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AULA 01 Referenciais, Grandezas e Vetores 
AULA 01: 
 
Grandezas físicas, sistemas de 
unidades, vetores 
 
 
AULA 01 Referenciais, Grandezas e Vetores 
Tópico 01: Grandezas Físicas – Introdução 
Tópico 02: Sistemas de unidades 
Tópico 03: Análise dimensional 
Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de 
Um Vetor 
Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores 
Tópico 06: Multiplicando Vetores 
 
AULA 01 Referenciais, Grandezas e Vetores 
Tópico 01: Grandezas Físicas – Introdução 
O que são grandezas físicas? 
É comum as pessoas confundirem a grandeza 
física com a unidade física. A medida de qualquer 
grandeza física é feita tomando como comparação 
uma medida padrão que é a unidade de medida. 
Grandeza física é tudo aquilo que 
pode ser medido e quantificado. Sua 
altura, por exemplo (comprimento). 
Se alguém lhe dissesse que sua altura é de 6 pés, 
você saberia responder de imediato se essa 
pessoa é alta ou baixinha? 
AULA 01 Referenciais, Grandezas e Vetores 
Tópico 01: Grandezas Físicas – Introdução 
Na Física tudo que pode ser medido é chamado de grandeza. 
Se grandezas físicas são aquelas que 
podem ser medidas e quantificadas. 
GRANDEZA 
FÍSICA = 
VALOR 
NUMÉRICO 
DIMENSÃO + 
GRANDEZA FÍSICA = VALOR NUMÉRICO 
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Tópico 02: Sistemas de unidades 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo Segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura temodinâmica Kelvin K 
Quantidade de substância Mole Mol 
Intensidade luminosa Candela cd 
Conhecendo as 
unidades de uma 
grandeza, você 
conhece o significado 
daquela grandeza, sem 
que precise decorar 
uma fórmula 
matemática. 
AULA 01 Referenciais, Grandezas e Vetores Tópico 02: 
Sistemas de 
unidades 
Principais 
unidades 
As grandezas 
físicas derivadas 
são obtidas das 
combinações de 
grandezas físicas 
de dimensões 
diferentes, por 
exemplo a 
velocidade que é 
medida em m/s 
ou km/h 
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Tópico 03: Análise dimensional 
As três grandezas fundamentais comprimento, massa e tempo 
estão intimamente associadas à ideia de dimensão: dimensão de 
comprimento L, dimensão de massa M e dimensão de tempo T. 
Observe esta 
placa 
O que ela significa? 
E esta outra? 
Elas têm o 
mesmo 
significado? 
Equação dimensional 
da velocidade. Através 
dela você pode 
concluir que a unidade 
de velocidade no 
sistema SI é m/s. 
ΔS = L (comp.)
L
⇒ v =
T
Δt = T (tempo)
      
                 
t
S


v
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Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de Um Vetor 
Não basta o número de passos, para 
chegar ao local do tesouro 
Você precisa ter a 
orientação completa 
Uma grandeza que só é completamente definida quando são 
especificados o seu módulo, direção e sentido, é denominada 
GRANDEZA VETORIAL. Quando uma grandeza é definida 
apenas por um número, ela é denominada GRANDEZA 
ESCALAR. 
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Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de Um Vetor 
Representação de um vetor ou A, a, v 
Característica de um vetor 
Sentido do vetor 
Direção do vetor 
Modulo do 
Vetor 
Módulo 
Sentido 
Direção 
Módulo do vetor 
O módulo do vetor é 
especificado pelo "tamanho" da 
seta, a partir de alguma 
convenção para a escala. 
a b 
Sentido do vetor 
O sentido do vetor é especificado 
pela a ponta da seta colocada na 
extremidade do segmento. 
F
G
FG 
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Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de Um Vetor 
Direção do vetor 
F
G
C
D
V
T
A direção do vetor é especificada 
pela reta que contém a seta 
representando o vetor. 
 Os vetores velocidade tem o mesmo módulo, a 
mesma direção, mas sentidos opostos. 
Qual o Módulo, 
Direção e Sentido 
do vetor 
velocidade dos 
garotos? 
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Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de Um Vetor 
Além da representação gráfica, um vetor pode ser representado 
analiticamente, utilizando-se as suas componentes. 


AsenA
AA
y
x

 cos
x
y

A
xA
yA
Componentes de um vetor - Para determinar as componentes do 
vetor, adota-se um sistema de eixos cartesianos. 
As componentes do vetor são os vetores Ax e Ay, 
cujos módulos são dados por: 
O vetor A escrito em termos 
de suas componentes, 
usando-se os vetores 
unitários é: 
jAseniAjAiAA yx
ˆˆcosˆˆ  
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Tópico 04: Vetores e Escalares; Características de Um Vetor 
y
iˆ
jˆ
kˆ
x
z
B
yB
zB
xB
ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k  
Um vetor tridimensional 
escrito em termos de 
suas componentes. 
Exercício 
01. Os vetores 
velocidade dos 
carros estão na 
mesma direção 
e no mesmo 
sentido? 
02. Dois carros 
em um 
cruzamento: Que 
comportamento 
tem seus vetores 
velocidade? 
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Soma) 
O carro quebrou. E agora? Uma grandeza vetorial não pode 
ser somada apenas somando seus 
módulos. 
Regra do polígono 
Regra do paralelogramo 
S= a+ b+ c
S= a+ b
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Soma) 
 Para determinar o módulo do vetor soma obtido graficamente 
pelo método do paralelogramo, você deve utilizar a Lei dos 
Cossenos: 
onde  = 180 - . 
22
S = a + b - 2 a b cosθ
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Soma) 
 Casos particulares: 
Caso 1 Caso 2 Caso 3 
Regra do polígono 
S = a + b
Regra do 
paralelogramo 
 = 0   = 180 
Regra do polígono 
S = a - b
Regra do 
paralelogramo 
 = 180   = 0 
Regra do polígono 
22
S = a + b
Regra do 
paralelogramo 
 = 90   = 90 
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Subtração) 
 
E agora, se alguém começasse a empurrar o carro no sentido 
contrário ao que todos estão empurrando 
A subtração dos vetores 
A e B é representada 
por C, veja: 
Um sinal negativo associado a um vetor, representa a inversão 
do sentido deste vetor. 
2 2
C = A + B - 2 A B cosθ
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Subtração) 
 Propriedades das somas de vetores 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento neutro: 0 + A = A 
Elemento oposto: A + (-A) = 0 
Vamos fazer uns exemplos? 
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Subtração) 
 
04. O que podemos dizer da 
composição dos vetores abaixo? 
03. Observe a figura a seguir e 
determine quais os vetores que: 
a) tem a mesma direção. 
b) tem o mesmo sentido. 
c) tem a mesma intensidade (módulo) 
d) são iguais. 
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Subtração) 
 05. Abaixo estão representados os vetores 
correspondentes às velocidade que uma bola de 
sinuca possuía antes e depois do impacto com a 
lateral da mesa de sinuca. Sabendo que seus 
módulos são iguais a 10 cm/s, represente 
graficamente o vetor variação da velocidade, ou 
seja, a diferença (V2 – V1), e calcule seu módulo. 
120° 
V1 V2 
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Tópico 05: Soma e Subtração de Vetores (Subtração) 
 06. Uma pessoa resolve dar um passeio pela cidade e 
faz o seguinte percurso: sai de casa e anda 2 
quarteirões para o norte; logo após, dobrar à 
esquerda ela anda mais 3 quarteirões para oeste, 
virando a seguir, novamente à esquerda e andando 
mais 2 quarteirões para o Sul. Sabendo que um 
quarteirão mede 100m, determine o vetor 
deslocamento da pessoa. 
E a multiplicação de vetores como será? 
Vamos ver ou rever? 
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Tópico 05: Multiplicando Vetores 
A multiplicação de vetores não é, em geral, uma simples 
multiplicação algébrica. 
Os vetores podem ser multiplicados de três maneiras: 
1. Multiplicação de um vetor por um escalar 
resultando em um vetor. . 
2. Multiplicação de um vetor por outro vetor 
resultando em um escalar. 
3. Multiplicação de um vetor por outro vetor 
resultando em um vetor. 
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Tópico 05: Multiplicando Vetores 
Multiplicação de um Vetor por um Escalar 
O resultado é um novo 
vetor, que conserva a 
mesma direção e sentido 
anteriores, mas o módulo é 
alterado pelo valor do 
escalar. 
Observações: 
01 - O módulo do novo vetor é o que resulta da 
multiplicação do módulo de a pelo módulo de V. 
02 - A direção do novo vetor é a mesma do vetor V. 
c) O sentido é o mesmo de V se a for positivo; sentido 
oposto se a for negativo. 
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Tópico 05: Multiplicando Vetores 
Produto Escalar 
A B A B cosα 
onde  é o ângulo entre os dois vetores e escrevendo o 
produto escalar em termos das componentes dos vetores: 
 
x x y y
A B = A B +A B
x y
x y
ˆ ˆA = A i +A j
ˆ ˆB = B i +B j
   x y x y
x x x y y x y y
ˆ ˆ ˆ ˆA B = A i +A j . B i +B j
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B i. i +A B i.j+A B j. i +A B j.j

Usando a definição do produto escalar entre dois vetores: 
ˆ ˆi. i =1×1×cos0 = 1
ˆ ˆi.j=1×1×cos90 = 0
ˆ ˆj.j=1×1×cos0 = 1
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Tópico 05: Multiplicando Vetores 
Produto Vetorial 
AxB A x B senα
onde  é o menor ângulo entre as direções dos dois vetores e 
O produto vetorial também pode ser escrito na forma de um 
determinante: 
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆi j k
A×B= A A A
B B B

A direção do vetor 
resultante do 
produto vetorial é 
determinada 
usando-se a regra 
da mão direita. 
y z z x x y z y x z y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆAxB=A .B i+A .B j+A .B k- A .B i-A .B j-A .B k 
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Tópico 05: Multiplicando Vetores 
Vamos resolver mais exercícios? 
07 - Dados os vetores a, b e c, faça o produto escalar entre os 
vetores : 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa = -2,5i + 3,0j, b = 7,3i - 2,1j, c = 2,0i + 3,1j + 6,6k
a) a • b b) (a + b) • c 
08 - Dados os vetores a, b e c, faça o produto vetorial entre os 
vetores : 
a) a x b b) b x c