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Teorema de Thévenin e Norton

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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 1 
Esta aula: 
ƒ Teorema de Thévenin, 
ƒ Teorema de Norton. 
 
Suponha que desejamos determinar a tensão (ou 
a corrente) em um único bipolo de um circuito, 
constituído por qualquer número de fontes e de 
outros resistores. 
 
R
i
vR
i
vR
i
v
 
 
 
O Teorema de Thévenin nos diz que podemos 
substituir todo o circuito, com exceção ao 
bipolo em questão, por um circuito equivalente 
contendo uma fonte de tensão em série com um 
resistor. 
 
Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que 
podemos substituir todo o circuito, com 
exceção ao bipolo em questão, por circuito 
equivalente contendo uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor. 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 2 
 
R
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR
R
i
vR
i
vR
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR R
i
vNi NR
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 3 
Consideremos um circuito elétrico que foi 
rearranjado na forma de outros dois circuitos, 
denotados por A e B. 
 
Circuito A: deve ser um circuito linear: 
• fontes independentes, 
• bipolos lineares e 
• fontes dependentes lineares. 
 
Circuito B: pode conter também elementos não 
– lineares. 
 
Restrição importante: Nenhuma fonte 
dependente do circuito A pode ser controlada 
por uma corrente ou tensão do circuito B e vice 
versa. 
 
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
A
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 4 
Teorema de Thévenin: 
Defina uma tensão cav como a tensão que 
aparece nos terminais de A se o circuito B é 
desconectado, de forma que nenhuma corrente 
fluí do circuito A para o circuito B. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerão 
inalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de tensão cav 
for conectada em série com o circuito A 
“desativado”. 
 
Desativar fontes: 
• Substituir fontes independentes de corrente 
por circuitos abertos, 
• Substituir fontes independentes de tensão 
por curto-circuitos. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 5 
Teorema de Norton 
Defina uma corrente cci como a corrente que 
flui nos terminais de A se os pontos de conexão 
entre A e B são curto-circuitados, de forma que 
nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerão 
inalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de corrente cci 
for conectada em paralelo com o circuito A 
“desativado”. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado cc
i
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado cc
i
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente 
 
Consideremos o circuito abaixo, para o qual 
desejamos determinar os equivalentes de 
Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o 
resistor 1R . 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 6 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
Ω= k11R
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
Ω= k11R
 
Tensão em aberto: 
 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
cav1i
mA21 −=i ( )( )
V8
1021024 33
=
×−×−= −cav
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
cav1i
mA21 −=i ( )( )
V8
1021024 33
=
×−×−= −cav
 
 
Resistência do circuito desativado: 
 
Ωk2 Ωk3
⇒ Ωk5
Ωk2 Ωk3
⇒ Ωk5
 
 
Portanto, o circuito redesenhado com o 
equivalente de Thévenin é: 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 7 
V8
Ωk5
Ω= k11R
V8
Ωk5
Ω= k11R
 
Para construir o equivalente de Norton, 
precisamos determinar a corrente de curto-
circuito: 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
1i 2i
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
cci
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
1i 2i
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
cci
 
 
Finalmente, o circuito com o equivalente de 
Norton é: 
 
Ωk5 Ω= k11R
,6mA1
Ωk5 Ω= k11R
,6mA1
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 8 
Note que o equivalente de Norton pode ser 
obtido a partir do equivalente de Thévenin (e 
vice-versa) por meio de princípio da 
equivalência entre fontes de tensão e de 
corrente reais. 
 
Consideremos agora um circuito com uma fonte 
de corrente dependente linear, cujo equivalente 
de Thévenin estamos interessados: 
 
V4
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
A
B
V4
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
A
B 
 
Tensão em aberto: 
A tensão de circuito aberto é a própria tensão de 
controle da fonte de corrente, ou seja xca vv = . 
 
Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões 
na malha (note que há apenas uma!), temos: 
 
V80
4000
k24 ==→=−×+ caxxx vvvv 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 9 
 
Resistência do circuito desativado, entre A e 
B: 
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
?=ThR
A
B
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
?=ThR
A
B
 
 
Note que não conseguimos calcular a 
resistência entre A e B devido à presença do 
gerador de corrente. 
 
Porém, podemos determinar essa resistência 
indiretamente, por meio da relação entre os 
equivalentes de Thévenin e de Norton: 
 
cav R cci
R
cc
ca
i
vR =
cav R cci
R
cc
ca
i
vR =
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
 10 
Portanto, precisamos determinar cci . 
 
V4
0
4000
=xv
Ωk2 Ωk3
0=xv
V4
Ωk2 Ωk3
cci
mA8,0
A
5000
4
=
=cci
V4
0
4000
=xv
Ωk2 Ωk3
0=xv
V4
Ωk2 Ωk3
cci
mA8,0
A
5000
4
=
=cci
 
 
Finalmente, Ω=Ω×= − k10108,0
8
3R , e 
 
V8 Ωk10 mA8,0
Ωk10
V8 Ωk10 mA8,0
Ωk10

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