Prova 3 de Vetorial e soluções

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DISCIPLINA: Algébra Vet. e Geom. Analítica PERÍODO: 2013.1CURSO: TURNO: MANHÃPROFESSOR: DATA: 17/09/2013ALUNO(A): NOTA:
AVALIAÇÃO 3
Não tire o grampo da prova, deixe todas as contas feitas por você na sua prova, entreguetodas as folhas de papel recebidas. Justifique suas respostas com base na teoria, pois:“Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como Música não são notas” (Y. Jurguim).
1. (2,0 pontos) Trace o gráfico e obtenha uma equação da elipse vérticesA1(−7, 2) e A2(−1, 2) e eixo menor igual a 2.2. (2,0 pontos) Dada a cônica de equação x = y2 − 6y + 8, determineas coordenadas do vértice, do foco, a equação da diretrize um esboçodo gráfico.3. (2,0 pontos) Identifique e trace o gráfico da cônica com equação geral
x2 + y2 + 4xy− 3 = 0.
4. (2,0 pontos) Identifique e represente geometricamente a superfíciedada pela equação
z2 = x2 + y2 − 1, −3 ≤ z ≤ 3.
5. (2,0 pontos) Identifique, descreva e faça um esboço da superfície dadapela equação x2 + 4z2 + 4y− 16z + 12 = 0.
Sua consciência é o seu juiz. A cola é fraude! Toda fraude é passível de punição. “Oúnico lugar onde sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” (Albert Einstein).
BOA PROVA!!!
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Respostas da Avaliação 3
1. Geometricamente, a elipse é dada por:
Daí, segue que o seu centro é o ponto C (−4, 2) e a medida do semi-eixo maior é a = 3. Como a media do eixo menor é 2, a medida dosemi-eixo menor vale b = 1. Logo, uma equação desta elipse é
(x + 4)29 + (y− 2)21 = 1.
2. Completando os quadrados na equação x = y2 − 6y+ 8, obtemos
x − 8 = y2 − 6y⇒ y2 − 6y+ 9 = x − 8 + 9⇒ (y− 3)2 = x + 1.
ou seja, a forma reduzida da equação desta parábola é (y−3)2 = x+1.Daí, segue que V (−1, 3) é o vértice desta parábola. Da formareduzida segue também,
2p = 1⇒ p2 = 14.
Como−1+1/4 = −3/4 e−1−1/4 = −5/4 obtemos o foco F (−34, 3
)
e a diretriz d : x = 54 . O gráfico é
2
3. Passo 1 (Encontre θ): O ângulo de rotação dos eixos necessáriopara eliminar o termo em xy na equação é θ = pi/4.Passo 2 (Encontre senθ e cosθ): Neste caso temos cosθ = senθ =√22 .
Passo 3 (Utilize as equações de rotação): Assim, temos as equaçõesde rotação 
x = √22 x1 −
√22 y1y = √22 x1 +
√22 y1Daí,
3(√22 x1 −
√22 y1
)2 +(√22 x1 +
√22 y1
)2 +
+4(√22 x1 −
√22 y1
)(√22 x1 +
√22 y1
)− 3
ou ainda, 12x21 + 12y21 + 12x21 + 12y21 + 2x21 − 2y21 − 3 = 0
implicando em 3x21 − y21 = 3,
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ou ainda x211 − y213 = 1.O gráfico desta equação é uma hipérbole. Ela está representada naseguinte figura:
4. Neste caso, a equação é equivalente a
x2 + y2 − z2 = 1, −3 ≤ z ≤ 3
que é um Hiperbolóide de uma folha (de revolução). Para traçar oseu gráfico, precisamos de alguns traços; por exemplo, para z = 3temos a circunferência
x2 + y2 = 1 + 9⇒ x2 + y2 = 10.
Analogamente, para z = 0 e z = −3 temos as circunferências
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 10.
O gráfico é o seguinte:
4
5. Vamos completar os quadrados na equação x2+4z2+4y−16z+12 =0. Temos x2 + 4y+ 4(z2 − 4z) = −12x2 + 4y+ 4(z2 − 4z + 4) = −12 + 16x2 + 4y+ 4(z − 2)2 = 44y− 4 = −x2 − 4(z − 2)2−(y− 1) = x24 + (z − 2)21Pela última equação, temos um parabolóide elíptico, com vértice noponto V (0, 1, 2), concavidade para esquerda e eixo paralelo a Oy.Segue um esboço
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