Lista de Cálculo - Limites - com respostas

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1 
 
-1
1
1
4
3 x
y
-2
            








x
y
 
1ª Lista de Exercícios: 
 
1)Observe o gráfico da função f ao lado e responda: 
 
a)D(f)= b)Im(f)= 
 
c)


)x(flim
3x
 


)x(flim
3x
 


)3(f)x(flim
3x
 
 
d)


)x(flim
1x
 


)x(flim
1x
 


)1(f)x(flim
1x 
 
 
e)


)x(flim
2x
 


)x(flim
2x
 


)2(f)x(flim
2x
 
 
f)


)x(flim
4x
 


)x(flim
4x
 


)4(f)x(flim
4x 
 
2) Observe o gráfico ao lado e responda: 
 
a)D(f)= b)Im(f)= 
 
c)


)x(flim
x 1
 


)x(flim
x 1
 


)x(flim
x 1
 f(–1)= 
 
d)


)x(flim
1x
 


)x(flim
1x
 


)x(flim
1x
 f(1)= 
 
e)


)x(flim
3x
 


)x(flim
3x
 


)x(flim
3x
 f(3)= 
 
f)


)x(flim
0x
 


)x(flim
0x
 


)x(flim
0x
 f(0)= 
 
3) Determine os valores reais de x, para os quais a função cujo gráfico está representado na 
questão 2, é descontínua, justificando a sua resposta. 
 
4)Calcule os seguintes limites: 
a) 
72
23
6 

 x
xx
lim
x
 b) 
12
11
3 

 x.
x
lim
x
 c) 
8
2
24 

 x
|x|
lim
x
 d) 
1
21
9 

 x
x
lim
x
 
 
e) 
1)x3cos(
)x2(sen)x(cos
lim
2
0x 


 f) 
1)xsec(
5)x(tg3
lim
4/x 


 g) 
2)xsec(cos
4)x(gcot2
lim
3/x 


 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
DIRETORIA DE ENSINO 
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA PERÍODO: 
DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSORES: KALINA AIRES E JUAREZ AIRES 
ALUNO(A): MATRÍCULA: 
2 
 
5) Utilizando manipulações algébricas determine cada limite se existir: 
 
a) 
5
5
5 

 x
x
lim
x
 b) 
)3t)(2t(
t4t4t
lim
23
2t 


 c) 
2
232
2
23
1 

 xx
xxx
lim
x
 
 
d) 
4k
2
2k
16k
lim
 

 e) 
0h
22
h
x)hx(
lim


 f)
7
32
7 

 x
x
lim
x
 
 
g) 
2x
2
2x
4x
lim
 

 h) 
13x
16x
lim
2
4x 


 i) 
3r
2
2
12r7r
3r2r
lim
 

 
 
j) 
25x 25x
5x
lim
 

 k) 
0h
33
h
x)hx(
lim


 l) 
2h
3
2h
8h
lim
 

 
 
m) 
2h
2
3
4h
8h
lim
 

 n)
 x
x1x1
lim
0x


 o) 
1x
1x
lim
4
3
1x 


 p)
 2
33 2
1x )1x(
1x2x
lim



 
 
6)Nos itens a seguir, , (I) ache os limites laterais das funções dadas quando x tende para a, (II) 
estabeleça se o limite de f quando x tende para a existe ou não e se f é ou não contínua em a, (III) 
trace o gráfico das funções dadas: 
a) 
0a;
0xse2)1x(
0xse,
x
|x|
)x(f
2









 b) 2a;
2xse,1
2xse 1x2x 
2xse12x
)x(f 2 









 
 
c) 
1a;
1xse x 
1xse
1x
4x5x
)x(f
3
2











 d) 
0a;
0xse 5x- 
0xse5x4x
)x(f
2








 
 
e) 
0a;
0xes 1 sen(x)
0xse)xcos(
)x(f 






 f) 
4/a;
4/xse1
4/xes 1
4/x4/se)x(tg
)x(f 









 
 
7)Encontre os valores das constantes c e k que fazem com que a função seja contínua no conjunto 
dos números reais e trace um esboço do gráfico da função resultante. 
 
a)
c 1, se x
3
f(x) sec(x) , se x
3 3
cos(x) k, se x
3

  

 
   


 

. b) 










4xse,6x
4x1se,kxc
1xse,x
)x(f
2
 
3 
 
c) 











3xse,kx
3x1se,3cx)1k(x
1xse,c2x
)x(f 2
2
 d) 











2
xsec)xcos(
2
xse,)x(sen2
)x(f 
 
8) Determine o valor de m para que a função dada seja contínua no número indicado: 
 
a) 3x em ;
3xse 
2
m
 
3xse
x3
6xx
)x(f
2












 b) 
1x em ;
1xse m 
1xse
x1
1x
)x(f 3 










 
c) 
0x em ;
0xse 2m- x
0xse , 1x.x
)x(f 







 d) 
2x em ;
2xse 2m 
2xse
|2x|
2x
)x(f 










 
 
e)
2x em ;
2xse 5-xm 
2xse
2x
6x5x
)x(f
2











 f) 
0x em ;
0xse 4mx43x 
0xse 
x
22x
)x(f
2










 
 
9) Calcule os limites a seguir: 
 
a) 
 

x 2x5
1x2
lim
 b) 
 

x
3
2
1xx7
5x2x
lim
 c) 
 

x
2
4x
4x
lim
 
 
d) 
 

x
2
1x
1xx
lim
 e) 
 

x
4
2
1x
5x3x2
lim
 f) 
 

x
2
2x5
9x3x
lim
 
 
g) 
 

x x5x3x3
3x2x2
lim
23
3 h) 
 
 
x 7x3
xx2
lim
1
 i) 
 

x
53
53
xx
xx
lim
 j) 
 

x xx3x
7xx2
lim
5/8
3/13/5
 
 
 
10)Para cada função dada, expresse cada um dos seguintes limites como 
,
, ou NE (não 
existe) 
 (I) 
ax
)x(flim
 II) 
ax
)x(flim
 III) 
ax
)x(flim

 
 
a) 
25
52
8


 a;
x
)x(f
 b) 
1a,
2xx
x2
)x(f
2
2



 c) 
3a,
)3x(x
1
)x(f
2



 
 
d) 
2a , 
2x
3x5x2
)x(f
2




 e) 
2a , 
x6x5x
x2
)x(f
23
2



 f) 
3
32
2
2
2



 a,
xx
xx
)x(f
 
 
g) 
0a,
x
1
x
1
)x(f
2

 h) 
1a,
xx
11x
)x(f
3
2




 i)
0a;
)x(sen
1x2
)x(f 


 
 
j) 
2/a;
)xcos(
)2/x(tg
)x(f 
 k)
 
2/a;
)x(gcot
1x3
)x(f 


 
 
4 
 
 
11) Calcule os seguintes limites : 
 
a) 
1)xsec(
1x3
lim
0x 


 b) 
)x(sen
1x
lim
0x


 c) 
)x(seccoslim
0x 
 d)
)xsec(lim
2
x


 
 
e) 
xgcot
1x
lim
2
x




 f) 
xseccos
1x
lim
x


 
 
 
12)Seja f a função 









2/3xse,xcos
2/3x2/se|,senx|
2/x0se,tgx
)x(f
 . Pede-se: 
 
a) (i)
 )x(flim0x 
 (ii))x(flim
2
x


 (iii) 
)x(flim
2
x


 (iv) 
)x(flim
2
3
x


 (v)
 )x(flim
2
3
x


 
b)Trace o gráfico de f. 
 
13)Considere a função 
cos(x) m, se x
3
f(x) sec(x) p, se x .
3 3
| x |
, se x
x 3

  

 
    




 
a) Determine os valores de m e p para que f seja contínua no seu domínio, usando a definição de continuidade; 
 
b) Usando os valores de m e p obtidos no item a, esboce o gráfico de f. 
 
c) Encontre o domínio e o conjunto imagem da função. 
 
Respostas: 
 
 
1)a)
 
]6,2()2,()f(D 
 
 b)Im(f)=
 ]3,3(
 c) 2 , –3, não existe , 1 
 d) 1, –3, não existe ,–3 e) 3, 3,3, não existe f) 1, 1,1,–2 
 
2) a)D(f)=IR, b)
 
    ,12)fIm(
 , c)0 , –1 , não existe, 0 d)1, 4, não existe, 1 e)0, 0, 0 , –2 f) 0, 0,0,0 . 
3) Em x= –1, pois o 
)x(flim
1x 
 não existe : Em x=1, pois o 
)x(flim
1x
 não existe ; 
 Em x=3, pois 
)3(f)x(flim
3x


 . 
4) a) –3 b) –1/2 c) 1/4 d) –5/2 e)1/2 f) 
)12(2 
 g) 
2/)733( 
 
5)a) 
10/5
 b)0 c) 2/3 d) 32 e)2x f)1/6 g)4 h)16 i) – 4 j)1/10 
 k) 3x
2
 l) 12 m) 3 n)1 o)4/3 p)1/9 
 
6) a) I) 


ax
1)x(flim
 ; 


ax
1)x(flim
 II) 
ax
)x(flim

 1
 IV) contínua 
 b) I) 


ax
1)x(flim
 ; 


ax
1)x(flim
 II) 
ax
1)x(flim


 IV) descontínua 
5 
 
        








x
y
        








x
y
        








x
y
            













x
y
           








x
y
        








x
y
       





x
y
     



x
y
          










x
y
       





x
y
 c) I) 


ax
1)x(flim
 ; 


ax
3)x(flim
 II)NE IV) descontínua 
 d) I) 


ax
5)x(flim
 ; 


ax
5)x(flim
 II) 
ax
5)x(flim


 IV) contínua 
e) I) 


ax
1)x(flim
 ; 


ax
1)x(flim
 II) 
ax
1)x(flim


 IV) contínua 
f) I) 


ax
1)x(flim
 ; 


ax
1)x(flim
 II) 
ax
1)x(flim


 IV) contínua 
 
6)a)(III) b) (III) c) (III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)III) f)(III) d)(III) 
 
 
 
 
7) a)c=1 e k = 3/2 b)c = –1 e 
k = 2 c) c = 0 e k = –6 d) 2 
 
7)a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) a) –10 b) –1/3 c) –1/2 d) –3 e) 2 f) 2 
 
9) a) 2/5 b) 0 c) –1 d) –1 e) 2 f) 1/5 g) –2/3 h) 0 i) 1 j) 
 
 
10) a) I) 

 II) 

 III) NE b) I) 

 II) 

 III) NE c) I) 

 II) 

 III) 

 
 
 d) I) 

 II) 

 III) 

 e) I) 

 II) 

 III) NE f) I) 

 II) 

 III) NE 
 
 g) I) 

 II) 

 III) 

 h) I) –

 II) 

 III) NE i) I) 

 II) 

 III) NE 
 
 j) I) 

 II) 

 III) NE k) I) 

 II) 

 III) NE 
 
11) a) 

 b) -

 c) 
 d)  e)  f)0 
 
6 
 
       






x
y
        





 
12)a) (i)0 (ii)  (iii) 1 (iv)1 (v)0 12)b) 
 
13)a)m = 1/2 e p = –1 
 
13 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13)c) [ –1/2,3/2 ] 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
 
SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – volume 1, Makron Books, São Paulo – SP 
LEITHOLD, Louis, O cálculo com Geometria Analítica – volume 1, Harbra, São Paulo – SP. 
MUNEM, Mustafa A., David J. Foulis, Cálculo – volume 1, Guanabara, Rio de Janeiro – RJ 
FINNEY, Ross L., Cálculo de George B. Thomas Jr., volume 1/Frank R. Giordano. Addison Wesley, 2002, São Paulo-SP. 
STEWART, James, Cálculo: volume 1, Cengage Learning, 2009, São Paulo - SP. 
FLEMMING, Diva Marília, Cálculo A : funções, limite, derivação, integração/ Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves.-São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006.