Salvação de Cálculo 1

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Salvação de Cálculo 1
Resumo, bizus e exercícios-chave
André do Nascimento Barbosa
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Introdução
Neste texto informal, o objetivo é auxiliar uma pessoa nas aulas de cálculo 1 na UERJ. Se
tudo der certo e o mundo for perfeito, poderemos cobrir todo o conteúdo para a P1, P2, PR e PF à
partir de uma revisão do conceito de limite e regras de derivação, aplicações e finalmente as
integrais. Na primeira parte, veremos os limites e solidificar a derivada, o que ela é e suas regras. Na
segunda parte, vamos abordar problemas de taxas relacionadas, que é uma aplicação da regra da
cadeia e assim veremos que existe toda uma receita de bolo. Depois desta primeira aplicação, vamos
voltar aos limites e aprender a regra de L’Hôpital, essencial para a última parte do estudo de
derivadas. Por fim (no mundo das derivadas), vamos abordar os dois últimos casos de aplicação: Os
problemas de otimização (ou problemas de máximo e mínimo) e a construção de gráficos, que nada
mais é que a forma final de um professor ferrar o aluno (usa tudo). Aí sim, depois de complicar a
vida, introduz-se a integral e suas tecnicas de resolução. 
Palavras-chave: , Regras de derivação, limites, integral, cálculo 1.
0 Limites
Nosso interesse é criar um material que seja complementar e mais dinâmico quando se trata de linguagem, abordagem e comentários
em confronto material desenvolvido pelo professor em sala de aula. Vamos começar um passo à frente do material que geralmente é
desenvolvido nos cursos de Cálculo 1 e considerar que sabemos o que é de fato uma função. Também, nós vamos “passar por cima” da
definição formal de limite e vamos apenas comentar em cima deste. Aqui vou falar dos tópicos essenciais que servem não só para a
resolução de problemas exercicios, mas também para a construção do pensar matemático que a nossa faculdade exige.
Vou lembrar algo essencial antes de começar os trabalhos brabos: O cálculo foi inventado pelo Jesus da física paralelamente com o
Maomé da física. Nunca, jamais podemos desdenhar da ferramenta que certamente é responsável pelo mundo que vivemos hoje, respon-
sável pelo desenvolvimento do que você vai estudar futuramente. O cálculo é a linguagem que usamos junto com a álgebra para tentar
entender e transcrever a natureza!
1 Derivadas de funções elementares
Eis aqui nossa primeira seção. Aqui vamos usar o conceito de derivada e explora-lo para não ficarmos perdidos futuramente.
Primeiramente, o conceito de derivada deve estar claro, ou seja, o que é a derivada e o que ela significa. Então, como estamos preocupados
em usar a derivada propriamente dita, vamos usar da definição e “provar” a derivada de diversas funções elementares importantes!
1.1 Derivada da função constante
A função constante é aquela função que tem um valor fixo qualquer, na forma
f (x) = c (1)
ou seja, para todos os valores de x, a função sempre terá o mesmo valor c. Gráficamente, a função constante é uma reta paralela ao eixo x,
que corta o eixo y em c. Vamos agora impor uma variação nesta função, na forma queΔyΔx = f (x + Δx) - f (x)Δx
Nesta função, como f(x) é sempre c, teremos ΔyΔx = c - cΔx = 0
Lembrando que a definição da derivada é
f ' (x) = LimΔx→0 ΔyΔx
Para a função constante...
f ' (x) = 0 (2)
1.2 Derivada da função potência
Uma função potência tem a seguinte forma:
f (x) = xn (3)
Da mesma maneira que procedemos na função constante, vamos calcular a variação do coeficiente angular e passar o limiteΔyΔx = (x + Δx)n - xnΔx = 0
Ora, identificamos aquele (x + Δx)n como um binômio de Newton! Expandindo este binômio, teremos
(x + Δx)n =  n0  xn +  n1  xn-1.Δx +  n2  xn-2.Δx2 +  n3  xn-3.Δx3 + ... +  nn  Δxn
Aplicando em ΔyΔx , ΔyΔx = 1Δx  n0  xn +  n1  xn-1.Δx +  n2  xn-2.Δx2 +  n3  xn-3.Δx3 + ... +  nn  Δxn - xn = 0
Passando o limite em (9), ficamos com
f ' (x) = LimΔx→0  n1  xn-1 = n xn-1 (4)
que é a derivada da função potência!
1.3 Derivada da função seno
As funções trigonométricas são mais complicadas de resolver que as funções acima. Porém, lembrando das propriedades de limite e
as formulas de Prostaférese, consegue-se a simplicidade na resolução e montagem do coeficiente angular. Seja Δy/Δx dado por ΔyΔx = Sen(x + Δx) - Sen(x)Δx (5)
Aplicando a transformação de soma e produto de senos ficamos com
ΔyΔx = 2. Sen
Δx
2
.Cosx + Δx
2
Δx = Sen
Δx
2
.Cosx + Δx
2

Δx
2
= Sen Δx2 Δx
2
.Cos x + Δx
2
Passando o limite,
LimΔx→0
Sen Δx
2

Δx
2
LimΔx→0 Cos x + Δx2 = Cos(x) (6)
aonde sabemos que o primeiro termo é igual a 1 e o segundo é fácilmente identificado como Cos(x).
1.4 Derivada da função cosseno
De maneira similar, a função cosseno é facilmente provada usando a definição e lembrando do comportamento do mesmo limite.
Fica como exercício a determinação desta derivada e da formula de transformação de soma em produto necessária para a tarefa.
1.5 Derivada da função exponencial
A função exponencial tem a seguinte forma:
f (x) = ax (7)
aonde a ∈  e 0 < a ≠q. A diferença para esta função será entãoΔyΔx = ax+Δx - axΔx = ax. aΔx - 1Δx
Passando o limite na diferencial,
2 Parte 1.nb
LimΔx→0 ax.
aΔx - 1Δx = ax.LimΔx→0 aΔx - 1Δx
aonde reconhece-se o limite remanecente como ln(a). Finalmente
f ' (x) = ax ln(a) (8)
Observe que fazendo que
a = e ⇒ f ´(x) = ex
Estas derivadas são importantes, pois mostram como a definição é poderosa! A natureza do limite e o emprego correto desta
operação deve ser dominado. Gosto muito de lembrar que a derivada é um limite, este detalhe é muitas vezes esquecido por nós alunos e
fazem da derivada (e mais para frente a integral) outros monstros, quando, na verdade, continua sendo o “mesmo” problema.
2 Regras de derivação
As regras de derivação são “formulas prontas” que usamos sem passar pelo processo formal de obtenção da derivada. É claro,“fugir” das operações de limite tornam-e interessantes já que a resolução de funções mais complicadas podem se tornar monstruosas! As
regras partem de funções gerais, então seu uso é garantido, sem nenhum problema, elas são consequencias da definiçãode derivada!
2.1 Regras da soma e subtração
De longe, a soma e subtração de derivadas são muito simples pelo fato de a “operação” derivada ser no fundo um operador linear. O
fato de a derivada ser linear, a soma e subtração é bem simples e direta, na forma que para duas funções f(x) e g(x), teremos[ f (x) ± g(x)] ' = f ' (x) ± g ' (x) (9)
Generalizando para um número n de funções, ficamos com[ f (x) ± g(x) ± ... ± n(x)] ' = f ' (x) ± g ' (x) ± ... ± n ' (x) (10)
Simples, não? Vamos ver três exemplos que sintetizam toda a ideia desta regra de derivação:
Exemplo 1:
Derive t(x) = x2 - 5 x3 + 3 x:
Resolvendo este problema Ficamos com
f (x) = x2, g(x) = 5 x3 e k(x) = 3 x
t ' (x) = [ f (x) - g(x) + k(x)] ' = f ' (x) - g ' (x) + k ' (x)⇒ x2 - 5 x3 + 3 x ' = 2 x - 15 x2 + 3
Vimos acima um exemplo aonde temos um polinômio e apenas deriva-se cada termo. Antes de continuar nos proximos casos, será
interessante relembrar a derivada de algumas funções elementares, elas serão importantes para o resto da sua vida, não apenas nos cursos de
cálculo, mas você verá que elas estarão presentes constantemente ao longo da sua vida acadêmica.
xn n xn-1
Sen (x) Cos (x)
Cos (x) -Sen (x)
Tg (x) Sec2 (x)
Ln (x) 1x
ex ex
Guarde esta tabela para o resto da sua vida!
Exemplo 2:
Derive f (x) = Sen(x) - Tg (x) + 5 x² - ex:
Da mesma forma que o exemplo anterior, basta derivar cada termo de f(x),
f (x) = g(x) - h(x) + j(x) - k(x), aonde
g(x) = Sen(x), h(x) = Tg(x), j(x) = 5 x2 e k(x) = ex
Finalmente montando e resolvendo o problema,
f ' (x) = [g(x) - h(x) + j(x) - k(x)] ' = g ' (x) - h ' (x) + j ' (x) - k ' (x)⇒ Cos(x) - Sec2(x)+ 10 x - ex
Parte 1.nb 3
Nestes dois exemplos, pode-se ver a natureza desta regra de derivação. Também, observe que esta é simples, não apresenta compli-
cações na resolução. As regras de adição e subtração certamente são as mais fáceis. Recomendo o Livro do Iezzi para exercícios!
2.2 Regra do produto de derivadas
Esta regra não desfruta da facilidade da soma e subtração, entretanto não deixa de ser simples! De forma geral, ela se torna impor-
tante futaramente na regra da cadeia (pelo fato de as vezes causar alguma confusão) e na hora de “provar” a integral por partes. Aqui
apresento a definição para o produto de duas derivadas:[ f (x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f (x).g ' (x) (11)
Para três funções multiplicadas, a equação (6) terá a seguinte forma:[ f (x).g(x).h(x)] ' = f ' (x).g(x).h(x) + f (x).g ' (x).h(x) + f (x).g(x).h ' (x) (12)
Antes de continuar, vamos ver em um exemplo a aplicação direta da equação (6):
Exemplo 3:
Derive h(x) = x2 Cos(x) :
Fazendo x2 = f (x) e Cos(x) = g(x), monta-se o problema na forma
h ' (x) = [ f (x).g(x)] ' = x2.(Cos(x)) ' = (2 x).Cos(x) + x2 (-Sen(x))⇒ h ' (x) = 2 x.Cos(x) - x2 Sen(x)⇒ botando x em evidência e simplificando (se o professor for fdp, tem que fazer) ⇒⇒ h ' (x) = x[2 Cos(x) - xSen(x)]
Para um número n de funções, temos definições similares. É interessante saber de onde vem estas regras, pois as vezes o grande
problema do aluno é saber o porquê dela ser desta forma. Sendo assim, acho necessário agora introduzir as diferentes notações de derivadas.
2.3 Notações para derivada
A história conta que o cálculo foi criado independentemente por dois gênios: Isaac Newton e Leibniz. De um lado, Newton estava
inventando uma matemática que explicasse a sua física, mas Leibniz estava preocupado em resolver outros problemas, como os de otimiza-
ção e áreas (integrais). Como um vivia na Inglaterra e outro na Alemanha, certamente algumas coisas deveriam ser diferentes, o que fica
clara na notação.
A notação de Newton para derivadas está conservada quando se estuda os problemas de mecância em geral. A notação que usamos
até agora não é creditada à nenhum deles, e sim a Lagrange, que meio que unificou junto com Euler muitas coisas neste ramo. Entretanto,
Leibniz foi além, ele não só pensava nos problemas, mas na divulgação deles. Primeiro, o cara era polimata (entendia muito de tudo), e ele
pensou friamente em como escrever de forma que fosse a mais abrangente possível. Apresentamos aqui então a notação de Leibniz:
f ' (x) (notação para derivadas que estamos habituados) ⇔ ⅆ fⅆ x (notação de Leibniz) (13)
Esta forma de escrever derivadas é poderosa e diz que a função f está sendo derivada em relação à x. Hoje em dia virou sacanagem,
misturamos tudo, mas é bom saber o que significa cada parte desta nova notação... Vamos exemplificar agora o uso dessa notação e“provar” a regra do produto usando as diferenciais (os df, dx da vida).
“Prova” da regra do produto usando as diferenciais de Leibniz
Lembrando que a definição de derivada é 
LimΔx→0
f (x + Δx) - f (x)Δx = f ' (x)
para o produto, teremos algo como
LimΔx→0
f (x + Δx).g(x + Δx) - f (x).g(x)Δx = h ' (x)
Na notação de Leibniz, isso fica como ⅆh = ( f + ⅆ f ).(g + ⅆ g) - f .g
fazendo o chuveirinho...
f .g + f .(ⅆ g) + (ⅆ f ). g + ⅆ f .ⅆ g - f .g ⇔ f .ⅆ g + g.ⅆ f = ⅆh (14)
o termo ⅆf.ⅆg é considerado por Leibniz infinitesimal (menor que qualquer coisa, inútil) e é eliminado. Então, “dividindo” por ⅆx, ficamos
finalmente com:
4 Parte 1.nb
f .
ⅆ gⅆ x + g.ⅆ fⅆ x = ⅆhⅆ x ⇔ f (x).g ' (x) + g(x). f ' (x) = h ' (x) (15)
Temos aqui o porquê um pouco informal da regra do produto. Da mesma maneira, a regra pode ser provada usando limites sem
problemas e com mais rigor, mas isso não interessa agora...
A notação de Newton é similar ao que estamos habituados (Lagrange), mas ela está restrita aos problemas de física em geral. Ela
oferece as mesmas possibilidades como as outras, entretanto, como eu disse, Leibniz era muito gênio, então na hora de escrever a
matemática dele em livros, tornou-se mais “simples” que a de Newton, história...
2.4 Regra do quociente
A regra do quociente é a que tem a forma mais complicadinha. Pessoalmente, eu gosto de interpreta-la como uma regra do produto,
mas para não confundir, introduzirei ela nas duas notações que vamos usar:
 f (x)
g(x)  ' = f ' (x).g(x) - g ' (x). f (x)[g(x)]2 ⇔ ⅆ
f (x)
g(x) ⅆ x = g(x).
ⅆ f (x)ⅆx  - f (x). ⅆg(x)ⅆx [g(x)]2 (16)
Como podemos ver, a notação de Leibniz não é muito bonita neste tipo de problema, mas é bom ficar sempre atento a ela pois ela é
sim MUITO USADA. Para fixar a regra do quociente na cabeça, vamos resolver dois exemplos:
Exemplo 4:
Prove que a serivada de Tg(x)=Sec²(x) usando a regra do quociente.
A Primeira coisa que temos que lembrar é que
Tg(x) = Sen(x)
Cos(x)
então para este caso, as funções que temos que trabalhar serão as seguintes
Sen(x) = f (x)
Cos(x) = g(x)
Derivando f e g,
f ' (x) = Cos(x)
g ' (x) = -Sen(x)
e finalmente, montando a derivada de acordo com a regra do quociente:
[Tg(x)] ' = Cos2(x) + Sen2(x)
Cos2(x) = 1Cos2(x) = Sec2(x)
Exemplo 5:
Derive a seguinte função:
h(x) = Tg(x)
ln(x)
Como sempre, devemos atribuir ao numerador e denominador funções f e g (ou qualquer outra letra...):
f (x) = Tg(x)
g(x) = ln(x)
Derivando f e g, ficamos com
f ' (x) = Sec2(x)
g ' (x) = 1
x
agora montando o problema, obtemos o resultado “feio”:
h ' (x) = Sec2(x).ln(x) -  1x .Tg(x)[ln(x)]2
Finalmente, deixando o resultado bonito....
Parte 1.nb 5
h ' (x) = Sec2(x)[ln(x)] - Tg(x)x[ln(x)]2
Novamente, eu recomendo pegar as listas de exercícios, livros (Stewart ou Iezzi) e mandar brasa! Pelo menos 10 de cada tipo pra
ficar de boa. Aqui acabamos a primeira parte. À seguir, vamos abordar a aplicação da derivada em funções compostas, a famosa regra da
cadeia.
3 Regra da cadeia
3.1 Funções compostas e sua derivada
No ensino médio, funções compostas geralmente estão figurandas nas listas de assuntos mais confusos que se tornam fáceis ao
longo do tempo. Da mesma forma é a regra da cadeia, que quando vista pela primeira vez, gera muita confusão é fonte de muitos erros por
parte dos alunos. Entretanto, a regra da da cadeia não esconde grandes dificuldades. Ela diz que para uma função composta f(g(x)), a
derivada é dada por [ f (g(x))] ' = g ' (x). f ' (g(x)) (17)
ou na notação de Leibniz: ⅆ fⅆ x = ⅆ fⅆ g .ⅆ gⅆ x (18)
Para funções compostas sucessivas ⅆ fⅆ x = ⅆ fⅆ g .ⅆ gⅆh .ⅆhⅆ z ... ⅆnⅆ x
A dificuldade está justamente em entender como funciona as duas formulas. Muita gente entende a diferencial como uma fração na
notação de Leibniz e acaba cancelando o termo ⅆg, derivando apenas a primeira função, já na notação usual, existe uma confusão entre a
regra da cadeia e a regra do produto. Para driblar estas confusão, a melhor coisa é refinar o jeito que escreve-se o problema, em três
exemplos, vamos mostrar como resolver este problema de maneira mais simples.
Exemplo 6:
Seja uma função f(x) dada por
f (x) = Cosx2
determine sua derivada.
Neste problema, a primeira coisa à fazer é indentificar se existe apenas uma função ou funções dentro de outras funções. Neste caso,
uma dica é perceber se existe funções elementares contendo funções elementares, ou se a variável x está independente. Aqui, temos a função
x2 dentro do cosseno. Identificamos a nossa função então como
f (x) = g[k(x)]
aonde
k(x) = x2
g(k) = Cos(k)
Então para resolver o problema, e achar a derivada para f(x), basta terivar as funções g e k e multiplica-las NORMALMENTE!
k ' (x) = 2 x
g ' (k) = -Sen(k)
multiplicando estes resultados,
f ' (x) = -2 x Sen(k)
A resposta está errada! Observe que temos f’(x) em funçãode x e k, o que não deve aparecer no problema (que depende apenas de
x). Como resolver isto? Simplesmente colocando em seu lugar a própria função k! Finalmente
f ' (x) = -2 x Senx2
Exemplo 7:
Seja f(x) dada por
6 Parte 1.nb
f (x) = eSen(x2)
determine a deriva de f:
Novamene, deve-se identificar e nomear as funções dentro de f, neste caso, temos:
u(x) = x2
v(u) = Sen(u)
w(v) = ev
Agora, temos que derivar u, v e w usualmente...
= ⅆwⅆ v .ⅆ vⅆu .ⅆuⅆ xⅆwⅆ v = evⅆ vⅆu = Cos(u)ⅆuⅆ x = 2 x
multiplicando ⅆwⅆv , ⅆvⅆu e ⅆuⅆx , ficamos com ⅆ fⅆ x = ev.Cos(u) .2 x
substituindo u e v, ⅆ fⅆ x = eSen(u).Cosx2 .2 x
finalmente, substtuindo u novamente teremos como respostaⅆ fⅆ x = eSen(x2).Cosx2 .2 x
Observe que nos dois exemplos tivemos que identificar como a função f esta subdividida. Perceba também que não existe uma“regra do produto” entre as derivadas que calculamos, é mais ou menos como derivadas em função de outras variáveis. O último exemplo
que teremos, vamos misturar a regra do produto com a regra da cadeia, nestes casos (aonde existe misturas de regras) é preciso muita
atenção, pois não podemos esquecer nenhum passo.
3.2 Exemplo mais complicado
Exemplo 8:
Encontre a derivada da seguinte função f:
f (x) = Tg(x) eSen(x)
Primeiramente, Temos que identificar que existe um produto de funções bem explícito, neste caso,
f (x) = g(x) h(x)
g(x) = Tg(x)
h(x) = e¨Sen(x)
Agora, observer que h(x) é uma função composta, vamos então deriva-la usando a regra da cadeia.
h(x) = t(u) = eu, u = Sen(x)ⅆuⅆ x = Cos(x)ⅆ tⅆu = eu
ficamos então com
Parte 1.nb 7
h ' (x) = t ' (u).u ' (x) = eu Cos(x)⇒ h ' (x) = eSen(x) Cos(x)
Agora, lembrando da regra do produto, temos que
f ' (x) = g '.h + g .h ' = Sec2(x).eSen(x) + Tg(x).eSen(x) Cos(x)
simplificando e botando em evidência os termos comuns, a resposta final será
f ' (x) = Sec2(x) + Sen(x) eSen(x)
Observe que para resolver o exemplo 8, olhamos primeiro para a função composta, derivamos e ai aplicamos o resultado na regra do
produto. Este procedimento é mais longo, mas é uma técnica mais inteligente e menos propícia à erros.
4 Derivadas mais complicadas
4.1 Derivadas de funções inversas
Dentro do mundo de funções, existe várias que são invertíveis. A determinação da derivada para funções inversas é importante pois
de certa forma muita funções inversas são importantes no estudo de diversos cenários em diferentes ciências. Por exemplo, na natureza
observamos diversos comportamentos que são logarítimicos. É claro, dentro da economia, principalmente, o estudo de modelos que
descrevem o crescimento de um ramo na indústria estão intimamente ligados à algumas funções especiais.
A função inversa é uma função na seguinte forma:
f (x) = y ⇒ f -1("y") = "x" (19)
Neste caso, o que acotnece é que o domínio e imagem da função trocam de time. Por exemplo, o domínio para a função seno é o conjunto
dos números reais, a função sempre vai fornecer um valor entre -1 e 1, que é sua imagem. A sua função inversa neste caso, o domínio está
restrito ao intervalo fechado -1 a 1 e sua imagem agora é qualquer número real.
Modo prático de determinar a função inversa
Considere o seguinte exemplo:
Exemplo 9:
Determine a função inversa da função abaixo:
f (x) = 3 x + 2
Para determinar a função inversa, considere a função na seguinte forma
y = 3 x + 2
“trocamos” de posição y e x, na forma que ficamos com
x = 3 y + 2
como sabemos que y=f(x), temos que isolar y
f -1(x) = y = x - 2
3
esta é então a função inversa de f(x). Em um gráfico, a função inversa é sempre simétrica à função original, imaginando que o “espelho”
seria a reta y=x.
A derivada da função inversa é dada pela seguinte fórmula:
 f -1(x) ' = 1
f ' (x) (20)
Vamos seguir uma série de exemplos e determinar a função inversa de várias funções importantes. É claro, é fundamental a procura por
exercícos deste assunto. Vale lembrar também da importância de se conhecer as derivadas mais comuns. Segue então os exemplos.
Exemplo 10:
Derivada da função logarítimica.
Sabemos que a função logarítimica se relaciona a função especial da seguinte maneira:
y = Loga x ⇔ x = ay
Sabemos também que a derivada da função exponencial é dada por
8 Parte 1.nb
x ' = ay Ln(a)
Lembrando agora da regra para função inversa,
[Loga x] ' = 1
ay Ln(a)
Observe que esta ainda não é a resposta, pois temos no lado direito ay, ISTO NÃO PODE NUNCA! Mas, lembrando que 
x = ay
substitui-se ay na derivada e então temos como resposta final
[Loga x] ' = 1
x Ln(a) (21)
Observe que se
a = e
ficamos com um caso familiar, aonde
[Ln(x)] ' = 1
x Ln(e) = 1x (22)
Exemplo 11:
Derivada da função arcoseno
A função arcoseno relaciona-se com a função seno da seguinte maneira:
y = arcsen(x)⇔ x = Sen(y) (23)
Da mesma maneira, temos que derivar a “função” x:
x ' = Cos(y)
usando a regra da derivada inversa, ficamos com
[arcsen(x)] ' = 1
Cos(y)
que da mesma forma no caso anterior, não é a resposta, pois o lado direito está variando em função de y. Podemos resolver isto lembrando
que
x = Sen(y) = 1 - Cos2(y)
= Sen2(x) = 1 - Cos2(x)⇒ Cos(y) = 1 - Sen2(y)
= Cos(y) = 1 - x2
Finalmente,
[arcsen(x)] ' = 1
1 - x2 (24)
Observe que sempre queremos o lado direito com a variável sendo x!
Exemplo 12:
Derivada da função arccos(x): Fica como exercício
Exemplo 13:
Dericada da função arctg(x):
Da mesma maneira que outras funções, a função arctg se relaciona com a função tg na seguinte forma:
y = Arctg(x)⇔ x = Tg(y)
Derivando a função x(y), ficamos com
Parte 1.nb 9
ⅆ xⅆ y = Sec2(y)
usando a fórmula da função inversa, ficamos com ⅆⅆ x (Arctg(x)) = 1Sec2(y)
da mesma forma que os casos anteriores, temos que deixar o lado direito variando em x, isto pode ser feito lembrando que
Sec2(y) = 1 + Tg2(y)
Como Tg(y)=x, a resposta então será ⅆⅆ x (Arctg(x)) = 11 + x2 (25)
4.2 Derivação implícita
Nestes dois últimos casos que vamos estudar antes de entrar em aplicações, os conceitos das regras de derivação devem estar
sólidos, sobretudo a regra da cadeia e regra do produto. Primeiramente, vamos falar de um caso mais geral que é a derivação implícita.
Neste caso, o nosso problema está “misturado”, não conseguimos separar a função e seus termos. Isto gera um inconveniente, mas no fundo
o problema é simples quando adquirimos a manha, pois todos eles são resolvidos da mesma maneira. Vamos ver aqui em três exemplos
diferentes que é tudo a mesma coisa!
Exemplo 14:
determine a derivada da seguinte equação em função de x:
y6 + 4 x y + x3 = 0
Observe que não conseguimos “separar” y e x. Digo, tudo que é x para um lado e tudo que é y em outro. Então, sabemos que y=f(x),
então ficamos com algo na forma [ f (x)]6 + 4 x[ f (x)] + x3 = 0
neste ponto espero que se tenha identificado a regra da cadeia! Voltemos então para y por conveniência, derivando todas as funções ficamos
com 6 y5 y ' + [4 y + 4 x y '] + 3 x2 = 0
Eu separei cada termo e vou explicar o que eu fiz. No primeiro par de colchetes, temos a regra da cadeia! Observe que é uma função
f(x) elevada a quinta potência! No segundo termo, temos a regra do produto a primeira função identificada como 4x e a segunda o próprio
y. No último par, temos apenas x3, que é trivial.
O próximo passo agora é isolar a derivada em si, ou seja, o y’
y '6 y5 + 4 x = -4 y + 3 x2
y ' = -4 y + 3 x2
6 y5 + 4 x
ou de forma alternativa
f ' (x) = - 4[ f (x)] + 3 x2
6[ f (x)]5 + 4 x ⇔ ⅆ fⅆ x = - 4[ f (x)] + 3 x26[ f (x)]5 + 4 x
Exemplo 15:
Derive da mesma forma que o exemplo 14 a seguinte equação (exercício)
x3 + y3 - 3 x y + 1 = 0
Exemplo 16 :
Derive a equação abaixo:
Sen (x) Sen (y) = 1
Da mesma forma que os exemplos anteriores, temos que lembrar que f(x)=y, então, lembrandoda regra da cadeia e regra do produto,⇒ Cos (x) Sen (y) + y ' Sen (x) Cos (y) = 0
10 Parte 1.nb
isolando y’, ficamos com
y ' = -Cos(x) Sen(y)
Sen(x) Cos(y) = -CTg(x).Tg(y)
4.3 Derivação logarítimica
Após estes três exemplos, vamos para a derivada logarítimica, que também tem seus paranauês marotos. Este tipo de problema é
identificável como o caso da derivação implícita. É quando a função parece à princípio “indiferenciável”. Veremos então em dois exemplos
como executar este caso que é o mais confuso entre as derivadas, pelo fato de esta ter um “feijão com arroz” único.
Suponha que você quer derivar uma função da forma [ f (x)]g(x). Lembrando que ab = eb ln(a), você pode usar a regra da cadeia, mas
vai se complicar e errar feio, errar rude (eu sei, porque sou muito sinistro e repeti cálculo por isso e outras razões). No entanto, o procedi-
mento aqui é bem mais prático.
Seja
y = [ f (x)]g(x)
passando ln nos dois lados, ficamos com
ln(y) = g(x) ln[ f (x)]
Podemos então derivar rotineiramente os dois lados, lembrando que y=f(x)
1
y
.y ' = g ' (x) ln[ f (x)] + g(x) f ' (x)
f (x)
isolando y’ como na derivação implícita, ficamos com
y ' = y g ' (x) ln[ f (x)] + g(x) f ' (x)
f (x) 
e finalmente substituindo y (como na função inversa), temos para a derivada
y ' = [ f (x)]g(x) g ' (x) ln[ f (x)] + g(x) f ' (x)
f (x)  (26)
Uma dica fundamental, reproduza o procedimento acima, ele é fundamental é certamente entender ao invés de decorar a formula
(93) é muito mais inteligente! Seguimos para os exemplos
Exemplo 17:
Derive f(x) dada por
f (x) = xx
Da mesma maneira que seguimos na “demonstração”, a primeira coisa é chamar f(x)=y e passar o ln nos dois lados:
ln(y) = x ln(x)
derivando dos dois lados, ficamos com
1
y
y ' = ln(x) + 1
Isolando y’ e substituindo y, temos a resposta
y ' = xx[ln(x) + 1]
Observe que estou omitindo passos, reproduza este exemplo!
Exemplo 18:
Derive f(x) dada por
f (x) = [Sen(x)]x
da mesma maneira que seguimos na resolução do exemplo 17...nem vou repetir
ln(y) = x ln[Sen(x)]
Derivando,
Parte 1.nb 11
1
y
y ' = ln[Sen(x)] + Cos(x)
Sen(x) ⇒ 1y y ' = ln[Sen(x)] + Ctg(x)
Isolando y’ e substituindo y, a derivada será então
y ' = [Sen(x)]x {ln[Sen(x)] + Ctg(x)}
5 Taxas relacionadas
Neste primeiro tipo de problema, temos que determinar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra quantidade
relacionada. Os problemas de taxas relacionadas são de certa forma a “aplicação” da regra da cadeia. No geral, o problema fornece uma
informação e cabe ao aluno saber interpretar e descobrir o que o problema pede. Em três exemplos clássicos, vou tentar mostrar a dinâmica
do problema de taxa relacionada. Eu gosto de fazer uma analogia aos problemas matemáticos de ensino fundamental, aonde o professor tem
um problema e informações, e à partir destas informações o aluno tem que resolver o problema. É a mesma coisa, só que com cálculo.
5.1 Problemas clássicos
Nestes problemas, geralmente temos a variação de alguma propriedade (raio ou uma aresta) que varia em relação à alguma coisa.
Vamos abordar dois problemas clássicos. O do tanque em forma de cone e o problema do balão.
Exemplo 19:
Um balão perfeitamente esférico está sendo bombeado com ar. Este bombeamento faz que seu volume aumente à uma taxa de 100
cm3 s-1. Quão rápido o raio do balão está aumentando quando seu diâmetro for 50cm?
Primeiramente, temos que identificar as três coisas fundamentais: O que o problema pede, o que o problema fornece e a quantidade
que devemos trabalhar. Temos então que:⇒ O problema diz que a taxa de variação do volume do balão é 100 cm3 s-1.⇒ O problema quer a taxa de aumento do raio quando o diâmentro for 50 cm.⇒ O problema sugere trabalharmos com a formula do volume da esfera.
Tendo estas informações, agora temos que montar o problema, primeiro:
dado :
ⅆVⅆ t = 100 cm3 s-1 (taxa de variação do volume com o tempo)
o que queremos saber :
ⅆ rⅆ t , quando r = 25 cm
Sabendo que o volume da esfera é dado por
Vesfera = 4
3
π r3
Temos então que montar a regra da cadeia para o problema. Lembrando que o volume varia em relação ao tempo e o raio também, ficamos
com ⅆVⅆ t = ⅆVⅆ r .ⅆ rⅆ t (27)
Temos ⅆVⅆt e ⅆVⅆr , que neste caso basta derivar Vesfera em relação ao raioⅆVⅆ r = 4 π r2
isolando ⅆrⅆt ,
100
4 π r2 = ⅆ rⅆ t
Agora, lembrando do problema, queremos ⅆrⅆt quando o diâmetro da esfera for 50 cm, ou seja, raio de 25 cm. substituido 25 cm no
raio, ficamos com ⅆ rⅆ t = 125 π cm. s-1 (28)
que é a resposta final.
Observe bem neste exemplo que existem diversos passos que podem ser iscas para erros. O primeiro deles é a unidade, observe que
12 Parte 1.nb
este é um problema físico. O maior erro de alunos de física é justamente a unidade, então, antes de começar a montar o problema, certifique-
se que todas as unidades estão padronizadas. A segunda isca é justamente aquela de o problema dar o diâmetro, mas a informação relevante
é o raio, temos que ficar de olho sempre!
Por último, temos que saber o que estamos fazendo. As equações que usamos, como a do volume da esfera estão nas entre linhas
(“balão esferico”), temos sempre que ficar ligados para saber realmente se estamos no caminho correto!
Exemplo 20:
Um tanque de água tem o formato de um cone circular invertido no qual o raio da base é de 2 metros e sua altura é de 4 metros. Se a
água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 m3 min-1, encontre a taxa no qual o nível da agua está subindo quando o
nível da água no tanque está em 3 metros.
Novamente, neste problema temos que saber o que ele dá e o que ele pede. Observe as unidades também, cheque sempre se elas
estão de acordo uma com as outras.⇒ O que o problema pede? A taxa de variação do nível da água quando o nível dentro do tanque for de três metros⇒ O que o problema nos dá? A taxa de bombeamento ⅆVⅆt , e a informação geométrica do nosso volume.
Montando a regra da cadeia do problema, ficamos comⅆVⅆ t = ⅆVⅆh .ⅆhⅆ t (29)
A fórmula do volume de um cone é dada por:
Vcone = 1
3
π r2 h (30)
Agora, preste atenção no enunciado, temos uma informação essencial que relaciona o raio e a altura do cone, temos que a relação
raio/altura do cone é 
r
h
= 2
4
⟹r = h
2
(31)
Substituindo r na equação do volume, teremos
Vcone = 1
12
π h3 (32)
finalmente derivando Vcone em relação à altura, ⅆVⅆh = 14 π h2
Montando o problema ⅆVⅆ t = ⅆVⅆh .ⅆhⅆ t ⟹2 = 14 π h2.ⅆhⅆ t
isolando ⅆhⅆt , ⅆhⅆ t = 8π h2
substituindo h pelo valor que estamos interessados, obtemos como respostaⅆhⅆ t = 8π (3)2 = 89 π m /min
Novamente, preste atenção nas unidades, e nunca esqueça de bota-las na resposta!
5.2 Outros problemas de taxas relacionadas
Nestes dois últimos exemplos de taxas relacionadas, observamos como o problema muda de tópico. Entretanto, a forma de resolver
permanece a mesma.
Exemplo 21:
Suponha que se despeje água num recipiente cilíndrico de raio r = 0,25 metros, à razão constante de 10-3 litros por segundo. Qual a
velocidade de subida do nível da água?
O problema fornece a taxa de variação do volume e o raio, neste caso postos abaixo:
Parte 1.nb 13
ⅆVⅆ t = 10-3 L .s-1
r = 0, 25 m
e também temos pelas entrelinhas a sugestão de usar a equação para o volume do cilindro:
Vcilindro = π r2 h (33)
A regra da cadeia para o problema é ⅆVⅆ t = ⅆVⅆh .ⅆhⅆ t (34)
O raio é constante, então pode-se embutilo diretamente e derivar o volume em relação à altura:ⅆVⅆh = π(0, 25)2
Montando a solução, ficamos com
10-3 = π(0, 25)2 ⅆhⅆ t
isolando ⅆhⅆt , a resposta do problema será ⅆhⅆ t = 10-3π(0, 25)2 = 0, 0051 m / s
Exemplo 22:
O movimento de um ponto P é tal que sua trajetória está contida no gráfico da função
y = f (x) = ln(x)
A projeção de P sobre o eixo dos x tem velocidade escalar 3 m/s constante. Achar,quando P tem abscissa 3m, a velocidade escalar da
projeção de P sobre o eixo dos y.
Seja P=(x,y), x e y são funções do tempo t. Então, foi-nos dado queⅆ xⅆ t = 3
Então, sabendo que 
y = f (x)
monta-se a regra da cadeia do problema, na forma ⅆ yⅆ t = ⅆ yⅆ x .ⅆ xⅆ t
Derivando f(x), ficamos com ⅆ yⅆ t = 1x . 3
e aplicando agora o ponto dado (abscissa é a mesma coisa que eixo dos x...), a resposta seráⅆ yⅆ t = 1(3) . 3 = 1 m s-1 (35)
6 Regra de L’Hopital
A derivada é de uma função de uma variável a taxa de variação de seu coeficiente angular. A importância que isto tem é que este
coeficiene angular pode representar muitas coisas, seja na física, biologia, economia, engenharia entre outras áreas. Devido à vasta interpre-
tação posta sobre este conceito, é necessário que os alunos tenham um domínio mais geral possível.
Os problemas de gráficos geralmente matam o aluno, seja em cálculo um ou mais para a frente. Por exemplo, na física quando se
estuda potênciais em mecância clássica, os alunos não têm domínio nos conceitos mais importantes de variação de funções. Eu não posso
dizer em outras áreas, mas certamente o conhecimento e estudo de funções é essencial em alguma parte nos cursos de graduação. Eu
14 Parte 1.nb
recomendo profundamente que o resumo seja apenas um guideline para resolver os problemas, é essencial cair dentro dos livros e estudar os
seguintes tópicos: Teorema de Fermat (ou teorema do valor médio), Teorema de Rolle e derivadas sucessivas.
6.1 A Regra de L’Hopital
Antes mesmo de começar a resolver os problemas de gráficos, temos primeiro que voltar aos limites, mais especialmente os
limiteque envolvem indeterminações do tipo 0
0
ou ±∞∞ . Primeiramente, suponha que estamos interessados em analisar o comportamento da
função abaixo:
K(x) = ln(x)
x - 1
Mesmo que K não seja definida em x=1, queremos saber o que acontece com a função quando x está próximo de 1. Essencialmente
queremos calcular o seguinte limite:
Lim
x→1 ln(x)x - 1
Eis então a regra de L’Hopital:
Suponha que queiramos calcular um limite na forma
Lim
x→a f (x)g(x)
aonde f e g são diferenciáveis e que g’(x)≠0 em um intervalo aberto que contém a (exceto possívelmente em a). Suponha ainda que
Lim
x→a f (x) = 0 e Limx→a g(x) = 0
ou que
Lim
x→a f (x) = ±∞ e Limx→a g(x) = ±∞
A regra de L’Hopital diz que, sendo as condições acima,
Lim
x→a f (x)g(x) = Limx→a f ' (x)g ' (x) (36)
se o limite do lado direito em (127) existe ou tem o valor de +∞ ou -∞.
Vamos então resolver o o limite (124) como primeiro exemplo.
Exemplo 23:
Resolva o limite (124) pela regra de L’Hopital se possível:
A primeira coisa a se fazer é checar se
Lim
x→1 ln(x) = 0 ou ±∞
e
Lim
x→1 x - 1 = 0 ou ±∞
temos então que
Lim
x→1 ln(x) = 0
Lim
x→1 x - 1 = 0
logo, podemos usar a regra de L’Hopital! Então,
Lim
x→1 ln(x)x - 1 = Limx→1
 1
x

1
= Lim
x→1 1x = 1
Exemplo 24:
Calcule o seguinte limite abaixo pela regra de L’Hopital se possível:
Lim
x→π- Sen(x)1 - Cos(x)
Parte 1.nb 15
Se nós aplicarmos a regra de L’Hopital diretamente sem checar as condições, ficamos com
Lim
x→π- Sen(x)1 - Cos(x) = Limx→π- Cos(x)Sen(x) = Limx→π- Ctg(x) = -∞
o que é ERRADO!!!!! Observe que o limite do denominador é não nulo:
Lim
x→π- 1 - Cos(x) = 1 - (-1) = 2
então o limite (que é resolvido de maneira tradicional) fica como
Lim
x→π- Sen(x)1 - Cos(x) = 02 = 0
Exemplo 25:
Resolva o limite abaixo: 
Lim
x→∞ e
x
x2
Primeiramente SEMPRE DEVEMOS CHECAR AS CONDIÇÕES PARA APLICA A REGRA DE L’HOPITAL. Então,
avaliando os seguintes limites abaixo
Lim
x→∞ ex =∞
Lim
x→∞ x2 =∞
podemos aplicar a regra de L’Hopital sem problemas
Lim
x→∞ e
x
x2
= Lim
x→∞ e
x
2 x
Observe que continuamos com a indeterminação quando aplicamos a regra de L’Hopital, podemos então aplicar a regra de L’Hopi-
tal novamente,
Lim
x→∞ e
x
x2
= Lim
x→∞ e
x
2 x
= Lim
x→∞ e
x
2
agora neste caso não temos a indeterminação no denominador, então o resultado deste limite será
Lim
x→∞ e
x
2
=∞
Então podemos aplicar a regra de L’Hopital sucessivamente, desde que em casa caso as condições de aplicação sejam satisfeitas!
6.2 Produtos indeterminados
Considere agora um limite na forma
Lim
x→a f (x).g(x) (37)
Quando temos limites nesta forma, fica complicado resolve-los primeiramente. Entretanto, pode-se reescrecer o argumento do limite como
f (x).g(x) = 1
1
f (x)
.g(x)
aonde então podemos verificar as condições para aplicar a regra de L’Hopital.
Exemplo 26:
Calcule o limite abaixo
Lim
x→0+ x.ln(x)
Neste caso quando temos um produto, primeiro avalia-se o limite de cada função, ou seja:
Lim
x→0+ x = 0
16 Parte 1.nb
Lim
x→0+ ln(x) = -∞
Temos então uma indeterminação do tipo -0.∞. Reescrevendo o limite na forma indicada, ficamos com
Lim
x→0+
ln(x)
1
x
Avaliando as regras de aplicação da regra de L’Hopital, 
Lim
x→0+ ln(x) = -∞
Lim
x→0+
1
x
=∞
aonde verifica-se a possibilidade de aplicação da regra. Logo, aplicando a regra de L’Hopital,
Lim
x→0+
ln(x)
1
x
= -Lim
x→0+
1
x
1
x2
= -Lim
x→0+ x = 0
6.3 Diferenças indeterminadas
Neste caso, temos um limite na seguinte forma:
Lim
x→a f (x) - g(x) (38)
se o limite de f(x) e g(x) for ∞, então temos o que chamamos de diferença indeterminada. Para resolver este tipo de problema e ajusta-lo à
regra de L’Hopital, temos que procurar um denominador comum de f e g. Como podemos fazer isso? MMC, racionalização ou fatoração,
tem que dar um jeito! Segue então um exemplo que ilustra um caso de diferença indeterminada.
Exemplo 27:
Determine o limite abaixo:
Lim
x→ π
2
- Sec(x) - Tg(x)
O primeiro passo é checar se os limites das funções satisfazem a condição do problema de diferenças indeterminadas, ou seja 
Lim
x→ π
2
- Sec(x) =∞
Lim
x→ π
2
- Tg(x) =∞
Agora, lembrando que 
Sec(x) = 1
Cos(x)
Tg(x) = Sen(x)
Cos(x)
temos um denominador comum para montar o problema e verificar se o limite pode ser resolvido pela regra de L’Hopital.
Lim
x→ π
2
- Sec(x) - Tg = Limx→ π
2
-
1 - Sen(x)
Cos(x)
Avaliando o numerador e denominador, temos
Lim
x→ π
2
- 1 - Sen(x) = 0
Lim
x→ π
2
- Cos(x) = 0
temos uma indeterminação do tipo 0
0
. Aplicando a regra de L’Hopital, ficamos com
Lim
x→ π
2
-
1 - Sen(x)
Cos(x) = Limx→ π
2
-
Cos(x)
Sen(x) = 0
Parte 1.nb 17
Observe novamente que sempre devemos checar se o limite está dentro das condições para que possa ser resolvido pela regra de
L’Hopital. Nunca podemos esquecer de checar estas condições, é comum que um limite em prova seja relativamente simples mas o aluno
erra por aplicar diretamente a regra de L’Hopital, errou rude...
6.4 Potências Indeterminadas
Neste último caso, considere um limite na forma
Lim
x→a [ f (x)]g(x) (39)
Algumas indeterminações exóticas podem aparecer, tais como:
Se o limite de f(x)→0 e g(x)→0 no mesmo ponto a, temos uma indeterminação na forma 00.
Se o limite de f(x)→∞ e g(x)→0 no mesmo ponto a, temos uma indeterminação na forma ∞0.
Se o limite de f(x)→1 e g(x)→∞ no mesmo ponto a, temos uma indeterminação na forma 1∞.
Estes limites são bem complicados, entretanto, não fogem do mesmo estilo de resolução. Em dois exemplos, vamos mostrar como se lida
com eles de maneira correta.
Exemplo 28:
Determine o seguinte limite:
Lim
x→0+ [1 + Sen(4 x)]Ctg(x)
Primeiro, vamos avaliar os limites da base e do expoente de maneira separada e constatar a indeterminação.
Lim
x→0+ [1 + Sen(4 x)] = 1
Lim
x→0+ Ctg(x) =∞
Temos então uma indeterminação do tipo 1∞. Chamemos então [1 + Sen (4 x)]Ctg(x) de y e vamos tirar o logaritimo natural de y
ln(y) = Ctg(x) ln[1 + Sen(4 x)]
Agora, vamos calcularo limite de ln(y) no determinado ponto (não esqueça de checar se a regra de L’Hopital é valida!).
Lim
x→0+ Ctg(x) ln[1 + Sen(4 x)] = Limx→0+ ln[1 + Sen(4 x)]Tg(x) = Limx→0+
 4 Cos(4 x)
1+Sen(4 x) REGRA DA CADEIA
Sec2(x) = 4
Neste ponto, não obtemos a resposta, mas o limite de ln(y), entretanto, sabemos que
y = eln(y)
logo, usando (155) podemos reescrever o limite originar na forma
Lim
x→0+ [1 + Sen(4 x)]Ctg(x) = Limx→0+ eln(y) = Limx→0+ eCtg(x) ln[1+Sen(4 x)]
Sabemos então de (154) que o limite para Ln(y) no ponto é 4, finalmente, a resposta será então
Lim
x→0+ [1 + Sen(4 x)]Ctg(x) = Limx→0+ eln(y) = Limx→0+ eCtg(x) ln[1+Sen(4 x)] = Limx→0+ e4 = e4
Exemplo 29:
(Exercício) Determine usando o método acima o seguinte limite: 
Lim
x→0+ xx
7 Esboço de gráficos
Ceertamente, a construção de gráficos é o cemitério dos estudantes em cálculo 1. Isto não se deve à dificuldade de cada passo, ora, é
apenas derviar e aplicar os limites, coisa que já sabemos fazer. O problema está complicação e processo demorado para fazer um único
problema. Também, saber interpretar de maneira correta cada passo é fundamental. Como deixei claro antes de apresentar a regra de
L’Hopital, é definitivamente importante o aluno conhecer e entender cada processo, o estudo e acompanhamento através de um livro é
fundamental.
Então, qual é a razão deste tutorial? Bem, por incrível que pareça, é ajudar os preguiçosos. Eu nunca gostei de me matar fazendo
18 Parte 1.nb
exercícios durante uma madrugada, preferia selecionar um número pequeno e resolve-los de maneira bem criteriosa a fim de ter um método
que sempre funciona para um determinado tipo de problema. Isto é mais ou menos como resolver uma equação de segundo grau, basta saber
aplicar a mesma formula em todos os problemas! 
Até hoje este método funciona bem, não consigo notas altas, não faço questão, mas prezo por saber resolver os exercícios de
maneira correta e mais fundamentalmente entender o que estou fazendo. Sendo repetitivo, é fundamental o acompanhamento da teoria por
trás dos processos desta receita de bolo. Então sem mais delongas, vamos começar a falar de esboço de gráficos já caindo dentro ds
exemplos
7.1 Roteiro para o esboço de gráficos
O esboço da maioria dos gráficos pode ser feito seguindo uma ordem de passos conveniente. Segue abaixo este roteiro:
1. Determine o domínio da função que deve ser esboçada.
2. Ache as interseções com os eixos coordenados.
3. Verifique se a função é periódica. Caso seja, estude-a apenas em um período.
4. ache as assítotas, na forma que
Assintotas horizontais : Lim
x→±∞ f (x)
Assintotas verticais : em x = a será assíntota se Lim
x→a+ f (x) = ±∞ ou Limx→a- f (x) = ±∞ (40)
5. Ache os intervalos de crescimento e decrescimento
6. Ache os máximos e mínimos locais (teste da primeira derivada)
7. Estude a concavidade e ache os pontos de inflexão (teste da segunda derivada)
8. Esboçe a curva
Sou obrigado a dizer que fora os gráficos que tem assintótas inclinidas, este roteiro é infalível! Seguindo-o passo-a-passo é impos-
sível errar algum problema de esboço de gráficos!
7.2 Um único exemplo
Exemplo 30:
Esboçe o gráfico da função abaixo:
f (x) = 2 x2
x2 - 1
Vamos seguir o roteiro rigorosamente, para não deixar, vamos dizer, desconfianças...
Primeiro passo:
O domínio da função pode ser determinado olhando para o denominador. Observe que este não pode zerar, então a função tem
valores para qualquer número exceto
x2 - 1 = 0 (41)
ou seja, x não pode assumir valores 1 e -1. O domínio da função será então
D( f ) =  - {1, -1} (42)
Segundo passo:
Temos que achar as interseções da função com os eixos coordenados, ou seja, achando suas raizes e o coeficiente linear.
f (x) = 0 ⇒ 2 x2 = 0 ⇔ x = 0 → (0, 0) (interseção com o eixo x)
f (0) = 0 (interseção com o eixo y) (43)
Terceiro passo:
Samemos que este tipo de função não é periódica, então passamos batido neste passo!
Quarto passo:
Aqui vamos checar as assíntotas, primeiramente as horizontais:
Parte 1.nb 19
Lim
x→+∞ 2 x
2
x2 - 1 = (cheque se podemos usar a regra de L ' Hopital !) = 2
Lim
x→-∞ 2 x
2
x2 - 1 = (cheque se podemos usar a regra de L ' Hopital !) = 2
(44)
Temos uma assíntota horizontal em y=2. Para as assíntotas verticais, aplicamos o limite nos pontos 1 e -1
Lim
x→1+
2 x2
2
x2 - 1>0 = +∞
Lim
x→1- 2 x
2
2
x2 - 1<0 = -∞
(45)
Lim
x→-1+
2 x2
2
x2 - 1<0 = -∞
Lim
x→-1- 2 x
2
2
x2 - 1<0 = +∞
(46)
Quinto passo:
Estudando os intervalos de acrescimo e decrescimo, basta derivar f(x) e estudar sua derivada.
f ' (x) = -4 x(-1 + x2)2 (47)
temos que estudar o sinal do numerador e denominador! Observer que o denominador será sempre positivo por estar elevado ao quadrado.
Já o numerador, quando x tem valores negativos ele será positivo, e quando x for positivo, o numerador será negativo. Podemos então
sumarizar este estudo na ilustração abaixo:
Figura 1. Estudo de sinal da derivada primeira
 
Deste estudo, sabemos então que a função cresce nos seguintes intervalos
f (x) cresce em (-∞, -1)⋃ (-1, 0) (48)
f (x) decresce em (0, 1)⋃ (1, +∞) (49)
Sexto passo:
Fazendo f’(x)=0, podemos determinar aonde x será um máximo ou mínimo local. Usando as informações do passo acima, podemos dizer se
é um mínimo ou máximo de fato. Neste caso
f ' (x) = 0 em x = 0 (50)
e de acordo com o passo 5, este é um máximo local (ponto f(0)=0).
Setimo passo:
A derivada segunda nos dirá mais sobre a concavidade do gráfico. Da mesma forma que que tivemos que estudar o sinal da derivada
primeira, faremos os mesmo aqui, na forma que
se f '' (x) > 0 ⇒ concavidade para cima (51)
20 Parte 1.nb
se f '' (x) < 0 ⇒ concavidade para baixo (52)
f '' (x) = [ f ' (x)] ' = 4 (1 + 3 x2)(-1 + x2)3 (53)
fazendo o estudo indicado, teremos a seguinte figura deste estudo:
Figura 2. Estudo de sinal para a segunda derivada
Oitavo passo:
Temos agora, todas as informações necessárias para montar o gráfico, que terá a seguinte forma:
Figura 3. Gráfico da nossa função
7.3 Exercícios extras
Exemplo 31:
Esboçar o gráfico da função
f (x) = 2 x - 1
4 x + 2
Exemplo 32:
Esboçar o gráfico da função
f (x) = x2 + 1
x2 - 1
Exemplo 33:
Esboçar o gráfico da função
f (x) = x
x2 + 1
8 Problemas de máximo e mínimo
Esta é o último tipo de problema aonde se envolve apenas as técnicas e conceitos de derivada. Os problemas de máximo e mínimo
(ou problemas de otimização) têm ampla aplicação em diferentes áreas. Problemas diversos na economia, indústria, engenharia, física e
química são modelados como problemas de otimização. Para a maioria dos problemas de máximo e mínimo, eu gosto de como O livre de
cálculo do Stewart resume uma estratégia de resolução de boa parte dos problemas em uma série de passos.
Parte 1.nb 21
8.1 Estratégia para resolver problemas de otimização
Entendendo o problema
O primeiro passo é ler o problema com bastante atenção até que seja claramente interpretado. Pergunte a si mesmo: O que é o
desconhecido aqui? Quais são as quantidades dadas? Quais são as condições?
Desenhe um diagrama
Na maioria dos problemas é útil desenhar um diagrama e identificar as quantidades requeridas e as dadas pelo problema.
Introduza uma notação
Especifique um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou minimizada (por exemplo chame-a de Q). Também, escolha
simbolos (a, b, c,..,, x, y) para outras quantidades desconhecidas e legende estas no diagrama. Por exemplo, A para área, V para volume e t
para tempo.
Organizando o problema
Espresse Q em funções das quantidades que você nomeou.
Resolvendo o problema
Use os conhecimentode máximo e mínimo (necessários para tudo desde a construção de gráficos) e resolva o problema! 
8.2 Problemas clássicos
Exemplo 34:
Um fazendeiro tem 2400m decercas e quer cercar um campo retangular que à beira de um rio reto. Ele não precisa cercar a margem
do rio. Quais as dimensôes do pasto para que a área seja máxima?
Neste problema em particular, temos que calcular a maior área possível para cobrir com 2400m de cerca esta área, sendo que um
lado do retângulo do pasto não pode ser cercado. Vamos chamar então a área do retângulo de
A = x y (54)
aonde x é a altura do retângulo e y é a base.
Temos também uma restrição, o perímetro (2400m de cerca) aonde podemos escrever da seguinte forma:
2400 = 2 x + y
Isolando y, ficamos com
y = 2400 - 2 x
e substituindo (174) em (172), a nossa equação para área será
A(x) = 2400 x - 2 x2
aonde de (174) podemos ver que x varia de 0 até 1200. Claramente, a função que queremos maximizar é a função (175), calculando sua
derivada, teremos
A ' (x) = 2400 - 4 x
e seu valor extremo é
A ' (x) = 0 ⇒ 2400 - 4 x = 0 ⇔ x = 600
Pelo teste da derivada segunda, temos que 
A '' (x) = -4 < 0 para todo x
então este ponto é o máximo absoluto!
Agora finalizando o problema sabendo que o valor de área máximo ocorre para x=600, y máximo será
y = 2400 - 2 x ⇒ y = 2400 - 2 (600) = 1200
a área máxia será então de 
A = x y = (600) (1200) m2 = 720.000 m2
Exemplo 35:
Deseja-se construir um recipiente cilíndrico (sem tampa) de V litros de capacidade. Quais são as dimensões do recipiente que
requerem o mínimo de material?
22 Parte 1.nb
Sejam h e r a altura e o raio da base do cilindro, respectivamente, a formula para o volume do cilindro é
Vcilindro = π r2 h (55)
Neste problma, devemos calcular a área da superfície e minimizá-la:
A(r) = π r2 + 2 π.r.h
da fórmula do volume, vem
h = Vπ r2
substituindo,
A(r) = π r2 + 2 V
r
, r > 0
Agora temos que calcular a derivda desta função, A’(r) será
A ' (r) = 2 π r - 2 V
r2
para um máximo ou mínimo, A’(r) deve ser igual a zero! Então
r = Vπ3
e fazendo o teste da segunda derivada
A '' (r) = 2 π + 4 V
r3
> 0 (r > 0 )
concluimos que Vπ3 é o ponto mínimo de A, e é a resposta procurada.
9 Integral indefinida
9.1 Uma introdução rápida ao problema
Naturalmente, do estuda da derivada, temos o problema aonde estamos na verdade saber qual a função original que geral tal
derivada. Esta função é chamada de Primitiva. Intuitivamente, apresentamos a função primitiva comoⅆⅆ x F(x) = f (x) (56)
aonde F(x) é a primitiva. A integral indefinida é essencialmente a primitiva em si. Chama-se integral indefinida pois não existe ainda uma
teoria por trás de seu significado, apenas sua caracteristica como uma função que derivada é f(x). Usando a notação de Leibniz, vamos
manipular a equação (188), na forma que ⅆF(x) = f (x) ⅆ x
agora, o problema diz que a diferencial ⅆF(x) é igual a f(x)ⅆx. Integrar então é o processo que temos que fazer para sair da diferencial para
as funções! Então introduzindo sem muita formalidade a notação que indica primitivação (ou integração),
 ⅆF(x) = f (x) ⅆ x = F(x) + c (57)
Certamente, já do que sabemos de derivada temos uma lista de funções e suas primitivas, estas tabelas de “integrais” imediatas
podem ser encontradas em muitos lugares, não acho necessário repeti-la aqui. Agora uma pergunta: Por que daquele c ali na equação (190)?
Bem, lembrando das derivadas, samemos que a a derivada de uma constante é zero! então não podemos deixar de lado na primitiva qualquer“resto” que seja constante na função primitiva, temos então um número infinito de “c”! Temos então uma família de funções que são
diferentes apenas pelo seu coeficiente linear. 
9.2 Propriedades da integral indefinida
O processo de integração, assim como o processo de derivação segue propriedades diretas. Estas propriedades ajudam na hora de resolver o
problema!
Parte 1.nb 23
∫ m . f (x) ⅆ x = m ∫ f (x) dx∫ [m . f (x) ± k.g(x)] ⅆ x = m ∫ f (x) dx ± k ∫ g(x) dx∫ - f (x) ⅆ x = -∫ f (x) dx
Exemplo 36:
Determine F(x) quando f(x) for
f (x) = 1
1-x2 ,
1
1+x2 , xn
Para o primeiro f(x), temos uma integral na seguinte forma
F(x) = 1
1 - x2 ⅆ x
ora, sabemos das tecnicas de derivação que a F(x) que derivada é igual a 1
1-x2 é F(x)= Arcsen(x) + c. O mesmo ocorre para a segunda
f(x). Vamos então para a terceira:
F(x) = xn ⅆ x
Sabemos que a derivada de xn é ⅆⅆ x xn = n xn-1
então a primitiva da função do lado direito deve somar +1 no exponte e ser dividida por n para sumir com o que está multiplicando Então
 n xn-1 ⅆ x = xn + c
por intuição, vamos fazer o mesmo para xn,
 xn ⅆ x = xn+1 + c
Opa! quando derivamos xn+1, não encontramos xn, então temos que dividir nossa primitiva por n+1, logo
 xn ⅆ x = xn+1
n + 1 + c
ogora, sabemos que esta primitiva é verdadeira para qualquer n, MENOS QUANDO n=-1!!!!! Por que isso meu Deus??? Ora, a derivada de
ln(x) é justamente 1
x
, então esta torna-se o caso particular o que fizemos então. A solução do problema será então
F(x) = xn+1
n + 1 + c , (n ≠ -1) (58)
10 Técnicas de Integração
Existem diversas formas de resolver uma integral. Aqui vamos abordar os dois casos mais simples, que é o método de substituição e
a integração por partes. Estes dois métodos não são tão elaborados quanto o método de frações parciais, no qual vou fazer em um “capítulo”
à parte.
10.1 Método da substituição
Suponha que queiramos integrar a seguinte função ϕ(x) = 2 x ex2
ficamos então com a seguinte integral:
F(x) = 2 x ex2 ⅆ x
Observe bem para o integrando, temos um integrando do tipo regra da cadeia! Temos então um desenvolvimento de diferenciais do tipo:
24 Parte 1.nb
ⅆF(x)ⅆ x = ⅆFⅆ g .ⅆ gⅆ x (59)
misturando as notações, ficamos com algo deste tipo
F ' (x) = F ' (g).g ' (x)
A integral será então da seguinte forma
 F ' (x) ⅆ x = F ' (g) ⅆ g(x)ⅆ x ⅆ x
ou fazendo de conta que ⅆgⅆx é um quociente, teremos  F ' (g(x)) ⅆ g(x)
vamos mudar de variáveis (por isto o nome deste método é substituição)
g(x) = u, ⅆ g(x) = ⅆu
a integral toma a seguinte forma
 F ' (u) du (60)
a equação do tipo (202) pode ser resolvida seguindo estes passos:
1.º) Substitui-se g(x) por u, u=g(x)
2.º) O símbolo ⅆg(x)ⅆx ⅆx é substituido por ⅆu, ⅆu=g’(x)dx
Usando finalmente para resolver a integralde ϕ(x),
Exemplo 37:
F(x) = 2 x ex2 ⅆ x, u = x2, ⅆu = 2 x ⅆ x ⇒ ⅆ x = ⅆu
2 x
a integral toma a seguinte forma
F(x) = eu ⅆu = eu + c
substituindo u,
F(x) = ex2 + c
e verificando por derivação, podemos atestar que esta é mesmo a primitiva de ϕ(x).
Exemplo 38:
Achar a integral da seguinte função f abaixo:
f (x) = x ex2
Primeiramente vamos escrever a integral propriamente dita
I = x ex2 ⅆ x
vamos agora fazer a substituição chamando u = x2. derivando u, ficamos comⅆuⅆ x = 2 x
isolando ⅆx, ⅆu
2 x
= ⅆ x
e substituindo em (210) teremos
Parte 1.nb 25
I = x eu ⅆu
2 x
= 1
2
 eu ⅆu = 1
2
eu + c
paraa resposta final, basta substituir u por x2
I = 1
2
ex
2 + c
Exemplo 39:
Ache a integral de Tg(x). (exercício)
Exemplo 40:
Achar
I = 1
a2 + x2 ⅆ x
Neste caso, vamos fazer u = x
a
, derivado e isolando ⅆx, teremosⅆuⅆ x = 1a ⇒ ⅆ x = a ⅆu
observe que
x = a u ⇒ x2 = a2 u2
concluindo toda a substituição
I = 1
a2 + a2 u2 a ⅆu = aa2 11 + u2 ⅆu = 1a  11 + u2 ⅆu
Das derivadas de função inversas sabemos que a função derivada que gera 1
1+u2 é Arctg(u), ficamos então com
I = 1
a
Arctg(u) + c
substituindo u, a resposta será
I = 1
a
Arctg
x
a
+ c
10.2 Integrais trigonometricas
Em certas integrais, é importante sabermos usar as identidades trigonometricas quando temos algumas combinações de funções do
tipo no integrando.
Exemplo 41:
Ache ∫ Cos3(x) ⅆ x:
Observe que chamar u=Cos(x) não é de grande ajuda, pois vamos ter termors extras em ⅆu. Então, para contaronar este inconve-
niente, vamos fazer o seguinte procedimento:
Cos3(x)= Cos2(x) Cos(x)
Da indentidade fundamental triginometrica, sabemos que
Cos2(x) = 1 - Sen2(x)
Substituindo em (220) e o resultado na integral
 Cos3(x) ⅆ x = 1 - Sen2(x) Cos(x) ⅆ x
fazendo agora a substituição:
u = Sen(x)ⅆuⅆ x = Cos(x)⇒ ⅆuCos(x) = ⅆ x
26 Parte 1.nb
 1 - Sen2(x) Cos(x) ⅆ x = 1 - u2 ⅆu = u - u3
3
+ c
como u=Sen(x), teremos então como resposta
 Cos3(x) ⅆ x = Sen(x) - Sen3(x)
3
+ c
Existem muitos outreos casos de integrais trigonometricas, novamente eu recomendo o Stewart para ser usado como guia, no livro
existe uma seção que lida com muitos casos e oferece os atalhos e bizus. 
10.3 Substituição trigonométrica
Nestes casos de substiuição, temos que saber trabalhar melhor ainda os casos de indentidades trigonometricas! A substituição
trigonometrica é bem explicada no Livro de bolso do Paulo Boulos assim como no livro do Stewart. Temos uma tabela guia que é muito útil
na resolução destes problemas:
Expressão Substituição Identidade
a2 - x2 x = a Sen(θ) 1 - Sen2(θ) = Cos2(θ)
a2 + x2 x = a Tg(θ) 1 + Tg2(θ) = Sec2(θ)
x2 - a2 x = a Sec(θ) Sec2(θ) - 1 = Tg2(θ)
(61)
Exemplo 42:
Resolva a seguinte integral:
 9 - x2
x2
ⅆ x
Observe que o integrando é na forma a2 - x2 , fazendo a substituição sugerida, ficamos com
x = 3 Sen(θ), ⅆ x = 3 Cos(θ) ⅆθ ⇒
 9 - x2
x2
ⅆ x = 9 - 9 Sen2(θ)
9 Sen2(θ) 3 Cos(θ) ⅆθ
Colocando o 9 em evidência eextrainda a raiz, teremos
 1 - Sen2(θ)
Sen2(θ) Cos(θ) ⅆθ = 1 - Sen2(θ)Sen2(θ) Cos(θ) ⅆθ
lembrando ainda que 
1 - Sen2(θ) = Cos(θ)
ficamos com
 Cos2(θ)
Sen2(θ) ⅆθ = Ctg2(θ) ⅆθ = -Ctg(θ) - θ + c
Temos que voltar para a variável original, ou seja, x.
θ = Arcsen x
3
9 - x2
x
= Ctg(θ)
logo a resposta final será
 9 - x2
x2
ⅆ x = - 9 - x2
x
- Arcsen x
3
+ c
Parte 1.nb 27
processos de resolução similares são feitos para os outros tipos de substituição!
10.4 Integração por partes
A integração por partes vem da manipulação da regra do produto para derivadas. Ela ajuda a resolver integrais do tipo
 u(x) v ' (x) ⅆ x (62)
vamos então deduzir a técnica:
Lembrando que a regrada do produto para derivadas é[u(x).v(x)] ' = u ' (x) v(x) + u(x) v ' (x)
uma mudança de lados dos termos nos dará
u(x) v ' (x) = [u(x).v(x)] ' - u ' (x) v(x)
integrando os dois lados
 u(x) v ' (x) ⅆ x = u(x).v(x) - u ' (x) v(x) ⅆ x (63)
o método consiste em escolher a melhor função que deve ser reconhecida como g’(x) e f(x), em exemplos é fácil ver como este processo
ocorre.
Exemplo 43:
Use o método de integração por partes para calcular a integral abaixo:
 x ex ⅆ x
A primeira coisa a fazer é dar nome aos bois:
u = xⅆ v = ex ⅆ x
derivando e intgrando u e ⅆv, ⅆu = ⅆ x
v = ex (a constante c entra no resultado final)
Montando a integral, ficamos com
 x ex ⅆ x = u.v - v ⅆu = x ex - ex ⅆ x
o resultado da integral restante é imediato, então como resultado teremos
 x ex ⅆ x = x ex - ex + c = ex(x - 1) + c
Em alguns casos, temos que aplicar o método novamente na integral restante várias vezes, é importante notar porém quando a
integral original irá se repetir! Vamos ver um exemplo que mostra como isto acontece.
Exemplo 44:
Achar ∫ ex Sen(x) ⅆ x:
Resolvendo esta integral de forma usual, vamos atribuir nome às funções
u = exⅆ v = Sen(x) ⅆ x
derivando u e integrando ⅆv, ⅆu = ex ⅆ x
v = -Cos(x)
e montando a integral, ficamos com
I = ex Sen(x) ⅆ x = -ex Cos(x) +  ex Cos(x) ⅆ x
 Observe que temos que aplicar novamente a técnica em ∫ ex Cos(x) ⅆ x! Aplicando novamente, vamos atribuir novas funções u e v’:
28 Parte 1.nb
u = exⅆ v = Cos(x) ⅆ x
derivando u e integrando ⅆv, ⅆu = ex ⅆ x
v = Sen (x)
Teremos então
 ex Sen(x) ⅆ x = -ex Cos(x) + ex Sen (x) - ex Sen (x) ⅆ x
ora, a integral se repetiu! então ficamos com algo do tipo:
2 ex Sen(x) ⅆ x = ex[Sen(x) - Cos(x)]
a resposta final será então
 ex Sen(x) ⅆ x = 1
2
ex[Sen(x) - Cos(x)] + c
De praxe, recomendo o Stewart par os exercícios.
11 Frações parciais
Este é o último método de itegração que aprendemos em cálculo 1. Conhecido também como método de funções racionais,ele não
é o mais difícil (pessoalmente a substituição trigonométrica demanda mais concentração e conhecimento), mas com certeza o mais compli-
cado. O método consiste em reescrever o integrando de forma mais simples, aonde geralmente caimos em substituições simples e logariti-
mos. É fácil, mas o treinamento é indispensável.
11.1 Caso 1: O denominador é um produto de fatores lineares distintos
Suponha que queiramos resolver a seguinte integral:
 p(x)
q(x) ⅆ x
aonde q(x) pode ser escrito da seguinte forma:
q(x) = (x - x1) (x - x2) ... (x - xn)
podemos escrever o integrando p(x)
q(x) da seguinta maneira:
p(x)
q(x) = A1(x - x1) + A2(x - x2) + ... + An(x - xn)
Substitundo na integral original, ficamos com
 p(x)
q(x) ⅆ x = A1(x - x1) ⅆ x + A2(x - x2) ⅆ x + ... + An(x - xn) ⅆ x =
= A1 1(x - x1) ⅆ x + A2 1(x - x2) ⅆ x + ... + An 1(x - xn) ⅆ x == A1 ln(x - x1) + A2 ln(x - x2) + ... + An ln(x - xn) + c
(64)
Neste caso, o problema se reduz à deterinação dos numeros Ai, i = 1, 2, ..., n.
Exemplo 45:
Calcule a seguinte integral:
 12 x2 - 22 x + 12(x - 1) (x - 2) (x - 3) ⅆ x
O primeiro passo, é escrever o integrando na seguinte forma:
Parte 1.nb 29
12 x2 - 22 x + 12(x - 1) (x - 2) (x - 3) = A(x - 1) + B(x - 2) + C(x - 3)
o lado direito e esquerdo devem ser iguais, então, colocando o lado direito em uma base comum, ficamos com
A(x - 1) + B(x - 2) + C(x - 3) = A(x - 2) (x - 3) + B(x - 1) (x - 3) + C(x - 1) (x - 2)(x - 1) (x - 2) (x - 3)
ou
A(x - 2) (x - 3) + B(x - 1) (x - 3) + C(x - 1) (x - 2) = 12 x2 - 22 x + 12
atribuindo valores para x,
x = 1 → A = 1
x = 2 → B = -16
x = 3 → C = 27
Daí, montando a nova integral, ficamos com
 12 x2 - 22 x + 12(x - 1) (x - 2) (x - 3) ⅆ x = 1(x - 1) - 16(x - 2) + 27(x - 3) ⅆ x =
= ⅆ x(x - 1) - 16 ⅆ x(x - 2) + 27 ⅆ x(x - 3) == ln(x - 1) - 16 ln(x - 2) + 27 ln(x - 3) + c
11.2 Caso 2: O denominador é um produto de fatores lineares, alguns dos quais repetidos
Neste segundo caso, temos a seguinte situação:
Suponha que queiramos calcular a seguinte integral:
Exemplo 46:
 x3 + 1
x(x - 1)3 ⅆ x
Diferente do que acontece no caso 1, temos monômio repetidos no denominador. Neste caso, podemos separar o integrando da
seguinte forma:
x3 + 1
x(x - 1)3 = Ax + Bx - 1 + C(x - 1)2 + D(x - 1)3
reduzindo ao mesmo denominador,
x3 + 1 = A(x - 1)3 + B x(x - 1)2 + C x(x - 1) + D x
e atribuindo valores para x:
x = 0 → A = -1
x = 1 → D = 2
Identificando o coeficiente de x3 do primeiro membo com o coeficiente x3 do segundo,
1 = A + B → B = 2
e fazendo o mesmo para o coeficiente de x,
0 = 3 A + B - C + D → C = 1
Agora, basta substituir e integrar de maneira usual (as integrais são triviais). A resposta final será
 x3 + 1
x(x - 1)3 ⅆ x = -ln(x) + 2 ln(x - 1) - 1x - 1 - 1(x - 1)2 + c
Existe ainda outros casos de integrais que usamos o método de frações parciais, mas os exemplos acima contam por 60% de todos os
problemas. Outros dois casos podem ser vistos com muitos exemplos em livros de cálculo. O objetivo aqui não é ser um oráculo, é simplis-
mente motivador (e salvador em casos de desespero total), então fica por conta do aluno procurar exercícios e suplementar as técnicas, ou
seja, estudar!
30 Parte 1.nb
12 Integrais definidas
As integrais definidas surgem do problema da área. É normal em muitos livros a introdução da integral definida antes mesmo da
definida. Entretanto, como estamos cansados de saber, os professores da UERJ deixam de mão a integral definida e botam pra quebrar nas
técnicas de integração. Um resumão legal, o que acontece na integral definida é o seguinte:

a
b
f (x) ⅆ x = F(b) - F(a) (65)
este é o famigerado Teorema fundamental do cálculo. O que temos aquié o seguinte, temos que calcular a integral, determinar seus
valores em x=b e x=a e subtrair um do outro. Não vou resolver nada difícil, vou apenas ilustrar como funciona...
12.1 Exemplos fáceis
Exemplo 47:
Determine o valor de

2
4
x ⅆ x
Esta integral é muito fácil, a primitiva é 
F(x) = x2
2
+ c
calculando F(4) e F(2):
F(4) = 8 + c
F(2) = 2 + c
A resposta será dada pelo lado direito de (267):

2
4
x ⅆ x = (8 + c) - (2 + c) = 6
observe agora que o c é irrelevante, na integral definida podemos esquecer ele. Compare com o resultado geométrico (desenho do gráfico da
função f(x)=x no intervalo dado).
Exemplo 48:
Calcule a integral abaixo:

0
π/2
Cos(x) - Sen(x) ⅆ x
Para resolver esta integral, basta achar a primitiva

0
π/2
Cos(x) - Sen(x) ⅆ x = 
0
π/2
Cos(x) ⅆ x - 
0
π/2
Sen(x) ⅆ x =
= Sen π
2
- Sen(0) - -Cos π
2
+ Cos(0) = 1 - 1 = 0
E isto é a integral definida!
Parte 1.nb 31