Aula 4 - Matriz inversa

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5/8/2013
1
Professora: Jossana Ferreira
MatrizesMatrizes - Inversão
•Matriz inversa
•Matriz adjunta
•Inversão de matrizes
•Uma matriz Anxn admite inversa se existe uma matriz 
Bnxn , onde B é a inversa de A, tal que:
•Inversível ou não singular
•Notação: 
IBAAB ==
1−A
•Propriedades (A,B,C e D matrizes inversíveis)
•Cada matriz admite uma única inversa
•A.A-1=A-1.A=I
•(A-1)-1=A
•(AT)-1=(A-1)T
•(AB)-1=B-1.A-1
•(ABCD)-1=(BCD)-1A-1
=(CD)-1B-1A-1
=D-1C-1B-1A-1
5/8/2013
2
•Matriz adjunta
•Matriz de Cofatores












=
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
)det(M
)1( )det()1(c
ij
ij
ij
ij
ji
ij
ji
A
MA
=
−=−=
++
•Matriz adjunta
•É a transposta da matriz de Cofatores
TCAAdj =)(
•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
•Uso da matriz adjunta
•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
•Anxn é inversível se for equivalente à matriz 
identidade
•Operações elementares
•Caso não haja a equivalência, a matriz não 
admite inversa
[ ] [ ]1~ −AIIA
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•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
Exemplo










−
=
521
301
210
A
•Inversão de matrizes
•Uso da identidade
Exemplo
[ ]










−
=
100521
010301
001210
IA
[ ]










−
=
100521
010301
001210
IA
L3=L3+L2 [ ]










110820
010301
001210
~IA
L3=L3-2L1 [ ]










− 112400
010301
001210
~IA
L1 ⇔ L2
L2=L2-2L3
[ ]










− 4
1
4
1
2
1100
010301
001210
~IA
[ ]










− 4
1
4
1
2
1100
001210
010301
~IA
[ ]












−
−−
4
1
4
1
2
1100
2
1
2
12010
010301
~IA
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4
L1=L1-3L3
I A-1
[ ] [ ]1~ −AIIA
[ ]












−
−−
−
4
1
4
1
2
1100
2
1
2
12010
4
3
4
1
2
3001
~IA
•Inversão de matrizes
•Uso da matriz adjunta
)()det(
11 Aadj
A
A =−
•Inversão de matrizes
•Uso da matriz adjunta
Exemplo










−
=
521
301
210
A
•Matriz dos cofatores
•Matriz Adjunta










−
−−
−−
=
123
121
286
C










−−
−
−−
=
112
228
316
)(Aadj
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5
•Determinante
•Matriz inversa
4)det( −=A










−−
−
−−
−
=
−
112
228
316
4
11A
)()det(
11 Aadj
A
A =−












−
−−
−
=
−
4
1
4
1
2
1
2
1
2
12
4
3
4
1
2
3
1A
Exercícios
1) Encontre a inversa de A utilizando os dois métodos.
2) Se AB=AC, isso implica que B=C?





 −
=





=





=
30
23
,
11
21
,
42
21
CBA










−=
010
101
012
A
3) Sendo , encontre A-1.










−=+ −
110
211
010
)2( 1AI










−−
−−
−
=
−
311
220
200
1A
IMPORTANTE
•Saber encontrar a inversa de uma matriz
•Saber usar adequadamente as propriedades da matriz 
inversa
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6
jossana@ect.ufrn.br
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