apostila mat financeira

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Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Administração a Distância – UAB/UFMT 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Autor 
Prof. Aldo Nobuyuki Nakao 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuiabá-MT 
2010 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Iniciando a Viagem... 
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Sumário 
 
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................... 9 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 10 
UNIDADE I - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ...................................................................... 15 
1.1 JUROS SIMPLES .................................................................................................................. 17 
1.2 VALOR FUTURO OU MONTANTE ................................................................................ 25 
1.3 DESCONTO SIMPLES ........................................................................................................ 29 
1.3.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU “POR FORA” .......................................... 30 
1.3.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ....................................... 35 
UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .............................................................. 41 
2.1 CÁLCULO DO VALOR FUTURO .................................................................................... 43 
2.1.1 CALCULADORA HP 12-C ............................................................................................. 47 
2.1.2 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................... 61 
2.2 DESCONTOS COMPOSTOS ............................................................................................. 67 
2.3 FLUXO DE CAIXA .............................................................................................................. 69 
UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES ................................................................................ 79 
3.1 VALOR ATUAL DE SÉRIES POSTECIPADAS/ RENDAS IMEDIATAS .................. 81 
3.2 SÉRIES ANTECIPADAS/RENDAS ANTECIPADAS ................................................... 96 
3.3 MONTANTE DE SÉRIES POSTECIPADAS .................................................................... 99 
UNIDADE IV AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA ................................................................. 105 
4.1 SISTEMA DO MONTANTE OU BULLET (SILVA 2008 P. 108) ................................. 107 
4.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAM OU SAA) .............................. 109 
4.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE “FRANCÊS”. ................................................ 110 
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC). ............................................... 112 
UNIDADE V – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS .......................................................... 117 
4.1 PAYBACK .......................................................................................................................... 120 
4.2 TAXA INTERNA DE RETORNO ................................................................................... 122 
4.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ............................................................................ 125 
CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 129 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 130 
 
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Apresentação 
 
Prezado (a) estudante do curso de Administração, 
 
É com grande satisfação que apresentamos a você a Disciplina Matemática 
Financeira, uma indispensável ferramenta para o profissional de administração. 
Partiremos do pressuposto de que a matemática financeira faz parte daqueles 
conhecimentos que só se adquirem com a prática, em que não é suficiente apenas 
entender o conceito, mas necessário ser capaz de aplicá-lo. O objetivo deste 
fascículo é capacitar e desenvolver habilidades, tais como: conceitos que regem a 
matemática financeira, juros simples e compostos, séries uniformes, equivalência 
de taxas, descontos, métodos para avaliação de alternativas de investimentos e a 
utilização da calculadora HP- 12C, de forma simples e descomplicada, 
apresentando os conceitos fundamentais da matemática financeira, de forma 
objetiva e clara, por meio da associação dos exercícios com a prática do cotidiano. 
A disciplina foi organizada com o intuito de capacitar os participantes a 
fazer cálculos financeiros apropriados às diversas transações, sejam elas 
comerciais ou bancárias, de forma dinâmica e prática, ajudando a aumentar ainda 
mais sua competência na gestão patrimonial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
Você emprestaria dinheiro sem cobrar nada? Se você atrasar o pagamento de um 
título, o valor para quitá-lo seria o mesmo? Será que daqui a dez anos um pacote de arroz 
de cinco quilos custará em média R$ 8,00? Você se lembra qual o preço de um tênis há 
doze anos atrás? 
Note que em todos os questionamentos deste genêro existem sempre duas 
viariáveis fundamentais: valor e tempo. Dois principais fatores podem ser citados, para 
que possamos entender as possíveis respostas: o primeiro é o Capital Escasso, pois 
ninguém empresta dinheiro “de graça”, por isso que a taxa de aplicação financeira é 
diferente da taxa de empréstimo diferença chamada de “SPREAD bancário”; e o segundo 
é o Ambiente Inflacionário, historicamente vivemos em um país inflacionário. 
Considere um exemplo simples: se, no início deste ano, precisássemos de cem reais 
para comprar dez pacotes de arroz e, ao final do ano, necessitaremos de cento e dez reais 
para comprá-lo novamente, poderíamos concluir que os cem reais pagos no início do ano, 
bem como os cento e dez reais pagos ao final do mesmo ano, expressam o mesmo poder 
de compra. Dizemos, então, que inflação é a correção do dinheiro ao longo do tempo. 
Se não houvesse essas duas variáveis, os valores ao longo do tempo jamais se 
alterariam, o que não ocorre em quaquer mercado financeiro. 
Neste contexto, a matemática financeira é o estudo do capital ao longo do tempo, 
ou seja, tem como objetivo capitalizar e descapitalizar valores. Quando falamos em 
matemática financeira, pensamos, instintivamente, na figura dos juros, que, por sua vez, 
podem ser defindo como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS 
O ganho, rendimento ou compensação pelo uso do capital 
financeiro em um determinado tempo a uma dada taxa. 
11 
 
Notações gerais 
 
TEMPO (n) 
 
Seja (n) o número de períodos de capitalização de juros que podem ser 
expressos em dias, meses, trimestres, semestres, anos etc. Dessa forma, temos: 
 
 
 
 
De um modo geral, o mercado trabalha com o ano comercial, ou seja, 360 
(trezentos e sessenta) dias, considerando todosos meses com 30 dias. Em alguns 
casos de cálculos exatos, adotar-se-á o ano civil com 365 (trezentos e sessenta e 
cinco) dias. 
 
TAXA (i) 
 
A taxa de juros é o índice que remunera o capital, dessa forma, seja (i) a taxa 
de juros por período de capitalização (%), poderá ser descrita sob duas formas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“n = 0”, como data atual (hoje) ou início do 1º período; e, “n = 1” o 
final do 1º período. 
A Centesimal (usual) 10% a.a. (dez por cento ao ano); 5% a.m. (cinco por cento ao 
mês); e, 0,5% a.d. (meio por cento ao dia) Ou A Decimal ou Unitária, é a forma 
centesimal dividida por 100. 0,1 a.a. (dez por cento ao ano); 0,05 a.m. (cinco por cento 
ao mês); e, 0,005 a.d. (meio por cento ao dia), (Note que agora o símbolo % desaparece). 
12 
 
 
FORMAS DE DESCREVER UMA MESMA TAXA DE JUROS 
 
Unidade 
 
Forma Centesimal 
 
Forma Unitária 
Ao dia 0,5% a.d. 0,005 a.d. 
Ao mês 2,5% a.m. 0,025 a.m. 
Ao bimestre 8% a.b. 0,08 a.b. 
Ao trimestre 10,5% a.t. 0,105 a.t. 
Ao quadrimestre 12% a.q. 0,12 a.q. 
Ao semestre 30% a.s. 0,3 a.s. 
Ao ano 120% a.a. 1,2 a.a. 
 
TODA TAXA DE JURO DEVE TER UMA UNIDADE: 
ao dia, ao mês, ao ano etc. 
 
Em qualquer operação, a taxa e o tempo sempre devem estar na mesma 
unidade, por exemplo: taxa ao ano, tempo em anos; taxa ao mês, tempo em meses; 
taxa trimestral, tempo em trimestres, e assim sucessivamente. No regime de 
capitalização simples, as taxas de 5% a.m., 10% a.b., 15% a.t., 20% a.q., 30% a.s. e 
60% a.a. são taxas proporcionais, pois todas têm pesos iguais, o que, no regime de 
capitalização composta, não é aplicado. 
 
CAPITAL (PV) 
 
Vem da palavra italiana "capitale" e representa o dinheiro que se empresta 
ou que se pede emprestado. É também conhecido por “principal” ou Valor 
presente. Seja PV = capital, temos: 
 
 
 
 
PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial 
13 
 
MONTANTE (FV) 
 
Montante é um termo matemático que traduz a soma de uma operação ou 
importância total de um valor. Na matemática financeira representa a soma do 
capital inicial e os juros acrescidos. Seja FV = montante, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV : Future Value = Valor Futuro = Valor acumulado ao final de n períodos 
de capitalização, à taxa de juros i. 
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UNIDADE 1
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de: 
o Entender os fundamentos dos juros imples 
o Calcular o valor futuro ou montante 
o Analisar os fatores relacionados aos descontos na 
capitalização 
 
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17 
 
1.000,00 
1.100,00 
1.200,00 
1.300,00 
1.400,00 
1.500,00 
1.600,00 
1.700,00 
1.800,00 
1.900,00 
2.000,00 
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
ap
it
al
Meses
Capitalização Simples
J1 = J2 = J3 = J4 = J5 = J6 = J7 = J8 = J9 = J1 0 = 100 ,00
1.1 Juros Simples 
No caso do regime de capitalização simples, o cálculo dos Juros é feito 
apenas sobre o Principal. Neste caso os juros serão sempre constantes, pois são 
calculados sobre a mesma base de cálculo (capital inicial ou Valor Presente). 
Assim, não há anatocismo, ou seja, acúmulo de juros ao capital para o cálculo dos 
novos juros dos períodos seguintes, por isso, dizemos que o crescimento do capital 
é linear, conforme ilustrado na figura 1. 
 
Figura 1- Capitalização Simples de um Capital Inicial 
De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período Juros Saldo Final 
Tempo 0 --o-- 1.000,00 
Final 1º mês 100,00 1.100,00 
Final 2º mês 100,00 1.200,00 
Final 3º mês 100,00 1.300,00 
Final 4º mês 100,00 1.400,00 
Final 5º mês 100,00 1.500,00 
Final 6º mês 100,00 1.600,00 
Final 7º mês 100,00 1.700,00 
Final 8º mês 100,00 1.800,00 
Final 9º mês 100,00 1.900,00 
Final 10º mês 100,00 2.000,00 
 
18 
 
Observe que todos os períodos, neste caso, em meses, há juros de cem reais, 
decorrente do uso do capital inicial. Para todos os períodos de dez meses, os juros 
se mantêm constantes, pois a base de cálculo, qual seja um mil reais é sempre o 
capital inicial. 
 
Considere: 
 
 
 
 
 
 
Perceba que, para haver juros, é preciso existir no mínimo três elementos, 
quais sejam: Valor Presente, aplicado a um período de tempo sob uma 
determinada taxa. O resultado dos juros é diretamente proporcional a cada um 
destes elementos. Assim temos: 
 
 
 
 
 
Note que a taxa é utilizada da forma unitária (10/100) e expressa em uma 
unidade devidamente compatível com o tempo. 
Considerando sempre estas quatro variáveis: Juros (J), Valor Presente (PV), 
Taxa (i) e Tempo (n), perceba que, se você possuir pelo menos três delas, qualquer 
outra poderá ser facilmente encontrada. Agora observe: 
 
 
 
 
J = PV x i x n PV = J _ 
 i x n 
i = J _ 
 PV x n 
n = J _ 
 PV x i 
J = Juros 
PV = Valor Presente; 
n = tempo ou período; e, 
i = taxa de juros; 
J = PV x i x n 
Os Juros são resultantes do produto do Valor Presente (PV) da taxa (i) e do tempo (n). 
 No exemplo temos: J = 1.000 x 0,1 x 10 = 1.000,00. 
19 
 
Não é necessário memorizar todas as fórmulas acima descritas, observe 
apenas que, isolando qualquer variável, por meio de regras matemáticas, as outras 
passarão com operação inversa para o outro lado da igualdade. 
A esta altura, você já deve estar se perguntando o porquê de se utilizarem 
os símbolos (PV), (i), (n) e (FV) e não símbolos que seriam mais usuais como (C) 
para designação de capital ou (t) para representar a variável tempo. Estes símbolos 
são mundialmente conhecidos e convencionalmente utilizados na matemática 
financeira e, por isso, é muito importante a sua familiarização com eles, 
principalmente porque esta é a simbologia adotada pelas calculadoras financeiras. 
 
 
 
 
 
 
1) Quais os juros de um capital de R$ 185.000,00 aplicado a 6,5% ao mês durante 
doze meses? (VERAS: 2005. pg. 65) 
 
 
 
 
 
2) Qual o Valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 100.000,00 
pelo prazo de quinze meses, sabendo-se que a taxa corada é de 3% ao mês? 
(VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19) 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
20 
 
3) Um capital de R$ 80.000 é aplicado à taxa de 2,5 ao mês durante um 
trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. 
(ASSAF NETO: 2001, pg. 23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês produz 
juros de R$ 330,00 em três meses? (LOCIKS: 2005. pg. 55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Que capital aplicado a juros simples de 1,2% ao mês rende R$ 3.500,00 de 
juros em 75 dias? (KUHNER: 2001, pg. 43) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
6) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 300,00 de juros ao fim de dois 
meses, então a taxa de juros para este período será de? (LOCIKS: 2005. pg. 44) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um 
rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa 
aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 19)8) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 ficou aplicado a 25% ao 
trimestre para render R$ 1.750,00 de juros? (VERAS: 2005. pg. 66) 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
9) Sabendo que os juros de R$ 120.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 
150.000,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA 
SOBRINHO: 1986, pg. 20) 
 
 
 
 
 
 
10) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples 
de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 
270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do 
empréstimo. (ASSAF NETO: 2001, pg. 23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Uma Geladeira é vendida a vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com $ 
400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa 
mensal de juros simples do financiamento? (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 14) 
 
 
 
 
 
 
23 
 
12) Bruno, dispondo de R$ 3.000,00 resolve aplicá-los em dois bancos. No 
primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% ao mês, por seis meses, e 
no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por oito meses, à taxa de 
10% ao mês. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total de juros 
auferidos foi de R$ 1.824,00? (HAZZAN & POMPEO & POMPEO p. 16 ex. 22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas 
aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do seu capital numa 
alternativa de investimento que paga 34,2%, ao ano, de juros simples, pelo prazo 
de 60 dias. A outra parte é investida numa conta de poupança por 30 dias, sendo 
remunerada pela taxa linear de 3,1% ao mês. O total dos rendimentos auferidos 
pelo aplicador atinge R$1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital 
investido. (Assaf Neto 2001: p. 40) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
14) Um capital foi dividido em duas partes, sendo que 40% foram aplicados há 
6 meses, e a segunda parte por 5 meses. Sabendo-se que ambas as parte foram 
empregadas a mesma taxa simples de juros de 42% ao ano e que a segunda parte 
produziu R$ 252,00 a mais de juros, pede-se: 
 
a. O valor dos capitais; 
 
 
 
 
b. O valor dos juros. 
 
 
 
 
 
 
15) Dois capitais foram colocados a juros na mesma taxa. O primeiro produziu 
R$ 1062,50 de juros em 1 ano e 5 meses. O segundo rendeu R$ 700,00 em 8 meses. 
Sabendo que o segundo capital excede em 2000,00 o primeiro. Pede-se: calcular a 
taxa de juros e os dois capitais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
FV = PV (1+ i x n) 
1.2 Valor Futuro ou Montante 
 
Se houver uma aplicação financeira, depois de dez meses quanto retiraria o 
seu aplicador? 
A resposta é simples: como já vimos seria o montante (FV) representa o 
investimento inicial (PV) mais os juros recebidos (J), que neste caso, 
coincidentemente são valores iguais, então ele sacaria dois mil reais, veja: 
 
 
 
 
Colocando PV em evidência, temos: FV = PV (1 + i x n). 
 
No exemplo, temos: FV = PV (1 + i x n), logo: 
 
 
 
 
 
 
Resumindo, temos a fórmula do montante simples como: 
 
 
 
 
 
 
 
Quando for preciso isolar as variáveis (i) taxa ou (n) tempo, será dado o 
(FV) Montante e o (PV) Capital, cuja diferença é o (J) juro. Assim, ficará mais fácil 
usar a fórmula dos juros. 
 
 
PV + J = FV, ou montante. Se: FV = PV + J, então, FV = PV + PV x i x n. 
 
 
PV = __FV_ 
 (1 + i x n) 
 
FV = 1.000 (1 + 0,1 x 10), então FV = 1.000 x 2, logo FV = 2.000,00. 
 
PV = 1.000,00, n = 10 meses e i = 10% ao mês, 0,1 a.m. 
26 
 
 
 
 
 
 
1) Qual o montante de um capital de R$ 600,00 à taxa de 18% ao ano, durante oito 
meses. (FRANCISCO: 1991. pg. 13) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma Pessoa Aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante oito meses. 
Determine o valor acumulado ao final deste período. (ASSAF NETO: 2001, pg. 25) 
 
 
 
 
 
 
 
3) Sabendo-se que certo capital aplicado durante dez semestres a taxa de 36% ao ano 
rende R$ 72.000,00 de juros, determine o montante. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, pg. 21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
27 
 
4) Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de 
12% ao ano. Obtenha o montante. (HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 11) 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de 222.857,00 foram aplicados em uma 
mesma data a juros simples, sendo o primeiro a taxa de 168% ao ano e o segundo a taxa 
de 120% ao ano. Qual o prazo para que os montantes se igualem. (HAZZAN & POMPEO: 
2007. pg. 15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Uma Pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O 
primeiro título vence de hoje a dois meses e o segundo um mês após. O devedor deseja 
propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do quinto 
mês. Considerando 3% ao mês à taxa corrente de juros simples, determine o valor deste 
pagamento único. (ASSAF NETO: 2001, pg. 35) 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
7) Ao comprar um ar condicionado cujo preço a vista era de R$ 1.000,00, o líder da sala 
deu 10% de entrada e concordou em pagar o restante no período de 1,5 anos. Sabendo-se 
que a empresa irá cobrar juros simples pelo financiamento e que, nos primeiros 12 meses, 
a taxa cobrada será de 15% ao ano e, no restante, será cobrada uma taxa de juros de 36% 
ao ano. Pergunta-se: 
 
a. Qual o valor que ele necessitará para quitar a dívida com pagamento único no final 
de 1,5 anos? 
 
 
 
 
 
 
b. Se o líder pagar R$ 500,00 após 1 ano, além da entrada, qual seria o valor que ele 
necessitará para quitar a dívida no final de 1,5 anos? 
 
 
 
 
 
 
8) Qual a taxa mensal de juros necessária para que os capitais de R$ 700,00 aplicados 
por 5 meses e R$ 500,00 aplicados por 15 meses produzirão um montante igual? Admitir 
que ambos fossem investidos na mesma taxa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
1.3 Desconto Simples 
 
Toda vez que houver um Valor Futuro (FV) e você desejar antecipar esse 
valor, usar-se-á o desconto. Nesta situação existirá o fenômeno da 
descapitalização. 
As operações de capitalização simples caracterizam-se pelo fato de terem 
sempre uma mesma base de cálculo, assim os juros e descontos são lineares e, 
consequentemente, constantes. O desconto simples pode ser calculado de duas 
formas distintas: 
 
 
 
 
 
Veja o exemplo: 
 
Supondo que, no mês de 01/2.00X, o comprador fosse a uma empresa de 
eletrodoméstico e comprasse uma mercadoria por mil reais, para pagar seis meses 
após a data da compra, ou seja, 07/2.00X. É comum que o comprador assine um 
determinado documento, que pode ser uma nota promissória, um cheque pré-
datado etc. que comprove a o valor da dívida e a data da promessa de pagamento. 
Supondo que, no mês 04/2.00X, entrasse um dinheiro extra que poderia ser 
destinado ao pagamento do compromisso assumido no passado. Será que se esse 
comprador fosse imediatamente até a loja ele pagaria os mesmos mil reais que iria 
vencer ainda três meses mais tarde? 
Com certeza, exceto raras exceções, o comprador exigiria alguma vantagem 
pela antecipação do pagamento. A essa vantagem damos o nome de desconto. O 
valor a ser pago é o valor presente (PV), valor atual, ou ainda valor descontado, 
que é o valor futuro, valor nominal, ou valor de face, menos o desconto.O desconto tem que ser proporcional ao tempo de antecipação e à taxa de 
desconto definida pela empresa. Supondo uma taxa de desconto hipotética seja de 
Desconto simples comercial ou “por fora” e 
Desconto simples racional ou “por dentro”. 
30 
 
dez por cento ao mês, então qual seria o valor com o qual o comprador quitaria 
sua dívida? Se você encontrou como resposta setecentos reais é porque utilizou a 
forma do desconto simples comercial ou “por fora”. 
 
1.3.1 Desconto Simples Comercial ou “por fora” 
 
O Desconto Simples Comercial (d) tem como base de cálculo o valor futuro 
ou valor nominal do título (sinônimo). Veja o exemplo citado: 
 
 Data no futuro 
 Data do passado Data no presente 
 
 
 
 
 
 
 Antecipação do pagamento 
 Vantagem = desconto (d) 
 
 
 
 
 
Considerando a principal característica do desconto simples comercial , temos: 
 
 
 
Percebeu? É a mesma fórmula dos juros simples, apenas substituindo-se a base de cálculo 
que ao invés do (PV) é o (FV). d = 1.000 x 0,1 x 3, logo: d = 300,00. 
 
1.000,00 
Um mil reais –o—o—o—o—o—o 
 
Vencimento 07/2.00X 
 
 
________________ 
Assinatura do Comprador 
Compra 
01/2.00X 
Data atual 
04/2.00X 
d = FV x i x 
Sabendo que o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00; Tempo de antecipação (n) 
= 3 meses; Taxa oferecida para antecipação do título i = 10% a.m. Qual é o 
desconto simples comercial? (d) = ? 
31 
 
Se o desconto é uma vantagem que obterá o comprador, então ele pagará o 
Valor Futuro (FV) menos o desconto (d), que é chamado de Valor Presente (PV). 
 
 
 
Neste caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
O desconto simples comercial é uma operação muito usada nas instituições 
financeiras que operam com desconto de duplicatas. Muitas indústrias e empresas 
comerciais que oferecem prazo longo ao cliente geram déficit no fluxo de caixa, ou 
seja, não têm capital de giro, mas possuem direitos a receber de seus clientes 
como: duplicatas e notas promissórias a receber. As instituições financeiras no 
intuito de fomentar esta empresa compram estes direitos, liberando o dinheiro 
(PV) e cobrando o desconto (d), acrescido de impostos e taxas administrativas. 
 
 
 
 
 
 
1) Qual o valor do desconto “por fora” de um título de R$ 2.000,00 com 
vencimento para noventa dias a taxa de 2,5% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, 
pg. 39) 
 
 
 
 
PV = FV – d ↔ PV = FV - FV x i x n ↔ PV = FV (1 – i x n) 
ATIVIDADES 
PV = FV x (1 – i x n) 
PV = 1.000 (1 – 0,1 x 3) 
PV = 1.000 x 0,7 = 700,00 
PV = FV – d 
PV = 1.000 – 300 ↔ PV = 700,00. 
32 
 
2) Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses 
antes do vencimento a um a taxa de desconto comercial de 2,5% ao mês. 
(HAZZAN & POMPEO: 2007. pg. 26) 
 
a) Obtenha o desconto; 
 
 
 
 
 
 
b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa. 
 
 
 
 
 
 
3) Um empresário descontou uma duplicata com valor nominal de 
R$ 12.000,00 com vencimento em cinco meses. Determine a taxa mensal de 
desconto comercial simples, sabendo-se que o desconto aplicado foi de R$ 
2.400,00. (SILVA: 2008. pg. 59) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
4) Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias 
antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor 
atual na data do desconto de R$ 24.436,10. (ASSAF NETO: 2001, pg. 84) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma pessoa tinha dois títulos de mesmo valor nominal e vencíveis na 
mesma data. Precisou de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do 
vencimento e recebeu R$ 216.200,00. Está novamente precisando de dinheiro e 
pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para o vencimento. Quanto 
receberá se a taxa for a mesma, isto é, 0,5% ao mês de desconto comercial simples? 
(VERAS: 2005. pg. 86) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
6) (PUCCINI: 2004, pg. 38) Uma empresa deseja descontar títulos em um 
banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, 
juros simples. O primeiro título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no 
prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no 
prazo de 180 dias. Determine o valor a ser creditado pelo banco na conta desta 
empresa, pelo desconto destes títulos. 
 
 
 
 
 
 
 
7) (ASSAF NETO: 2001, pg. 86) Uma duplicata de valor nominal de R$ 
60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de 
2,8% ao mês a taxa de desconto usado na operação, calcular o desconto e o valor 
descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, 
descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa 
administrativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
8) Considerando a antecipação das duplicatas por um empresário em um 
banco, relacionadas abaixo, utilizando o desconto simples comercial, taxa de 4% 
ao mês, calcule: 
a) O valor total dos descontos R___________ 
b) O valor líquido recebido pelo cliente R___________ 
 
Valor da 
duplicata 
Tempo de 
antecipação 
Desconto Valor líquido 
2.500,00 45 dias 
300,00 3 meses 
10.000,00 20 dias 
 
 
 
1.3.2 Desconto Simples Racional ou “por dentro” 
 
O Desconto Simples Racional (d’) (O apóstrofe que na matemática é 
chamado de “linha” representa apenas a diferenciação do desconto comercial, 
representado por d comum) tem como principal característica adotar como base de 
cálculo o valor presente ou valor atual do título. Veja o mesmo exemplo citado, 
mas, agora, mudando a forma de calcular a operação: 
 Data no futuro 
 Data do passado Data no presente 
 
 
 
 
 
 
 Antecipação do pagamento 
 Vantagem = desconto (d’) 
 
1.000,00 
Um mil reais –o—o—o—o—o—o 
 
Vencimento 07/2.00X 
 
 
________________ 
Assinatura do Comprador 
Compra 
01/2.00X 
Data atual 
04/2.00X 
36 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a principal característica do desconto simples racional, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja o Valor nominal do título (FV) = 1.000,00 ↔ Tempo de antecipação (n) = 3 
meses ↔ Taxa oferecida para antecipação do título ↔ (i) = 10% a.m. Qual o 
desconto simples racional? (d’) = ? 
d’ = PV’ x i x n, só que neste caso o PV’ = FV - d’, então: d’ = (FV – d’) x i x n 
 d’ = FV x i x n – d’ x i x n 
 d’ + d’ x i x n = FV x i x n 
 d’ x (1 + i x n) = FV x i x n 
d’ = FV x i x n 
 1 + i x n 
d’ = FV x i x n 
 1 + i x n 
d’ = 1.000 x 0,1 x 3 = 300 = 230,77 
 1 + 0,1 x 3 1,3 
Sabendo-se que, sempre PV’ = FV - d’ ↔ PV’ = FV - d’ 
PV’ = FV - FV x i x n 
 1 + i x n 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o mínimo múltiplo comum, temos: 
PV’ = FV (1 + i x n) – FV x i x n 
 1 + i x n 
PV’ = FV + FV x i x n – FV x i x n 
 1 + i x n 
PV’ = ___FV___ 
 1 + i x n 
Do exemplo, temos: 
 
PV’ = FV – d’ 
 
PV’ = 1.000 – 230,77 = 769,23ou 
 
PV’ = __ FV_ _ 
 1 + i x n 
 
PV’ = 1.000 = 1.000 = 769,23 
 1 + 0,1 x 3 1,3 
38 
 
Do exemplo, partindo do mesmo Valor Futuro (FV), bem como do mesmo 
tempo (n) de antecipação e da mesma taxa (i), porém com utilização dos descontos 
simples diferentes, podem-se fazer as seguintes comparações: 
 
COMPARAÇÃO DO DESCONTO SIMPLES: (COMERCIAL X RACIONAL) 
CONSIDERANDO A OPERAÇÃO DO EXEMPLO 
FORMAS DO DESCONTO SIMPLES 
COMERCIAL 
OU 
“POR FORA” 
RACIONAL 
OU 
“POR DENTRO” 
 
Valor futuro (1.000,00) 
 
IGUAL IGUAL 
 
Tempo de antecipação (n = 3 meses) 
 
IGUAL IGUAL 
 
Taxa ao mês de desconto (10% ao mês) 
 
IGUAL IGUAL 
 
DESCONTO (d e d’) 
 
MAIOR MENOR 
 
VALOR PRESENTE (PV e PV’) 
 
MENOR MAIOR 
APENAS FOI MUDADA A FORMA DE CALCULAR O DESCONTO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
1) Qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título 
de R$ 30.000,00 vencível em três meses e quinze dias descontados a taxa de 45% ao 
ano? (KUHNEN: 2001, pg. 55) 
 
 
 
2) Determine o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 
R$ 135,00 pago dois meses antes do vencimento a 1% ao mês. (FRANCISCO: 1991. 
pg. 20) 
 
 
 
3) Uma nota promissória foi descontada comercialmente a taxa simples de 5% 
ao mês, quinze meses antes de seu vencimento. Se o desconto fosse racional 
simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual 
valor? (LOCIKS: 2005. pg. 71) 
 
 
 
 
4) A diferença entre os descontos simples comercial e racional de um título é 
de R$ 195,65. Sabendo-se que a taxa é de 30% ao ano e que o titulo tem 
vencimento para 6 meses, calcular o valor nominal do titulo. 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
40 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 2
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de: 
o Compreender os fundamentos da capitalização 
composta; 
o Calcular valor futuro e taxa equivalente 
o Analisar os procedimentos de desconto composto e 
fluxo de caixa 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
UNIDADE II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Basicamente, no mercado, utiliza-se a capitalização composta. No decorrer 
da Unidade você aprenderá também que somente em capitalizações simples é 
possivel fazer as proporcionalidades diretas das taxas, visto que uma taxa de (1% 
a.m.) um por cento ao mês não representa a mesma grandeza da taxa de (12% a.a.) 
doze por cento ao ano, no regime de capitalização composta. 
As operações financeiras bancárias utilizam, na grande maioria, juros 
compostos, tanto em financiamentos para aquisição de capital os chamados 
empréstimos quanto para as aplicações financeiras e outros investimentos. 
Os principais produtos de aplicação financeira são: Poupança; CDB – 
Certificado de Depósito Bancário; e, Fundos de investimentos (Curto prazo; Renda 
fixa; Referenciado; Multimercado; Cambial; Ações; e, Dívida externa). 
Os principais produtos de empréstimo são: CDC – Crédito Direto ao 
Consumidor; Financiamento de veículos; Financiamento imobiliário e Empréstimo 
em consignação. 
Quanto à forma de pagamento, os empréstimos são amortizados, 
comumente de forma parcelada ou com pagamento único. 
 
2.1 Cálculo do Valor Futuro 
 
As pessoas, em geral, tem um conhecimento intuitivo de juros compostos, 
como por exemplo: 
 
 Juros sobre juros 
 Maior que juros simples 
 É o que acumula 
 É o que o banco cobra 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a aplicação do conceito de juros compostos, supondo uma 
aplicação de um mil reais por um período de cinco meses à taxa de dez por cento 
ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estes exemplos não estão equivocados, mas não conceituam cientificamente 
os juros compostos. Mas o que seriam os juros compostos? 
São os juros que no fim de cada período são somados ao capital 
constituído no início, para produzirem novos juros no período 
subsequente.
1 2 3 4 50 
FV1 = 1.100 FV2 = 1.210 FV3 = 1.331 FV4 = 1.464,1 FV5 = 1.610,51PV1 = 1.000 
J1=100 J2=110 J3=121 J4=133,1 J5=146,41 
FV 1 = PV+J 1 FV 2=FV 1 +J 2 FV 3=FV 2+J3 FV 4=FV 3+J4 FV 5 =FV 4 +J 5
J 1 =PVxi J 2 =FV 1 xi J 3 =FV 2 xi J 4 =FV 3 xi J 5 =FV 4 xi 
J 1 =1.000X0,1 J 2 =1.100X0,1 J 3 =1.210X0,1 J 4 =1.331X0,1 J 5 =1.464,1X0,1 
100,00 110,00 121,00 133,10 146,41 
FV 1 =1.000+100 FV 2 =1.100+110 FV 3=1.210+121 FV 4=1.331+133,1 FV 5 =1.464,1+146,41
FV1=1.100,00 FV2=1.210,00 FV3=1.331,00 FV4=1.464,10 FV5=1.610,51
Partindo de um Valor Presente (PV)
PV = 1.000,00
45 
 
Período Juros Saldo Final 
Tempo 0 --o-- 1.000,00 
Final 1º mês 100,00 1.100,00 
Final 2º mês 110,00 1.210,00 
Final 3º mês 121,00 1.331,00 
Final 4º mês 133,10 1.464,10 
Final 5º mês 146,41 1.610,51 
 
 
Veja que todo período, neste caso, meses, há um juro calculado sobre o 
valor futuro anterior (embutido juros). Para todos os períodos de cinco meses, os 
juros mudam, pois a base de cálculo aumenta. 
 
FV1 = PV (1+i)1 FV3 = PV (1+i)3 FV5 = PV (1+i)5 
 
FV2 = PV (1+i)2 FV4 = PV (1+i)4 
 
 
Perceba que, nas últimas linhas, o Valor Futuro (FV), nos respectivos 
períodos, está condicionado em PV x (1+i) cujo expoente é sempre igual ao do 
referido tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
1.000,00 
1.100,00 
1.210,00 
1.331,00 
1.464,10 
1.610,51 
1.771,56 
1.948,72 
2.143,59 
2.357,95 
2.593,74 
1000,00
1300,00
1600,00
1900,00
2200,00
2500,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
ap
ita
l
Meses
Capitalizaçã o Composta
Podemos então concluir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2- Capitalização Composta de um Capital Inicial. De $1.000,00 a 10% ao mês por 10 meses. 
 
Observe que o crescimento, no regime de capitalização composta, não é 
linear como ocorria no regime de capitalização simples e, sim, exponencial. No 
mercado a regra é a utilização da capitalização composta. 
 
 
 
FV n = PV x (1+i) n 
 
Então, 
FV5 = PV x (1+i)5 
 FV = 1.000 x (1+0,1)5 
 FV = 1.000 x (1,1)5 
 FV = 1.000 x 1,61051 ↔ FV = 1.610,51. 
FV10 = PV x (1+i)10 ↔ FV = 1.000 x (1+0,1)10 FV = 1.000 x (1,1)10 
FV = 1.000 x 2,593742 ↔ FV = 2.593,74 
47 
 
2.1.1 Calculadora HP 12-C 
 
Como a Calculadora HP 12-C é um instrumento muito utilizado no 
mercado financeiro, faremos uma breve explanação de suas funções e 
operacionalização da mesma. 
A leitura do manual é de importância significativa para um aproveitamento 
eficiente. Como exemplo, podemos citar: 
 
1. Separador de parte decimal por ponto ou vírgula; 
2. Número de casas decimais; 
3. Cálculos com a utilização da memória; e, 
4. Teclas clear. 
 
 
 
5. A calculadora possui até 3 três funções por tecla: veja como utilizá-las: 
 
 Função Primária (Branca) Para acionar, basta pressionar a tecla 
desejada. 
 
 Função Alternativa (Amarela) Para acionar, deve-se primeiro 
pressionar a tecla (única amarela) e, em seguida, pressionar a tecla da 
função desejada. 
 
 Função Alternativa (Azul) Para acionar, deve-se primeiro pressionar a 
tecla (única azul) e, em seguida, pressionar a tecla da função desejada.48 
 
A calculadora HP 12-C é uma calculadora financeira, diferenciando-se das 
cientificadas e das demais, basicamente, conforme ilustração abaixo, em razão de 
suas teclas específicas para cálculo 
financeiro (conforme destaque). 
 
 
 
 
 
 
Os registros desta função são os seguintes: 
 
  Prazo da operação; 
  Taxa de juros, descrita da forma centesimal, deve ser expressa na 
mesma unidade de tempo do prazo; 
  “Present Value” ou Valor Presente. Corresponde ao valor a vista do 
negócio. Valor no instante “0”, ou seja, no momento da negociação; 
  “Payment” ou Pagamento Periódico, Prestação (será utilizada em 
séries uniformes); e, 
  “Future Value”, ou Valor Futuro. Corresponde ao valor final de uma 
determinada quantia depois de decorrido um prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Sempre antes de iniciar qualquer resolução de problema, ligue a calculadora 
 e depois clique na função depois . O motivo desta função é limpar dados 
de outros exercícios anteriores que tenha armazenado na função financeira (fin.). 
Outras funções de Clear (limpar) são . 
49 
 
Resolução do exemplo de dedução de fórmula do Valor Futuro com 
utilização da calculadora financeira. 
 
Dados do exemplo: 
 
Valor Presente Tempo de aplicação Taxa de juros Valor Futuro 
PV n i FV 
1.000,00 5 meses 10% ao mês ? 
 
 
Resolução: 
 
Ligar para limpar os dados financeiros , armazenar os 
dados, a ordem não importando, 1.000,00 , 5 , 10 e . O 
resultado será -1.610,51. É claro que neste caso a tecla (FV) tem que ser a última 
tecla a ser clicada, pois depois de todos os dados serem armazenados sempre a 
última tecla é a resposta que o problema pede. 
O resultado é negativo, pois, se a aplicação, no caso (PV), foi armazenada 
com sinal positivo, é claro que a retirada da aplicação terá sinal inverso, negativo 
(FV). Caso o (PV) fosse clicado com o sinal negativo (1.000 CHS PV) 5 n, 10 i, FV o 
sinal do valor futuro será positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
1) Calcular o Valor Futuro (Montante) e o juro (FV – PV) de uma aplicação de 
2.000,00 por um período de 4 anos nas seguintes condições: 
a) à taxa de 5% ao mês. 
 
J = ____________ FV=_______________ . 
b) à taxa de 10% ao bimestre. 
 
 J = __________ FV =________________ . 
c) à taxa de 60% ao ano. 
 
 J=______________FV=______________ . 
 
Observe que apesar de as taxas de juros serem proporcionais: (5% a.m.) 
cinco por cento ao mês, (10% a.b.) dez por cento ao bimestre e (60% a.a.) sessenta 
por cento ao ano, os resultados são completamente diferentes. Disto podemos 
concluir o seguinte: 
 
 5% a.m., 10% a.b. e 60% a.a. são grandezas diferentes em capitalização 
composta; 
 Os ciclos de capitalização, ao mês, ao bimestre e ao ano etc. são 
importantes para a análise dos juros sobre juros; 
 Jamais podemos aplicar proporção entre taxas em capitalização 
composta. Por enquanto, temos que adequar a unidade de tempo na 
unidade da taxa. 
 Essas taxas que, efetivamente foram utilizadas, denominam-se taxa 
efetiva. Há um outro tipo de se escrever uma mesma taxa de juros. 
 EXERCÍCIO 
51 
 
Temos que transformar fazendo a 
proporção 
Exemplo: 36% ao ano, capitalizada mensalmente. Dizemos que 36% ao ano 
é uma taxa nominal. 
 A taxa que efetivamente utilizamos é a Taxa Efetiva, no caso, (36% a.a.) 
trinta e seis por cento ao ano, só funciona com capitalização mensal. Neste 
caso, obrigatoriamente temos que fazer a proporção, pois (36% a.a.) terão 
doze capitalizações, então (36% a.a.) / 12 = (3% a.m.) que é uma taxa 
efetiva. 
 A taxa nominal é chamada também de taxa aparente, uma vez que não 
reflete a taxa do período de capitalização. 
 
 
TAXA NOMINAL  TAXA EFETIVA 
 
 
 
Sempre usamos a Taxa Efetiva, a taxa nominal serve como taxa referencial 
para transformar em taxa efetiva de acordo com a capitalização. 
 
Considerando o enunciado do exercício 01, anteriormente citado, calcule: 
d) à taxa de 60% ao ano capitalizado mensalmente. 
 
J=______________FV=_______________. 
 
 
TAXA DE JUROS 
TAXA 
NOMINAL 
TAXA EFETIVA 
24% ao ano, capitalizada mensalmente. 24% ao ano 2% ao mês 
36% ao ano, capitalizada mensalmente. 36% ao ano 3% ao mês 
60% ao ano capitalizado semestralmente. 60% ao ano 30% ao semestre 
6% ao ano, capitalizada mensalmente. 6% ao ano 0,5% ao mês 
24% ao ano, capitalizada bimestralmente. 24% ao ano 4% ao bimestre 
52 
 
e) à taxa de 48% ao ano capitalizado mensalmente. 
 
J=___________FV=__________________. 
 
 
 
 
 
 
 
1) Aplicou-se a juros compostos um capital de R$ 1.200.000,00 a 4% ao mês, 
durante três meses. Ache os juros e o montante. (BIANCHINI & PACCOLA: 1993. 
p. 143) 
 
 
 
 
2) Qual o juro de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e seis meses à taxa de 20% ao 
ano capitalizado trimestralmente? (FRANCISCO: 1991. p. 69) 
 
 
 
 
 
3) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a 
uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem 
do capital aplicado. (CRES: 2005. p. 22) 
 
 
 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
53 
 
4) Qual o capital que aplicado a 8,2% ao mês, durante seis meses, rende juros 
compostos de R$ 75.573,51? (VERAS: 2005. p. 106) 
 
 
 
 
5) Uma aplicação financeira gerou um montante de R$ 38.540,00 no prazo de 
oito meses a uma taxa de 3,8% ao mês. Qual capital inicialmente aplicado? 
(BRUNI & FAMÁ: 2004. p. 221) 
 
 
 
 
 
6) Que capital aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês produz um 
montante de R$ 3.500,00 após um ano? (HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 43) 
 
 
 
 
 
 
7) Durante quanto tempo esteve aplicado em uma poupança o capital de 
R$ 180.000,00 para render de juros a importância de R$ 22.248,00 se a taxa foi de 
6% ao mês? (BIANCHINI & PACCOLA: 1993. p. 143) 
 
 
 
 
 
 
54 
 
8) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado à taxa composta de 12% ao ano, 
gerando um montante de R$ 15.790,56. Determine quanto tempo durou esta 
aplicação. (LOCIKS: 2005. p. 87) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá 
receber o dobro mais sua aplicação? (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 37) 
 
 
 
 
 
 
 
10) Qual é a taxa anual de juros que produz um montante de R$ 68.000,00, a 
partir de um investimento de R$ 45.000,00 ao fim de oito anos? (SILVA: 2008. p. 
36) 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
11) O capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, produziu um 
montante de R$ 31.384,28 ao fim de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer 
esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de 
tempo? (VERAS: 2005. p. 109) 
 
 
 
 
 
 
12) A caixa beneficente de uma entidade rende a cada mês 10% sobre o saldo 
do mês anterior. Se, no início de um mês o saldo era X, e considerando que não 
haja retiradas depois de quatro meses, de quanto será o saldo? (BIANCHINI & 
PACCOLA: 1993. p. 145) 
 
 
 
 
 
 
13) Um estudante deseja investir uma quantia que lhe permita resgatar 
R$ 50.000,00 no final de 12 meses e R$ 75.000,00 no final de 24 meses. Determine o 
valor do investimento, sabendo que o banco remunera a uma taxa de 6% ao 
trimestre. (SILVA: 2008. p. 42) 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
14) Uma pessoa deposita R$ 45.000,00numa instituição financeira por três anos 
à taxa nominal de 24% ao ano. Calcular o montante composto, sabendo que no 
primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente, no segundo, 
trimestralmente e, no terceiro, mensalmente. (KUHNEN: 2001 p. 85) 
 
 
 
 
 
 
 
15) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 para receber R$ 11.200,00 no prazo de 
um ano. Determine a taxa de rentabilidade mensal desse investidor no regime de 
juros compostos. (PUCCINI: 2004 p. 60) 
 
 
 
 
 
 
16) Uma empresa vende um componente eletrônico por R$ 200,00 a unidade, 
sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento a vista, o 
preço é de 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 
(HAZZAN & POMPEO: 2007. p. 49) 
 
 
 
 
 
 
57 
 
17) A aplicação de R$380.000,00 proporcionou um rendimento de R$ 240.000,00 
ao final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros. 
(VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 38) 
 
 
 
 
 
 
18) Um terreno esta sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00 
de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00 no final de seis meses. Sabendo-se 
que, no mercado, a taxa média para aplicação em títulos de renda pré-fixada gira 
em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já 
computado), determine a melhor opção para um interessado que possua recursos 
disponíveis para comprá-lo. (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 36) 
 
 
 
 
 
 
19) Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% ao ano, capitalizados 
trimestralmente e o restante a 20% ao ano, capitalizados semestralmente. No fim 
de dois anos e seis meses, retirou o montante de R$ 2.061,87. Qual foi o capital 
aplicado? (FRANCISCO: 1991 p. 69) 
 
 
 
 
 
 
58 
 
20) No final de dois anos o senhor Procópio deverá efetuar um pagamento de 
R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros 
devidos, correspondentes a uma taxa de 3,5% ao mês. Pergunta-se qual o valor 
emprestado? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 31) 
 
 
 
 
 
 
 
21) Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz a taxa 
composta de juros de 2,4% ao mês um montante de R$ 26.596,40 em certa data 
futura. Calcule o prazo da operação. (ASSAF NETO: 2001 p. 46) 
 
 
 
 
 
 
 
22) Em que prazo o empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único 
pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao 
semestre? (VIEIRA SOBRINHO: 1986 p. 32) 
 
 
 
 
 
 
59 
 
23) Um investidor faz uma aplicação financeira de R$ 25.000,00 à taxa de juros 
de 24% ao ano capitalizado mensalmente. Na data do resgate da aplicação, são 
descontados, a título de Imposto de Renda (IR), 25% sobre o ganho nominal 
obtido. Se o prazo da operação foi de 3 anos, pede-se: 
 
a. Qual o valor líquido recebido pelo investidor? 
 
 
 
 
b. Qual a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros ao 
mês? 
 
 
 
c. Se além do Imposto de Renda fosse cobrado uma taxa de administração de 
5% do valor aplicado no ato da aplicação, qual seria a rentabilidade líquida em 
taxa ao ano? 
 
 
 
24) Um empréstimo foi obtido pelo prazo de 5 meses à taxa de juros de 3% ao 
mês. Sabendo-se que esta operação está sujeita a uma tributação de 2%, pergunta-
se: 
 
 
a. Qual é o custo efetivo da operação, em taxa ao mês, se o tributo incide sobre 
o principal mais o juros e é cobrado na liberação do empréstimo? 
 
 
 
60 
 
b. Se o mesmo tributo fosse cobrado junto com a liquidação do empréstimo, 
qual seria o custo efetivo da operação em taxa de juros ao ano? 
 
 
 
 
 
25) Um empréstimo bancário de R$ 3.500,00 foi feito por um prazo de 1,5 anos a 
taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente, é cobrado também uma taxa de 
abertura de crédito de 10% sobre o valor do empréstimo que vai ser pago na 
quitação do empréstimo. Calcule o valor para quitar a dívida e a taxa de juros 
anual (custo efetivo) que a operação teve. 
 
 
 
 
 
26) Uma aplicação em CDB de R$ 10.000,00 foi feita em um banco que paga 
uma taxa de juros de 30% ao ano por um período de 18 meses. No final da 
aplicação é cobrado um Imposto de Renda de 25% nos ganhos auferidos. 
Pergunta-se: 
 
a. Qual o valor líquido que o aplicador vai ter ao final da operação? 
 
 
 
b. Qual a taxa de juros mensal que realmente ele recebeu (ganho efetivo) da 
operação? 
 
 
 
61 
 
27) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para liquidar após 1,5 
anos à taxa de juros de 60% ao ano capitalizada mensalmente. Um imposto de 4% 
incide sobre o valor do principal mais os juros e é pago no ato da liberação do 
empréstimo. Pede-se: 
 
a. Qual o imposto pago na operação? 
 
 
 
b. Qual o valor líquido que o cliente recebeu? 
 
 
 
 
c. Qual o valor para liquidar o empréstimo? 
 
 
 
 
d. Qual o custo efetivo da operação em termos de taxa mensal? 
 
 
 
2.1.2 Taxas Equivalentes 
 
Conforme demonstrado anteriormente, nos exercícios sobre capitalização 
composta, uma taxa efetiva de (5% a.m.) cinco por cento ao mês tem uma 
grandeza diferente de (10% a.b.) dez por cento ao bimestre, sendo aquela maior 
que esta. Mas será que existe uma taxa bimestral que dá o mesmo resultado que 
os 5% mensais? 
62 
 
Essa taxa ao bimestre que, independente do tempo da operação, traria o 
mesmo resultado dos 5% ao mês, é chamada de taxa equivalente (diferente de 10% 
ao bimestre). Então o conceito de taxa equivalente é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sempre será dada uma determinada taxa para que seja encontrada outra 
taxa equivalente, mas com ciclo de capitalização diferente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas taxas são equivalentes, quando aplicadas no mesmo Valor Presente 
(PV) em um mesmo período de tempo, com ciclos de capitalizações 
diferentes, produzirem Valor Futuro (FV) igual. 
FV1 = FV2 
PV (1 + i2)n1 = PV (1 + i2)n2 
Como são Valores Presentes iguais: 
(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
Períodos iguais, mas com capitalização diferente. 
(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.s.)2 = (1 + ia.q)3 = (1 + ia.t.)4= (1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12 
Um ano, dois semestres, três quadrimestres, quatro trimestres, seis bimestres, 
doze meses, os períodos são iguais; somente as capitalizações são diferentes. 
(1 + ia.b.)1 = (1 + ia.m.)2 
é o mesmo resultado de 
(1 + ia.b.)6 = (1 + ia.m.)12 
(1 + ia.m.)1 = (1 + ia.d.)30. 
63 
 
Exemplo (a) 
Um a taxa de 5% ao mês tem uma equivalente ao ano de? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de quatro anos a 
taxa de juros de 79,58563% ao ano, qual seria o valor futuro? 
Dados: PV = R$ 2.000,00; Tempo = 4 anos; e, Taxa de juros = 79,58563% ao 
ano, descubra o FV = ? 
 
 
 
 
 
 
Na calculadora HP 12 C 
 
 
 
 
 
 
Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, o resultado da 
questão (a) que tem o mesmo valor presente em um mesmo período, porém em 
taxas de capitalizações diferentes (ao mês e ao ano), produziram valores futuros 
iguais, podendo concluir-se, então, que as taxas são equivalentes. 
(1 + ia.a.)1 = (1 + ia.m.)12 
1 + ia.a. = (1 + 0,05)12 
1 + ia.a. = 1,7958563 
iIa.a.= 1,7958563 – 1 
0,7958563 a.a. ou 79,58563% a.a. 
FV = PV (1+i)n 
FV =2 .000(1+0,7958563)4 
FV = 2.000 x 10,4012697 
FV = 20.802,54. 
F fin, 2.000 CHS PV4 n 
79,58563 i 
 FV 20.802,54 
64 
 
Exemplo (b): 
Um a taxa de 60% ao ano tem uma taxa equivalente mensal de? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo uma aplicação de R$ 2.000,00 por um período de 4 anos a taxa de 
juros de 3,99441% ao mês, qual seria o valor futuro? 
 
Dados: PV = 2.000,00 ↔ Tempo = 4 anos (48 meses) ↔ Taxa de juros = 
3,99441% ao mês, calcule FV = ? 
 
 
 
 
Na calculadora HP 12 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1 + ia.m.)12 = (1 + ia.a.)1 
(1 + ia.m.)12 = (1 + 0,6)1 
(1 + ia.m.)12 = 1,6 
(1+ia.m.) = 12√ 1,6 
 1 + ia.m = 1,0399441 
ia.m. = 1,0399441 – 1 
 ia.m.= 0,0399441 ou 3,99441% ao mês 
FV = PV (1+i)n ↔ FV = 2.000(1+0,0399441)48 
FV = 2.000 x 6,5536001 ↔ FV = 13.107,20. 
F fin, 2.000 CHS PV 
 48 n 
 3,99441 i 
 FV 13.107,20 
65 
 
Perceba que no primeiro exercício de capitalização composta, os 
resultados das letras (a) e (e) são muito semelhantes. Pois a taxa de (60% a.a.) 
sessenta por cento ao ano equivale a uma taxa de (3,99441% a.m.) três vírgula 
noventa e nove por cento ao ano, quase os 4% da letra (e) do exercício citado. 
 
De forma algébrica, temos: 
 
TEQ = 1 + i - 1 x 100 
 100 
Onde: PP = Período Procurado, 
PD = Período Dado, i = taxa da operação 
 
 
 
 
 
 
 
1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? (HAZZAN 
& POMPEO: 2007. p. 57) 
 
 
 
 
 
2) Quais são as taxas de juros compostos: mensal e trimestral equivalentes a 
25% ao ano? (ASSAF NETO: 2001. p. 49) 
 
 
 
 
 
 
PP 
{[( ) ] }
Atividades de Aprendizagem 
66 
 
3) Calcule as taxas equivalentes a seguir. 
 
Taxa Taxa percentual ao ano 
48% ao ano capitalizado mensalmente 
 
Taxas Equivalentes 
% ao mês 
% ao 
Bimestre 
% ao 
trimestre 
% ao 
semestre 
% ao ano 
5% 
 10% 
 30% 
 20% 
 60% 
 
4) Qual o crescimento anual de um empresário que aumenta seu patrimônio 
mensalmente em 4% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
2.2 Descontos Compostos 
 
Os juros compostos são as aplicações de juros simples a cada período de 
capitalização. No desconto composto deve-se seguir o mesmo raciocínio, apenas 
partindo de um valor futuro, aplica-se desconto simples a cada período de 
descapitalização. Assim como ocorre com os descontos simples, pode ser 
calculado sob duas formas distintas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Desconto Composto Bancário não tem utilidade prática no mercado. 
Sendo assim, dar-se-á ênfase no Desconto Composto Real. 
 
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL/REAL/ "POR DENTRO” 
 
Supondo uma duplicata de R$ 1.000,00 que irá vencer daqui cinco meses, sendo 
descontada a desconto composto real à taxa de (10% a.m.) dez por cento ao mês: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto Composto Real ou Racional que é o desconto simples racional 
aplicado a cada período 
Desconto composto bancário que é o desconto simples comercial aplicado a cada 
período. 
1 2 3 4 50 
PV1= 683,01 PV2= 751,31 PV3=826,45 PV4 = 909,09 FV5 = 1.000PV0= 620,92 
68 
 
PV’=___FV_____ 
 1 + i x n 
 
Partindo-se da fórmula do valor presente do desconto 
simples racional aplicado a cada período (n=1). Em 
cada período aplicar-se-á este conceito, dividindo o FV 
do período anterior por 1 + i, no caso 1,1. 
No exemplo temos: 
 
PV n = 1.000 x (1+0,1) -5 = 
620,92 
 
Ou 
 
PV n = 1.000 = 620,92 
 (1+0,1) 5 
PV n = FV x (1+i) -n 
 
Ou 
 
PV n = FV _ 
 (1+i) n 
 
 
 
 
 
 
 
PV0 PV1 PV2 PV3 PV4
PV 0 = FV 1 PV 1 = FV 2 PV 2 = FV 3 PV 3 = FV 4 PV 4 = FV 5 
1 + i 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i 
PV 0 = 683,01 PV 1 = 751,31 PV 2 = 826,45 PV 3 = 909,09 PV 4 = 1.000,00 
1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
PV 0 = 620,92 PV 1 = 683,01 PV 2 = 751,31 PV 3 = 826,45 PV 4 = 909,09
Partindo-se de um Valor Futuro (FV)
FV = 1.000,00
 
 
De acordo com a demonstração anterior, pode-se concluir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 
 
 
1) Qual o desconto racional composto de um título de R$ 75.000,00, 
descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de 4% ao mês? 
(KUHNEN: 2001, p. 110) 
 
 
 
2) Determine o valor do desconto composto racional de um título no valor de 
R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de cinco meses e que a taxa de 
desconto cobrada é de 3,5% ao mês. (VIEIRA SOBRINHO: 1986, p. 47) 
 
 
 
 
3) Determine o desconto racional composto sofrido por um título, cujo valor 
nominal é de R$ 16.872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% ao mês e ele for 
descontado três meses antes de seu vencimento. (LOCIKS: 2005. p. 103) 
 
 
 
 
2.3 Fluxo de Caixa 
 
O fluxo de caixa é uma aplicação de conceitos de capitalização composta 
em cálculos de composição e renegociações de dívidas. A lógica encontra-se no 
cálculo dos juros, onde, quanto maior a taxa negociada e mais tempo tiver para 
pagar, mais oneroso ficará o compromisso. 
 
Atividades de Aprendizagem 
70 
 
Em matemática financeira, basicamente é embutir ou retirar juros. Quando 
temos um valor presente (PV) e queremos um valor futuro (FV), nós 
capitalizamos. Quando temos um valor futuro (FV) e queremos um valor presente 
(PV), nós descapitalizamos. 
 
 
 
Diagrama de Fluxo de caixa 
 
 
 
 
 
 
PV FV 
 
 
 
 
 
Veja o exemplo: 
 
1) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi obtido por um empresário para ser 
liquidado pagando-se uma taxa de juros de 5% ao mês, calcule o valor da parcela 
nas propostas a seguir: 
a) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 6 meses, qual o valor da parcela 
para quitar a dívida daqui 9 meses? 
 
Capitalização 
 
FV = PV (1+i)n 
PV = FV (1+i) -n
 
Descapitalização 
71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10.000 
5.000 N 
Solução 02: 
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os 
pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero. 
 
10.000 = 5.000 (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9 
10.000 = 3.731,08 + N 0,644609 
10.000 – 3.731,08 = N 0,644609 
6.268,92 = N 0,644609 
6.268,92/0,644609 = N = 9.725,16 
Observa-se que 3.731,08 é o valor dos 5.000,00 descapitalizado em seis meses, é o 
que está contribuindo para pagar os 10.000,00 no tempo zero. O que falta é os 
6.268,92 no tempo zero. Os 9.725,16 é o valor 6.268,92 equivalente no tempo 9. 
Solução 01: 
Calcular o valor total da dívida após 6 meses 
FV=PV (1 + i)n 
FV = 10.000 (1+0,05)6 = 13.400,96 
Subtrair o valor do pagamento e atualizar mais 3 meses 
13.400,96 – 5.000,00 = 8.400,96, FV= 8.400,96 (1+0,05)3 = 9.725,16 que é o 
valor restante para pagar a dívida após 9 meses da data do empréstimo. 
72 
 
b) Se o empresário pagar R$ 5.000,00 daqui a 9 meses, qual o valor da parcela 
para quitar a dívida daqui 6 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 02: 
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os 
pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois notempo zero. 
 
10.000 = N(1+0,05)-6+5 .000 (1+0,05)-9 
10.000 = N 0,746215 + 3.223,04 
10.000 – 3.223,04 = N 0,746215 
6.776,96 = N 0,746215 
6.776,96/0,746215 = N = 9.081,77 
Solução 01: 
Calcular o valor total da dívida após 9 meses 
FV=PV (1 + i)n 
FV = 10.000 (1+0,05)9 = 15.513,28 
Subtrair o valor do pagamento e descapitalizar mais 3 meses 
15.513,28 – 5.000,00 = 10.513,28, PV= 10.513,28 (1+0,05)-3 = 9.081,77 que é o valor 
restante para pagar a dívida após 6 meses da data do empréstimo. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10.000 
N 5.000 
73 
 
c) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em duas parcelas de mesmo 
valor, vencendo no 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Se o empresário quiser pagar 5.000,00 no 3º mês, mais duas parcelas de 
mesmo valor, vencendo no 6º e na 9º mês, qual seria o valor da parcela? 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10.000 
N 
N 
1 2 3 4 5 6 7 8 
9 
10.000 
N 
N 
5.000 
Solução 
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os 
pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero. 
 
10.000 = N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9 
10.000 = N 0,746215 + N 0,644609 
10.000 = N 1,390824 
10.000/1,390824 = N = 7.189,98 
Observa-se que, neste caso, não se pode capitalizar os 10.000,00 para 
subtrairmos outro valor, pois os dois valores são desconhecidos. 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Se o empresário quiser pagar o empréstimo em três parcelas de mesmo 
valor, vencendo no 3º, 6º e 9º mês, qual seria o valor da parcela? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então os 
pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero. 
 
10.000 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9 
10.000 = N 0,863838 + N 0,746215 + N 0,644609 
10.000 = N 2,254662 
10.000/2,254662 = N = 4.435,25 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10.000 
N N N 
Solução 
Considerando que o valor do empréstimo está no tempo zero, então, os 
pagamentos para quitar a dívida têm que ser a soma dos dois no tempo zero. 
 
10.000 = 5.000 (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9 
10.000 = 4.319,19 + N 0,746215 + N 0,644609 
10.000 -4.319,19 = N 1,390824 
5.680,81 = N 1,390824 
5.680,81/1,390824 = N = 4.084,49 
75 
 
Observações: 
As formas de resolver estes problemas podem ser das mais variadas, 
desde que se sigam os seguintes princípios: 
 
 Sempre capitalizar quando se posterga, multiplicando por (1+i)n e 
descapitalizar quando se antecipa, multiplicando por (1+i)-n os dados do 
fluxo de caixa. 
 
 A data focal (no caso das resoluções foi escolhida o tempo zero) pode 
ser qualquer uma, desde que se igualem os fluxos equivalentes na data 
escolhida. 
 
 Muitas renegociações têm vários elementos (no exemplo foi só o 
10.000 no tempo zero), desde que a taxa cobrada seja a mesma, 
escolhendo a data focal zero, é só descapitalizar quantos fluxos tiverem 
para igualar ao outro fluxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
X Y Z 
0 
N N N 
Parte superior considera-se um dos fluxos 
Parte inferior considera outro fluxo
Considerando data focal zero, podendo X,Y e Z quaisquer valores, tem-se: 
X (1+0,05)-2 + Y (1+0,05)-4 + Z(1+0,05)-6 = N (1+0,05)-3 + N (1+0,05)-6 + N(1+0,05)-9 
76 
 
 
 
 
 
 
1) Uma compra, cujo valor à vista é de 1.500,00, será paga com uma entrada de 
20% e mais 2 prestações de mesmo valor. Sabendo-se que as prestações vencerão 
em 4 e 6 meses após a data da compra e que a loja cobra juros de 2,5% ao mês, 
calcule o valor das prestações. 
 
 
 
 
2) Um empresário pega um empréstimo de 5.000,00 propõe ao devedor duas 
alternativas de renegociação. Calcule o valor das propostas, sabendo-se que a taxa 
negociada foi de 60% ao ano capitalizada mensalmente. 
 
a. Pagar 2.500,00 daqui a 2 meses, 2.500,00 daqui a 12 meses e um valor daqui 
a 8 meses para quitar a dívida; 
 
 
 
 
 
b. Pagar em 3 prestações com vencimento para 3, 5 e 10 meses do tempo zero. 
 
 
 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
77 
 
3) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui 6 
meses e R$ 3.000,00 daqui 10 meses. Se a taxa de juros vigente é de 36% ao ano 
capitalizada mensalmente, pede-se: 
 
a) Se a pessoa se dispuser a pagar R$ 4.000,00 daqui 12 meses, qual será o valor 
da parcela para quitar a dívida daqui 4 meses? 
 
 
 
 
 
a) Se a pessoa preferir pagar em duas parcelas de mesmo valor daqui a 4 e 12 
meses, qual deve ser o valor destes pagamentos? 
 
 
 
 
 
4) Um financiamento para ser quitado, faltam 2 prestações iguais de 500,00 cada, 
vencíveis no final do 1º e 8º mês, como não vai poder honrar estes compromisso 
nas respectivas datas, pede à financiadora para recompor a dívida, de tal forma 
que faça três pagamentos iguais, sendo o primeiro daqui 4 meses, o segundo no 
final de 8 meses e o terceiro no final de 12 meses. Se a taxa acertada foi de 36% ao 
ano, capitalizada mensalmente, pede-se indicar o valor dos pagamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
5) Um empréstimo de R$ 1.000,00 deve ser pago em 4 parcelas mensais iguais e 
sucessivas, vencendo a primeira 30 dias da data da concessão. Se a taxa de juros 
negociada é de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, calcule o valor da parcela. 
 
 
 
 
 
 
6) Considerando uma dívida de 4 prestações mensais, iguais e sucessivas de 
270,00, sendo a primeira prestação vencível no final do primeiro mês, calcule o 
valor a vista, para quitar a dívida, sabendo-se que a taxa de juros embutida é de 
3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
7) Um empréstimo de R$ 1.000,00, foi negociado a uma taxa de juros de 3% ao 
mês. Calcule qual o valor das quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas a serem 
pagas, sendo o primeiro pagamento daqui a 30 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
UNIDADE 3
Ao final dessa unidade, o aluno deverá ser capaz de: 
o Calcular o valor de renda e séries 
o Analisar os montantes de séries postecipadas 
 
80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
UNIDADE III - SÉRIES UNIFORMES 
 
As séries uniformes podem ser aplicadas, desde que tenham as seguintes 
características: 
 
 parcelas de mesmo valor; 
 intervalo entre uma parcela e outra sempre o mesmo; 
 número determinado de termos de parcela; 
 mesma taxa de juros. 
 
3.1 Valor atual de séries postecipadas/rendas imediatas 
 
Exemplo (a) 
 
Considerando um empréstimo de um mil reais a uma taxa de juros de (3% 
a.m.) três por cento ao mês, calcule qual o valor das quatro parcelas mensais, 
iguais e sucessivas a serem pagas, sendo o primeiro pagamento daqui 30 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV1 
1.000,00 
FV2 
FV3 
FV4 
1 2 3 
4 
i = 3% a.m.
82 
 
 
 
 
 
Como, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso embutiram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e 
sucessivas a juros de 3% ao mês. 
 
Exemplo (b) 
 
Um empréstimo foi concedido para ser pago em quatro parcelas mensais, 
iguais e sucessivas de 270,00, sabendo-se que foi contratado à taxa de 3% ao mês 
de juros, calcule qual o valor para quitar a dívida.270,00 
1 2 3 
4 
i = 3% a.m.
PV 
270,00 270,00 270,00 
FV1= FV2= FV3= FV4 
1.000 = FV x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4] 
1.000 = FV x (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870) 
1.000 = FV x 3,7170984 
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4 
1.000 = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4 
 1.000 = FV = 269,03 
3,7170984 
83 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 
 
 
 
 
Neste caso tiraram-se juros nas quatro parcelas mensais iguais e sucessivas 
a taxa de juros de 3% ao mês. Em ambos os casos, atende-se às características de 
séries uniformes. Assim temos: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
Substituindo (FV) por PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação 
da série uniforme, teríamos: 
 
 
 
Como são quatro prestações (1+i), será elevada até -4, pois caso fossem dez 
prestações iguais, mensais e sucessivas o (1+i) elevar-se-ia até -10, se tivesse n 
prestações então (1+i) elevar-se-ia até –n. Ficando de uma forma genérica: 
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4 
PV = FV1 x (1+0,03)-1 + FV2 x (1+0,03)-2 + FV3 x (1+0,03)-3 + FV4 x (1+0,03)-4 
FV1= FV2= FV3= FV4 
PV = 270 x [(1+0,03)-1 + (1+0,03)-2 + (1+0,03)-3 + (1+0,03)-4] 
PV = 270 (0,9708738 + 0,9425959 + 0,9151417 + 0,8884870) 
PV = 270x3,7170984 ↔ PV = 1.003,62 
PV = FV1 x (1+i)-1 + FV2 x (1+i)-2 + FV3 x (1+i)-3 + FV4 x (1+i)-4 
Como: FV1= FV2= FV3= FV4 
PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4] 
PV = FV [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + (1+i)-4] 
84 
 
 
 
 
Observe que há uma soma de uma sequência.Esta sequência é uma 
Progressão Geométrica (PG), da qual temos todos os elementos para aplicar a 
fórmula da soma de seus termos finitos. 
 
a1 = Primeiro termo = (1+i)-1; an = Último termo = cc; e, q = razão = (1+i)-1. A 
fórmula da soma dos termos de uma PG é: 
 
 
 
 
Substituindo-se: 
 
 
 
 
Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente. 
 
 
 
 
Tirando os parênteses do denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
PV = PMT [(1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 + ....(1+i)-n] 
St = a1 - an .q 
 1 – q 
St = (1+i)-1 - (1+i)-n. (1+i)-1 
 1 - (1+i)-1 
St = (1+i)-1 - (1+i)-n-1 (1+i) , 
 1 - (1+i)-1 (1+i) 
St = 1 - (1+i)-n , 
 (1+i) - 1 
85 
 
 
PV = PMT x (1+i)n – 1 
 i (1+i)n 
Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo coeficiente. 
 
 
 
 
Esse é o resultado da soma dos termos da PG 
 
 
 
 
Então temos: 
 
PV : Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial; 
 
i : taxa de juros por período de capitalização expressa em (%); 
 
PMT : Periodic PayMenT = Valor de cada prestação da série uniforme; e, 
 
n : número de parcelas (quando se utiliza o PMT na calculadora). 
 
 
 
 
Fórmula do valor atual de uma série postecipada. 
 
A característica principal do Valor Atual de uma Série Postecipada é que o 
Valor Atual (PV) encontra-se sempre um período antes da primeira prestação. 
No caso dos exemplos (a) e (b), aplicar-se-á a fórmula do valor atual de uma 
série postecipada para a resolução: 
 
 
St = 1 - (1+i)-n (1+i)n , 
 i (1+i)n 
St = (1+i)n – 1 , 
 i (1+i)n 
86 
 
Exemplo (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV1 
1.000,00 
FV2 FV3 FV4
1 2 3 4 
i = 3% a.m. 
Na calculadora HP 12C 
 
f fin, 1.000 CHS PV 
 3 i 
 4 n 
 PMT  269,03 
 
Caso a resposta não seja esta, 
provavelmente, no visor, terá a 
abreviatura Begin (início) como 
a série é postecipada clique g 
(função azul) e END 
(fim), agora sumirá a palavra 
Begin e sua calculadora está 
programada para séries 
postecipadas. 
PV = PMT x (1+i)n – 1 
 i (1+i)n 
 
1.000 = PMT x (1+0,03)4 – 1 
 0,03 (1+0,03)4 
 
1.000 = PMT x 0,1255088 
 0,0337653 
 
1.000 = PMT x 3,7170984 
 
__1.000__ = PMT =269,03 
 3,7170984 
 
Nota-se que, agora, mesmo 
sendo 100 parcelas, o que 
mudam são os expoentes. 
87 
 
Exemplo (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
270,00 
1 2 3 
4 
i = 3% a.m. 
PV 
270,00 270,00 270,00 
PV = 270 x (1+i)n – 1 
 i (1+i)n 
 
PV = 270 x (1+0,03)4 – 1 
 0,03 (1+0,03)4 
 
PV = 270 x 0,1255088 
 0,0337653 
 
PV = 270 x 3,7170984 
 
PV = 1.003,62 
Nota-se que, agora, mesmo 
sendo 50 parcelas, o que 
mudam são os expoentes. 
Na calculadora HP 12C 
 
f fin, 270 CHS PMT 
 3 i 
 4 n 
 PV 1.003,62 
 
Caso a resposta não seja esta, 
provavelmente, no visor, terá a 
abreviatura Begin (início) como a 
série é postecipada clique g (função 
azul) e END (fin), agora 
sumirá a palavra Begin e sua 
calculadora está programada para 
séries postecipadas. 
88 
 
 
 
 
 
 
1) Determinar o valor principal de um financiamento realizado com uma taxa 
efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 
12 prestações mensais, sucessivas e iguais a R$ 1.000,00. (PUCCINI: 2004. pg. 94) 
 
 
 
 
2) Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, 
iguais e sucessivos de R$ 700,00 sendo a taxa de juros igual a 1,7% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
3) Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% ao mês, 
sendo o numero de prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação 
mensal, vencendo a primeira, um mês após a compra. (HAZZAN & POMPEO: 
2007. pg. 161) 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
89 
 
4) Um automóvel foi comprado por R$ 1.000,00 de entrada mais um saldo de 
18 prestações mensais de R$ 120,00. Calcular o valor a vista do automóvel, 
sabendo-se que os juros do financiamento foram de 1% ao mês. (FRANCISCO: 
1991. pg. 148) 
 
 
 
 
 
 
5) Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e 
iguais de R$ 550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja 
opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, qual seu preço à vista? (HAZZAN & 
POMPEO: 2007. pg. 153) 
 
 
 
 
 
6) Comprei uma calculadora para pagar em três parcelas de R$ 24,00 cada 
uma, sendo a primeira no ato da compra e as demais em 30 e 60 dias, 
respectivamente. Qual o preço a vista da calculadora se a taxa cobrada pela loja 
que a vendeu é de 8,5% ao mês? (VERAS: 2005. pg. 144) 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
7) Um empresário adquiriu equipamentos, com valor de R$ 36.000,00, a ser 
pago em 36 prestações mensais e iguais, com uma taxa de juros de 1,8% ao mês. 
Determinar o valor das prestações, caso a primeira parcela seja paga um mês após 
a compra. (SILVA: 2008. pg. 76) 
 
 
 
 
 
 
8) Um automóvel usado é vendido a vista por R$ 30.000,00, mas pode ser 
vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês 
após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês,