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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 1 Esta aula: Teorema de Thévenin, Teorema de Norton. Suponha que desejamos determinar a tensão (ou a corrente) em um único bipolo de um circuito, constituído por qualquer número de fontes e de outros resistores. R i vR i vR i v O Teorema de Thévenin nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito equivalente contendo uma fonte de tensão em série com um resistor. Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por circuito equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 2 R i v Teorema de Thevenin Teorema de Norton R i vThv ThR R i vNi NR R i vR i vR i v Teorema de Thevenin Teorema de Norton R i vThv ThR R i vThv ThR R i vNi NR R i vNi NR EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 3 Consideremos um circuito elétrico que foi rearranjado na forma de outros dois circuitos, denotados por A e B. Circuito A: deve ser um circuito linear: • fontes independentes, • bipolos lineares e • fontes dependentes lineares. Circuito B: pode conter também elementos não – lineares. Restrição importante: Nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser controlada por uma corrente ou tensão do circuito B e vice versa. Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito B Circuito B Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito A EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 4 Teorema de Thévenin: Defina uma tensão cav como a tensão que aparece nos terminais de A se o circuito B é desconectado, de forma que nenhuma corrente fluí do circuito A para o circuito B. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de tensão cav for conectada em série com o circuito A “desativado”. Desativar fontes: • Substituir fontes independentes de corrente por circuitos abertos, • Substituir fontes independentes de tensão por curto-circuitos. Circuito B Circuito A desativado ccv Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado ccv Nenhuma fonte de tensão ou corrente EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 5 Teorema de Norton Defina uma corrente cci como a corrente que flui nos terminais de A se os pontos de conexão entre A e B são curto-circuitados, de forma que nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de corrente cci for conectada em paralelo com o circuito A “desativado”. Circuito B Circuito A desativado cc i Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado cc i Nenhuma fonte de tensão ou corrente Consideremos o circuito abaixo, para o qual desejamos determinar os equivalentes de Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o resistor 1R . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 6 V4 mA2 Ωk2 Ωk3 Ω= k11R V4 mA2 Ωk2 Ωk3 Ω= k11R Tensão em aberto: V4 mA2 Ωk2 Ωk3 cav1i mA21 −=i ( )( ) V8 1021024 33 = ×−×−= −cav V4 mA2 Ωk2 Ωk3 cav1i mA21 −=i ( )( ) V8 1021024 33 = ×−×−= −cav Resistência do circuito desativado: Ωk2 Ωk3 ⇒ Ωk5 Ωk2 Ωk3 ⇒ Ωk5 Portanto, o circuito redesenhado com o equivalente de Thévenin é: EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 7 V8 Ωk5 Ω= k11R V8 Ωk5 Ω= k11R Para construir o equivalente de Norton, precisamos determinar a corrente de curto- circuito: V4 mA2 Ωk2 Ωk3 1i 2i 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii cci V4 mA2 Ωk2 Ωk3 1i 2i 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii cci Finalmente, o circuito com o equivalente de Norton é: Ωk5 Ω= k11R ,6mA1 Ωk5 Ω= k11R ,6mA1 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 8 Note que o equivalente de Norton pode ser obtido a partir do equivalente de Thévenin (e vice-versa) por meio de princípio da equivalência entre fontes de tensão e de corrente reais. Consideremos agora um circuito com uma fonte de corrente dependente linear, cujo equivalente de Thévenin estamos interessados: V4 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv A B V4 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv A B Tensão em aberto: A tensão de circuito aberto é a própria tensão de controle da fonte de corrente, ou seja xca vv = . Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões na malha (note que há apenas uma!), temos: V80 4000 k24 ==→=−×+ caxxx vvvv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 9 Resistência do circuito desativado, entre A e B: 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv ?=ThR A B 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv ?=ThR A B Note que não conseguimos calcular a resistência entre A e B devido à presença do gerador de corrente. Porém, podemos determinar essa resistência indiretamente, por meio da relação entre os equivalentes de Thévenin e de Norton: cav R cci R cc ca i vR = cav R cci R cc ca i vR = EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 10 Portanto, precisamos determinar cci . V4 0 4000 =xv Ωk2 Ωk3 0=xv V4 Ωk2 Ωk3 cci mA8,0 A 5000 4 = =cci V4 0 4000 =xv Ωk2 Ωk3 0=xv V4 Ωk2 Ωk3 cci mA8,0 A 5000 4 = =cci Finalmente, Ω=Ω×= − k10108,0 8 3R , e V8 Ωk10 mA8,0 Ωk10 V8 Ωk10 mA8,0 Ωk10
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