Lista_Tema1_Polinomio_Taylor

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Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o - Polinoˆmios de Taylor
Prof. Dr. Rafael Alves Bonfim de Queiroz∗
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF, Juiz de Fora - MG, Brasil
Resumo. Abaixo seguem exerc´ıcios para voceˆ aplicar os conceitos aprendidos em sala
de aula. Divirta-se! Procure-me na minha sala no meu hora´rio de atendimento (Segun-
da-Feira: 08:00-10:00, local: pre´dio da Po´s-Graduac¸a˜o em Modelagem Computaci-
onal ou no departamento de Cieˆncia da Computac¸a˜o para esclarecer suas du´vidas ou
traga na aula seus questionamentos para discutirmos ou envie-me e-mail (responderei
em no ma´ximo 24 horas, mas na˜o leio/respondo e-mails no final de semana).
1. Encontre o polinoˆmio de Taylor linear que aproxima a func¸a˜o f(x)=ex+2x em torno
do ponto x=0.
2. Determine o polinoˆmio de Taylor quadra´tico para f(x)=0,5ex+x2 em torno do ponto
a=0.
3. Encontre o polinoˆmio de Taylor P7(x) de grau 7 para a func¸a˜o f(x)=sin(x) em torno
do ponto a=0.
4. Descubra o valor de f(7) sabendo que f(4)=100, f ′(4)=54, f ′′(4)=20, f ′′′(4)=5, e
que todas as outras derivadas de ordem alta sa˜o nulas.
5. Calcule o valor de
√
27 sem usar calculadora.
6. Determine o valor de 8
√
1,1.
7. Encontre o valor de e1,1 assumindo que e = 2,71.
8. Determine uma aproximac¸a˜o atrave´s de um polinoˆmio de Taylor de grau 4 para
log(x).
9. Seja f(x)=sin(x). Encontre o polinoˆmio de Taylor P1(x) em torno do ponto a=0.
Em seguida, encontre um limitante superior para o erro no ponto x= pi4 e, depois,
mostre o erro encontrado entre P1(
pi
4 ) e sin(
pi
4 ).
∗Correspondeˆncia. Email: rafael.bonfim@ice.ufjf.br (Rafael Bonfim)
Curso: DCC008 Ca´lculo Nume´rico
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10. Obtenha um limitante superior do erro para e0,5 quando esta expressa˜o e´ aproximada
por um polinoˆmio de Taylor cu´bico para ex em torno do ponto 0.
11. Seja f(x) = sin(x) e a= 0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por
um polinoˆmio de Taylor seja menor do que 10−5 para −pi6 ≤x≤ pi6 .
12. Seja f(x) = cos(x) e a= 0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por
um polinoˆmio de Taylor seja menor do que 10−5 para −pi3 ≤x≤ pi3 .
13. Seja f(x) = ex e a= 0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por um
polinoˆmio de Taylor de grau n seja menor do que 10−4 para −0,5≤x≤0,5.
14. Calcule f ′(1) para f(x)=ex usando diferenc¸a progressiva e central para h=0,01.
15. Considerando a Tabela 1, determine os valores da derivada desta func¸a˜o em x=0, x=
0,6 e x=1. Empregue as derivadas progressiva, central e regressiva, respectivamente.
Tabela 1: Dados provenientes de um experimento de F´ısica.
x f(x)
0,0 10,3
0,2 5,8
0,4 15,1
0,6 7,3
0,8 20,5
1,0 2,3
3
Gabarito - Tema 1: Polinoˆmios de Taylor
1. P1(x)=1+3x.
2. P2(x)=1,25x
2+0,5x+0,5.
3. P7(x)=x− x33! + x
5
5! − x
7
7! .
4. f(7)=374,5.
5.
√
27≈5,2.
6. 8
√
1.1≈1,0125.
7. e1.1≈2,981, em que e = 2,71.
8. P4(x)=x−1− (x−1)
2
2 +
(x−1)3
3 − (x−1)
4
4 .
9. P1(x)=x; limitante superior e´ aproximadamente 0,0808; P1(
pi
4 )=
pi
4 = 0,7854; valor
real do sin(pi4 ) = 0,7071. O erro encontrado e´ 0,0783. Note que o erro e´ menor do
que o limite superior conforme esperado.
10. P3(x)=1+x+
x2
2 +
x3
6 ; limitante superior e´ aproximadamente 0,0043. O erro encon-
trado e´ aproximadamente 0,0004, no qual foi considerado e = 2,71.
11. n=3.
12. n=4.
13. n=5.
14. diferenc¸a progressiva: 2,7319; diferenc¸a central: 2,7183.
15. f ′(0)=−22,5; f ′(0,6)=13,5; f ′(1,0)=−91.