Aula 1 - Introdução a Matrizes

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1/8/2013
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Professora: Jossana Ferreira
MatrizesMatrizes - Definição, tipos, operações e 
propriedades
•Definição de matriz
•Operações com matrizes
•Propriedades das matrizes
•Definição
•Reais
•Complexos
•Funções
•Submatrizes
•Termo geral
•Ordem
• m linhas
• n colunas
•Colchetes, parêntesis




















=
mnmjmm
inijii
nj
nj
mxn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
LL
MOMOMM
LL
MOMOMM
LL
LL
21
21
222221
111211






−
=
811
305
32xA
•Definição
•Matriz Coluna
•Matriz Linha
[ ]njxn ccccC LL211 =




















=
m
i
mx
b
b
b
b
B
M
M
2
1
1
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2
•Definição
•Matriz nula - 0
•Matriz quadrada
•Matriz diagonal
ji, 0 ∀=ija
mxnA ∴= nm
ji se ≠= oaij
•Definição
•Matriz Identidade - I
•Matriz transposta – At , A’
Faz-se
ji 0
ji 1
≠∀=
=∀=
ij
ij
a
a
jiij aa =
•Definição
•Matriz Simétrica
•Matriz Antissimétrica
jiij aaSe = 
jiij aaSe −= 
TAASe = 
TAASe −= 
∴
∴
•Definição
•Matriz triangular
•Superior
•Inferior
ji 0 >∀=ija
ji 0 <∀=ija
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•Definição
•Submatriz






=
ED
CB
A










−=
231
301
121
B










=
11
21
10
C 





−
=
050
612
D 





=
10
01
E
•Operações com Matrizes
•Soma 
•Mesma ordem
•Termo geral
ijijij bac +=
B matriz da geral Termo
A matriz da geral Termo
C matriz da geral Termo
:
=
=
=
ij
ij
ij
b
a
c
onde
( )mxnmxnmxn BAC +=
•Operações com Matrizes
•Soma 
•Propriedades (Considerando as matrizes A, B, C e 0)
•Válido também para subtração
AA c)
CB)(AC)(BA b)
ABBA )
=+
++=++
+=+
0
a
•Operações com Matrizes
•Multiplicação por um escalar 
Seja Amxn e K um escalar




















=
mnmjmm
inijii
nj
nj
mxn
kakakaka
kakakaka
kakakaka
kakakaka
Ak
LL
MOMOMM
LL
MOMOMM
LL
LL
21
21
222221
111211
.
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•Operações com Matrizes
•Multiplicação por um escalar 
•Propriedades
Sejam Amxn e Bmxn matrizes e K1 e K2 escalares
).Ak(k.A)(kk d)
0.A c)
.Ak.Ak).Ak(k b)
.Bk.AkB).(Ak a)
2121
2121
111
=
=
+=+
+=+
0
•Operações com Matrizes
•Multiplicação de matrizes
• Sejam Amxn e Bpxq
•Necessariamente: n=p
•Matriz resultante: Cmxq
•A.B ≠ B.A
( )∑
=
=
p
k
kjikij baC
1
.
•Propriedades
TTT
TT
TT
TTT
T
AB(AB) j)
k.A(k.A) i)
A)(A h)
BAB)(A g)
AA se simétrica éA f)
.AA. e)
(AB)CA(BC) d)
BCACB)C(A c)
ACABC)A(B b)
A.AA. a)
=
=
=
+=+
=
==
=
+=+
+=+
==
000
II Exercícios
•Sendo:
1) Encontre:
a) At*D d) Et*D g) E*C
b) B*A e) E*D*B h) (Bt+D)t+A
c) Bt*A f) C*E i) (Dt*A)t
[ ]










=










−
−
==−=










=
0
1
2
,
21
20
20
,2|,|]/[,
110
100
112
32 EDCjibBA ijx
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2) Sendo e sabendo 
que C = A.B, quanto vale C23?
3) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, 
classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:
a) A+At é simétrica
b) A-At é anti-simétrica 
4) (A+B)2 é igual a A2+2AB+B2? 
jibBijaA ijxijx == ]/[ e ]/[ 4334 IMPORTANTE
•Tipos de matrizes
•Operações básicas com matrizes
•Propriedades das matrizes
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