeto no instante t é dada por 
Aceleração = 
ou ainda
a(t) = v’(t),
onde v(t) é a velocidade no instante t.
Exemplo Ache a aceleração de um objeto em queda livre cuja função posição é S(t) = - 4,9t2 + 30.
Solução Do Exemplo anterior sabe-se que a função velocidade desse objeto é v(t) = - 9,8 t. Portanto, a aceleração é dada por:
a(t) = v’(t) = s’’(t) = - 9,8 m/s2.
 Taxa de Variação Média e Instantânea
Estas idéias podem ser usadas em situações mais gerais. Imagine y sendo uma função de x, ou seja, y = f(x). Para uma variação de x a x + (x, a variação de y correspondente será de (y = f(x + (x) – f(x).
Assim, a razão incremental:
 = 
= 
representa a taxa de variação média de y em relação a x.
	
	À medida que o intervalo de variação torna-se menor (isto é, quando (x tende a zero), a taxa média de variação tende ao que você intuitivamente poderia chamar de taxa de variação instantânea de y em relação a x, e a razão incremental tende à derivada 
.
	
	Logo, a taxa de variação instantânea de y em relação a x é justamente a derivada 
.
Definição: Sendo y = f(x), a taxa de variação instantânea de y em relação a x é dada pela derivada f, isto é,
Taxa de variação = 
 
Exemplo Se um objeto cai de uma altura de 30m, sua altura S no instante t é dada pela função posição S(t) = - 4,9t2 + 30, onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a taxa de variação média da altura nos intervalos:
[1,2] (b) [1;1,5] 
Solução 
(a) Para o intervalo [1,2] temos:
t = 1 ( S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1
						
t = 2 ( S(2) = - 4,9(2)2 + 30 = - 19,6 + 30 = 10,4
O objeto cai de uma altura de 25,1m para 10,4m, logo, a taxa de variação média é
.
(b) Para o intervalo [1;1,5] temos:
t = 1 ( S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1
t = 1,5 ( S(1,5) = - 4,9(1,5)2 + 30 = - 11,025 + 30 (19
A taxa de variação média é
.
OBS: Note que as velocidades médias no Exemplo anterior são negativas, indicando que o objeto está se movimentando para baixo.
Exemplo: Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de P(x) = x2 + 20x + 8000.
Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
Qual será a variação real sofrida durante o 16º mês?
Solução 
(a) A taxa de variação da população é a derivada da função-população, ou seja,
Taxa de variação = P’(x) = 2x + 20.
Como 
 P’(15) = 2.15 + 20 = 30 + 20 = 50,
 
conclui-se que, daqui 15 meses, a população crescerá de 50 habitantes por mês.
(b) A variação real sofrida durante o 16º mês será a diferença entre a população ao final dos 16 meses e a população ao final dos 15 meses, isto é,
 Variação da população = 
 = [(16)2 + 20.16 + 8000] - [(15)2 + 20.15 + 8000]
 = 51 habitantes.
No exemplo anterior, a razão da diferença entre a variação real da população durante o 16º mês [item (b)] e a taxa mensal de variação da população [item (a)] no início daquele mês é que a taxa de variação da população se modificou durante o mês. A taxa de variação no item (a) pode ser considerada como a variação ocorrida durante o 16º mês, caso a taxa de variação da população permaneça constante.
Análise Marginal em Economia
Estamos supondo que, quando se começa um processo produtivo, visa-se o maior lucro possível. Ainda não sabemos o que quer dizer o maior possível, mas é intuitivo que estamos querendo “maximizar” lucro. 
Um dos conceitos mais importantes da microeconomia é o conceito de customarginal(Cmg). Podemos, de forma bem simples, dizer que custo marginal é a variação no custo total devido a um pequeno acréscimo na quantidade produzida. Mas formalmente temos:
Definição: Dada C(x) uma função custo, o custo marginal é: Cmg (x) = 
.
	Vamos entender melhor este conceito com um exemplo.
Exemplo 1 Suponha que uma firma possui uma máquina produzindo 1.000 unidades de um produto por dia. 
	Se a máquina tem seu custo marginal igual a 5, para se produzir mais uma unidade, a 1.001ª, é necessário um custo adicional (C. Como Cmg(x) = 
 = C’(x), temos que para (x = 1, (y = C’(x). Portanto, o custo adicional (C, no nosso caso, para se produzir a 1.001ª unidade, é 5.
Obs: Custo marginal é medida em reais por unidade e, freqüentemente, é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional.
Exemplo 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de C(q) = 3q² + 5q + 10.
Deduza a fórmula do custo marginal.
Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? 
Qual é o custo real de produção da 51ª unidade?
Solução (a) O custo marginal é a derivada C´(q) = 6q + 5.
	 (b) Quando são produzidas 50 unidades, q = 50 e o custo marginal é de C´(50) = 305 reais por unidade.
 (c) O custo real de produção da 51ª unidade é a diferença entre o custo de produção de 51 unidades e o custo de produção de 50 unidades, ou seja,
Custo da 51ª unidade = [C(51) – C(50)]/(51 – 50) = 8068 – 7760 = R$ 308,00.
 Porcentagem de Variação
Em muitas situações práticas, a taxa de variação de uma quantidade não é tão significativa quanto sua porcentagem de variação. A taxa de variação anual de uma parcela de 500 pessoas numa cidade de 5 milhões de habitantes, por exemplo, nada representará em relação à população, enquanto que a mesma taxa poderia causar um enorme impacto numa cidade de 2000 habitantes. A porcentagem de variação compara a taxa de variação de uma quantidade com o valor desta quantidade:
Porcentagem de variação de Q = 100.
 
	A taxa de variação de 500 pessoas por ano na população de uma cidade de 5 milhões de habitantes acarreta uma porcentagem de variação de somente 
 da população por ano. Porém, a mesma taxa de variação numa cidade de 2000 habitantes acarreta uma porcentagem de variação de 
 da população por ano.
	Eis a fórmula da porcentagem de variação escrita em termos de derivadas.
Definição: Sendo y = f(x), a porcentagem de variação de y em relação a x é dada pela fórmula 
Porcentagem de variação = 100 . 
Exemplo O produto nacional bruto de um certo país era de N(t) = t² + 5t + 100 bilhões de dólares t anos após 1970.
Qual é a taxa de variação do produto nacional bruto, em 1975?
Qual é a porcentagem de variação do produto nacional bruto, em 1975?
Solução 
(a) A taxa de variação será a derivada N´(t) = 2t + 5. A taxa de variação, em 1975, é de N´(5) = 2(5) + 5 = 15 bilhões de dólares por ano. 
(b) a porcentagem de variação, em 1975, é de 
 ao ano.
EXERCÍCIOS
1. Estima-se que daqui a t anos a circulação de um jornal local será de C(t) = 100t² + 400t + 5000.
(a) Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t anos.
 (Resp. C’(t) = 200t + 400)
(b) Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? A circulação aumentará ou diminuirá? (Resp. crescendo com uma taxa de 1 400 por ano)
(c) Qual será a variação da circulação durante o 5º ano? (Resp. 1 300)
2. Um estudo sobre a eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que, em média, um operário, chegando ao trabalho às 8 horas, montará f(x) = - x³ + 6x² + 15x rádios x horas depois.
(a) Deduza a expressão da taxa à qual o operário montará rádios x horas depois. 
(Resp. f’(x) = -3x2 + 12x + 15)
(b) A que taxa o operário estará montando rádios às 9 horas da manhã? 
(Resp. 24 rádios por hora)
(c) Quantos rádios serão montados pelo operário entre 9 e 10 horas da manhã?
(Resp. 26 rádios)
3. Estima-se que daqui a t anos a população de uma certa comunidade suburbana será de P(t) = 20 – 6/ (t + 1) milhares de habitantes. 
(a) Deduza a expressão da taxa de variação da população em relação ao tempo. 
(Resp. P’(t) = 6/ (t + 1)2 milhares por ano)
(b) Qual será a taxa de crescimento da população daqui a 1ano? (Resp. 1 500 por ano)
(c) Qual será o crescimento da população durante o 2º ano? (Resp. 1 000)
(d) Qual será a taxa de crescimento da população daqui a 9anos? (Resp. 60 por ano)
4. O ganho total de fabricação de um certo produto é de R(q) = 240q + 0,05q² reais, onde q é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 80 unidades por dia e pretende elevar este número de 1 unidade.
(a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pela 81ª unidade. (Resp. R$ 248,00)
(b) Use a função de ganho para calcular o ganho adicional real produzido pela 81ª unidade. (Resp. R$ 248,05)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. REGRA DA CADEIA
	
	Em muitas situações práticas, a quantidade em estudo é dada como função de uma variável que, por sua vez, é uma função de uma outra variável. Nesse caso, a taxa de variação da quantidade em relação à segunda variável é igual à taxa de variável da quantidade em relação à primeira variável multiplicada pela taxa de variação da primeira variável em relação à segunda.
	Suponha que, por exemplo, o custo total de produção de uma certa fábrica seja função do número de unidades produzidas que, por sua vez, é função do número de horas de funcionamento da fábrica. Sejam C, q e t o custo (em reais), o número de unidades e o número de horas, respectivamente. Então,
e
	Como a taxa de variação do custo em relação ao tempo também é dada pela derivada 
, segue-se que 
	Esta fórmula é um caso particular de uma regra importante denominada regra da cadeia.
Definição: Seja y função de u e u função de x. Então, y pode ser considerado como função de x e 
ou seja, a derivada de y em relação a x é a derivada de y em relação a u multiplicada pela derivada de u em relação a x.
2.1 Taxas Relacionadas
	Em muitos problemas, uma quantidade é dada como função de uma variável que, por sua vez, pode ser reescrita como função de uma segunda variável. O objetivo é calcular a taxa de variação da quantidade original em relação à segunda variável. Estes problemas são, às vezes, denominados problemas de taxas relacionadas e podem ser resolvidos com auxílio da regra da cadeia. Eis um exemplo.
Exemplo Um estudo do meio ambiente de uma comunidade suburbana conclui que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar é de C(p) = 
partes por milhão, quando a população é de p milhares. Estima-se que daqui a t anos a população será p(t) = 3,1 + 0,1 t² milhares. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, da taxa de monóxido de carbono daqui a 3anos?
Solução O objetivo é calcular 
, quando t = 3. Calcule primeiro as derivadas.
 e 
Quando t = 3,
p = p(3) = 3,1 + 0,1. (3)² = 4
logo,
e
.
	Usando a Regra da Cadeia concluímos que: 
 partes por milhão por ano.
EXERCÍCIOS
1. Suponha que x e y são funções diferenciáveis de t, relacionadas pela equação y = 5x2 + 1. Encontre dy/dt quando x = 2, sabendo que dx/dt = 3 quando x = 2.
(Resp. 60)
2. Estima-se que daqui a t anos a população de uma certa comunidade suburbana será de p(t) = 20 – 6/(t + 1) milhares. Um estudo do meio ambiente indica que a taxa média do monóxido de carbono no ar é de 
 partes por milhão, quando a população é de p milhares. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, da taxa de monóxido de carbono, daqui a 2 anos? (Resp. 0,31 partes por milhão por ano)3. Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas
	
	Vimos anteriormente como usar a regra da cadeia para resolver certos tipos de problemas de taxas relacionados. Nestes problemas, uma variável era dada como função de uma segunda variável que, por sua vez, poderia ser escrita como função de uma terceira. Neste tópico, você aprenderá uma técnica ligeiramente diferente de resolução de problemas de taxas relacionadas, dos quais você possui apenas informações sobre a taxa de variação de algumas variáveis e, não, fórmulas explícitas relacionando todas as variáveis. Esta técnica está ilustrada no exemplo a seguir.
Exemplo Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existirão Q(p) = p² + 3p + 1 200 unidades de substâncias poluindo o ar, quando a população for de p milhares de habitantes. A população atual é de 30 000 habitantes e está crescendo numa taxa de 2 000 habitantes por ano. De quanto o nível de ar poluído está aumentando?
Solução Sendo t a medida de tempo (em anos), a taxa de variação do nível de poluição em relação ao tempo é 
 e a taxa de variação da população em relação ao tempo é 
. Neste problema, você sabe que 
= 2 e o objetivo é calcular 
, quando p = 30. Você consegue isto, derivando em relação a t ambos os membros da equação:
Q = p² + 3.p + 1 200.
	Para não se esquecer de p é uma função de t, substitua temporariamente p por p(t) e reescreva a equação sob a forma:
Q = [p(t)]² + 3.p(t) + 1 200.
	Derive agora ambos os membros em relação a t (diferenciação implícita), usando a regra de cadeia para potências, quando derivar [p(t)]² e, usando a regra da constante multiplicada, quando derivar 3.p(t). Você obterá
ou simplesmente,
.
	Substitua agora, na equação, os valores p = 30 e 
= 2, obtendo
	Assim, a taxa de crescimento atual do nível de ar poluído é de 126 unidades por ano.
Exemplo 2 Um menino de 1 m de altura caminha se afastando de um poste de luz de 6 m de altura, numa velocidade de 0,7 m/s. Qual é a taxa de crescimento da sombra do menino?
Solução Seja x o comprimento (em metros) da sombra do menino e y a distância entre o menino e o poste, como mostra a figura, e seja t o tempo (em segundos).
Fig. Posições relativas do poste e do menino
Sabe-se que 
= 0,7 e o objetivo é calcular 
. Pela semelhança dos triângulos ABC e DEC, obtém-se a proporção 
, ou seja, x = 
.
Derivando ambos os lados desta equação em relação a t, obtém-se
.
Substituindo
= 0,7 na igualdade, tem-se:
,
ou seja, a taxa de crescimento da sombra do menino é de 0,14m/s.
Exemplo 3 Um tanque de água tem o formato de um cone invertido de 20 metros de altura e 5 metros de raio da base circular. O tanque tem vazamento constante de 2m³ de água por minuto. Com que velocidade o nível da água estará descendo, quando a profundidade da água for de 8 metros?
Solução Seja V0 volume de água no tanque após t minutos, h o nível de água correspondente e r o raio da superfície de água, como mostra a figura.
	Você sabe que 
( o sinal negativo indica que o volume é decrescente) e o objetivo é calcular 
, quando h = 8.
	Comece com a fórmula, do volume do cone:
	Da semelhança de triângulos, você obtém a proporção
,
resultando numa expressão de r em função de h,
.
	Substituindo esta expressão na equação do volume, você obtém
	Derive ambos os membros desta equação em relação a t. Você obterá
	Substitua na equação os valores h = 8 e 
e resolva a equação em 
, obtendo
 Fig. Tanque de água com formato de um cone
Você pode concluir, então, que o nível da água está descendo numa taxa de 
 metros por minuto.
Exercícios
1. Uma pedra é jogada em um laguinho de águas calmas, gerando ondas em forma de círculos concêntricos. O raio r da onda exterior aumenta a uma taxa constante de 0,3 metro por segundo. A que taxa a área da água perturbada está aumentando quando o raio exterior é de 1 metro? (Resp. 0,6(m2/s)
2. Bombeia-se ar em um balão esférico a uma taxa de 75 centímetros cúbicos por minuto. Encontre a taxa de variação do raio quando seu valor é de 5 centímetros. (Resp. 0,24cm/min)
3. Um avião está voando a uma altitude de 10 quilômetros em uma trajetória que o levará a passar diretamente acima de uma estação de radar. Seja s a distância (em quilômetros) entre a estação de radar e o avião. Se s está decrescendo a uma taxa de 650 quilômetros por hora quando s é 16 quilômetros, qual é a velocidade do avião? (Resp. 833km/h)
4. Cascalho está sendo empilhado em uma pilha cônica a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é 3 metros.(Suponha que o tamanho do cascalho é tal que o raio do cone é igual à sua altura.) (Resp. 0,106m/min)
5. Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s = 15t2, onde s é medido em metros e t em segundos. A câmera está a 600 metros do local do lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento. (Suponha que a câmera e a base do ônibus espacial estão no mesmo nível quando t = 0.) (Resp. 278,54m/s)
4. Máximos e Mínimos Relativos em um Intervalo
	Grande parte do esforço do cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função f em um intervalo I. Por exemplo, estamos interessados nas seguintes perguntas: f atinge um valor máximo em I ?; Atinge um mínimo em I ?; Onde ela é decrescente?. Vamos mostrar neste item, como a derivada pode ser usada para responder essas perguntas. Vamos mostrar também, por que essas perguntas são importantes em aplicações.
	4.1 Máximos e Mínimos Relativos
	Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro vizinho. A função representada na Fig. 4.1 possui um máximo relativo em x = b e mínimos relativos em x = a e x = c. Note que o máximo relativo não precisa ser o ponto “mais alto” do gráfico, é máximo somente em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico.
	4.2 Funções Crescentes e Decrescentes
	Uma função é crescente quando seu gráfico “cresce” à medida que x aumenta de valor. Caso contrário, a função é decrescente. A função da Fig.4.2 é crescente, quando a < x < b e x > c. É decrescente, quando x < a e b < x < c.
 
 
 Fig.4.1 Máximos e Mínimos Relativos 
 
 Fig.4.2 Função Crescente e Decrescente
	Conhecendo-se os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar os máximos e mínimos relativos da função. O máximo relativo ocorre quando a função deixa de crescente e passa a ser decrescente. Na Fig.4.2, isto ocorre quando x = b. O mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. Na Fig.4.2, isto ocorre quando x = a e x = c.
4.3 Sinal da Derivada
Pode-se reconhecer quando uma função diferencial é crescente ou decrescente através do sinal de sua derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. A Fig. 4.3 ilustra esta situação.
4.3.1 Significado Geométrico do Sinal da Derivada
	Se f´(x) > 0 para todo x em (a, b), então f é crescente em (a, b).
	Se f´(x) < 0 para todo x em (a, b), então f é decrescente em (a, b).Se f´(x) = 0 para todo x em (a, b), então, f é constante em (a, b).
Fig. 4.3 Significado Geométrico do Sinal da Derivada
4.4 Pontos Críticos
Como a função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é, necessariamente, um extremo relativo.
Fig. 4.4 Três pontos críticos
4.4.1 Teste da Derivada Primeira
Seja c um número crítico de uma função f contínua em um intervalo aberto I que contém c. Suponha que f é diferenciável em todo o intervalo I, exceto possivelmente em c. Então: 
Se o sinal de f´ muda no ponto c, passando de negativo à positivo, f(c) é um mínimo relativo de f; 
Se o sinal de f´ muda no ponto c, passando de positivo à negativo, f(c) é um máximo relativo de f;
Se f´ não muda de sinal no ponto c, então f(c) não é máximo relativo nem mínimo relativo de f. A Fig. 4.4 ilustra a situação.
Exemplo 1 Determine onde a função f(x) = 2x³ + 3x² - 12x – 7 é crescente e onde é decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o gráfico correspondente.
Solução Comece, calculando e fatorando a derivada
f´(x) = 6x² + 6x – 12 = 6(x² + x – 2) = 6(x – 1)(x + 2)
	Através da forma fatorada da derivada, você percebe que f´(x) = 0, quando x = - 2 e x = 1. Como f(- 2) = 13 e f(1) = - 14, segue que os pontos críticos são (- 2, 13) e (1, - 14). Inicie a construção do gráfico, colocando estes pontos críticos (Ver Fig. 3.5).
	Para determinar onde a função é crescente e onde é decrescente, observe os sinais da derivada, quando x < - 2, - 2 < x < 1 e x > 1.
	Quando x < - 2, tanto (x – 1), quanto (x + 2) são negativos; logo, a derivada f´(x) = 6(x – 1)(x + 2) é positiva. Portanto, f é crescente, neste intervalo.
Quando - 2 < x < 1, o termo (x – 1) é negativo, enquanto (x + 2) é positivo. Logo, a derivada é negativa e f é decrescente, neste intervalo.
Finalmente, x > 1, tanto (x – 1), quanto (x + 2) são positivos. Logo, a derivada é positiva e f é crescente, neste intervalo.
Eis uma tabela que resume estas observações.
	Intervalo
	 Sinal de f´(x) 
	Função Crescente ou Decrescente
	x < - 2
	+
	Crescente
	- 2 < x < 1
	-
	Decrescente
	x > 1
	+
	Crescente
Fig. 4.5 Construção do Gráfico
Exemplo 2 Determine onde a função f(x) = 2 + (x – 1)³ é crescente e onde é decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o gráfico correspondente.
Solução Para conhecer os pontos críticos, calcule a derivada
f´(x) = 3(x – 1)²,
que é igual a zero, quando x = 1. O ponto crítico correspondente é (1, 2).
	Para determinar onde a função é crescente e onde é decrescente, observe o sinal da derivada, quando x < 1 e x > 1.
	Intervalo
	Sinal de f´(x)
	Função Crescente ou Decrescente
	x < 1
	+
	Crescente
	x > 1
	+
	Crescente
Construa o gráfico usando esta informação, como mostra a Fig. 4.6. Note que, como f é crescente em ambos os lados do ponto crítico (1, 2), este ponto não é máximo nem mínimo relativo.
Fig. 4.6 Gráfico de y = 2 + (x – 1)³
5. Máximos e Mínimos Absolutos
	Na maioria dos problemas práticos de otimização, o objetivo é calcular o máximo absoluto ou o mínimo absoluto de uma certa função num intervalo e, não, o máximo relativo. O máximo absoluto de uma função num intervalo é o maior valor da função neste intervalo. O mínimo absoluto é o menor valor.
	
Freqüentemente, os extremos absolutos coincidem com os relativos. No intervalo a ( x ( b, o máximo absoluto e o máximo relativo da Fig. 5.1 coincidem, porém o mínimo absoluto ocorre na extremidade x = a, que não é um mínimo relativo.
 Mínimo
 Absoluto
Fig. 5.1 Extremos absolutos
	5.1 Extremos Absolutos em Intervalos Fechados
	
	Um intervalo fechado é um intervalo da forma a ( x ( b, ou seja, um intervalo que contenha suas duas extremidades. Uma função contínua num intervalo fechado alcança um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer no extremo x = a ou x = b. A Fig.5.2 ilustra estas possibilidades. 
O Mínimo Absoluto coincide O Mínimo Relativo ocorre
com o Mínimo Relativo numa extremidade 
Máximo Absoluto coincide O Máximo Absoluto ocorre
com o Máximo Relativo numa extremidade 
	 Fig. 5.2 Extremos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado
 5.1.1 Roteiro para calcular Extremos Absolutos de uma função Contínua f num Intervalo fechado a ( x ( b.
1º Passo: Encontre os números críticos de f no intervalo a ( x ( b (ou seja, f´(x) = 0)
2º Passo: Calcule f(x) em cada um dos números críticos e nas extremidades x = a e x = b.
3º Passo: O maior desses valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
Exemplo 1 Encontre o máximo e o mínimo absoluto de f(x) = 3x4 – 4x³ no intervalo [- 1, 2].
 
Solução Para encontrar os números críticos, derivamos, obtendo
f´(x) = 12x³ – 12x² = 0 Faça f´(x) = 0
12x²(x – 1) = 0 Fatore
 x = 0 e x = 1 Números críticos
	Como f´(x) está definida para todo x, esses são os únicos números críticos de f. Finalmente, calculando f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo, temos que o máximo é f(2) = 16 e que o mínimo é f(1) = - 1.
Exemplo 2 Por várias semanas, o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Verificou-se que num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente v(t) = 2t3 – 21t2 + 60t + 40 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente?
Solução O objetivo é calcular o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função V(t) no intervalo [1, 6]. Da derivada V´(t) = 6t² - 42t + 60 = 6(t – 2).(t – 5), você obtém as coordenadas t dos pontos críticos t = 2 e t = 5, ambas pertencendo ao intervalo [1, 6]. 
	
	Calcule agora V(t) para estes valores de t para as extremidades t = 1 e t = 6, obtendo
V(1) = 81 V(2) = 92 V(5) = 65 V(6) = 76.
	Como o maior destes valores é V(2) = 92 e o menor é V(5) = 65, você pode concluir que o tráfego se move mais rapidamente às 2 horas da tarde, com velocidade de 92km/h, e mais devagar às 5horas da tarde, com velocidade de 65km/h.
6. Derivada Segunda
	Em muitos problemas práticos, procura-se determinar quando a taxa de variação de uma certa quantidade é a maior ou a menor possível. Um fabricante, por exemplo, deseja saber quando o operário estará trabalhando mais eficientemente, ou seja, quando a produção deste operário será a maior possível. O Serviço de Trânsito deseja determinar quando o tráfego numa certa estrada é o mais intenso possível. Um economista deseja predizer o pico da taxa de inflação.
	Para determinar quando a taxa de variação de uma função é a maior ou a menor possível, calcule primeiro a derivada da função para obter sua taxa de variação.
	Feito isto, maximize ou minimize esta taxa, usando as técnicas de otimização aprendidas nos itens anteriores. Para isto, você precisa derivar novamente e trabalharcom a derivada da derivada da função original. Esta derivada da derivada é a derivada segunda da função. 
Eficiência Máxima de um Operário
	Eis uma situação prática que pode ser analisada com a ajuda da derivada segunda. O número de unidades que um operário pode produzir em x horas é usualmente dado por uma função igual a do gráfico.
 Produção Total
�
 nº de horas
	O gráfico mostra que, no início, a taxa de produção é baixa, porém, quando o operário se acostuma à rotina, a taxa aumenta, chegando a um tempo de eficiência máxima, após o qual a fadiga faz com que a taxa de produção decresça.
	O momento de eficiência máxima (às vezes chamado de ponto de retornos reduzidos) é o tempo no qual é maior a taxa de produção do operário. Em termos geométricos, é o ponto no qual a curva da função de unidades produzidas é mais “íngreme”. O próximo exemplo mostra como calcular o ponto máximo de eficiência usando a derivada segunda.
Exemplo Um estudo da eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = - t³ + 9t² + 12t unidades t horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha mais eficientemente?
Solução
	A taxa de produção do operário é a derivada
R(t) = Q’(t) = - 3t² + 18t +12.
	Supondo que o turno da manhã seja de 8 horas ao meio-dia, o objetivo é maximizar a função R(t) no intervalo 0 ( t ( 4. A derivada de R é 
R’(t) = Q’’(t) = - 6t +18,
que é nula, quando t = 3. Comparando
R(0) = 12 R(3) = 39 R(4) = 36
você pode concluir que a taxa de produção será maior e que o operário trabalhará mais eficientemente quando t = 3, ou seja, às 11 horas. 
Fig. 6.0 Curva de produção e média de produção correspondente
	O gráfico do número de unidades produzidas Q(t) e de sua derivada, a média de produção R(t), está ilustrado na Fig. 6.0. Note que a curva de produção é mais íngreme quando t = 3.
6.1 Concavidade
	O ponto de retornos reduzidos da curva de produção da Fig. 6.0 (a) ocorre quando t = 3. Antes deste ponto, a taxa de produção do operário é crescente e após este ponto, decrescente. Em termos geométricos, o sentido da curva de produção é contrário ao movimento dos ponteiros do relógio, em t < 3, e a favor, em t > 3. Usam-se as seguintes noções de concavidade para descrever o sentido da curva.
	
		6.1.1 Definição de Concavidade
	Uma curva é dita ter concavidade para baixo (côncava), quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para direita.
	Uma curva é dita ter concavidade para cima (convexa), quando sua tangente se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para direita.
	A curva da Fig. 6.1, por exemplo, tem concavidade para cima, quando x < a e concavidade para baixo, quando x > a.
 Concavidade 
				 para Baixo
 
 
				 Concavidade 
				 para Cima
Fig. 6.1 Concavidades
	Quando a curva tem concavidade para cima (Fig. 6.2a), o coeficiente angular de sua tangente cresce, quando x aumenta de valor. Quando a curva tem concavidade para baixo (como na Fig. 6.2b), o coeficiente angular decresce, quando x aumenta de valor.
Fig. 6.2 Concavidades e coeficiente angular da tangente
6.1.2 Sinal da Derivada Segunda
	A relação entre concavidades e coeficiente angular da tangente determina uma caracterização simples de concavidades em termos de sinal da derivada segunda.
	Suponha que a derivada segunda f´´ seja positiva num intervalo. Logo, a derivada primeira f´ é crescente no intervalo. Mas f´ é o coeficiente angular da tangente, portanto, é crescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo. Por outro lado, se f´´ é negativa no intervalo, então, f´ é decrescente. Logo, o coeficiente angular da tangente é decrescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para baixo no intervalo.
6.1.2.1 Significado Geométrico do Sinal da Derivada
	Se f´´(x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é convexo em I.
	Se f´´(x) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo em I.
Exemplo Determine os intervalos abertos nos quais o gráfico de f(x) = 6.(x² + 3) - 1 é côncavo (f´´(x) < 0) ou (f´´(x) > 0) convexo .
Solução Observe em primeiro lugar, que f é contínua em toda a reta real. A segunda derivada de f é
f´(x) = (-6).(2x).(x² + 3) - 1 = -12x.(x² + 3) - 2 .
.
	Como f´´(x) = 0 em x = (1 e f´´ está definida em toda a reta, os intervalos para teste são (-(, -1), (-1, 1) e (1, (). A tabela a seguir apresenta os resultados do teste.
	Intervalo
	- ( < x < - 1
	- 1 < x < 1
	1 < x < (
	Valor para teste
	x = - 2
	x = 0
	x = 2
	Sinal de f´´(x)
	f´´(- 2) > 0
	f´´(0) < 0
	f´´(2) > 0
	Conclusão
	Convexa
	Côncava
	Convexa
6.2 Pontos de Inflexão
Na Fig. 6.1 possui um ponto x = a onde a concavidade muda. Um ponto deste tipo é chamado um ponto de inflexão. 
6.2.1 Definição de Pontos de Inflexão
Seja f uma função cujo gráfico tem reta tangente no ponto (c, f(c)). O ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão se o gráfico muda de concavidade neste ponto.
NOTA: Seja (c, f(c)) um ponto de inflexão. Então, ou f´´(c) = 0, ou f´´não está definida em x = c.
Exemplo Determine os pontos de inflexão é discuta a concavidade do gráfico de f(x) = x4 – 4x³. 
Solução Diferenciando duas vezes, temos
f´(x) = 4x³ - 12x²
 f´´(x) = 12x² - 24x = 12x(x – 2). 
	Os possíveis pontos de inflexão estão localizados em x = 0 e x = 2. Efetuando testes nos intervalos por eles determinados, concluímos que ambos são pontos de inflexão. A tabela a seguir, mostra o resumo dos testes.
	Intervalo
	- ( < x < 0
	0 < x < 2
	2 < x < (
	Valor para teste
	x = - 1
	x = 1
	x = 3
	Sinal de f´´(x)
	f´´(- 1) > 0
	f´´(1) < 0
	f´´(3) > 0
	Conclusão
	Convexa
	Côncava
	Convexa
	
6.3 Teste da Derivada Segunda
	Eis um teste simples, envolvendo o sinal da derivada segunda, que auxiliará você na classificação dos pontos críticos de primeira ordem.
	Seja f uma função tal que f´(c) = 0 e cuja derivada segunda existe em um intervalo aberto contendo c.
Se f´´(c) > 0, então c é um mínimo relativo.
Se f´´(c) < 0, então c é um máximo relativo.
Se f´´(c) = 0, nada se pode afirmar.
A Fig. 6.3(a) mostra como, num máximo relativo, f possui concavidade para baixo; logo f´´(c) ( 0.
A Fig. 6.3 (b) mostra como, num mínimo relativo, f possui concavidade para cima; logo f´´(c) ( 0. As Figs. 6.3 (c) e 6.3 (d) mostram que, se em algum ponto f´(c) = 0 não for um extremo relativo, será, então, um ponto de inflexão. Neste caso, se f´´(c) for definida, então, será nula. Segue-se que, se f´(c) = 0 e f´´(c) < 0, o ponto crítico correspondente será um máximo relativo, enquanto que, f´(c) = 0 e f´´(c) > 0, o ponto crítico correspondente será um mínimo relativo. 
Fig. 6.3 Comportamento da curva do gráfico, quando a derivada primeira é nula.
Exemplo Use o teste da derivada segunda para calcular o máximo e o mínimo relativos da função f(x) = 2x³ + 3x² - 12x – 7.
Solução Como a derivada
f´(x) = 6x² + 6x – 12 = 6(x – 1)(x + 2)
é nula em x = - 2 e x = 1, os pontos correspondentes (- 2, 13) e (1, - 14) são pontos críticos de primeira ordem de f. Para testar estes pontos, calcule a derivada segunda
f´´(x) = 12x + 6
e calcule seu valor, para x = - 2 e x = 1. Como
f´´(- 2) = -18 < 0,
segue-se que (- 2, 13) é um máximo relativo, e como 
f´´(1) = 18 > 0,
segue-seque (1, - 14) é um mínimo relativo.
Exercícios
1. Determine onde a função dada é crescente e onde é decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o gráfico correspondente.
(a) f(x) = x3 + 3x2 + 1 (b) f(x) = 
2. Determinar as dimensões de um retângulo de área máxima, a ser construído com arame de 100 cm de comprimento. (Resp. l = 25 cm)
3. Uma empresa tem acompanhado a resposta do mercado para diversas quantidades oferecidas de um produto, e chegou à conclusão de que o preço evolui com a quantidade oferecida, segundo o modelo: p = 100 – 0,2q, 200 ( q ( 300. Que quantidade deverá ser oferecida ao mercado para que a receita seja máxima? (Resp. q = 250)
Obs: Receita = preço x quantidade de produtos, ou seja R = p.q)
4. Uma empresa tem acompanhado o custo devido à produção e à comercialização de q unidades de seu produto e conclui que seu modelo que descreve aproximadamente o comportamento do custo em função da quantidade produzida é de C(q) = q³ - 2.650q + 1.000 para 0 < q < 45 unidades. Se a empresa vende a unidade de seu produto a R$ 50,00, qual é a quantidade que deve ser comercializada para ter lucro máximo? (Resp. q = 30).
5. Um dos parâmetros de custo em uma empresa é o custo médio por unidade produzida. Um objetivo a ser perseguido é encontrar a quantidade a ser produzida dentro de determinadas condições, de tal forma que o custo médio de produção (
) seja o menor possível.
	Suponha que o custo de produção de um bem em uma empresa possa ser descrito pela equação C(q) = q² - 50q + 2.500, 40 < q < 80. Calcule a quantidade q a ser produzida para que o custo médio de produção seja mínimo.(Resp. q = 50)
6. Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existentes) da função dada no intervalo especificado.
(a) f(x) = x2 + 4x + 5 ; [-3, 1] (b) f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7; [-3, 0]
7. Determine onde a função dada é crescente, decrescente, onde tem concavidade para cima e para baixo. Calcule os extremos relativos e os pontos de inflexão; construa o gráfico correspondente.
(a) f(x) = 
x3 – 9x + 2 (b) f(x) = x4 - 4x3 + 10
INTEGRAÇÃO
	Sabemos que, dada uma função f(x) = 3x2, ao derivarmos f(x) obtemos f’(x) = 6x.
 Digamos que temos f’(x) = 6x, podemos afirmar que f(x) = 3x2 pois 
(3x2) = 6x; a este processo damos o nome de ANTIDERIVAÇÃO, ou seja, o processo que determina a função original (Primitiva) a partir de sua derivada.
 
	 “Vamos utilizar a notação F(x) como antiderivada de f(x)“.
OBS: Seja F(x) uma antiderivada de f(x), então F(x) + C também o é, onde C é uma Constante de Integração, por exemplo:
 
 F(x) = x4, G(x) = x4 + 3, H(x) = x4 – 5 são antiderivadas de 4x3, pois a derivada de cada uma delas é 4x3. Logo, todas as antiderivadas de 4x3 são da forma x4 + C. Daí o processo de antiderivação nos dar uma família de funções que se diferenciam pela constante. 
NOTAÇÕES: 
 
 O processo de antiderivação é a operação inversa da derivação e é também chamada de INTEGRAÇÃO e indicamos pelo símbolo 
 ( Integral Indefinida ), como tal indica uma família de antiderivadas de f(x), temos :
 
 
● Lembrando que F(x) é uma função tal que F’(x) = f(x) e C uma constante arbitrária, 
símbolo de integral, dx diferencial, f(x) integrando.
Exemplos :
 
 
 
Cálculo de Antiderivadas (Integrais)
● 
 A diferenciação é o inverso da integração.
● 
 A integração é o inverso da diferenciação.
Fórmulas fundamentais de Integração
 a ) 
com k : cte. ( Regra da Constante )
 b ) 
 ( Regra do Múltiplo constante )
 c ) 
 ( Regra da Soma )
 d ) 
 ( Regra da Diferença )
 e ) 
 com n 
-1 ( Regra Simples da Potência )
 Obs. : 
 com x > 0.
Exemplos :
 Acompanhe os passos básicos para uma “ boa “ integração :
1 ) 
.
	 x = x1 e Simplificando
2 ) 
.
3 ) 
.
OBS.: Para verificarmos se o resultado está correto, basta deriva-lo e “tentar “ obter o “Integrando“.
Exercícios:
Resolva as Integrais :
1 ) 
 2 ) 
 3 ) 
 
4 ) 
 5 ) 
 6 ) 
 
7 ) 
 8) 
9) 
 10) 
11) O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem como modelo a seguinte equação 
 ( Custo Marginal ). A produção da primeira unidade custa $ 50. Ache o Custo Total da produção de 200 unidades.
12) Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal 
 com custo de $ 750 para x = 0.
13) Uma indústria fez uma análise de suas instalações de produção e de seu pessoal. Com o atual equipamento e número de trabalhadores, a indústria pode produzir 3000 unidades por dia. Estima-se que sem qualquer mudança nas instalações a taxa de variação do número de unidades produzidas por dia em relação à variação no número de trabalhadores adicionais é 80 – 6x1/2, onde x é o número de trabalhadores adicionais. Encontre a produção diária, caso se admita mais 25 trabalhadores. 
14) Depois de uma experiência, um certo fabricante determinou que se produzissem x unidades de um determinado produto por semana;o custo marginal seria dado por 0,3x – 11 onde o custo de produção é em reais. Se o preço de venda do produto é fixado em R$ 19,00 por unidade, e o custo fixo por semana é R$ 100,00, encontre o lucro semanal máximo que pode ser obtido.
15) Ache a equação da função f(x) cujo gráfico passa pelo ponto P ( 4, 2 ) e possui derivada f’(x) = 
.
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 6.2)
Método da Substituição ou Mudança de Variável para integração
Muitas vezes a simples identificação das funções permite fazer a substituição mentalmente; na mudança de variável, no entanto, escrevemos os cálculos intermediários.
O papel da substituição na integração é comparável ao da Regra da Cadeia na diferenciação. Lembre-se de que, se y = F(u) e u = g(x) são funções diferenciáveis, a Regra da Cadeia diz que
Da nossa definição de antiderivada, segue que
Enunciamos esse resultado no teorema abaixo.
Teorema: (Antiderivada de uma Função Composta) Sejam f e g funções tais que fog e g’ são contínuas em um intervalo I. De F é uma antiderivada de f em I, então
	Existem diversas técnicas para aplicar a substituição, cada uma ligeiramente diferente da outra. O objetivo, no entanto, é o mesmo com qualquer técnica – estamos tentando encontrar uma antiderivada do integrando.
	Observe que o teorema não diz como distinguir entre f(g(x)) e g’(x) no integrando. À medida que você adquire experiência em integração, sua habilidade em identificar as funções aumenta. É claro que familiaridade com derivadas é fundamental.
	Os Exemplos a seguir mostram como aplicar o teorema diretamente, reconhecendo a presença de f(g(x)) e de g’(x) da função interna da composição.
OBS: Se u = g(x), escrevemos du = g’(x) dx e a integral no teorema fica na forma
 Por exemplo ... Sabemos que a Regra Simples da Potência é dada por 
 com n 
-1, usada quando a função é expressa como potência de x somente.
 Vejamos outros tipos de funções:
 Para calcular 
 temos que encontrar f(x) tal que f’(x) = 2x.( x2 + 1 )3, daí :
◙ 
 ( Regra da Cadeia ).◙ 
 ( Dividir ambos os membros por 4 ).
◙ 
 ( Integrando ).
 Note 2x no integrando ele é exatamente ( x2 + 1 )’ .
 Fazendo x2 + 1 = u, temos du = 2x dx, logo :
	
.
 ◙ Daí a Regra Geral da Potência para u função diferenciável de x ser ...
 
 , com n 
- 1 .
Exemplos : Calcule as seguintes integrais indefinidas :
a ) 
.
 b)
�� EMBED Equation.3 
 c) 
d)
 
Exercícios : Calcule as seguintes integrais indefinidas :
	1 ) 
	2 ) 
	3 ) 
	4 ) 
	5 ) 
	6) 
	7) 
	8) 
	9) 
	10) 
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 6.4) 
Método Integração por Partes
 Tomando como ponto de partida a Derivação pela Regra do Produto temos ...
● 
 ( Regra do Produto )
● 
 ( Integrando ambos os lados )
● 
 ( Reescrevendo a expressão )
● 
 ( Escrevendo na forma diferencial )
Daí temos ...
 
 
 
 Integração por Partes com u e v funções diferenciáveis de x.
Ao aplicarmos esta técnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta duas diretrizes :
 1 ) A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrável.
 2 ) 
 deve ser mais simples do que 
.
Exemplos:
1 ) Determine 
 .
Resolução:	 a ) u = senx ; dv = xdx
 Temos basicamente três “ saídas “ : b ) u = x.senx ; dv = dx
 
 c ) u = x ; dv = senx dx 
● Na saída a obtemos du = cosx dx e v = 
 = 
dv = 
xdx , logo temos :
 
, a nova integral que é mais complicada do que a original.
 du = senx + x.cosxdx
● Em b temos :	logo, 
.
 v = 
dv = 
dx = x
 Tentemos pois a “ saída “ c ...
● Em c temos :
 du = 1dx 
 logo, 
 
 v = 
dv = 
senx dx = - cosx, 
	
Lembrando ... 
 	.	
2 ) Idem para 
.
 u = x2 
 du = 2xdx
Resolução:	
 dv = exdx 
 v = ex
Portanto:
 
 
 .
 u = x 
 du = dx
* 
 
 Daí ...
 dv = exdx 
 v = ex
Exercícios : Calcule as seguintes integrais indefinidas :
	1 ) 
	2 ) 
	3 ) 
	4 ) 
	5 ) 
	6) 
	7) 
	8) 
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 6.6)
Áreas e Integral Definida
 Podemos determinar a área de regiões simples como polígonos e círculos usando fórmulas geométricas conhecidas.
 E para as demais regiões, como podemos calcular?
 A saída é utilizarmos o conceito de Integral Definida, que nada mais é do que a área da região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b onde a notação é:
 a = Limite inferior de integração. 
 , com 	 	
 b = Limite superior de integração.
Veja o gráfico. . .
	y
	
 A
	x
	a	b
Exemplo :
 Calcule a área da figura formada sob a curva da função f(x) = 3x no intervalo x 
 [ 0, 3 ] .
Resolução :
	y
 
 9
 
 A = 13,5 u.a . 
 A
	 x
 3 
Neste exemplo, não utilizamos o conceito de integral, pois a área era um triângulo, portanto
.
 Veja o desenvolvimento a seguir . . . 
	 y = f(x)
 y
	Região sob o gráfico de f .
 A
 
 0 a b x
Vamos tentar preencher esta área com retângulos ...
	y = f(x)
	 
	y
	
 A
 
 0 x0 x1 x2 ............... ................................. xn x
 
	
 a b
 Temos um polígono não regular, que “quase” preenche a área A, formado por retângulos de base 
 e altura f(xi), portanto Aretângulo = f(xi).
.
 
 Note que quanto menor 
, maior o número de retângulos ( n ) e mais próximo da área sob a curva vai estar a área do polígono, logo quando 
, temos n 
 e Apolig. 
 A .
 
 Daí, vamos expandir o conceito de Integral Definida para ...
 
 .
 Ou seja, a área sob a curva é a somatória das áreas dos retângulos de área f(xi).
, quando 
 e n ( nº de retângulos ) 
.
Teorema Fundamental do Cálculo
 Seja f uma função contínua em [ a, b ] e A(x) a área compreendida entre a e x, temos :
	y
	
 A(x)
	x
	a	x b
 
 ( x +
)
Temos: f(x) = A’(x) (Def. pelo limite) --- f(x) é derivada da integral A(x) .
 
 A(x) = F(x) + C (Def. de Integral).
 
 F’(x) = f(x) (Derivada da Integral).
 
 
 A(a) = 0 , portanto 0 = F(a) + C 
 C = -F(a) .
 
	Daí , A(x) = F(x) + C 
 A(x) = F(x) – F(a) .
	Logo A(b) = F(b) – F(a) , portanto temos ... 
 
 Teorema Fundamental do Cálculo
 Notação mais comum...
 Com F a integral de f(x).
Propriedades das Integrais Definidas
1 ) 
 ; k : cte. 
2 ) 
.
3 ) 
 ; a < c < b .
4 ) 
 .
5 ) 
Exemplos:
1 ) 
 = 1
2 ) 
 
3) 
 45. 
Exercícios : Calcule as seguintes integrais definidas :
	1 ) 
	2 ) 
 
	3 ) 
	4 ) 
	5) 
 onde f(x) = 
	6) 
 
	7)
 onde f(x) = 
 
	
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (Seção 6.10) 
Cálculo de área usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Caso I - Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x) ( 0, (x ( [a,b].
	y
	
 A
	x
	a b
	Neste caso, a área é dada por
A = 
 
Exemplo : Calcule a área sob a curva y = x2, no intervalo [ 2, 3 ] .
	y
	y = x2
 
 	
	 
 	x
	 0 2 3
Caso II - Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e oeixo dos x, onde f é contínua e f(x) ( 0, (x ( [a,b].
	É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral 
, ou seja, 
 A = 
 
 y
 a b x
 A
 
 y = f(x)
Exemplo : Encontre a área limitada pela curva y = x2 - 4x, o eixo x, e as retas x = 1 e x = 3.
 y
	
 0 1 3 y = x2 - 4x 
 
 A
	
 
 A = 
 u.a
Caso III - Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a, x = b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x) ( g(x), (x ( [a,b].
	Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos para todo x ( [a,b].
 y
 y = f(x)
 
 A y = g(x) 
 
 a b x
 
	Então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, ou ainda,
Exemplo : Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x² – 1 e y = x + 1.
 y y = x + 1 
	
 y = x2 – 1 As curvas interceptam-se nos pontos de abscissa – 1 e 2.
 
 
 A
 x
	No intervalo [-1, 2], x + 1 ( x² - 1. Logo,
 
 
 A = 
 u.a
Exercícios
1) Encontre a área da região limitada pela curva y = x³ - 2x² - 5x + 6, o eixo dos x e as retas x = -1 e x = 2. (Resp. 157/12 ua)
2) Encontre a área da região limitada pela parábola y² = 2x – 2 e a reta y = x – 5. (Resp. 18 ua)
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x² e y = - x² + 4x. (Resp. 8/3 ua)
4) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x³ - 6x² + 8x e y = x² - 4x. (Resp. 71/6 ua)
5) Encontre a área da região limitada pelas curvas y - x = 6 e y – x³ = 0 e 2y + x = 0. (Resp. 22 ua)
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PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 6.12)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Integração de Funções Trigonométricas
 ■ Comecemos com uma pequena tabela de Integrais Trigonométricas ...
 ● 
	 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
	 ● 
 ● 
	 ● 
 ■ Recordando algumas das principais Identidades Trigonométricas ...
 ● 
 	 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
 ● 
1º Caso – As integrais 
 e 
, 
 e 
, 
 e 
.
	As integrais indefinidas dessas funções estão indicadas na tabela.
Exemplos 
◙ Achar as integrais indefinidas :
1 ) 
 = 
2 ) 
 = 
3 ) 
 
 
4 ) 
 
 
2º Caso – As integrais 
 e 
.
	Nestas integrais, podemos usar artifícios de cálculo com auxílio das identidades trigonométricas (ou usar as Fórmulas de Recorrência)
(1) 
(2) 
 
(3) 
 
visando a aplicação do método da substituição. Os exemplos que seguem ilustram os dois possíveis casos: n é um número ímpar ou n é um número par.
	Estas integrais também podem ser resolvidas com auxílio das fórmulas de redução ou recorrência.
Exemplos 
◙ Achar as integrais indefinidas :
1) 
.
( Usando o método da substituição
Vamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifício que usaremos é válido sempre que n for um número ímpar.
	Fatorando convenientemente o integrando e aplicando a identidade (1), temos:
cos5 x = (cos²x)².cosx
 = (1 – sen²x)² .cosx
 
 = (1 – 2sen²x + sen4 x) . cosx
 = cosx – 2sen²x.cosx + sen4 x.cosx.
Portanto,
�� EMBED Equation.3 
 
 
 
.
 ( 
( Usando fórmulas de redução ou recorrência.
 
 
 
 
 
 
2) 
.
( Usando o método da substituição
Neste exemplo n é um número par. Na preparação do integrando, usamos agora as identidades (2) e (3). Temos:
sen4 x = (sen²x)² 
 
 
 
 
Portanto,
�� EMBED Equation.3 
 
 ( 
 
( Usando fórmulas de redução ou recorrência.
 
 
	
3º Caso – A integral 
, onde m e n são inteiros positivos.
	Nestas integrais, a preparação do integrando deve ser feita visando à aplicação do método da substituição.
	Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade (1) e quando os dois expoentes são pares usamos (2) e (3) e eventualmente, também (1).
Exemplos 
◙ Achar as integrais indefinidas :
1) 
 
 
 
 (
�� EMBED Equation.3 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
�� EMBED Equation.3 
OBS: Quando m = n usamos a identidade 
. (4) 
4º Caso – As integrais 
, 
, 
 e 
 onde n é inteiro positivo.
	Na preparação do integrando, usamos as identidades:
 ou 
 
 ou 
.
	Os artifícios são semelhantes aos usados nos casos anteriores. Temos,
 
 
e
.
Exemplo 
◙ Achar a integral indefinida:
( Usando o método da substituição
 
( 	
OBS: Lembrando que pode ser resolvida usando as fórmulas de redução ou recorrência.
5º Caso – As integrais 
 e 
, onde m e n são inteiros positivos.
	Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar o método da substituição.
	Quando m for par e n for ímpar a integral deve ser resolvida por integração por partes. 
Exemplos 
◙ Achar as integrais indefinidas:( Usando o método da substituição (m ímpar e n par)
1) 
 
 
 ( 
( Usando o método de integração por partes (m par e n ímpar) ou fórmulas de recorrência
2) 
 
 
 
.
OBS: Numa situação como essa, aplica-se recorrência na maior integral (
), conservando a menor integral (
), para que no final, possa ser subtraída e aplicar novamente a recorrência, caso seja necessário.
Exercícios :
1 ) 
 2 ) 
 3) 
4) 
 5 ) 
	 6 ) 
7 ) 
	 8 ) 
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 7.4 – 1ª parte)
Método Substituições Trigonométricas
 Vamos estudar agora integrais que apresentem as formas
, 
e 
.
 
 Podemos expressá-las sem os radicais, utilizando a chamada Substituição Trigonométrica conforme a tabela:
	
Caso
	
Radical
	
Subst. Trigonométrica
	
Transformada
	Trigonometria no Triângulo Retângulo
	
I
	
	
	
	
	
II
	
	
	
	
	
III
	
	
	
	
Demonstraremos o desenvolvimento do radical 
, os demais casos são análogos ... 
( 
 
 
Obs. : Repare que a variável final é 
. A expressão correspondente, na variável original, é
 obtida usando-se um triângulo retângulo.
Exemplos :	
1 ) Achar a integral 
 
 
 
 
 
 ...
 
= 
.
● Devemos agora voltar à variável original “ x “ ...
 Como 
 logo 	x
 	 
 	 2	
Daí , 
,
Portanto , 
.
2 ) Achar a integral 
 
�� EMBED Equation.3 
 
 
.
 
● Voltando para a variável original “ x “ ...
 
 Como 
 logo 		x
 	 
 	 	
Daí , 
,
Portanto , 
.
3 ) 
Achar a integral 
 
 
 
 
 
* Por Partes 
 
		
 ...
 		... 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
 Portanto,
 
 
 
	 
	 
 
 
 
 
OBS: Podemos resolver essa integral, usando as fórmulas de recorrência.
Voltando para 
 
 
	 
�� EMBED Equation.3 .
		
 
● Voltando para a variável original “ x “ ...
	Como 
, 
	Logo temos ...
 x
 
 
Daí,
Portanto, 
 .
Exercícios:
◙ Achar as integrais:
 1 ) 
 2 ) 
 3 ) 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 7.4 – 2ª parte)
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
Seja f(x) uma função racional do tipo 
, onde p(x) e q(x) são funções polinomiais.
1º Caso: Os fatores de q(x) são lineares e distintos, ou seja:
q(x) = (x – a1) . (x – a2) ... (x – an) , onde os a j são distintos.
	A decomposição da função racional 
 em frações mais simples é dada por
,
onde A1 , A2 , ... , An são constantes que devem ser determinadas.
Exemplo Calcular I = 
.
Solução: Fatoramos o denominador e temos
 
	Assim, escrevemos
 (1) 
A equação acima é uma identidade para todo x (exceto x = 0, 2, - 1). De (1) obtemos
 x – 1 = A1(x – 2).(x + 1) + A2 x. (x + 1) + A3 x. (x – 2) (2) 
 
	A equação (2) é uma identidade verdadeira para todos os valores de x, incluindo 0, 2, - 1. Queremos encontrar as constantes de A1, A2 e A3 . Substituindo x por 0 em (2) obtemos
- 1 = - 2 A1 ou A1 = 1/2.
	Substituindo x por 2 em (2) obtemos
 1 = 6 A2 ou A2 = 1/6.
	Substituindo x por - 1 em (2) obtemos
 - 2 = 3 A3 ou A3 = - 2/3.
	Existe outro método para encontrar os valores de A1, A2 e A3 . Se no membro direito de (2) combinarmos termos, temos
x – 1 = (A1 + A2 + A3 ) x² + (- A1 + A2 - 2A3 ) x - 2 A1 (3)
	Para (3) ser uma identidade, os coeficientes da esquerda devem se igualar aos coeficientes correspondentes da direita. Portanto,
A1 + A2 + A3 = 0
- A1 + A2 - 2A3 = 1
- 2 A1 = - 1 
	Resolvendo estas equações simultaneamente, obtemos A1 = 1/2, A2 = 1/6 e A3 = -2/3. Substituindo estes valores em (1), temos
Assim, nossa integral pode ser expressa como segue:
 
 
.
2º Caso: Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem. Se um fator linear (x – ai) de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma:
,
onde B1 , B2 , ... , Br são constantes a determinar.
Exemplo Calcular I = 
.
Solução : A fração do integrando é escrita como uma soma de frações parciais como segue:
 
 (4) 
A identidade acima é válida para todo x (exceto x = 0, 2). Achando o mmc de ambos os membros de (4) obtemos
x³ – 1 = B1(x – 2)³ + B2 x. (x - 2)³ + B3 x2 + B4 x2 (x – 2) + B5 x² (x – 2)² 
ou
 
x³ – 1 = B1(x³ - 6x² + 12x – 8) + B2 x. (x³ - 6x² + 12x - 8) + B3 x² + B4 x³ - 2B4 x² + 
 B5 x² (x² – 4x + 4)
ou
x³– 1 = (B2 + B5).x4 + (B1 – 6B2 + B4 - 4 B5).x3 + (- 6B1 + 12B2 + B3 – 2B4 + 4 B5).x2 + 
 (12B1 - 8B2).x – 8 B1. 
	Igualando os coeficientes das potências iguais de x, obtemos
 B2 + B5 = 0
B1 – 6B2 + B4 - 4 B5 = 1
- 6B1 + 12B2 + B3 – 2B4 + 4 B5 = 0
12B1 – 8B2 = 0
– 8 B1 = -1 
	Resolvendo, obtemos B1 = 1/8, B2 = 3/16, B3 = 7/4, B4 = 5/4 e B5 = - 3/16.
	Substituindo estes valores em (4), temos:
Assim, nossa integral pode ser expressa como segue:
 
 
.
3º Caso: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem.
A cada fator quadrático x² + bx + c de q(x), corresponderá uma fração parcial da forma:
Exemplo Calcular I = 
.
Solução : A fração no integrando é escrita como uma soma de frações parciais como segue:
 (5) 
A identidade acima é válida para todo x (exceto x = 1). Achando o mmc de ambos os membros de (5) obtemos
x² - 2x – 3 = (Ax + B).(x – 1) + C(x² +2x +2) 
ou 
x² - 2x – 3 = (A + C).x² + (B – A + 2C).x + (2C - B) 
ou
	Igualando os coeficientes das potências iguais de x, temos
A + C = 1
B – A + 2C = - 2
2C – B = -3 
	Resolvendo, obtemos A = 9/5, B = 7/5 e C = - 4/5.
	Substituindo estes valores em (5), obtemos:
	Assim,nossa integral pode ser expressa como segue:
Ao integrar 
 vemos que o diferencial do denominador é 2.(x + 1) dx. Assim, adicionamos e subtraímos 1 no numerador, resultando desta forma. 
.
	Logo temos
 
 
 
.
4º Caso: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem.
A cada fator quadrático x² + bx + c de q(x) tem multiplicidade s, a esse fator corresponderá uma soma de frações parcial da forma:
.
Exemplo Calcular I = 
.
Solução : O integrando pode ser escrito na forma
 (6) 
	A identidade acima é válida para todo x (exceto x = 0). Achando o mmc de ambos os membros de (6) obtemos
x + 1 = A.(x² + 2x + 3)² +x.(Bx + C) + x.( x² + 2x + 3).(Dx + E) 
 = (A + D) x4 + (4A + 2D + E).x³ + (10A + B + 3D + 2E).x² + (12A + C + 3E).x + 9A.
Igualando os coeficientes das potências iguais de x, temos:
A + D = 0
4A + 2D + E = 0
10A + B + 3D + 2E = 0
12A + C + 3E = 1 
9A = 1.
	Resolvendo o sistema, obtemos A = 1/9, B = -1/3, C = 1/3, D = -1/9 e E = -2/9.
	Substituindo estes valores em (6), obtemos:
Portanto,
 
 
,
onde 
	
	Para resolver a integral I2, completamos o quadrado do denominador e fazemos uma substituição conveniente. Temos,
	Fazendo a substituição u = x + 1 e du = dx, vem:
 
 
 
.
	Uma integral como I1 não foi vista anteriormente. Para calculá-la, inicialmente, completamos o quadrado do denominador e fazemos a mesma substituição que fizemos para calcular I2. Temos,
 
 
 (onde u = x + 1)
 
 (usando recorrência)
 
 
 
.
	
Substituindo os resultados obtidos para I1 e I2 na integral inicial, obtemos:
+
 
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 7.6)
Eficiência
Máxima
� EMBED Equation.3 ���
0
A
y = f(x)
0
* Apesar do gráfico não demonstrar, (devido a problemas técnicos) todos os retângulos tocam a curva f(x) em um ou dois pontos. E nunca a ultrapassam.
0
A
y = f(x)
� EMBED Equation.3 ���
0
A
y = f(x)
 A
 A = � EMBED Equation.3 ���
A = � EMBED Equation.3 ��� u.a 
� EMBED Equation.3 ���
II
� EMBED Equation.3 ���
 .
� EMBED Equation.3 ���
I
III
*
* 
2
� EMBED Equation.3 ���
 .
� EMBED Equation.3 ���
Ver início do exercício:
� EMBED Equation.3 ���
Mínimo 
relativos
 Mínimo 
 relativos
 Máximo 
 relativos
 Decrescente
 
Crescente
 Decrescente
 Crescente
Máximo
 Absoluto
Concavidade
para baixo
 Coef. Angular Nulo
 Coef. Angular Nulo
Coeficiente Angular
Positivo
Coeficiente Angular
Positivo
Coeficiente Angular
Negativo
Coeficiente Angular
Negativo
Máximo Relativo (a)
Mínimo Relativo (b)
Ponto de Inflexão (c)
Ponto de Inflexão (d)
4
 .
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Prof. Rubens A. M. Machado
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