lista de exercícios, Circunferencia

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3a Lista de Geometria Anal´ıtica
Profa E´rica Resende Malaspina - e-mail: ermalaspina@gmail.com
1. Uma circunfereˆncia de centro no ponto C(2, 0) passa pelo ponto de intersec¸a˜o das retas r :
x+ y − 6 = 0 e s : x− y − 2 = 0. Determine a equac¸a˜o reduzida dessa circunfereˆncia. Resp.:
(x− 2)2 + y2 = 8
2. Encontre a equac¸a˜o geral da circunfereˆncia que passa pela origem e pelos pontos de intersec¸a˜o
da reta r : x
6
+ y
8
= 1 com os eixos Ox e Oy. Resp.: x2 + y2 − 6x− 8y = 0
3. Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia inscrita no triaˆngulo de ve´rtices M(0, 0), N(8, 0) e
P (0, 8). Resp.: (x− 8 + 4√2)2 + (y − 8 + 4√2)2 = (8− 4√2)2
4. A reta r : x + y − 3 = 0 e a circunfereˆncia de centro C(−2, 1) e raio R = √10 sa˜o secantes
nos pontos A e B. Determine a a´rea do triaˆngulo ABC. Resp.: 4
5. Determine os poss´ıveis valores de k ∈ R para que a reta s : x+2y+k = 0 na˜o seja tangente nem
secante a` circunfereˆncia λ : x2 + y2 + 8x− 4y+ 19 = 0. Resp.: k ∈ ]−∞,−√5[ ⋃ ]√5,+∞[
6. A reta r : x− y = 2, intersepta a circunfereˆncia λ : x2 + y2− 8x− 2y+ 12 = 0 nos pontos A e
B. Determine a equac¸a˜o da mediatriz da corda AB e mostre que a mediatriz conte´m o centro
C da circunfeˆreˆncia dada. Resp.: x+ y − 5 = 0
7. Uma circunfereˆncia e´ tangente aos dois eixos Ox, Oy e a` reta y = 6. Determine a equac¸a˜o
dessa circunfereˆncia. Resp.: x2 + y2 + 6x− 6y + 9 = 0 ou x2 + y2 − 6x− 6y + 9 = 0
8. A circunfereˆncia λ : (x− a)2 + (y − 4)2 = a2 esta´ no primeiro quadrante e tangencia tanto o
eixo Oy como a reta s : y = ax. Ache o valor nume´rico do raio R e das coordenadas do centro
C dessa circunfereˆncia. Resp.: R = 4
3
e C(4
3
, 4)
9. Dada a circunfereˆncia λ : x2 + y2 = 1, determine as equac¸o˜es das retas que lhe sa˜o tangentes
e que passam pelo ponto P (2, 0), exterior a` circunfereˆncia. Resp.:
√
3x − 3y − 2√3 = 0 ou√
3x+ 3y − 2√3 = 0
10. Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia λ2 de centro C(0, 5) e tangente exteriormente a` cir-
cunfereˆncia λ1 : (x− 6)2 + (y + 3)2 = 9. Resp.: x2 + (y − 5)2 = 49
11. Seja λ : x2 + y2 = 4 uma circunfereˆncia e s : x+ y− 8 = 0 uma reta. Determine a equac¸a˜o da
reta r perpendicular a` reta s e que passa pelo centro de λ. Resp.: r : y = x
12. Deˆ a posic¸a˜o relativa entre as seguintes circunfereˆncias:
(a) λ1 : x
2 + y2 + 6x− 4y + 12 = 0 e λ2 : x2 + y2 + 6x− 4y + 4 = 0 Resp.: Conceˆntricas
(b) λ1 : x
2 + y2 + 2y − 3 = 0 e λ2 : x2 + (y + 1)2 = 4 Resp.: Coincidentes
(c) λ1 : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 e λ2 : (x − 5)2 + (y + 1)2 = 9 Resp.: Na˜o se interceptam
externamente
(d) λ1 : (x − 6)2 + (y + 10)2 = 196 e λ2 : x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 Resp.: Tangenciam
internamente
13. Determine os valores de k ∈ R, para que a reta r : x− y + k = 0 seja secante a` circunfereˆncia
λ : x2 + y2 − 2x− 6y + 8 = 0 Resp.: k ∈ ]0, 4[
14. Deˆ a posic¸a˜o relativa entre a reta s e a circunfereˆncia λ nos seguintes casos:
(a) s : 3x+ 4y+ 4 = 0 e λ : (x− 1)2 + (y− 2)2 = 1 Resp.: s na˜o e´ tangente nem secante a` λ
(b) s : 12x− 5y − 5 = 0 e λ : (x− 3)2 + (y − 1)2 = 4 Resp.: s e´ tangente a` λ
(c) s : y =
1
3
(
4x+ 10
)
e λ : x2 + y2 − 2x+ 4y − 20 = 0 Resp.: s e´ secante a` λ
15. Um segmento AB e´ diaˆmetro de uma circunfereˆncia λ de centro C(−1, 4). Sabendo que a
abscissa e a ordenada do ponto A sa˜o, respectivamente, iguais a` metade da abscissa e ao dobro
da ordenada de B, obtenha uma equac¸a˜o da circunfereˆncia λ. Resp.: (x+ 1)2 + (y− 4)2 = 17
9
16. Obter uma equac¸a˜o da circunfereˆncia λ que passa pelos pontos A(2, 1) e B(3, 0), cujo centro
C pertence ao eixo das abscissas. Resp.: (x− 2)2 + y2 = 1
17. Encontrar uma equac¸a˜o da circunfereˆncia λ que passa pelos pontos A(8, 4) e B(1,−3), cujo
centro C pertence a` reta r : y = x− 3 Resp.: (x− 4)2 + (y − 1)2 = 25
18. Mostre que o ponto P (7, 0) e´ exterior a` circunfereˆncia λ : x2 + y2 − 6x + 4y + 9 = 0. A
seguir, determine as equac¸o˜es das tangentes a` λ que passa pelo ponto P. Resp.: y = 0 e
4x− 3y − 28 = 0
19. Mostre que o ponto P (−2, 1) e´ interior a` cincunfereˆncia λ : x2 + y2 + 8x+ 4y − 16 = 0.
20. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia λ1 de centro em C(0, 8) e tangente exteriormente a`
circunfereˆncia λ2 : (x− 5)2 + (y + 4)2 = 49 Resp.: λ1 : x2 + (y − 8)2 = 36
21. Calcule a a´rea do quadrila´tero formado pelos centros e pelos pontos de intersec¸a˜o das cir-
cunfereˆncias λ1 : x
2 + y2 − 2x − 8y + 13 = 0 e λ2 : x2 + y2 − 8x − 2y + 7 = 0. Resp.:
6
22. Encontre a equac¸a˜o da circunfereˆncia que tangencia as retas r : 3x + 5y + 17 = 0 e s :
3x+ 5y− 51 = 0, sabendo que o ponto de tangeˆncia com a reta r e´ P (1,−4). Resp.: x2 + y2−
8x− 2y − 17 = 0
23. Prove que a circunfereˆncia λ : x2 + y2 + ax+ by + c = 0 tangencia a reta r : mx+ ny + d = 0
se, e somente se, (−ma− nb+ 2d)2 = (m2 + n2)(a2 + b2 − 4c)
2