lista 1 - Nelson

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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
Curso de Graduação em Engenharia 
CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL II – LISTA 1 
PROF: NELSON BARBOSA 
barbosa@uenf.br 
 
 
RETAS E PLANOS 
 
1) Se a distância de um plano a origem é p e sua interseção com os planos coordenados são os 
pontos (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) onde a.b.c ≠ 0, mostre que 
2222
1111
cbap
 . 
2) Considere  e as retas 1r e 2r de equações: 
 








t
tz
ty
tx
r

2
21
:1 e  








s
sz
sy
sx
r
1
21:2 
a) Mostre que 1r e 2r são retas reversas, qualquer que seja  . (Lembre-se que retas reversas 
são retas que não estão contidas em um mesmo plano, ou seja, não são coplanares) 
b) Determine o valor de  para que o ângulo entre 1r e 2r seja 60º; 
c) Para 1 , determine a equação da reta s perpendicular a 1r e 2r e a distância entre 1r e 2r ; 
d) Determine a equação de um plano  que contém 1r e é paralelo a 2r . 
 
3) Analise a posição relativa entre a reta 
2
75
4
3:  zyxr e o plano 0832  zyx e 
calcule a distância entre eles. 
 
4) Mostre que as retas 
4
95
3
7:  zyxr e 





022
01022
:
zyx
zyx
s são paralelas. 
 
5) As retas 








tz
ty
tx
r
2
1
2
: e 
2
3
4
1: zy
m
xs 


 formam um ângulo de 60º. Calcule o valor de m. 
 
6) Dadas as retas 1r e 2r de equações: 
 








t
tz
y
tx
r
24
1
2
:1 e  








s
sz
sy
x
r
3
21
3
:2 
a) Mostre que 1r e 2r são retas reversas; 
b) Determine a equação de um plano  que contém 1r e é paralelo a 2r ; 
 
7) Dadas as retas  








t
tz
ty
tx
r
77
44
44
: e zyxs 2:  , determine o ângulo entre elas. 
 
8) Determie a equação cartesiana do plano que contém as retas 
3
5
2
2
3
1: 



 zyxr e 








tz
ty
tx
s
67
42
65
: . 
 
9) Determine a equação cartesiana dos planos paralelos ao plano 01632  zyx e que distam 3 
unidades da origem. 
 
10) Determine a equação cartesiana dos planos paralelos ao plano 0422  zyx e que distam 5 
unidades do ponto P=(1,3,3). 
 
11) Dado o plano 05:  yx e a reta 








tz
ty
tx
r
3
21
: , determine o ângulo entre a reta e o plano. 
 
12) Determine a equação cartesiana do plano  com base nos seguites dados: 
 
a)  contém os pontos A=(1,0,-1), B=(-1,2,0) e C=(1,1,1). 
b)  contém a reta 1r que passa pelo ponto (3,0,1) e tem direção )1,1,1( u , e a reta 2r , que 
passa pelo o ponto 0P e é paralela ao vetor )2,0,0( v . 
c)  contém o ponto  1,1,10 P e a reta r que passa pela origem e é gerada pelo vetor 
)1,1,2( u . 
 
QUÁDRICAS 
 
13) Seja o cone 2
22
49
: zyxS  . Considere o ponto P(0,y,1). Determine o valor de y para que o 
ponto P seja ponto de S. 
 
14) Obtenha a equação reduzida e identifique a superfície representada pela equação: 
0712188632 222  zyxzyx . 
 
15) Verifique se o ponto M=(2,-1,1) pertence ao parabolóide hiperbólico zyxP 59: 22  . 
 
16) Determinar a equação da superfície esférica cujo segmento de extremos A=(-1,3,-5) e B=(5,-1,-
3) é um de seus diâmetros. 
 
17) Obtenha a equação reduzida e identifique a superfície representada pela equação: 
0166832 222  zyxzyx . 
 
18) Determine a equação da esfera de centro no ponto C=(1,2,3) e que é interceptada pelo plano 
z=5 num círculo de raio 4. 
 
19) Determinar a equação do parabolóide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Ox e 
que passa pelos pontos A=(1,1,0) e B=(1,0,2). 
 
20) Sabendo que uma esfera tem centro na origem a sua seção plana obtida de sua interseção com o 
plano x=3 é a cônica de equação 1622  zy , determine a equação desta esfera. 
 
21) Sabendo que uma esfera tem centro na origem a sua seção plana obtida de sua interseção com o 
plano y=8 é a cônica de equação 3622  zx , determine a equação desta esfera. 
 
 
FUNÇÃO VETORIAL E REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA 
 
 
1) Verifique que: 
22
,
tan3
sec21 






t
ty
tx são equações paramétricas de um ramo da 
hipérbole     1
9
3
4
1 22



 yx . 
 
2) Seja a hipérbole de equação 1922  yx .Dê as equações paramétricas do ramo desta hipérbole 
que intersecta o semi-eixo positivo OX. Como são as equações paramétricas desse ramo, 
expressando uma variável em função da outra? 
 
3) Determine as equações paramétricas da hipérbole: 1
44
:
22

yxH . 
4) Determine a equação cartesiana da Elipse: 





t
ty
tx
,
sin2
cos1 |R 
 
5) Sejam a e b números reais positivos. Verifique que o lugar geométrico cujas equações 
paramétricas são: 





t
tby
tax
,
sec
tan |R, é uma hipérbole cujo o eixo focal é o eixo y. Descreva a 
forma dessa hipérbole nos casos a<b e b<a. 
 
6) Determine a equação cartesiana da Hipérbole: 





t
ty
tx
,
sec33
tan2 |R. 
 
7) Verifique que 3tx  e  ttty ,4 36 |R, são equações paramétricas de uma parábola. Dê a 
equação cartesiana dessa parábola. 
 
8) Verifique que: 





t
tty
ttx
,
sinhcosh
sinhcosh |R, são equações paramétricas de um ramo da 
hipérbole xy=1. 
 
9) Verifique que:  
  




t
tty
ttx
,
sincos3
sincos2 |R, são equações paramétricas de uma Elipse. Dê a 
equação cartesiana dessa Elipse. 
 
 
10) Se    ttt 22 cos2,sin e    0,0 , encontre  t . 
 
11) A astróide 323232 2 yx tem equações paramétricas       2,0,sin2,cos2 33  tttt . 
Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a 4t . 
 
12) Seja C a curva definida por       2,0,sin21,cos2  tttt . Determine as equações 
paramétricas e cartesiana da reta normal à curva no ponto    2,3t . 
 
13) Considere a curva definida por        1,11,1ln21 2  tttt . 
 
a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2); 
b) Dê uma equação cartesiana da curva; 
c) Esboce a curva. 
 
14) SejaC a curva parametrizada por       2,0,sin21,sin,cos  ttttt . Determine a equação 
da reta tangente à curva no ponto (-1,0,1). 
15) Escreva equações da reta tangente à curva do |R3 parametrizada por    11, 2ttt  no ponto 
(0,1,1). 
 
 
 
Fontes: Listas de Exercícios do Consórcio Cederj – Geometria Analítica Vols I e II. 
 “Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis – Diomara Pinto, Editora 
UFRJ.