Aula 3 - Determinantes

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1/8/2013
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Professora: Jossana Ferreira
MatrizesMatrizes - Determinantes, Cofatores
•Definição de determinante
•Cálculo do determinante
•Propriedades
•Cofatores
•Definição
•Associação de um número real a uma matriz
•Notação
•detA, det(A), |A|, det(aij)
•Seja o sistema linear:
•A solução é dada por:



=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
21122211
211112
2
21122211
122221
1
aaaa
abab
x
aaaa
abab
x
−
−
=
−
−
=
A
abab
x
A
abab
x
det
det
211112
2
122221
1
−
=
−
=
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2
•Permutação
21122211det aaaaA −=






=
2221
1211
aa
aa
A
•Cálculo do determinante
•Seja Anxn
•Onde
∑
=
+
−=
n
j
ijij
ji AaA
1
)det()1(det
linhaqualquer ser pode i
. coluna a e linha a seeliminando Submatriz ji-Aij =
Desenvolvimento de Laplace
•Cálculo do determinante
•Exemplo
12
132
310
201
det −==A
•Propriedades 
i) O determinante de uma matriz A não se altera 
quando se trocam as linhas pelas colunas. 
det(A) = det(AT)
321
321
321
333
222
111
det
ccc
bbb
aaa
cba
cba
cba
A ==
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•Propriedades 
ii) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) 
constituída de elementos todos nulos, o 
determinante é nulo.
0
0
0
0
det
33
22
11
==
ba
ba
ba
A
•Propriedades 
iii) Se a matriz A possui duas linhas(ou colunas) 
iguais, o determinante é nulo.
0det
333
222
111
==
aba
aba
aba
A
•Propriedades 
iv) Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tem 
seus elementos correspondentes 
proporcionais, o determinante é nulo.
0det
333
222
111
==
kaba
kaba
kaba
A
•Propriedades 
v) Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou 
coluna) é uma soma de duas parcelas, o 
determinante de A pode ser expresso sob a 
forma de uma soma dos determinantes de 
suas matrizes.
333
222
111
333
222
111
3333
2222
1111
det
dba
dba
dba
cba
cba
cba
dcba
dcba
dcba
A +=
+
+
+
=
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•Propriedades 
vi) O determinante de uma matriz triangular é 
igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal
332211
33
2322
131211
..
00
0det aaa
a
aa
aaa
A ==
•Propriedades 
vii) Trocando-se entre si duas linhas(ou colunas) 
da matriz A, o determinante muda de sinal
222
333
111
333
222
111
det
cba
cba
cba
cba
cba
cba
A −==
•Propriedades 
viii)Quando se multiplicam por um número real todos 
os elementos de uma linha(ou colunas) da matriz 
A, o determinante é multiplicado por esse número
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
k
cba
kckbka
cba
=
det(k.A) = kn.det(A)
n=ordem da matriz
•Propriedades 
ix) Um determinante não se altera quando se 
somam duas linhas(ou colunas) previamente 
multiplicada por uma constante
333
121212
111
333
222
111
det
cba
kcckbbkaa
cba
cba
cba
cba
A +++==
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•Propriedades 
x) Sejam A e B matrizes, o determinante do 
produto é igual ao produto dos determinantes
det(A.B) = det(A).det(B)
xi) Sejam A e B matrizes,
det(A+B) ≠ det(A)+det(B)
•Cálculo do determinante
•Seja Anxn
•Onde
∑
=
+
−=
n
j
ijij
ji AaA
1
)det()1(det
ijij
ijij
a deCofator C
a entrada daMenor M
. coluna a e linha a seeliminando Submatriz
=
=
= ji-Aij
•Cálculo do determinante
•Matriz de cofatores -
ij
ji
ij
ji
ij
MA
A
++
−=−=
=
)1( )det()1(c
)det(M
ij
ij












=
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)(,A , ACofC
•Cálculo do determinante usando cofatores
ou
(linha) ...det 2211 ininiiii CaCaCaA +++=
(coluna) ...det 2211 njnjjjjj CaCaCaA +++=
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•Facilitação do cálculo do determinante usando 
redução por linhas
Transformação da matriz em uma matriz triangular 
(inferior ou superior)
12
132
310
201
det −==A










−1200
310
201
~A










−−
132
086
008
12
~A
Exercícios
Calcule: 
1) Se , encontre:6−=
ihg
fed
cba
cba
ihg
fed
a)
ihg
fed
cba
b
444
333
) −−−
ihg
fed
ichbga
c
444
) −−−
+++
fiehdg
fed
cba
d
444
333
)
−−−
−−−
2) Calcule usando Cofatores: 
012
210
120
) −d
4021
0100
4020
2015
)
−
c
63
81)
−
a
212
050
121
)
−
b
2013
0300
1021
0121
)
−
−
e
IMPORTANTE
•Saber o que é determinante
•Saber calcular o determinante de uma matriz de 
qualquer ordem
•Identificar os métodos para obtenção do determinante
•Saber aplicar as propriedades
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jossana@ect.ufrn.br
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