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2a Lista de Geometria Anal´ıtica Profa E´rica Resende Malaspina - e-mail: ermalaspina@gmail.com 1. Determine a distaˆncia entre os seguintes pontos: (a) P (0, 0) e Q(7, 0); Resp.: 7 (b) P (7, 2) e Q(4, 2); Resp.: 3 (c) P (3, 1) e Q(3, 6); Resp.: 5 (d) P (−3, 5) e Q(1,−6). Resp.: √137 2. Verifique se os pontos dados sa˜o colineares: (a) A(1, 2), B(3, 6) e C(4, 8); Resp.: Sim (b) A(3, 0), B(2, 5) e C(4, 6); Resp.: Na˜o 3. Determine a ordenada do ponto P (2, y) sabendo-se que ele esta´ em alinhamento com os pontos A(4, 8) e B(0, 0). Resp.: y = 4 4. Determine a equac¸a˜o que representa os pontos A(x, y), B(2, 4) e C(1, 0) em alinhamento. Resp.: 4x− y − 4 = 0 5. Prove que o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(2, 2), B(−4,−6) e C(4,−12) e´ retaˆngulo. 6. Mostre que A(a,−3a), B(a + 3,−3a − 1) e C(a + 5,−3a − 2) na˜o sa˜o colineares para todo valor real de a. Resp.: Basta mostrar que o determinante da matriz formada pelos pontos e´ diferente de zero para todo valor de a; neste caso tal determinante vale −1. 7. Dados os pontos A(1, 2), B(2,−2) e C(4, 3), obtenha a equac¸a˜o da reta na forma reduzida que passa por A e pelo ponto me´dio do segmento −−→ BC. Resp.: y = −3 4 x+ 11 4 8. A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(2, 5). Encontre a relac¸a˜o entre a e b? Resp.: 5a+ 2b− ab = 0 9. Para quais valores de a ∈ R a intersec¸a˜o da reta r : y = a(x+ 2) com a reta s : y = −x+ 2 se da´ no 1o quadrante? Resp.: a ∈]0, 1[ 10. Prove que as retas de equac¸o˜es r : 2x + 3y − 1 = 0 e s : 3x + 4y − 1 = 0 sa˜o concorrentes. Encontre o ponto de intersec¸a˜o. Elas sa˜o perpendiculares? 11. Determine o ponto B da bissetriz dos quadrantes pares de tal forma que o ponto me´dio do segmento −→ AB pertenc¸a a` reta r, sendo A(5, 4) e r : 2x− y + 3 = 0. Resp.: B(−4, 4) 12. Determine o ponto B da reta s : x − 2y + 4 = 0 de tal forma que o segmento −→AB intercepte a reta r : 3x − y = 0 no ponto C que o divide na raza˜o 1 2 , sabendo-se que A(−1, 6). Resp.: B(8, 6) 13. Verifique se as seguintes retas, tomadas duas a duas, sa˜o paralelas ou concorrentes: r : 5x−7y+8 = 0, u : −x+2y−1 = 0, s : 5x−7y+3 = 0, v : −3x+y = 0, t : −x+2y+1 = 0 e z : 10x− 14y + 16 = 0 14. Discuta, em func¸a˜o de m, quando as retas r : (m− 1)x + my − 1 = 0 e s : (1−m)x + (m + 1)y+ 1 = 0 sa˜o paralelas e quando sa˜o perpendiculares. Resp.: Paralelas se m = −1 2 ou m = 1 Perpendiculares se m = 1 3 15. Para quais valores de k ∈ R as retas r : (k+ 1)x+ 10y− 1 = 0 e s : 8x+ (k− 1)y+ 1 = 0 sa˜o paralelas? Resp.: −9 ou 9 16. Dada a reta de equac¸a˜o ∣∣∣∣∣∣ x y 1 3 2 −1 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 0 deˆ sua expressa˜o na forma reduzida. Resp.: y = 1 2 x− 1 2 17. Ache as coordenadas do ponto P (x0, y0) de intersec¸a˜o das retas r : { x = 3t+ 1 y = −2t+ 5 , t ∈ R e s : { x = 2u− 2 y = 7 + u , u ∈ R. Resp.: P (−2, 7) 18. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0). Resp.: −1 19. Qual e´ o coeficiente angular da reta 5x+ 3y + 13 = 0? Resp.: −5 3 20. Dados os pontos A(−5,−3), B(−2, 12) e C(4, 6) de um triaˆngulo ABC,Determine o coeficiente angular da reta que conte´m a mediana obtida a partir do ve´rtice A. Resp.: 2 21. Deˆ a equac¸a˜o geral da reta que passa pelo ponto P (2,−5) e tem coeficiente angular −4 5 . Resp.: 4 5 x+ y + 17 5 = 0 22. Determine a equac¸a˜o da reta que passa por P e tem inclinac¸a˜o α em relac¸a˜o ao eixo Ox no sentido positivo nos seguintes casos: (a) P (−2, 4) e α = 45o Resp.: y = x+ 6 (b) P (3,−5) e α = 90o Resp.: x = 3 (c) P (3,−1) e α = 0o Resp.: y = −1 23. A reta y = mx− 5 e´ paralela a` reta 2y = −3x+ 1. Determine m. 24. Determine a equac¸a˜o da reta s na forma parame´trica que conte´m P (−5, 4) e e´ paralela a` reta r : { x = 3t y = 2− 5t Resp.: s : { x = 3t+ 3 y = −5t− 28 3 25. Para cada um dos seguintes pares de retas, classifique-as em retas paralelas ou perpendiculares: (a) r : 2x+ 7y − 3 = 0 e s : −x 7 + −y 2 = 1 2 (b) r : { x = t+ 1 y = 3− 3t e s : −x+ 3y + 9 = 0 (c) r : 2x− 7 = 0 e s : 5y + 2 = 0 (d) r : x = 2 e s : x = −2 5 (e) r : (a+ 1)x+ (a− 1)y = 0 e s : (a− 1)x = (a+ 1)y 26. Determine o ponto Q(x0, y0), sime´trico de P em relac¸a˜o a` reta r nos seguintes casos: (a) P (−3, 2) e r : x+ y − 1 = 0. Resp.: Q(−1, 4) (b) P (−1, 6) e r : 3x− 4y + 2 = 0. Resp.: Q(5,−2) 27. Dados os pontos A(4,−1), B(2,−1) e C(5 +√3,√3), calcule os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC. Resp.: 30o, 15o e 135o 28. Calcule a distaˆncia entre as retas r : 3x+ 4y − 13 = 0 e s : 3x+ 4y + 7 = 0. Resp.: 4 29. Determine as equac¸o˜es das retas que formam 45o com o eixo Ox e esta˜o a` distaˆncia √ 2 do ponto P (3, 4). Resp.: −x+ y + 1 = 0 e −x+ y − 3 = 0 30. Determine as equac¸o˜es das retas perpendiculares a` reta r : 3x + 4y − 1 = 0, as quais esta˜o a` distaˆncia de 4 unidades do ponto P (2, 0). Resp.: −4x+ 3y + 28 e −4x+ 3y − 12 = 0 31. Determine a equac¸a˜o da reta t que intercepta r : 3x− y = 0 em A, s : x+ 5y = 0 em B e que passa pelo ponto me´dio P (3, 1) do segmento −→ AB. Resp.: t : y = −x+ 4 32. Prove que o segmento que liga os pontos me´dios de dois lados do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(0, 0), B(a, b) e C(c, 0) para a, b, c ∈ R, e´ paralelo ao terceiro lado. 33. Mostre que a dista˜ncia da origem do sistema cartesiano a` reta mx + ny + c = 0 e´ dada por D = |c|√ m2 + n2 . 3
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