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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Curso de Graduação em Engenharia CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL II – LISTA 1 PROF: NELSON BARBOSA barbosa@uenf.br RETAS E PLANOS 1) Se a distância de um plano a origem é p e sua interseção com os planos coordenados são os pontos (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) onde a.b.c ≠ 0, mostre que 2222 1111 cbap . 2) Considere e as retas 1r e 2r de equações: t tz ty tx r 2 21 :1 e s sz sy sx r 1 21:2 a) Mostre que 1r e 2r são retas reversas, qualquer que seja . (Lembre-se que retas reversas são retas que não estão contidas em um mesmo plano, ou seja, não são coplanares) b) Determine o valor de para que o ângulo entre 1r e 2r seja 60º; c) Para 1 , determine a equação da reta s perpendicular a 1r e 2r e a distância entre 1r e 2r ; d) Determine a equação de um plano que contém 1r e é paralelo a 2r . 3) Analise a posição relativa entre a reta 2 75 4 3: zyxr e o plano 0832 zyx e calcule a distância entre eles. 4) Mostre que as retas 4 95 3 7: zyxr e 022 01022 : zyx zyx s são paralelas. 5) As retas tz ty tx r 2 1 2 : e 2 3 4 1: zy m xs formam um ângulo de 60º. Calcule o valor de m. 6) Dadas as retas 1r e 2r de equações: t tz y tx r 24 1 2 :1 e s sz sy x r 3 21 3 :2 a) Mostre que 1r e 2r são retas reversas; b) Determine a equação de um plano que contém 1r e é paralelo a 2r ; 7) Dadas as retas t tz ty tx r 77 44 44 : e zyxs 2: , determine o ângulo entre elas. 8) Determie a equação cartesiana do plano que contém as retas 3 5 2 2 3 1: zyxr e tz ty tx s 67 42 65 : . 9) Determine a equação cartesiana dos planos paralelos ao plano 01632 zyx e que distam 3 unidades da origem. 10) Determine a equação cartesiana dos planos paralelos ao plano 0422 zyx e que distam 5 unidades do ponto P=(1,3,3). 11) Dado o plano 05: yx e a reta tz ty tx r 3 21 : , determine o ângulo entre a reta e o plano. 12) Determine a equação cartesiana do plano com base nos seguites dados: a) contém os pontos A=(1,0,-1), B=(-1,2,0) e C=(1,1,1). b) contém a reta 1r que passa pelo ponto (3,0,1) e tem direção )1,1,1( u , e a reta 2r , que passa pelo o ponto 0P e é paralela ao vetor )2,0,0( v . c) contém o ponto 1,1,10 P e a reta r que passa pela origem e é gerada pelo vetor )1,1,2( u . QUÁDRICAS 13) Seja o cone 2 22 49 : zyxS . Considere o ponto P(0,y,1). Determine o valor de y para que o ponto P seja ponto de S. 14) Obtenha a equação reduzida e identifique a superfície representada pela equação: 0712188632 222 zyxzyx . 15) Verifique se o ponto M=(2,-1,1) pertence ao parabolóide hiperbólico zyxP 59: 22 . 16) Determinar a equação da superfície esférica cujo segmento de extremos A=(-1,3,-5) e B=(5,-1,- 3) é um de seus diâmetros. 17) Obtenha a equação reduzida e identifique a superfície representada pela equação: 0166832 222 zyxzyx . 18) Determine a equação da esfera de centro no ponto C=(1,2,3) e que é interceptada pelo plano z=5 num círculo de raio 4. 19) Determinar a equação do parabolóide elíptico com vértice na origem, eixo sobre o eixo Ox e que passa pelos pontos A=(1,1,0) e B=(1,0,2). 20) Sabendo que uma esfera tem centro na origem a sua seção plana obtida de sua interseção com o plano x=3 é a cônica de equação 1622 zy , determine a equação desta esfera. 21) Sabendo que uma esfera tem centro na origem a sua seção plana obtida de sua interseção com o plano y=8 é a cônica de equação 3622 zx , determine a equação desta esfera. FUNÇÃO VETORIAL E REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA 1) Verifique que: 22 , tan3 sec21 t ty tx são equações paramétricas de um ramo da hipérbole 1 9 3 4 1 22 yx . 2) Seja a hipérbole de equação 1922 yx .Dê as equações paramétricas do ramo desta hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo OX. Como são as equações paramétricas desse ramo, expressando uma variável em função da outra? 3) Determine as equações paramétricas da hipérbole: 1 44 : 22 yxH . 4) Determine a equação cartesiana da Elipse: t ty tx , sin2 cos1 |R 5) Sejam a e b números reais positivos. Verifique que o lugar geométrico cujas equações paramétricas são: t tby tax , sec tan |R, é uma hipérbole cujo o eixo focal é o eixo y. Descreva a forma dessa hipérbole nos casos a<b e b<a. 6) Determine a equação cartesiana da Hipérbole: t ty tx , sec33 tan2 |R. 7) Verifique que 3tx e ttty ,4 36 |R, são equações paramétricas de uma parábola. Dê a equação cartesiana dessa parábola. 8) Verifique que: t tty ttx , sinhcosh sinhcosh |R, são equações paramétricas de um ramo da hipérbole xy=1. 9) Verifique que: t tty ttx , sincos3 sincos2 |R, são equações paramétricas de uma Elipse. Dê a equação cartesiana dessa Elipse. 10) Se ttt 22 cos2,sin e 0,0 , encontre t . 11) A astróide 323232 2 yx tem equações paramétricas 2,0,sin2,cos2 33 tttt . Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a 4t . 12) Seja C a curva definida por 2,0,sin21,cos2 tttt . Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta normal à curva no ponto 2,3t . 13) Considere a curva definida por 1,11,1ln21 2 tttt . a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2); b) Dê uma equação cartesiana da curva; c) Esboce a curva. 14) SejaC a curva parametrizada por 2,0,sin21,sin,cos ttttt . Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (-1,0,1). 15) Escreva equações da reta tangente à curva do |R3 parametrizada por 11, 2ttt no ponto (0,1,1). Fontes: Listas de Exercícios do Consórcio Cederj – Geometria Analítica Vols I e II. “Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis – Diomara Pinto, Editora UFRJ.
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