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Revisão de cálculo integral
Alan André Borges da Costa
UFOP
Julho 2013
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 1 / 19
Plano de Aula
Integral inde…nida
Integral de…nida e imprópria
Propriedades operatórias
Técnicas de integração: substituição e partes
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 2 / 19
Integral inde…nida
Sabemos calcular derivadas. Somos capazes de reverter o processo e
voltar na função original?
Qual a função, F (x), que representa a seguinte derivada?
f
0
(x) = 2x
Assim, podemos dizer que
F (x) = x2
No entanto, as funções abaixo também representa f
0
(x) = 2x
F (x) = x2 + 5 ou F (x) = x2 + 10 ...
O que fazer?
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 3 / 19
Integral inde…nida
Sabemos calcular derivadas. Somos capazes de reverter o processo e
voltar na função original?
Qual a função, F (x), que representa a seguinte derivada?
f
0
(x) = 2x
Assim, podemos dizer que
F (x) = x2
No entanto, as funções abaixo também representa f
0
(x) = 2x
F (x) = x2 + 5 ou F (x) = x2 + 10 ...
O que fazer?
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 3 / 19
Integral inde…nida
Sabemos calcular derivadas. Somos capazes de reverter o processo e
voltar na função original?
Qual a função, F (x), que representa a seguinte derivada?
f
0
(x) = 2x
Assim, podemos dizer que
F (x) = x2
No entanto, as funções abaixo também representa f
0
(x) = 2x
F (x) = x2 + 5 ou F (x) = x2 + 10 ...
O que fazer?
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 3 / 19
Integral inde…nida
Sabemos calcular derivadas. Somos capazes de reverter o processo e
voltar na função original?
Qual a função, F (x), que representa a seguinte derivada?
f
0
(x) = 2x
Assim, podemos dizer que
F (x) = x2
No entanto, as funções abaixo também representa f
0
(x) = 2x
F (x) = x2 + 5 ou F (x) = x2 + 10 ...
O que fazer?
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 3 / 19
Integral inde…nida
Sabemos calcular derivadas. Somos capazes de reverter o processo e
voltar na função original?
Qual a função, F (x), que representa a seguinte derivada?
f
0
(x) = 2x
Assim, podemos dizer que
F (x) = x2
No entanto, as funções abaixo também representa f
0
(x) = 2x
F (x) = x2 + 5 ou F (x) = x2 + 10 ...
O que fazer?
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 3 / 19
Integral inde…nida
De…nição geral e notação:
De…nition
Se F (x) é uma integral com relação a x da função f (x), a relação entre
F (x) e f (x) é expressa como segue:Z
f (x) dx = F (x) + c signi…ca F
0
(x) = f (x)
Example
Calcule as seguinte integrais
a)
Z
x2dx , b)
Z
x3dx , c)
Z
exdx , d)
Z 1
x2
dx , e)
Z 1
x
dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 4 / 19
Integral inde…nida
De…nição geral e notação:
De…nition
Se F (x) é uma integral com relação a x da função f (x), a relação entre
F (x) e f (x) é expressa como segue:Z
f (x) dx = F (x) + c signi…ca F
0
(x) = f (x)
Example
Calcule as seguinte integrais
a)
Z
x2dx , b)
Z
x3dx , c)
Z
exdx , d)
Z 1
x2
dx , e)
Z 1
x
dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 4 / 19
Integral inde…nida
De…nição geral e notação:
De…nition
Se F (x) é uma integral com relação a x da função f (x), a relação entre
F (x) e f (x) é expressa como segue:Z
f (x) dx = F (x) + c signi…ca F
0
(x) = f (x)
Example
Calcule as seguinte integrais
a)
Z
x2dx , b)
Z
x3dx , c)
Z
exdx , d)
Z 1
x2
dx , e)
Z 1
x
dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 4 / 19
Integral inde…nida
A solução será dada por
Solution
a)
Z
x2dx =
x3
3
+ c
b)
Z
x3dx =
x4
4
+ c
c)
Z
exdx = ex + c
d)
Z 1
x2
dx = �1
x
+ c
e)
Z 1
x
dx = ln (x) + c
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 5 / 19
Integral inde…nida
A solução será dada por
Solution
a)
Z
x2dx =
x3
3
+ c
b)
Z
x3dx =
x4
4
+ c
c)
Z
exdx = ex + c
d)
Z 1
x2
dx = �1
x
+ c
e)
Z 1
x
dx = ln (x) + c
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 5 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dx
R
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdxR
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dxR
exdx = ex + cR
1
x dx = ln (x) + cR
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dxR
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdx
R
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dxR
exdx = ex + cR
1
x dx = ln (x) + cR
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dxR
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdxR
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dx
R
exdx = ex + cR
1
x dx = ln (x) + cR
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dxR
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdxR
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dxR
exdx = ex + c
R
1
x dx = ln (x) + cR
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dxR
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdxR
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dxR
exdx = ex + cR
1
x dx = ln (x) + c
R
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Tabela de integral inde…nida
R
xndx = x
n+1
n+1 + c . Exemplo:
R
x5dxR
cf (x) dx = c
R
f (x) dx . Exemplo:
R
3xdxR
kdx = kx + c . Exemplo:
R
8dxR
exdx = ex + cR
1
x dx = ln (x) + cR
[f (x) + g (x)] dx =
R
f (x) dx +
R
g (x) dx . Exemplo:
R
x2 + 1x dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 6 / 19
Integral de…nida
Segue a de…nição da integral de…nida
Interpretação geométrica da integral (grá…co)
De…nition
Se f é uma função contínua de…nida por a � x � b, dividimos o intervalo
[a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b� a) /n. Seja
x0 (= a) , x1, x2, ..., xn (= b) os extremos desses subintervalos. Então a
integral de…nida de f de a para b é
lim
n!∞
n
∑
i=1
f (xi )∆x =
bZ
a
f (x) dx
ou
bZ
a
f (x) dx = F (b)� F (a)
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 7 / 19
Integral de…nida
Segue a de…nição da integral de…nida
Interpretação geométrica da integral (grá…co)
De…nition
Se f é uma função contínua de…nida por a � x � b, dividimos o intervalo
[a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b� a) /n. Seja
x0 (= a) , x1, x2, ..., xn (= b) os extremos desses subintervalos. Então a
integral de…nida de f de a para b é
lim
n!∞
n
∑
i=1
f (xi )∆x =
bZ
a
f (x) dx
ou
bZ
a
f (x) dx = F (b)� F (a)
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 7 / 19
Integral de…nida
Segue a de…nição da integral de…nida
Interpretação geométrica da integral (grá…co)
De…nition
Se f é uma função contínua de…nida por a � x � b, dividimos o intervalo
[a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b� a) /n. Seja
x0 (= a) , x1, x2, ..., xn (= b) os extremos desses subintervalos. Então a
integral de…nida de f de a para b é
lim
n!∞
n
∑
i=1
f (xi )∆x =
bZ
a
f (x) dx
ou
bZ
a
f (x) dx = F (b)� F (a)
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 7 / 19
Integral de…nida
Considere os seguintes exemplos
Example
Calcule as seguintes integrais de…nidas: a)
R 5
2 x
2dx , b)
R 5
2 x
2 + xdx ,
c)
R 4
3
1
x + 5dx , d)
R 2
0 x
3 + 3x2dx , e)
R 5
2 e
x + x + 2dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 8 / 19
Integral de…nida
Considere os seguintes exemplos
Example
Calcule as seguintes integrais de…nidas: a)
R 5
2 x
2dx , b)
R 5
2 x
2 + xdx ,
c)
R 4
3
1
x + 5dx , d)
R 2
0 x
3 + 3x2dx , e)
R 5
2 e
x + x + 2dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 8 / 19
Integral de…nida
Soluções
Solution
a)
Z 5
2
x2dx =
�
x3
3
�5
2
=
117
3
b)
Z 5
2
x2 + xdx =
�
x3
3
+
x2
2
�5
2
=
117
3
+
21
2
c)
Z 4
3
1
x
+ 5dx = [ln (x) + 5x ]43 = ln
�
4
3
�
+ 5
d)
Z 2
0
x3 + 3x2dx =
�
x4
4
+ x3
�2
0
= 12
e)
Z 5
2
ex + x + 2dx =
�
ex +
x2
2
+ 2x
�5
2
= e5 � e2 + 12+ 25
2
Alan Costa (UFOP) IntegralJulho 2013 9 / 19
Integral de…nida
Soluções
Solution
a)
Z 5
2
x2dx =
�
x3
3
�5
2
=
117
3
b)
Z 5
2
x2 + xdx =
�
x3
3
+
x2
2
�5
2
=
117
3
+
21
2
c)
Z 4
3
1
x
+ 5dx = [ln (x) + 5x ]43 = ln
�
4
3
�
+ 5
d)
Z 2
0
x3 + 3x2dx =
�
x4
4
+ x3
�2
0
= 12
e)
Z 5
2
ex + x + 2dx =
�
ex +
x2
2
+ 2x
�5
2
= e5 � e2 + 12+ 25
2
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 9 / 19
Integral de…nida
Exemplo relacionado a área
Example
Exercicio 22: obtenha as áreas destacadas: a)f (x) = x2 no intervalo
[0, 1]; k) entre f (x) = x2 e y = x
Solution
a)
Z 1
0
x2dx =
�
x3
3
�1
0
=
1
3
k)
Z 1
0
xdx �
Z 1
0
x2dx =
�
x2
2
� x
3
3
�1
0
=
1
6
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 10 / 19
Integral de…nida
Exemplo relacionado a área
Example
Exercicio 22: obtenha as áreas destacadas: a)f (x) = x2 no intervalo
[0, 1]; k) entre f (x) = x2 e y = x
Solution
a)
Z 1
0
x2dx =
�
x3
3
�1
0
=
1
3
k)
Z 1
0
xdx �
Z 1
0
x2dx =
�
x2
2
� x
3
3
�1
0
=
1
6
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 10 / 19
Integral de…nida
Exemplo relacionado a área
Example
Exercicio 22: obtenha as áreas destacadas: a)f (x) = x2 no intervalo
[0, 1]; k) entre f (x) = x2 e y = x
Solution
a)
Z 1
0
x2dx =
�
x3
3
�1
0
=
1
3
k)
Z 1
0
xdx �
Z 1
0
x2dx =
�
x2
2
� x
3
3
�1
0
=
1
6
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 10 / 19
Integrais impróprias
De…nition
a) se
R t
a f (x) dx existe para cada número t � a, entãoZ ∞
a
f (x) dx = lim
t!∞
Z t
a
f (x) dx
b) se
R b
t f (x) dx existe para cada número t � a, entãoZ b
�∞
f (x) dx = lim
t!�∞
Z b
t
f (x) dx
As integrais impróprias
R ∞
a f (x) dx e
R b
�∞ f (x) dx são chamadas
convergentes se os limites correspondentes existem c) se
R ∞
a f (x) dx eR a
�∞ f (x) dx são convergentes, então de…nimosZ ∞
�∞
f (x) dx =
Z a
�∞
f (x) dx +
Z ∞
a
f (x) dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 11 / 19
Integrais impróprias
Example
Calcule as seguintes integrais
a)
∞Z
1
1
x
dx
b)
1Z
�∞
exdx
c)
∞Z
�∞
1p
x
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 12 / 19
Integral por substituição
Apesar de úteis as regras apresentadas não permitem calcular
integrais do tipoZ
2x
p
1+ x2dx =
2
3
�
x2 + 1
�3/2
+ c
Este exemplo mostra que a solução deste tipo de integrais está
relacionada a regra da cadeia
Assim, podemos de…nir a integral por substituição como
De…nition
Se u = g (x) for uma função diferenciável e f for contínua, entãoZ
f (g (x)) g
0
(x) dx =
Z
f (u) duZ �
f (u)
du
dx
�
dx =
Z
f (u) du
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 13 / 19
Integral por substituição
Apesar de úteis as regras apresentadas não permitem calcular
integrais do tipoZ
2x
p
1+ x2dx =
2
3
�
x2 + 1
�3/2
+ c
Este exemplo mostra que a solução deste tipo de integrais está
relacionada a regra da cadeia
Assim, podemos de…nir a integral por substituição como
De…nition
Se u = g (x) for uma função diferenciável e f for contínua, entãoZ
f (g (x)) g
0
(x) dx =
Z
f (u) duZ �
f (u)
du
dx
�
dx =
Z
f (u) du
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 13 / 19
Integral por substituição
Apesar de úteis as regras apresentadas não permitem calcular
integrais do tipoZ
2x
p
1+ x2dx =
2
3
�
x2 + 1
�3/2
+ c
Este exemplo mostra que a solução deste tipo de integrais está
relacionada a regra da cadeia
Assim, podemos de…nir a integral por substituição como
De…nition
Se u = g (x) for uma função diferenciável e f for contínua, entãoZ
f (g (x)) g
0
(x) dx =
Z
f (u) duZ �
f (u)
du
dx
�
dx =
Z
f (u) du
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 13 / 19
Integral por substituição
Apesar de úteis as regras apresentadas não permitem calcular
integrais do tipoZ
2x
p
1+ x2dx =
2
3
�
x2 + 1
�3/2
+ c
Este exemplo mostra que a solução deste tipo de integrais está
relacionada a regra da cadeia
Assim, podemos de…nir a integral por substituição como
De…nition
Se u = g (x) for uma função diferenciável e f for contínua, entãoZ
f (g (x)) g
0
(x) dx =
Z
f (u) duZ �
f (u)
du
dx
�
dx =
Z
f (u) du
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 13 / 19
Integral por substituição
Alguns exemplos:
Example
Resolva as seguintes integrais
a)
Z
2x
p
1+ x2dx
b)
Z p
2x + 1dx
c)
Z xp
1� 4x2 dx
d)
∞Z
�∞
x2e�x
3
dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 14 / 19
Integral por substituição
Alguns exemplos:
Example
Resolva as seguintes integrais
a)
Z
2x
p
1+ x2dx
b)
Z p
2x + 1dx
c)
Z xp
1� 4x2 dx
d)
∞Z
�∞
x2e�x
3
dx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 14 / 19
Integral por partes
Se a integral por substituição está relacionada a regra da cadeia a
integral por partes vai estar relacionada com qual regra de derivada?
Sabe-se que a regra do produto é dada por
d
dx
[f (x) g (x)] = f (x) g
0
(x) + g (x) f
0
(x)
integrando ambos os ladosZ h
f (x) g
0
(x) + g (x) f
0
(x)
i
dx = f (x) g (x)
ou Z
f (x) g
0
(x) dx +
Z
g (x) f
0
(x) dx = f (x) g (x)
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 15 / 19
Integral por partes
Se a integral por substituição está relacionada a regra da cadeia a
integral por partes vai estar relacionada com qual regra de derivada?
Sabe-se que a regra do produto é dada por
d
dx
[f (x) g (x)] = f (x) g
0
(x) + g (x) f
0
(x)
integrando ambos os ladosZ h
f (x) g
0
(x) + g (x) f
0
(x)
i
dx = f (x) g (x)
ou Z
f (x) g
0
(x) dx +
Z
g (x) f
0
(x) dx = f (x) g (x)
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 15 / 19
Integral por partes
A última equação pode ser reescrita comoZ
f (x) g
0
(x) dx = f (x) g (x)�
Z
g (x) f
0
(x) dx
podemos denominar u = f (x) e v = g (x) para obtermos a fórmula
…nal Z
udv = uv �
Z
vdu
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 16 / 19
Integral por partes
Example
Resolva as seguintes integrais
a)
Z
(2x + 3) exdx
b)
Z
xexdx
c)
Z
ln (x) dx
d)
Z
t2etdx
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 17 / 19
Outras técnicas de integração
Integrais trigonométricas
Integração de funções racionais por frações parciais
Integral em linha
etc.
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 18 / 19
Referências
Stewart (2006) [cap.5, 6, 7 e 8]
Alan Costa (UFOP) Integral Julho 2013 19 / 19