métodos quantitativos

Prévia do material em texto

(VFROD�GH�
1HJyFLRV
0pWRGRV�4XDQWLWDWLYRV
3URI��0V��2VPDU�3DVWRUH�H�3URI��0V��)UDQFLVFR�0HUOR
2 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Conceitos Iniciais
Objetivo
Esta unidade tem o objetivo de fornecer uma visão geral dos conceitos básicos fundamentais 
para o entendimento dos demais tópicos de conteúdo, assim como fornecer uma pequena 
introdução sobre as equações e inequações algébricas – que serão tratadas com mais detalhe 
na segunda unidade; e apresentar uma visão geral da teoria de conjuntos, como subsídio para 
um melhor entendimento da maneira correta de se entender e tratar classificações múltiplas de 
elementos, segundo critérios não mutuamente exclusivos.
Representações numéricas
Nos primórdios da história do homem, a necessidade da contagem inexistia, pois os homens 
retiravam seu sustento diretamente da natureza, sem acumularem qualquer tipo de posse que 
não conseguissem carregar consigo. A contagem começou com a sofisticação das atividades 
humanas, quando o homem progressivamente abandonou as atividades nômades, para fixar-
se a terra. Com o começo da produção, tornou-se criador de animais domésticos, por exemplo. 
Desta época remontam também as primeiras formas de calendário, dada a necessidade de 
registro das fases do ano, correspondentes a épocas mais propícias ao plantio.
Com relação à contagem de animais, o pastor, pela manhã, soltava os seus carneiros e 
analisava ao final da tarde, se algum tinha se extraviado ou acrescentado ao rebanho. Assim 
eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha 
que era armazenada em um saco.
Cada animal correspondia a uma pedra que era posta em um saco de couro, quando ia para 
o pasto. Quando os animais voltavam do pasto, era feita a operação inversa, isto é, para cada 
animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma 
pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, isto 
3 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
seria notado porque as pedras acabariam dentro do saco antes do final do recolhimento dos 
animais. Este é um dos primeiros processos analógicos de que se tem notícia: era feita uma 
analogia entre as pedras e os animais, quando o tratamento de um equivalia ao tratamento 
do outro.
Curiosamente, a palavra cálculo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha 
(é só lembrar-se de cálculos renais). Mas outras analogias eram também usadas: nós em 
cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos etc.
A partir daí, a necessidade de se avaliar quantitativamente o espaço habitado levou o homem 
a desenvolver inúmeros sistemas de contagem e representação numérica, o que nos trouxe 
aos dias de hoje através de iniciativas de diversos povos: os egípcios, os babilônicos, os 
chineses, os hindus e os árabes.
É do norte da Índia, nos meados do século V, que vem às primeiras referências históricas 
ao nosso sistema numérico atual, onde surgiram os primeiros símbolos que evoluíram para 
se transformar nos algarismos arábicos, erroneamente assim designados, embora os árabes 
tenham tido forte influência na disseminação destes símbolos e do sistema numérico a eles 
associado.
Note que inicialmente o ZERO era uma ideia numérica de difícil concepção e por esta razão 
representada como um espaço vazio por muitos povos (sem um símbolo a ela associado), 
o que é comprovado pela inexistência de uma representação para ele em outros sistemas 
numéricos anteriores, com o sistema romano. A ideia de uma representação para o ZERO 
e de seu significado é mais recente, associada por muitos ao trabalho de Fibonacci (1175 a 
1240): um matemático com vários trabalhos importantes que chegam aos nossos dias e que 
teria estudado matemática em suas viagens pelo Islã.
Mas chega de história e comecemos a considerar as representações numéricas que se é 
utilizada hoje.
4 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Conjuntos Numéricos1 
Os conjuntos numéricos foram surgindo conforme a necessidade uma de representar 
quantidades progressivamente mais complexas os sofisticadas. Pela própria sequência de 
apresentação dos conjuntos numéricos se percebe isto:
1. Conjunto dos Números Naturais
É o grupamento de todos os números inteiros positivos, o que inclui a quantidade ZERO. 
Este conjunto é representado pela letra maiúscula N.
Em muitos casos se destaca o conjunto dos números naturais não nulos (que exclui o zero). 
Neste caso, se coloca um asterisco ao lado da letra N para representar tal conjunto:
 N*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}
 N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}
2. Conjunto dos Números Inteiros
É o grupamento de todos os números que pertencem ao conjunto N (dos naturais), mais 
ampliado com as suas respectivas representações negativa. Este conjunto é representado 
pela letra Z.
 Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3…}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos2 de destaque:
•	 Os inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são negativos (inclui o 
ZERO). Este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais e pode ser representado 
alternativamente por Z+.
•	 Os inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são positivos (inclui o 
ZERO). Pode ser representado alternativamente por Z-.
1O conceito de “conjunto” será tratado mais 
adiante, ainda nesta unidade.
2O conceito de “subconjunto” será tratado 
mais adiante, nesta unidade.
5 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
•	 Os inteiros não negativos e não nulos: equivalente ao conjunto Z+ excluindo o zero. 
Representa-se por Z*+
•	 Os inteiros não positivos e não nulos: equivalente ao conjunto Z- excluindo o zero. 
Representa-se por Z*-.
3. Conjunto dos Números Racionais
É um conjunto que engloba todo e qualquer número que pode ser expresso por uma 
divisão de números inteiros. A palavra racional, neste caso, está associada a um de seus 
significados menos usual: fração.
Este conjunto é representado pela letra Q.
Estes números englobam números decimais finitos e os infinitos periódicos (que repetem 
uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente). Estes últimos são também 
conhecidos como dízimas periódicas.
Naturalmente, este conjunto engloba os números inteiros por que todos eles podem ser 
representados por uma fração do tipo: 
A letra “I”, neste caso, pode ser substituída por qualquer número inteiro.
4. Conjunto dos Números Irracionais
Analogamente, este conjunto é formado pelos números que não podem ser representados 
por uma divisão de números inteiros. Não se deve tomar a palavra irracional como sendo 
algo insensato ou ilógico, mas sim como algo incapaz de ser expresso exatamente como a 
razão entre dois números inteiros.
Este conjunto é representado pela letra I.
I
1
I = 
6 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Excelentes exemplos de números irracionais são o número PI (resultado da divisão do 
perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265…; e todas as 
raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135…).
5. Conjunto dos Números Reais
É o conjunto formado por todos os conjuntos citados anteriormente, ou mais simplesmente, 
pela união do conjunto dos racionais com conjunto dos irracionais. Este conjunto é 
representado pela letra R.
Esquematicamente se poderia assim associar os conjuntos numéricos.
Figura 1 - Correspondência dos Conjuntos Numéricos
Note que a cada nível superior se acrescenta mais elementos aos conjuntos.
7 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional é datado do século V, surgido junto com os trabalhos que 
deram origem aos algarismos que utilizamos hoje. No entanto, esteprincípio já era, de certa 
forma, utilizado nos sistemas numéricos egípcios e chineses.
A notação (ou valor) posicional é empregada quando atribuímos a cada algarismo um 
determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do 
numeral.
Isto significa que, mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor por ele 
representado.
A ideia é simples: embora se utilize os mesmos algarismos, os números 34 e 43 têm significado 
diferente porque seus algarismos mudaram de posição.
Na prática, a primeira posição da direita representa a quantidade de unidades envolvida e, a 
segunda, a quantidade de dezenas.
 3×10+4×1=34
 4×10+3×1=43
O ZERO surge aqui como importante elemento para representar a ausência de valores em 
uma determinada posição:
 3 centenas+ZERO dezenas+7 unidades=307
Note que as posições representam potências sucessivas de 10 (100=1, 101=10, 102=100 
e assim por diante). Daí se dizer que nosso sistema de numeração usa a base dez, com 
correspondência direta e natural com os dedos das mãos de um indivíduo normal.
8 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta. Este sistema chega até nossos dias 
através da divisão do círculo em 360 graus, por exemplo.
Os romanos preferiam a base doze. Também este sistema chega até hoje com a tradição de 
se comprar dúzias de frutas nas feiras livres.
O sistema de numeração que utilizamos acaba por retratar o velho mais importante ábaco 
chinês. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.
Figura 2 - Ábaco Chinês
E esta é a razão porque precisamos posicionar adequadamente os algarismos dos números 
quando fazemos operações de soma ou subtração: para associar corretamente unidades com 
unidades, dezenas com dezenas e assim sucessivamente.
Frações
São números que exprimem uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma “coisa” inteira.
O exemplo clássico é a pizza: se dividirmos uma pizza em quatro partes iguais, cada parte 
representará uma fração da pizza.
9 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Na prática, a fração representa a divisão 
de algo em partes iguais. Então um quarto 
significa que temos a unidade dividida em 
quatro partes iguais.
O número na parte de cima do traço de 
fração é chamado de “numerador” e o 
número na parte de baixo é chamado de 
“denominador”.
Note que não há possibilidade de divisão em “zero” partes. A razão disto é relativamente 
simples de se explicar.
Primeiro se supõe que exista um número igual a uma divisão por ZERO. 
Por exemplo:
Neste caso, “N” seria este suposto número. Agora, por uma regra simples de tratamento de 
igualdades, que veremos mais adiante, se pode passar o denominador do lado direito, que 
divide o valor 10, para o lado esquerdo, multiplicando. Ficaria assim:
Mas isto é impossível, porque qualquer número multiplicado por ZERO dá como resultado 
ZERO. Então, nossa suposição inicial estava errada. Não existe um número que seja o resultado 
de uma divisão por ZERO.
Nós vimos frações com o numerador igual à “1”. Mas o que significaria uma fração com 
numerador diferente de “1”? Significaria que temos mais que uma parte daquelas em que 
originalmente foi dividida a “coisa”. 
10 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Exemplo:
 significa que temos dois pedaços de uma unidade (a “coisa”) que foi originalmente 
dividida em quatro pedaços iguais.
Frações Equivalentes
Dá-se o nome de frações equivalentes às frações que representam a mesma parte de um todo, 
como o próprio nome já indica.
As frações equivalentes são produzidas multiplicando-se tanto o numerador, quanto o 
denominador, por um mesmo número inteiro. 
Por exemplo:
Para se entender a equivalência de frações, recorre-se novamente à nossa pizza. Dividir-se 
uma pizza em duas partes iguais e se comer uma é “equivalente” a se dividir a mesma pizza 
em quatro partes iguais e se comer duas destas partes. Ou se dividir a pizza em oito partes 
iguais e se comer quatro destas partes.
As frações equivalentes também podem ser produzidas dividindo-se tanto o numerador, quanto 
o denominador, por um mesmo número inteiro. Seria o caso de se considerar a expressão 
anterior de trás para frente:
Neste último caso se diz que estamos simplificando as frações.
11 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
MMC - Mínimo Múltiplo Comum
O próprio nome que designa o termo explica seu significado. Trata-se do menor múltiplo de 
dois ou mais números que se pode encontrar. Vamos a um exemplo.
Qual o MMC de 6 e 8? Ou seja, qual é o menor múltiplo de 6 e 8 simultaneamente?
Neste caso, será 24!
Vejam que 24:4=6, assim como 242:3=8. Portanto, o MMC é 24. Vejamos outros exemplos.
Tabela 1 – Exemplos de MMC
Operações com Frações
Adição e Subtração de Frações
Para tratarmos a adição e a subtração de frações, dividimos as considerações em dois casos:
Quando os denominadores de todas as frações envolvidas forem iguais. Neste caso, basta se 
executar as operações com os numeradores e o resultado final se escrever sobre o denominador 
comum:
12 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Mas, quando os denominadores são diferentes, se precisa usar de um artifício que faça com 
que possamos igualar os denominadores e tratar o resultado desta transformação pelo mesmo 
método do primeiro caso.
O que fazemos então é substituir cada uma das frações originais por frações equivalentes (que 
representam a mesma quantidade), com um denominador igual a um mesmo múltiplo comum 
a todos os denominadores originais: em geral se usa o mínimo múltiplo comum (MMC) dos 
denominadores originais. Vamos a um exemplo:
Neste caso, o MMC entre 6 e 4 foi mostrado nos exemplos dados anteriormente. É igual a 12. 
Então vamos substituir cada fração por uma fração equivalente com denominador igual a 12:
Com esta substituição se transforma o problema original em outro, que pode ser tratado pelo 
primeiro método, já que temos denominadores iguais agora:
Não importa quantas frações estejam envolvidas e se temos adições ou subtrações. O método 
é sempre o mesmo.
13 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum 
pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30:
 Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120...
 Múltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180...
O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60, por ser o menor valor numérico que ocorre ao 
mesmo tempo na lista de múltiplos dos dois números.
Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30, ou de qualquer outro conjunto de valores, 
é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os 
fatores não comuns.
Observe:
Pela definição, se escolheria os fatores “2” e “5” (que são comuns aos dois números), com o 
maior expoente observado; e o fator “3” (que não é comum aos números).
E já que falamos em MMC, vamos conceituar também o máximo divisor comum.
O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é representado pelo maior valor comum 
pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30:
 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
 Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
14 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.
Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que 
escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando 
esse método.
Pela definição, se escolheria os fatores “2” e “5” (que são comuns aos dois números), com o 
menor expoenteobservado.
Multiplicação de Frações
Multiplicar exige um processo bem mais simples: basta que se multiplique numerador com 
numerador e denominador com denominador, gerando uma nova fração com os resultados 
destas multiplicações. Quando julgado oportuno, se pode simplificar o resultado. Vamos ao 
exemplo:
Divisão de Frações
Na divisão de frações, podemos tratar a operação como se fosse à multiplicação da primeira 
fração pelo inverso da segunda. Novamente, podemos simplificar o resultado final.
15 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Comparação de Frações
O processo de comparação de frações, para determinar qual a maior também se divide em 
dois casos, a serem considerados de forma semelhante ao que se fez no caso de adição ou 
subtração de frações.
Se os denominadores das frações comparadas forem iguais, basta que se compare os 
numeradores:
Como os numeradores, neste caso, funcionam como a contagem das partes que temos, fica 
fácil perceber que 2 partes são menos (menores) que 3 partes, já que estas partes são iguais 
entre si.
No caso de denominadores diferentes, se substitui igualmente as frações originais por frações 
equivalentes de mesmo denominador e se procede à comparação da mesma forma que no 
primeiro caso.
Porcentagem
A porcentagem é de uso frequente em uma grande quantidade de situações, mais comumente 
envolvendo operações financeiras, sendo usada para calcular juros, expressar índices (por 
exemplo, de inflação), descontos ou aumentos de preço, multas etc. Na Estatística é utilizada 
para apresentar dados comparativos de maneira geral.
A melhor forma de se entender a porcentagem é dizer que ela representa uma fração com 
denominador 100, isto é, a porcentagem é uma razão (fração) centesimal.
16 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal e, quando 
escritos, para se simplificar a apresentação do denominador sempre igual a 110, utilizam-se 
do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. 
Observe os números a seguir:
A passagem do primeiro para o segundo número se deu gerando-se uma fração equivalente 
a sete vinte e cinco avos com denominador igual a 100 (neste caso, bastaria se multiplicar o 
numerador e o denominador por 4).
Mas, como o denominador é 100, se pode substituir este denominador pelo símbolo de 
porcentagem. Finalmente, a última representação (dita decimal) é produzida se fazendo a 
divisão do numerador pelo denominador, em qualquer um dos casos: 7 dividido por 25 ou 
28 dividido por 100.
Com a porcentagem se introduz um novo significado para as frações: o de proporção.
Uma fração (e a porcentagem não deixa de ser uma fração também) pode ser lida como a 
relação entre duas medidas. Por exemplo, quando um jogador costuma acertar 4 cobranças 
de pênaltis em 10 tentativas, isto pode ser expresso da seguinte forma:
Estabelecido o conceito de porcentagem, podemos proceder às considerações de como se 
podem resolver problemas envolvendo porcentagens. Mas isto é um caso particular daquilo 
que é tratado no próximo item.
Recgra de Três
A regra de três deriva da consideração de um conceito de que já tratamos: as frações 
equivalentes.
17 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Existe uma propriedade básica que envolve as frações equivalentes: a multiplicação cruzada 
de numeradores com denominadores produzirá sempre um mesmo resultado. Vamos ao 
exemplo:
Esta propriedade se verifica sempre, quando temos frações equivalentes.
Agora, dá-se o nome de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro 
valores, dos quais três são conhecidos, onde se pede que seja determinado quarto valor.
A resolução desse tipo de problema é muito simples, porque basta que se monte uma estrutura 
semelhante à comparação de frações equivalentes. E para se entender isto, vamos supor que 
não se soubesse o valor 12, na comparação anterior, mas que se soubesse que se tratava de 
uma comparação de frações equivalentes. Neste caso, teríamos:
Note-se que, neste caso, podemos dizer que as frações comparadas são equivalentes, ou que 
existe a mesma “proporcionalidade” entre os termos à esquerda e à direita da comparação 
original. Isto para estabelecermos uma ligação com aquilo que foi comentado no final do item 
anterior, sobre o outro significado que pode ser atribuído às frações.
Mas para resolvermos problemas de regra de três, resta antes se estabelecer como a proporção 
deve ser montada: se direta ou inversamente.
Exemplo 1
Um atleta percorre um 20 km em 2 horas, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele 
percorrerá 30 km?
3Caso haja dúvida com relação ao tratamento 
dos números para se determinar o valor de 
“x”, basta que se consulte a unidade que trata 
da resolução de equações de 1ª grau.
18 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Neste caso, devemos perceber (e isto se faz caso a caso) que quanto maior à distância, maior 
será o tempo necessário para percorrê-la.
Assim se tem uma proporcionalidade direta entre a distância e o tempo: quando uma cresce, 
o outro também cresce.
O problema seria montado da seguinte forma:
Exemplo 2
Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores 
constroem uma casa?
Neste caso, devemos perceber um comportamento diferente entre as medidas (grandezas) 
envolvidas. Quanto maior a quantidade de trabalhadores, menos tempo se levaria para fazer 
o serviço. O contrário também seria verdade: quanto menor a quantidade de trabalhadores, 
mais tempo se levaria para fazer o serviço.
Assim se tem uma proporcionalidade inversa entre a quantidade de trabalhadores e o tempo 
para a execução da obra: quando uma cresce, o outro decresce.
O problema seria montado se invertendo as relações, com se segue:
A resolução de problemas de regra de três envolve, então, a consideração se temos uma 
relação direta ou inversa entre as grandezas. Nos casos em que temos apenas duas grandezas 
envolvidas, classificamos estes problemas como sendo de Regra de Três Simples.
19 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Recgra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais.
Para se resolver este problema se sugere um procedimento padrão simples:
•	 Monte uma tabela com número de colunas igual à quantidade de grandezas envolvidas; 
e três linhas a preencher.
•	 Na primeira coluna escreva os valores correspondentes à grandeza que se quer 
determinar.
•	 Nas demais colunas, se lançam os valores das outras grandezas, não importando a 
ordem.
•	 Nas duas primeiras linhas se devem transcrever os dados do problema para cada 
situação apresentada: aquela que serve de base e a nova situação, onde se deseja 
calcular uma grandeza ainda não determinada.
•	 Na terceira linha, a partir da segunda coluna, se anota o tipo de relação entre a 
grandeza considerada e a grandeza anotada na primeira coluna, isto é, aquela que 
desejamos determinar.
•	 Por fim, se transcreve os números da tabela para um modelo de comparação de frações, 
onde do lado da esquerda se tem a transcrição direta dos números anotados na primeira 
coluna e, do lado da direita, a transcrição de uma série de frações correspondentes 
a casa uma das demais colunas, invertendo-se os valores da tabela, sempre que a 
relação definida na terceira linha for inversa.
Para se entender o processo, vamos a um exemplo.
20 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Exemplo 3
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões 
serão necessários para descarregar 125 m3?
Montamos a tabela de seguinte maneira:Tabela 2 – Exemplo de regra de Três Composta
Note que o preenchimento da terceira linha nada tem a ver com a variação dos valores na 
coluna em questão. A comparação é genérica com a grandeza da primeira coluna:
•	 Quando se tem mais horas para trabalhas, se precisa de menos caminhões: inversa.
•	 Quando se tem mais areia a transportas, se precisa de mais caminhões: direta.
Por fim, se monta a comparação final:
Serão necessários 25 caminhões.
21 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Porcentagem, de novo
Os problemas de porcentagem são problemas de regra de três. Mas lembre-se que quando 
se dá uma porcentagem, dois valores já estão determinados na comparação das frações 
equivalentes envolvidas, porque a porcentagem é uma fração, onde o denominador é sempre 
zero.
Existem três tipos de problemas básicos envolvendo porcentagens:
•	 Pode-se desejar saber a que número corresponde uma porcentagem de um valor 
básico.
•	 Pode-se desejar saber a que valor básico corresponde um número, dada a porcentagem.
•	 Pode-se desejar saber a que porcentagem corresponde a relação entre um número e 
um valor de base.
O valor de base corresponde ao termo geral de comparação, que será equivalente ao 
denominador 100, na porcentagem.
Vamos aos exemplos.
Exemplo 4
Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o 
valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o 
valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista?
Neste caso, temos a seguinte relação:
22 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Note que o valor básico é o preço original da mercadoria, com o que comparamos o desconto 
praticado.
O valor calculado é o desconto. Logo o valor a ser pago é:
Exemplo 5
O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira 
assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa 
Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser 
sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine se o depósito 
efetuado pelo empregador em um determinado mês foi de R$ 96,00, calcule o salário bruto 
correspondente.
Neste caso, temos a seguinte relação:
Note que R$ 96,00 correspondem aos 8% depositados e que o valor base (com que o depósito 
mantém uma relação de 8%) é o que desejamos saber.
Exemplo 6
Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em 
porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.
Neste caso, temos a seguinte relação:
Este problema pede a proporcionalidade entre os usuários de bicicleta e a quantidade total de 
alunos. Pede, então, a porcentagem correspondente a esta relação.
23 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Equações e Inequações
A aritmética foi, durante muito tempo, a forma usual que se tinha para resolver problemas 
numéricos. A aritmética é a parte da matemática que estuda as operações básicas com os 
números: adição, subtração, multiplicação e divisão. Em certos casos, se podem incluir outras 
operações, como a exponenciação, vista neste caso como a multiplicação, repetidas vezes, 
por um mesmo fator.
Entretanto, em certas situações esse processo não conseguia resolver determinados problemas. 
Isto exigiu que se começasse a trabalhar com elementos algébricos, constituindo, assim, as 
equações que são expressões, escritas em linguagem matemática (álgebra), que representam 
uma determinada situação problema.
Mas não basta conseguir esquematizar um problema com expressões algébricas: é preciso 
saber tratar (resolver) essas expressões. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos métodos 
de obtenção da solução das equações e isto é feito através de manipulações aritméticas 
envolvendo letras (incógnitas).
As letras utilizadas nas expressões algébricas possuem a propriedade de representar qualquer 
número cujo valor ainda não se determinou, ou que pode ser usado na expressão, para 
calcularmos outro valor, a ele correspondente. Neste último caso, temos aquilo que chamamos 
coeficiente.
Portanto, ao encontrarmos expressões que nos auxiliam a determinar a solução de um número 
para equações que possuem apenas letras, quer dizer que determinamos um método de obter 
a solução para qualquer tipo daquela equação.
Por exemplo, considere o cálculo de 30% de 
um número N:
24 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
A equação resultante determina como, a partir do valor de um número “N” se pode calcular 
30% deste valor. Veja que “x” é a incógnita, ou seja, o valor que queremos determinar e, 
neste caso, “N” é um coeficiente dessa equação, que representa qualquer número que seja 
fornecido.
Resolver uma equação consiste em realizar uma sequência de operações que nos conduzem 
a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as 
raízes da equação, isto é, o(s) valor(es) que deve(m) ser atribuído(s) às letras envolvidas, para 
que a equação seja coerente, matematicamente falando.
Por exemplo:
A manipulação desta equação nos deve levar a conclusão de que o valor de “x” que a torna 
coerente matematicamente falando, é 3.
Para gerarmos equações equivalentes, podemos proceder de duas maneiras básicas:
•	 Adicionando ou subtraindo de ambos os lados (membros) duma equação a mesma 
quantidade.
•	 Multiplicando ou dividindo ambos os lados (membros) de uma equação por uma 
quantidade diferente de zero.
Resolver uma equação é, finalmente, proceder a uma série de operações que gerem sucessivas 
equações equivalentes, para, ao final, se ter a letra que representa a incógnita cujo valor se 
quer determinar, isolada em um dos lados da equação e, do outro, um valor numérico que dá 
solução ao nosso problema.
Resolver equações envolve treino e atenção, mas o processo é simples.
Vamos a um exemplo:
25 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Para começarmos a manipulação, podemos multiplicar ambos os lados por 6, o que fará 
com que os denominadores sumam. Na prática, se multiplica pelo MMC dos denominadores 
existentes.
A seguir, se retira o equivalente a um dos termos onde “x” aparece, dos dois lados da equação. 
Isto fará com que apenas um lado passe a ter termos com a incógnita “x”.
O próximo passo é se deixar apenas o termo com o “x” do lado da esquerda, se somando 1 
aos dois lados.
Por fim, dividem-se os dois lados por 4, o que faz com que a incógnita fique sozinha do lado 
da direita.
Inequações
Inequações são sentenças matemáticas abertas, isto é, sem um valor definido, expressas Por 
agora, por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.
Na prática, uma inequação é equivalente a uma equação onde se substitui o sinal da igualdade 
por sinais de desigualdade, a saber:
•	 Maior: >
26 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
•	 Menor: <
•	 Maior ou igual: >=
•	 Menor ou igual: <=
•	 Diferente: ≠
O processo de resolução de equações é equivalente ao processo de resolução das equações, 
com uma única diferença: quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados da inequação 
por um valor negativo a relação se inverte:
•	 Maior vira menor.
•	 Menor vira maior.
•	 Maior ou igual vira menor ou igual.
•	 Menor ou igual vira maior ou igual.
•	 A relação diferente é a única que não se altera.
Isto se deve ao fato de que a relação entre números com sinais invertidos também se inverte:
 2 < 5 mas -2 > -5
Vamos a um exemplo:
27 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
A solução da inequação foi encontrada utilizando-se a mesma técnica usada para as equações, 
como afirmamos originalmente.
Vejamos outro exemplo:Neste caso, ao final dividimos ambos os lados por um número negativo (-2) e, por esta razão, 
a relação se inverteu.
Dízimas Periódicas
Há frações que não possuem representações decimais exatas. 
Por exemplo:
Quando há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, ao final de um número, 
dá-se o nome a este tipo de número de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. 
As dízimas periódicas são indicadas pela colocação de três pontos à direita do número, como 
no exemplo acima.
Numa dízima periódica, o algarismo (ou algarismos) que se repete infinitamente, constitui o 
que se chama de período dessa dízima.
E é possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Existem diversos procedimentos para que se determine a geratriz da dízima periódica. Eis uma 
28 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
sequência que permite isto.
•	 Acha-se o múltiplo de 10 que alinha a dízima periódica com o número original. 
Na prática será um múltiplo que tenha tantos zeros quantos são os algarismos que 
constituem o período da dízima.
•	 O numerador será igual ao número original multiplicado por aquela potencia, subtraído 
pelo seu valor original.
•	 O denominador será igual à potência encontrada subtraída de “1”.
•	 Finalmente, se no numerador se tiver um número com casas decimais, multiplicam-se 
o numerador e o denominador por 10 até que as casas decimais desapareçam do 
numerador.
Vamos a um exemplo.
Considere a dízima 23,45343434...
O período da dízima é 34: esta é a sequência de algarismos que se repetem indefinidamente.
Então o múltiplo de 10 que usaremos é 100: 2 zeros correspondendo aos dois algarismos de 
34.
A geratriz ficaria assim:
Mas, como no numerador restam casas decimais, se deve multiplicar numerador e denominador 
por 10 até as casas decimais desaparecerem.
29 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Esta é a geratriz da dízima. Para se conferir o resultado, basta se calcular o resultado da 
divisão de 232.189 por 9.900.
Exercícios de Fixação
1. Efetue as seguintes operações com frações:
2. Resolva os seguintes problemas de regra de três:
a. 10 funcionários escavam um túnel de 100 metros de extensão em 30 horas. Quantos 
funcionários serão necessários para escavar um túnel de 200 metros em 20 horas?
b. Em uma liquidação, 3 vendedores vendem 50 pares de sapato em 6 horas de trabalho. 
Assumindo que houvesse clientes esperando, quantos pares seriam vendidos se fossem 
6 vendedores trabalhando por 12 horas?
30 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
c. Em um salão de beleza, 2 funcionários atendem 10 clientes em 3 horas. Quantos 
funcionários conseguiriam atender 80 clientes, em 12 horas?
d. Em 5 dias, 10 motoboys entregam 3000 livros. Se houvesse a necessidade de entrega 
de 9000 livros, em 10 dias, quantos motoboys deveriam ser contratados?
e. Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários igualmente 
eficientes atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, 
com a mesma eficiência dos primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 
pessoas serão atendidas em quanto tempo?
3. Resolva os seguintes problemas de porcentagem:
a. 23% de 250.
b. 0,12% de 60.
c. Qual a porcentagem correspondente a R$ 30 em R$ 220?
d. Se um desconto de 15% sobre uma compra resultou na economia de R$ 200, qual o 
valor original da compra?
4. Numa loja, um determinado produto é vendido com descontos de 15% ou de 20% sobre 
o preço de tabela, dependendo da condição de pagamento. Sabe-se que a diferença entre 
o preço obtido após o desconto de 15% e o preço obtido após o desconto de 20% é de R$ 
120,00. Nesse caso, qual é o preço de tabela?
4. Resolva as equações e inequações:
a. 18x – 43 = 65
b. 23x – 16 = 14 – 17x
c. 7x – 2 = -4x + 5
d. 2x + 1 <= x + 6
e. 2 – 3x >= x + 14
31 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
Respostas dos Exercícios de Fixação
1. Frações:
2. Regra de três:
 a. 30 funcionários.
 b. 200 pares.
 c. 4 funcionários.
 d. 5 motoboys deveriam ser contratados, porque a necessidade total seria de 15 motoboys.
 e. 27 minutos.
32 Universidade Anhembi MorumbiConceitos Iniciais
3. Porcentagem:
 a. 57,5.
 b. 0,072. Note que a porcentagem pode ser um número não inteiro. Procede-se da mesma 
 forma, neste caso, usando-se o número fornecido dividido por 100.
 c. 13,64%.
 d. R$ 1.333,33
 e. R$ 2.400,00. Note que R$ 120,00 correspondem a 5% do preço, já que é a diferença 
 entre 20% e 15%.
4. Equações e inequações:
 a. 6
 b. ¾ ou 0,75
 c. 7/11
 d. x <= 5
 e. x <= -3
2 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Funções Matemáticas e Equações
Objetivo
Esta unidade tem o objetivo de fornecer uma visão geral do conceito de função, seus diversos 
elementos e, a partir do entendimento deste embasamento inicial, se estudar os principais 
tipos de função que são usados frequentemente para resolver problemas.
Também é objetivo desta unidade se verificar como podem ser resolvidos estes problemas com 
o uso de equações algébricas.
Conceito e Características das Funções
A importância do estudo das funções não se restringe apenas aos interesses da matemática 
pura, mas colocado em prática em outras áreas do saber, como a administração e a economia, 
ajuda a resolver diversos problemas que são característicos em cada uma destas áreas.
Muitas vezes nos deparamos com um gráfico dentro de um texto qualquer, que nada mais é 
que uma função: a comparação (relação) de duas grandezas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação (comparação) seja representada 
em uma função na forma algébrica.
O estudo das funções se inicia com a observação:
	 •	Das	suas	características;
	 •	Dos	seus	elementos;	e
	 •	Dos	diferentes	tipos	de	funções.
3 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
E, para dar continuidade ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois 
todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos “A” e “B”, onde exista uma associação entre 
cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma 
função. Observe o exemplo:
Figura 3 - Representação Esquemática de uma Função
Cada tipo de função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções 
possuem representações geométricas no Plano Cartesiano e as relações entre pares ordenados 
(x;	y)	são	de	extrema	importância	no	estudo	dos	gráficos	de	funções,	pois	a	análise	dos	gráficos	
demonstra, de forma geral, as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de 
dependência.
4 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Chama-se Plano Cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num 
determinado “espaço” com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático 
francês	e	 filósofo	Descartes.	As	dimensões,	na	prática,	 correspondem	aos	 valores	que	 são	
relacionados entre os conjuntos “A” e “B”.
E os pares ordenados representam exatamente os valores numéricos associados entre aqueles 
conjuntos.	Na	figura	anterior	se	teria,	então,	os	pares	ordenados	(1;	4),	(2;	8),	(3;	12)	e	assim	
por diante.
Observe a figura a seguir:
Figura 4 - Plano Cartesiano
5 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Nela	aparecem	exemplos	de	pares	ordenados,	lançados	no	Plano	Cartesiano:	(-5;	3),	(6;	5)
e	(4,5;	-3,5).
O Plano Cartesiano pode ser entendido, de uma forma mais prática, como a base quese usa 
para a criação de gráficos que representam funções.
As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da 
função.	No	Plano	Cartesiano	o	eixo	“x”	representa	o	domínio	da	função,	enquanto	o	eixo	“y”	
representa os valores obtidos em função de “x”, constituindo a imagem da função.
No exemplo anterior, da maneira como foi definida a relação, o conjunto “A” seria o domínio 
e o conjunto “B” seria o contra domínio da função.
Observe a direção das linhas (de “A” para “B”). Isto deve significar que em função do valor 
considerado em “A” se pode determinar o valor correspondente em “B”.
Quando se diz que se tem uma função de “x”, significa dizer que se deve fazer um cálculo com 
o	valor	de	“x”	para	determinar	“y”,	e	não	o	contrário.
A definição de que variável assume a posição equivalente a “x” é uma questão prática. 
Suponhamos que se estude a relação entre a temperatura média do dia e o número de 
resfriados que ocorrem em cada dia. É razoável que a temperatura condicione quanto 
resfriados ocorrerão e não o contrário.
Neste caso, a temperatura assumiria a posição equivalente a “x” e o número de resfriados 
a	posição	de	“y”.	 Isto	é,	se	assumiria	que	o	número	de	resfriados	observados	é	função	da	
temperatura média de cada dia.
Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona: 
o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. 
Lembre-se: cada elemento do 
conjunto domínio da função deve 
estar “ligado” com apenas um 
elemento do conjunto imagem. 
Se isto não acontecer, não temos 
uma função.
6 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Considerando	o	preço	do	combustível	igual	a	R$	2,50,	temos	a	seguinte	lei	de	formação:
f(x) indica o preço a pagar e “x” a quantidade de litros. Neste caso, podemos dizer que o preço 
a pagar é função da quantidade de litros abastecida, isto é, a partir da quantidade de litros 
se determina o preço a pagar.
Eis outros exemplos de função que poderíamos citar:
•	O	tempo	de	viagem	é	função,	entre	outras	coisas,	da	distância	percorrida.
•	A	altura	de	uma	criança	é	função	de	sua	idade.
•	 O	 consumo	 de	 combustível	 é	 função,	 entre	 outras	 coisas,	 da	 velocidade	 média	
desenvolvida.
•	O	perímetro	de	um	triângulo	é	função	da	medida	de	seus	lados.
Um conceito importante referente às funções dita que cada elemento do conjunto domínio 
da função deve estar “ligado” com apenas um elemento do conjunto imagem. Se isto não 
acontecer, não temos uma função.
Do	que	vimos	até	agora,	podemos	concluir	que	em	uma	função	temos:
•	O	conjunto	dos	valores	de	“x”	(também	chamada	variável	independente),	denominado	
domínio	da	função;
•	O	conjunto	dos	valores	de	“y”	(também	chamada	variável	dependente),	denominado	
contra	domínio	da	função;	e
•	A	lei	que	descreve	a	relação	de	dependência	entre	as	variáveis	“x”	e	“y”.
7 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
No caso do combustível, esta lei seria a indicação de que devemos multiplicar cada valor de 
“x”	por	2,5	para	determinarmos	o	valor	correspondente	de	“y”.
No que dentro do contra domínio podemos ter valores que não correspondem a nenhum valor 
de	“x”.	É	o	caso	do	valor	“31”	na	figura	que	representava	o	esquema	de	uma	função	(Figura	
3).	Esta	observação	é	importante	porque	temos	um	novo	conceito.
Chamamos de conjunto imagem aos valores do conjunto contra domínio que satisfazem à lei 
de correspondência. Então, o conjunto imagem é um subconjunto do contra domínio.
Observemos, agora, outra representação gráfica de função.
Figura 5 - Uma Função Genérica
8 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Nesta nova figura temos a função representada por uma linha contínua, variando entre os 
valores	de	“x”	de	-2	a	12.	Significaria	dizer	que	para	cada	valor	de	“x”,	neste	intervalo,	se	teria	
determinado o valor da função.
Note que existem valores de “x” que correspondem a valores da função iguais a zero. È o caso 
dos	valores	de	“x”	correspondentes	a	-2,	5	e	11.
Dá-se	o	nome	de zeros ou raízes da função aos valores de “x” que correspondem a um 
valor calculado para a função igual a zero.
Outro conceito importante é o sinal da função. Observe que os valores da função estão 
associados	aos	valores	correspondentes	ao	eixo	vertical	(o	eixo	“y”).	Neste	caso	a	função	é	
dita positiva quando estes valores são positivos.
Veja a tabela abaixo, associando os valores de “x” aos sinais da função.
Tabela 3 – Sinais da Função
O sentido de variação da função indica se ela é crescente, decrescente ou constante em um 
determinado ponto, isto é, qual a tendência de variação da função num ponto, quando se 
aumenta o valor de “x”.
9 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Vamos observar a tabela abaixo, que associa os valores de “x” ao sentido de variação da 
função.
Tabela 4 - Sentido de Variação da Função
Dá-se	o	nome	de	máximos	de	uma	função	aos	valores	da	 função	em	que	a	 tendência	da	
função	para	trás	e	para	frente	do	ponto	considerado	é	de	redução	do	valor.	Dá-se	o	nome	de	
máximo global ou absoluto ao maior valor que a função pode assumir. Aos demais pontos de 
máximo se dá o nome de máximos relativos.
Dá-se	o	nome	de	mínimos	de	uma	 função	aos	valores	da	 função	em	que	a	 tendência	da	
função	para	trás	e	para	frente	do	ponto	considerado	é	de	aumento	do	valor.	Dá-se	o	nome	de	
mínimo global ou absoluto ao menor valor que a função pode assumir. Aos demais pontos de 
mínimo se dá o nome de mínimos relativos.
10 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Vamos à tabela:
Tabela 5 – Máximos E Mínimos da Função
Equações Matemáticas
Antigamente as pessoas buscavam solucionar problemas cotidianos que envolviam cálculos 
numéricos através de processos aritméticos, isto é, com o uso das operações aritméticas básicas: 
adição,	subtração,	multiplicação	e	divisão;	e	suas	derivadas,	a	exemplo	da	exponenciação	que	
pode ser vista, em determinado contexto, como uma sequência de multiplicações sucessivas.
Contudo, em certas situações esse processo não conseguia resolver os problemas que surgiam.
Com isso, passou-se a trabalhar com elementos algébricos, constituindo, assim, as equações 
que nada mais são do que expressões que representam uma determinada situação problema. 
Estas expressões traduzem os problemas da linguagem natural do dia a dia para uma linguagem 
matemática formal.
11 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Mas não basta conseguir esquematizar um problema apenas com expressões algébricas: é 
preciso saber resolver essas expressões algébricas. Para tanto, realizaram-se estudos acerca 
dos métodos de obtenção da solução das equações.
A obtenção da solução de uma equação é feita através de manipulações aritméticas envolvendo 
letras (incógnitas).
Mas qual o objetivo dessas letras ou palavras em meio a números? As incógnitas utilizadas 
nas expressões algébricas possuem a propriedade de representar qualquer número. Portanto, 
ao encontrarmos expressões que nos auxiliam a determinar a solução de um número para 
equações que possuem apenas incógnitas, quer dizer que determinamos um método de obter 
a solução para qualquer tipo daquela equação.
Por exemplo, considere a solução de uma equação do tipo:
	 	 	 	 	 2×x+3=0
A solução é dada pela expressão:
Neste caso, “x” é a incógnita, ou seja, o valor que queremos determinar.
Nós poderíamos generalizar a solução do problema, introduzindo novas letras:
“a” e “b” seriam, então, os coeficientes dessa equação, representados por números quaisquer 
que submetidos à operação da segunda equação forneceriam automaticamente o valor de 
“x”.
12 Universidade Anhembi MorumbiFunçõesMatemáticas e Equações
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem 
a igualdade verdadeira. A equação mostrada no exemplo acima pode ser interpretada e 
resolvida facilmente: o valor de “x” que colocado em seu lugar na equação produz uma 
igualdade é -1,5.
A resolução das equações implica num processo que tenta isolar a incógnita em um dos lados 
da equação e deixar os coeficientes (outras letras) ou os valores numéricos do outro lado.
Para	tal,	existem	duas	transformações	básicas.	Dada	uma	equação,	as	seguintes	operações	
podem ser efetuadas sem que se modifique a igualdade previamente estabelecida:
	 •	Somar	(ou	subtrair)	um	mesmo	número	real	em	cada	lado	da	igualdade.
	 •	Multiplicar	(ou	dividir)	cada	lado	da	igualdade	por	uma	mesma	constante	não	nula.
Note que resolução da equação original seguiu este processo, que detalhamos agora.
Parte-se	da	equação	inicial	e	se	subtrai	o	valor	3	de	ambos	os	lados:
	 	 	 	 	 2×x+3-3	=0-3
	 	 	 	 	 						2×x=-3
Em	seguida,	se	dividem	ambos	os	lados	da	nova	igualdade	por	2:
Na prática, para se resolver equações mais complexas, se pode aplicar qualquer operação 
aritmética em ambos os lados da equação: raiz quadrada, exponenciação, logaritmos etc.
13 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Dá-se	o	nome	de	sistemas	de	equações	a	duas	ou	mais	expressões	que	devem	ser	resolvidas	
simultaneamente:
	 	 	 	 		x-y=8
	 	 	 	 x+y=30
As soluções dos sistemas de equações podem ser interpretadas geometricamente como sendo 
os pontos de interseção dos gráficos determinados por cada equação. No exemplo dado, a 
solução do sistema é o ponto de interseção das duas funções, a saber, o ponto de coordenadas 
(19;	11).
Veja a figura:
Figura 6 - Resolução de Um Sistema de Equações
14 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
O método algébrico de resolução dos sistemas de equações envolve a criação de uma 
expressão que isola uma incógnita em uma das equações e substitui a ocorrência desta 
incógnita na outra equação pela expressão encontrada.
A	partir	da	substituição,	podemos	resolver	a	equação	onde	só	ocorre	a	incógnita	“y”:
Conhecido	o	valor	de	“y”	se	pode	determinar	o	valor	de	“x”:
Inequações
Inequações podem ser definidas como desigualdades de expressões algébricas.
Isso significa que iremos estabelecer uma relação, entre as duas expressões, diferente da 
igualdade. Inequações podem envolver relações do tipo:
	 Maior	que; 
	 Maior	ou	igual; 
	 Menor	que; 
	 Menor	ou	igual; 
	 Diferente
15 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Na prática, o processo de resolução de inequações é muito semelhante ao usado para resolver 
equações. No entanto, temos uma grande exceção: quando tivermos que multiplicar ambos 
os lados da inequação por “-1” (menos um), a relação de maior ou menor se inverte.
É fácil se perceber esta necessidade. Veja a expressão abaixo:
	 	 	 	 	 3<5
Se multiplicarmos ambos os lados por “-1”, sem invertermos a relação, teremos:
	 	 										-3<-5,	o	que	é	matematicamente	errado.
Assim sendo, ao se multiplicar uma inequação por “-1”, deve-se inverter a relação de maior 
ou menor. No nosso exemplo, o resultado final deverá ser:
	 	 	 	 	 -3>-5
A título de exemplo, vamos resolver uma inequação, aplicando o mesmo processo usado para 
a solução de uma equação. Siga os passos a seguir:
A interpretação do resultado de uma inequação é mais ou menos intuitiva: para que a 
inequação original seja satisfeita (seja uma expressão verdadeira), é necessário que o valor de 
“x”	seja	maior	que	4.
16 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Você pode testar isto substituindo diferentes valores na inequação inicial e verificando que 
somente	para	valores	de	“x”	maiores	que	4	a	expressão	será	verdadeira	ou	matematicamente	
correta.
E aqui se destaca outra diferença entre equações e inequações: enquanto as equações definem 
valores pontuais que lhe servem de resposta ou solução, nas inequações se tem um intervalo 
de valores como sendo a resposta desejada.
No caso anterior, se ao invés de se ter uma inequação, se produzisse uma equação, teríamos:
	 	 	 	 	 3x+12=24
A	solução	para	esta	equação	seria	x	=	4:	um	valor	preciso	e	bem	definido.	Já	a	inequação	
correspondente tem como resposta um conjunto de valores, isto é, todo e qualquer valor 
numérico	que	seja	maior	que	4.
Funções de Primeiro Grau: Forma Geral 
Como dissemos antes, uma função é utilizada para relacionar valores numéricos a uma variável 
“x”, através de uma determinada expressão algébrica que envolve o uso do valor de “x”.
Uma função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do 
tipo:
	 	 	 	 	 F(x)=ax+b
Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau, 
isto é, o maior expoente que é aplicado à variável “x” deve ser 1 (um).
Vejamos um exemplo:
	 	 	 	 	 	F(x)=x-2
17 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Neste	caso,	teremos	a	=1	e	b	=	-2.
A partir daí, podemos determinar o valor da função para cada possibilidade de valoração de 
“x” simplesmente se substituindo o valor desejado de “x” na expressão da função.
Veja a tabela a seguir:
Tabela 6- Valores da Função F(x) = x - 2
Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de “x” é alterado. Assim, obtemos 
diversos	 pares	 ordenados,	 constituídos	 da	 seguinte	maneira:	 (x;	 f(x)).	 Veja	 que	 para	 cada	
coordenada “x”, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das 
funções.
O gráfico correspondente a esta função é mostrado a seguir:
Figura 7 - Função F(x) = x - 2
18 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
As funções de 1º grau, ao serem representadas no Plano Cartesiano, conforme se observa 
na Figura 7,	constituem	uma	reta	crescente	ou	decrescente.	E	no	caso	de	a	=	0,	a	função	é	
chamada de constante.
Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, 
e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra 
“b”,	que	indica	por	qual	ponto	numérico	a	reta	intercepta	o	eixo	das	ordenadas	(y).
Conforme	vimos	na	figura	anterior,	a	reta	corta	o	eixo	vertical	(eixo	“y”)	no	ponto	-2.
Outra maneira de se definir o coeficiente linear da função de 1º grau seria dizer que ele é igual 
ao valor da função para “x” igual a zero, o que se comprova na observação da Tabela 6.
As funções de 1º grau podem ser classificadas de acordo com o valor do “a”, denominado 
coeficiente angular da função de 1º grau.
Se	a	>	0,	a	função	é	crescente;	caso	a	<	0,	a	função	se	torna	decrescente.	
A função anterior era crescente e o valor de “a” era igual a 1 (maior que zero).
Na prática, o coeficiente angular recebe este nome porque é numericamente igual à tangente 
do ângulo formado pela reta com o eixo “x”.
Existe ainda outra interpretação para o valor de “a” (coeficiente angular). Ele corresponde à 
relação	entre	as	variações	de	dois	valores	de	F(x)	e	dos	valores	de	“x”	correspondentes.
Observe na Tabela 6	que	quando	“x”	varia	de	1	para	2,	o	valor	de	F(x)	varia	de	-1	para	zero.
Se fizermos a relação entre estas variações, teremos:
19 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
O valor encontrado é igual ao coeficiente angular.
Quando	temos	a	=	0,	a	função	é	dita	constante	porque	para	qualquer	valor	de	“x”,	F(x)	será	
sempre igual a “b”.
Retomando o conceito de raiz da função (o valor de “x” que faz com que o valor da função 
seja igual a zero), tem-se que:
Significa dizer que sempre que “x” for igual à divisão do coeficiente “b” pelo coeficiente “a”, 
multiplicado por -1(menos um) se terá o valor da função igual a zero.
Com esta última informação (como achara a raiz da função de 1º grau) fica fácil esboçar o 
gráfico de qualquer função deste tipo.
Observe a figura abaixo:
Figura 8 - Montagem do Gráfico de Uma Função do 1º Grau
20 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Observe que o ponto onde a reta corta o eixo “x” (horizontal) é numericamente igual à raiz 
da reta:
E	o	ponto	onde	a	reta	corta	o	eixo	“y”	é	igual	ao	valor	do	parâmetro	“b”	(coeficiente	linear).
Uma única situação não permite que se desenhe a reta usando este procedimento: quando 
ela tem o parâmetro “b” igual a zero. Neste caso ela passa pela origem dos eixos (o ponto 
onde eles se cruzam).
Para se desenhar a reta, nesta última situação, é preciso que se escolha um valor para “x” esse 
calcule a função. Com este par de valores se marca um ponto no Plano Cartesiano e se liga 
este ponto à origem dos eixos. Veja o novo exemplo:
Figura 9 - Reta Passando Pela Origem dos Eixos
21 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Você	poderia	escolher	o	valor	6	para	“x”,	que	geraria	um	resultado	para	a	função	igual	a	15:
	 	 	 	 	 F(x)=2,5x=2,5×6=15
Ligando este ponto à origem, você terá a imagem da reta correspondente à função, como 
mostra a figura.
Vamos, agora, a uma aplicação prática das funções de 1º grau.
Exemplo 1
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. As condições gerais 
dos planos são: 
 Plano A:	cobra	um	valor	fixo	mensal	de	R$	140,00	e	R$	20,00	por	consulta	num		 	
 certo período. 
 Plano B: cobra	um	valor	fixo	mensal	de	R$	110,00	e	R$	25,00	por	consulta	num		 	
 certo período. 
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas “x” dentro 
do período pré-estabelecido. 
Comecemos	por	determinar	a	função	correspondente	a	cada	plano.	Depois,	vamos	estudar	
em	qual	situação	o	plano	A	é	mais	econômico;	em	qual	situação	o	plano	B	é	mais	econômico;	
e quando os dois se equivalem. 
As equações corespondentes aos planos serão:
	 	 	 	 Plano	A=20x+140
	 	 	 	 Plano	B=25x+110
22 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Para que o plano A seja mais econômico se precisa observar que: 
	 	 	 	 Plano	A<Plano	B
	 	 	 	 20x+140<25x+110
Isto	nos	leva	a:												x>6
É	mais	ou	menos	intuitivo	que,	quando	“x”	for	menor	que	6,	o	Plano	B	será	mais	econômico.
Mais isto também pode ser validado com a inequação correspondente:
	 	 20x+140>25x+110	 	 x<6
Finalmente,	para	que	os	planos	sejam	equivalentes,	tem-se	que:	
	 	 20x+140=25x+110	 	 		x=6
Nossa avaliação pode ser comprovada pelo gráfico a seguir:
Figura 10 - Comparação dos Planos
23 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Note-se	que	até	se	atingir	o	número	de	6	consultas	(eixo	dos	“x”)	o	custo	do	Plano	B	é	menor.	
A	partir	de	6	consultas,	o	Plano	A	é	mais	econômico,	 conforme	 já	apontavam	os	 	nossos	
cálculos anteriores.
Funções de Segundo Grau: Forma Geral; Mínimos e Máximos 
A	função	do	2º	grau,	também	denominada	função	quadrática,	é	definida	pela	expressão	do	
tipo:
	 	 	 	 	F(x)=ax2+bx+c
Este	tipo	de	função	é	chamado	de	2º	grau	porque	o	maior	expoente	que	aparece	aplicado	
à	variável	“x”	é	2.	Daí	se	pode	generalizar	que	uma	função	de	grau	“n”	recebe	este	nome	
porque tem como maior expoente da variável “x” o valor “n”.
E	o	gráfico	associado	a	uma	função	do	2º	grau	é	uma	parábola.
Figura 11 - A Parábola
24 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Ao	construir	o	gráfico	de	uma	função	do	2º	grau,	notaremos	sempre	que:
	 Se	a	>	0,	a	parábola	tem	a	concavidade	voltada	para	cima;	e
	 Se	a	<	0,	a	parábola	tem	a	concavidade	voltada	para	baixo	(casa	da	Figura	11).
Se você quiser visualizar uma parábola, basta ver as antenas parabólicas de televisão: elas 
têm este nome porque se formato segue as exatas relações de uma parábola.
Note que a parábola tem um ponto (representado na figura pela letra “V”) chamado vértice 
da parábola.
As coordenadas do vértice são:
O	símbolo	Δ	(chamado	“delta”	em	função	de	se	originar	a	partir	da	letra	grega	como	este	
mesmo nome) representa uma expressão numérica que veremos mais adiante.
Raízes (ou Zeros) da Função do 2º Grau 
Denominam-se	raízes	da	função	do	2º	grau	os	valores	de	“x”	para	os	quais	ela	se	anula.	Este	
conceito é totalmente equivalente ao que vimos para as funções de 1º grau.
Na pratica, as raízes são definidas pela fórmula de Bháskara:
Exemplo:	na	função	y	=	x²	-	4x	+	3,	as	raízes	da	função	serão:
25 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Note que o símbolo original “±” na fórmula significa que para uma raiz se deve proceder 
ao	cálculo	usando	“+”	(mais)	e	para	a	outra	“-“	(menos).
O valor de expressão da qual se tira a raiz tem o nome de delta1.
Este valor é importante porque a partir dele se pode determinar como se comportam as 
raízes	da	função	(ou	equação)	de	2º	grau.	Veja	a	tabela:
Tabela 7 – Raízes e Valor de Delta
Quando	Δ	for	maior	que	zero,	teremos	um	gráfico	de	parábola	que	corta	o	eixo	“x”	em	dois	
pontos, como na Figura 11.	Quando	Δ	for	igual	a	zero,	o	gráfico	da	parábola	encostar-
se-á ao eixo “x”, sem cruzá-lo ( o vértice da parábola estará sobre o eixo “x”).
Finalmente,	quando	Δ	for	menor	que	zero,	a	parábola	estará	totalmente	definida	acima	ou	
abaixo do eixo “x”, sem cruzá-lo ou nele tocar. Se a parábola vai ficar acima do eixo “x” ou 
abaixo dele, isto dependerá do sinal do parâmetro “a”.1 Delta	 é	 também	 chamado	 de	
discriminante	da	função	de	2º	grau.
Duas raízes com valores 
distintos.
Duas raízes com valores 
iguais, mas de sinais opostos.
A função não tem raízes
26 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Quando a parábola ficar totalmente acima do eixo “x”, isto implicará que todos os valores de 
F(x)	serão	positivos.	E	quando	a	parábola	ficar	totalmente	abaixo	do	eixo	“x”,	isto	implicará	
que	todos	os	valores	de	F(x)	serão	negativos.
Esboçando o Gráfico da Função do 2º Grau 
Para	 se	desenhar	o	gráfico	da	 função	de	2º	grau	é	preciso	que	 se	 siga	um	procedimento	
básico. Usaremos como exemplo a mesma função referenciada anteriormente:
Eis os passos a serem seguidos:
	 •	Ache	as	raízes	da	equação.
	 •	Determine	a	orientação	da	concavidade	(verificar	o	sinal	do	parâmetro	“a”).
	 •	Determine	o	ponto	onde	a	parábola	corta	o	eixo	“y”	(este	ponto	é	numericamente		 	
 igual ao parâmetro “c”, que corresponde ao valor da função quanto a variável “x” 
 for igual a zero).
	 •	Determine	as	coordenadas	do	vértice	da	parábola.
Neste caso, já temos calculadas as raízes:
 x1=3	e	x2=1
Já	que	o	valor	de	“a”	é	positivo	(1),	a	parábola	era	concavidade	para	cima.
O	valor	de	“c”	(3)	indica	onde	a	parábola	cortará	o	eixo	“y”.
27 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
E as coordenadas do vértice são:
Termos, então, a representação gráfica da função conforme a figura a seguir:
Figura 12 - Representação da Função
28 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Esboçando o Gráfico da Função do 2º Grau
Dá-se	o	nome	de	ponto	de	máximo	ou	ponto	de	mínimo	de	uma	função	de	2º	grau	à	posição	
de seu vértice.
Se	a	concavidade	da	parábola	for	voltada	para	cima	(a	>	0),	teremos	um	ponto de mínimo. 
Mas	se	a	concavidade	da	parábola	for	voltada	para	baixo	(a	<	0),	teremos	um	ponto de 
máximo.
O significado disto é intuitivo e pode ser verificado nas representações gráficas das parábolas: 
um ponto de mínimo	representa	o	conjunto	de	valores	de	“x”	e	F(x)	que	corresponde	ao	
menor valor	possível	para	F(x).	O	raciocínio	recíproco	se	aplica	ao	ponto de máximo: 
representa	o	conjunto	de	valores	de“x”	e	F(x)	que	corresponde	ao maior valor possível para 
F(x).
Regra de Soma e do Produto
Para	se	construir	uma	equação	de	2º	grau,	a	partir	das	 raízes,	basta	que	se	desenvolva	a	
seguinte expressão:
 	 a×(x-R1	)×(x-R2 )
Nesta	expressão,	R1	e	R2	representam	as	raízes	que	se	deseja	e	“a”	é	um	valor	qualquer	que	
multiplica as subexpressões entre parênteses.
Vamos	tentar	gerar	uma	função	de	2º	grau	com	raízes	iguais	a	1	e	3	e	a	=	1.
Seguindo a orientação anterior, teremos:
 
29 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Esta é exatamente a função que utilizamos no exemplo anterior, para a qual calculamos as 
raízes	(1	e	3),	o	que	comprova	a	validade	do	procedimento.
Dá-se	o	nome	de	regra	da	soma	e	do	produto	a	uma	característica	adicional	dos	parâmetros	
“b”	e	“c”	das	equações	de	2º	grau:
•	A	soma	das	raízes	da	equação	é	sempre	igual	a:
•	O	produto	das	raízes	da	equação	é	sempre	igual	a:
Saber	 destas	 características	 das	 equações	 do	 2º	 grau	 pode	 ajudar	 a	 achar	 as	 raízes	 das	
mesmas sem que se precise usar a fórmula de Bháskara.
No exemplo anterior, bastaria que se tentasse descobrir dois números que somados são iguais 
a	4	e	multiplicados	entre	si	dão	como	resultado	3.	A	resposta	natural	seria	1	e	3,	isto	é,	as	
raízes da equação.
Exemplo 2
Vamos tentar achar as raízes da seguinte equação, sem usar a fórmula de Bháskara:
Sabemos, pela regra da soma e do produto que as duas raízes somadas devem dar 17 e que 
o	produto	delas	deve	ser	igual	a	70.	Logo,	tentando	alguns	valores,	se	poderia	chegar	a	7	e	
10,	isto	é,	aos	valores	das	raízes	desta	equação,	por	que:
30 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Mas é preciso prestar atenção: a soma tem sinal invertido em relação ao cálculo .
Inequações do 2º Grau
As	inequações	do	2º	grau	são	resolvidas	utilizando	o	teorema	de	Bháskara.	O	resultado	deve	
ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de definir a solução desejada.
Primeiramente devemos passar todos os termos da inequação para um dos lados, deixando o 
outro igual a zero. Veja o exemplo a seguir:
Neste	caso	passaríamos	os	termos	“4x”	e	“-3”	para	a	direita	da	inequação.	Isto	pode	ser	feito	
se subtraindo os termos de ambos os lados da inequação:
O próximo passo é determinar as raízes da equação correspondente, que já sabemos serem 
3	e	1.
A	seguir,	esboçamos	o	gráfico	da	função,	que	deve	corresponder	à	Figura	12.
Agora, observando o gráfico, vemos que uma parte da parábola fica acima do eixo “x” e outra 
abaixo:
	 •	A	parábola	fica	acima	do	eixo	“x”	para	valores	de	“x”	inferiores	a	1	e	superiores	a	3.
	 •	A	parábola	fica	abaixo	do	eixo	“x”	para	valores	de	“x”entre	1	e	3.
31 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
A	inequação	pede	que	os	valores	da	expressão	sejam	positivos	(>	0).	Neste	caso,	resolver	a	
inequação	é	indicar	que	valores	de	“x”	forçam	que	o	cálculo	de	F(x)	seja	positivo,	isto	é:
Deste	 exemplo	 se	 conclui	 que	 resolver	 inequações	de	2º	grau	pode	 ser	 uma	 tarefa	muito	
simples, desde que se consiga fazer o esboço do gráfico da parábola correspondente.
Exemplo 3
Considere que a curva de custo total mensal para uma mercadoria seja dada pela equação 
C(x) abaixo e que a função de receita total seja dada pela equação R(x) abaixo, onde “x” é a 
quantidade produzida.
Determine	o(s)	ponto(s)	de	equilíbrio,	a	quantidade	de	produção	para	o	 lucro	máximo	e	a	
condição em que se tem prejuízo.
Dá-se	o	nome	de	ponto	de	equilíbrio	à	condição	em	que	o	resultado	geral	das	vendas	de	
uma empresa não gera nem lucro, nem prejuízo. Significa dizer que o resultado, ou o lucro 
é zero.
Nós podemos escrever a expressão do 
 lucro como:
32 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
Ao se resolver esta equação, teremos o seguinte gráfico:
Figura 13 - Representação da Função do Lucro
As	raízes	desta	equação	são	20	e	180.
•	Os	pontos	de	equilíbrio	acontecem	quando	o	cálculo	da	função	lucro	é	igual	a	zero:	
para	“x”	igual	a	20	ou	180.
•	O	lucro	máximo	é	obtido	no	vértice	da	parábola,	isto	é,	quando	x	=	100,	o	que	gera	um	
lucro	de	640	unidades	monetárias.
33 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
 A primeira expressão é resultante da substituição do valor de “x” na equação do lucro. 
A segunda resulta da aplicação da fórmula da coordenada do vértice da parábola.
	 •	O	prejuízo	acontece	quando	o	lucro	é	negativo,	isto	é,	quando	x	<	20	ou	quando	x	
>	180.	Significa	dizer	que	uma	produção	de	menos	de	20	unidades	ou	mais	de	180	
unidades causará prejuízo à empresa.
Exercícios de Fixação 
1.	Esboce	o	gráfico	da	função:	F(x)=	5x	+	30.
2.	Na	produção	de	peças,	uma	fábrica	tem	um	custo	fixo	de	R$	16,00	mais	um	custo	variável	
de	 R$	 1,50	 por	 unidade	 produzida.	 Sendo	 “x”	 o	 número	 de	 peças	 unitárias	 produzidas,	
determine: 
	 a)		A	lei	da	função	que	fornece	o	custo	da	produção	de	x	peças;	
	 b)	Calcule	o	custo	de	produção	de	400	peças.	
3.	Um	motorista	de	táxi	cobra	R$	4,50	de	bandeirada	mais	R$	0,90	por	quilômetro	rodado.	
Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule 
o	preço	a	ser	pago	por	uma	corrida	em	que	se	percorreu	22	quilômetros.
34 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
4.	Esboce	o	gráfico	da	função:	
5. Considere que a curva de custo total mensal para uma mercadoria seja dada pela equação 
C(x) abaixo e que a função de receita total seja dada pela equação R(x) abaixo, onde “x” é a 
quantidade	produzida.	Determine	o(s)	ponto(s)	de	equilíbrio,	a	quantidade	de	produção	para	
o lucro máximo e a condição em que se tem prejuízo.
Respostas dos Exercícios de Fixação 
1. 
35 Universidade Anhembi MorumbiFunções Matemáticas e Equações
2.	
3
4.
5.	 Pontos	 de	 equilíbrio:	 50	 e	 40.	 Lucro	máximo	 para	 uma	 produção	 de	 45	
unidades.	Ter-se-á	prejuízo	quando	a	produção	for	inferior	a	40	ou	superior	a	
50	unidades.
2 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Objetivos desta Unidade
Esta unidade tem o objetivo de dar continuidade ao estudo das funções, abordando as 
funções exponenciais e logarítmicas, frequentemente utilizadas para resolver problemas de 
administração e, em especial, aqueles envolvendo cálculos financeiros. Complementarmente 
se estudará as progressões aritméticas e geométricas, que são a base para o cálculo de juros 
na matemática financeira.
Funções Exponenciais
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número “a” estão definidas por:
“a” é chamada de base da potência e “n” o seu expoente.
Na prática, um expoente fracionário é equivalente a se tirar a raiz do número. 
Veja o exemplo:
Se “a” for negativo, então algumas das potências fracionárias de “a” terão valores fora do 
campo dos números reais, como por exemplo:
3 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Este tipo de consideração, no entanto, foge ao escopo de nosso estudo, pelo que para 
expoentes fracionários sempre consideraremos a condição de a≥0.
Nestas condições, uma função ou equação exponencial nunca terá uma raiz (terá como 
resultado de cálculo um valor igual a zero). Por consequência, a função sempre será positiva.
Comportamento das Funções Exponenciais
Considerando o valor de “a”, temos duas condições:
 • Quando “a” está compreendido entre 0 e 1, a função é decrescente.
 • Quando “a” é maior que 1, a função é crescente.
Veja os gráficos:
Observe que se a = 1, teremos uma função constante.
Figura 14 - Potências de Bases Maiores Que 1 Figura 15 - Potências de Bases Entre 0 e 1
4 UniversidadeAnhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Propriedades das Funções Exponenciais
A seguir se apresenta as principais propriedades das funções exponenciais.
As propriedades básicas, das quais todas as outras derivam, são:
• O produto de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes 
 dos fatores multiplicados:
• A divisão de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à diferença entre o 
 expoente do numerador e o expoente do denominador.
Outras propriedades derivadas das propriedades básicas são:
• Qualquer número diferente de zero, elevada a zero resulta em 1:
• Qualquer número elevado 1 é igual e este mesmo número:
• Qualquer potência de um número, elevada a outra potência, é igual a este número elevado 
 ao produto das duas potências:
• Duas potências iguais de bases diferentes, quando multiplicadas, dão como resultado o 
 produto das bases elevado àquela potência:
5 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Equações Exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo 
menos uma potência.
A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais 
sejam também resolvidas de forma prática.
São exemplos de equações exponenciais:
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases. 
Assim, considerando a equação como um todo, podemos dizer que os expoentes também 
serão iguais.
Observe a resolução da seguinte equação exponencial:
Se fatorarmos o número 2187, teremos que ele é igual a 37. Substituindo isto na equação 
original, temos:
E, considerando-se a igualdade como um todo, podemos concluir que x = 7.
Vejamos outra equação:
Após a fatoração de 1024, temos:
6 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Exemplo 1
 Para igualarmos as bases, é preciso lembrar que 
 qualquer base elevada a zero é igual a 1. 
Então teremos:
Disto resulta que:
Para saber o(s) valor(es) de “x”, basta resolver a equação do 2º grau que acabamos de 
determinar.
Funções Logarítmicas
Toda função é denominada função logarítmica de base “a” se for definida pela lei de formação:
Lê-se a expressão acima como logaritmo de “x” na base “a”. Em especial, a variável “x” neste 
caso recebe o nome de logaritmando ou antilogaritmo. 
Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que 
zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
Na prática, achar um logaritmo de um número equivale a achar o expoente que transforma a 
base considerada neste número. Veja o exemplo:
7 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
A resposta para esta equação exponencial é simples: “x” deve ser igual a 2 para que a 
igualdade seja verdadeira.
Mas muitos não sabem que estamos resolvendo um problema de logaritmos quando tratamos 
equações exponenciais deste tipo:
Se dizer que o logaritmo de 9 na base 3 é igual a 2 significa que 3 elevado a 2 será igual a 9.
Na prática, se pode transformar qualquer problema de logaritmos em um problema exponencial 
equivalente.
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Assim como procedemos com as funções exponenciais, devemos dividir as considerações da 
representação gráfica das funções logarítmicas em dois casos:
• Quando a base do logaritmo for maior que 1, teremos uma função crescente.
Figura 16 - Log em uma Base Maior Que 1
8 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
• Quando a base do logaritmo estiver entre 0 e 1, teremos uma função decrescente.
Note que em qualquer situação, o gráfico da função logarítmica está sempre à direita do eixo 
“y” e que a raiz da função logarítmica, em qualquer base, é 1.
Propriedade da Função Logarítmica
As propriedades da função logarítmica são totalmente equivalentes às propriedades das 
funções exponenciais. Veja a tabela comparativa:
Figura 17 - Log Em uma Base ente 0 E 1
Tabela 8 – Relação entreas Propriedades dos Logaritmos e as das Exponenciais
9 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Eis alguns exemplos de logaritmos:
Mudança de Base
As calculadoras existentes no mercado conseguem calcular o logaritmo de qualquer número, 
mas trabalham em geral, apenas em duas bases: a base decimal e a base neperiana. A 
base neperiana é assim chamada porque o valor da base é igual à constante de Neper: 
2,71828183. 
Esta constante é frequentemente referenciada em cálculos financeiros ou de economia, entre 
outros, daí se dar destaque ao uso dela quando é utilizada como base para cálculo dos 
logaritmos.
Neste ponto vale a pena se mencionar duas convenções utilizadas quando se trabalha com 
logaritmos. Assim como acontece com as operações de raiz, onde sempre que queremos 
calcular a raiz quadrada de um número não se precisa indicar o “2” na raiz, no caso dos 
logaritmos temos duas convenções equivalentes. Quando a base do logaritmo desejado é 10, 
usualmente não se escreve a base:
E quando usamos a base neperiana, ao invés de se escrever “log”, escreve-se “ln”:
10 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Agora, suponha que você queira calcular o logaritmo de 49 na base 7:
É claro que, pela definição inicial, a resposta para isto é 2, porque 7 elevado ao quadrado é 
igual a 49.
Mas vamos supor que você não soubesse disto e desejasse calcular este resultado com uma 
calculadora que tenha uma função logarítmica: decimal ou neperiana.
Neste caso, existe um recurso simples.
Para todo e qualquer logaritmo em uma base se pode escrever:
Isto significa que, se não temos como calcular o logaritmo de um número em uma determinada 
base, porque não se tem uma calculadora que o faça de forma direta, temos o recurso 
de calcular o logaritmo deste número em outra base; calcular o logaritmo da base original 
nesta outra base; e se dividir um resultado pelo outro, conseguindo da resposta ao problema 
original:
Para o nosso caso teríamos:
O mesmo vale para uma calculadora que só tenha a função logarítmica na base neperiana 
(que é o caso da calculadora HP 12c):
Resumidamente, temos um problema típico de logaritmo quando nossa incógnita está em um 
expoente.
11 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Exemplo 2
Se um cavalo engorda 10% ao mês. A partir de um peso inicial (x), quando ele irá dobrar o 
seu peso (x)?
Primeiramente devemos entender como cresce o peso do cavalo do problema.
Se o peso inicial dele era 100 kg, a tabela a seguir mostra a evolução do peso ao longo dos 
três primeiros meses:
Note que para cada mês se deve multiplicar o peso anterior por 1,1.
Neste caso para o mês “m” se deverá multiplicar o peso inicial “m” vezes por 1,1.
E quando se espera que o peso esteja dobrado, teremos a equação:
Neste caso se percebe que não importa qual o peso inicial do cavalo, porque para resolver a 
equação podemos simplificar o fator “P” nos dois lados da equação:
Tabela 9 – Evolução do Peso de um Cavalo
12 Universidade Anhembi MorumbiFunções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas
Agora, já que temos uma igualdade, se aplicarmos a mesma operação dos dois lados da 
igualdade, continuaremos a ter uma igualdade. A operação que iremos aplicar é o logaritmo:
Usando-se a propriedade dos logaritmos, referente ao logaritmo de uma potência, nós 
teremos:
Substituindo-se esta expressão na igualdade inicial:
Isto significa que o cavalo levará pouco mais de 7 meses para dobrar