Notas de Aula - ITA - Eletromagnetismo

Prévia do material em texto

Notas de Aula - FIS32
Lara Kuhl Teles
21 de julho de 2008
2
Suma´rio
0 To´picos matema´ticos 9
0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Vatorial . . . . . . . . . . 9
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10
1 Introduc¸a˜o 11
1.1 Forc¸as ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Propriedades da carga ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Lei de Coulomb 15
2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Ele´trico 19
3.1 O Campo Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Linhas de Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . 38
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44
3
4 SUMA´RIO
4 Potencial Eletrosta´tico 51
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por uma
carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia z do
centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo . . . 58
4.4.4 Casca esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos campos ele´tricos . . 60
4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e Energia 69
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de uma su-
perf´ıcie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3 Alguns outros comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de Poisson e Laplace . . 74
5.5.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distribuic¸a˜o de
cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
SUMA´RIO 5
5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico . . . . . . . . 80
5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Condutores 85
6.1 Breve Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87
6.4 Me´todo das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do Plano 93
6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 Carga Na Superf´ıcie e Forc¸a Em Um Condutor . . . . . . . . . 96
7 Capacitores 97
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Ca´lculos de Capacitaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.2 Capacitor Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.3 Capacitor Esfe´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Associac¸a˜o de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2 Capacitores em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Diele´tricos 109
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Campo no interior de um diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.1 mole´culas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2 mole´culas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 SUMA´RIO
8.3 Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1 Definic¸a˜o do vetor Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.2 Susceptibilidade Ele´trica e constante diele´trica . . . . 113
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento ele´trico . . . . . . . . . . . 114
8.5 Energia eletrosta´tica em diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Corrente ele´trica e Resisteˆncia 121
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente . . . . . . . . . . 121
9.2 Equac¸a˜o da Continuidade da Carga ele´trica . . . . . . . . . . 124
9.2.1 Caso De Corrente Estaciona´ria . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Condutividade Ele´trica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1 Um Modelo Para a Conduc¸a˜o Ele´trica . . . . . . . . . 127
9.4 Associac¸a˜o de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.1 Associac¸a˜o em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.2 Associac¸a˜o em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Forc¸a Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.1 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5.2 Poteˆncia Ma´xima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138
9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Magnetosta´tica 149
10.1 Campo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Forc¸a magne´tica em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.5 A Auseˆncia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . 159
SUMA´RIO 7
10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Biot-Savart . . . . . . . .. . . . 166
10.8 A Lei Circuital de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . 174
10.8.3 Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . 175
10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.10Condic¸o˜es de Contorno na Magnetosta´tica . . . . . . . . . . . 189
10.10.1 Componente perpendicular a` superf´ıcie . . . . . . . . . 190
10.10.2 Componente paralela a` superf´ıcie e paralela a` direc¸a˜o
da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.10.3 Componente paralela a` superf´ıcie e perpendicular a`
direc¸a˜o da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.11Expansa˜o em multipo´los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11 Lei da Induc¸a˜o 195
11.1 O Fluxo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4 Efeitos Mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.2 Atrito Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4.3 Canha˜o Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.5 Indutaˆncia Mu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6 Auto-Indutaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.7 Associac¸a˜o de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.7.1 Dois indutores em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8 SUMA´RIO
11.7.2 Dois indutores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.10Analogia com sistema mecaˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.11.1 Subcr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.2 Cr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.3 Supercr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.12Energia em Campos Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12 Equac¸o˜es de Maxwell 231
12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 Modificac¸a˜o na lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.3 Equac¸o˜es de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.1 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.2 Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.4 Equac¸o˜es de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Materiais Magne´ticos 241
13.1 Propriedades Magne´ticas da Mate´ria . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2 Momentos magne´ticos e Momento angular . . . . . . . . . . . 243
13.3 Materiais Diamagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4 Materiais Paramagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.5 Magnetizac¸a˜o e o campo ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.6 Materiais Magne´ticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.7 Materiais Ferromagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.8 Energia em meios magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Cap´ıtulo 0
To´picos matema´ticos
0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Va-
torial
Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superf´ıcie de bordo γ = ∂S e
seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∮
γ=∂S
~F d~l =
∫∫
S
~∇× ~F d~S (1)
Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial
Teorema 2 (Teorema da Divergeˆncia ou de Gauss). Seja R uma regia˜o do
espac¸o de bordo γ = ∂R e seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∫∫∫
R
→
∇
→
F dv =
∫∫
∂R
~F d~S (2)
Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial
Tais Teoremas sa˜o de extrema importaˆncia pois facilitam em determina-
das situac¸o˜es o ca´lculo de um dos membros das equac¸o˜es por meio do ou-
9
10 CAPI´TULO 0. TO´PICOS MATEMA´TICOS
tro, que pode ser obtido por um me´todo de integrac¸a˜o mais ra´pido e menos
prop´ıcio a erros.
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional
e Gradiente
1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os
vetores associados.
2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o
campo escalar associado.
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Forc¸as ele´tricas
Consideremos uma forc¸a ana´loga a` gravitac¸a˜o que varie com o inverso do
quadrado da distaˆncia, mas que seja bilho˜es de bilho˜es de bilho˜es de vezes
mais intensa. E com outra diferenc¸a: que haja duas classes de ”mate´ria”que
poder´ıamos chamar de positiva e negativa. Se sa˜o da mesma classe se repelem
e se sa˜o de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitac¸a˜o que e´ so´
atrativa.
Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma forc¸a enorme,
o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos
opostos sa˜o mantidos juntos por uma forc¸a enorme de atrac¸a˜o. Estas terr´ıveis
forc¸as se equilibrara˜o perfeitamente e formara˜o uma mescla de elementos
positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas
porc¸o˜es separadas na˜o sentira˜o nem atrac¸a˜o nem repulsa˜o entre elas.
Uma forc¸a como esta existe e e´ chamada de forc¸a ele´trica. E toda a
mate´ria e´ uma mescla de pro´tons positivos e ele´trons negativos que esta˜o
se atraindo e repelindo com uma grande forc¸a. Mas, ha´ um equil´ıbrio ta˜o
perfeito que com relac¸a˜o ao conjunto na˜o se sente nenhuma forc¸a resultante.
Atualmente, sabemos que as forc¸as ele´tricas determinam em grande parte,
11
12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
as propriedades f´ısicas e qu´ımicas da mate´ria em toda a faixa que vai desde
o a´tomo ate´ a ce´lula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos
cientistas do se´culo XIX: Ampe`re, Faraday, Maxwell e muitos outros que
descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como f´ısicos e qu´ımicos
do se´culo XX que revelaram a estrutura atoˆmica da mate´ria.
O eletromagnetismo cla´ssico estuda as cargas e correntes ele´tricas e suas
ac¸o˜es mu´tuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medi-
das independentemente, com precisa˜o limitada. Nem a revoluc¸a˜o da f´ısica
quaˆntica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as
equac¸o˜es do campo eletromagne´tico que Maxwell estabeleceu ha´ mais de cem
anos atra´s. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experi-
mentac¸a˜o, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo
de aplicac¸a˜o original. No entanto, mesmo um eˆxito ta˜o grande na˜o garante
a validade num outro domı´nio, por exemplo, no interior de uma mole´cula.
Dois fatos ajudam a explicar importaˆncia cont´ınua da teoria cla´ssica do
eletromagnetismo na f´ısica moderna. Primeiro, a relatividade restrita na˜o
exigiu nenhuma revisa˜o do eletromagnetismo cla´ssico. Cronologicamente, a
relatividade especial nasceu do eletromagnetismo cla´ssico e das experieˆncias
inspiradas por ele. As equac¸o˜es de Maxwell, deduzidas muito antes dos tra-
balhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compat´ıvel com a
relatividade. Em segundo lugar, as modificac¸o˜es quaˆnticas das forc¸as eletro-
magne´ticas revelaram-se sem importaˆncia ate´ distaˆncias da ordem de 10−10
cm, cem vezes menores que o a´tomo. Podemos descrever a repulsa˜o e atrac¸a˜o
de part´ıculas no a´tomo utilizandoas mesmas leis que se aplicam a´s falhas
de um eletrosco´pio, embora necessitemos da mecaˆnica quaˆntica para prever
o comportamento sob ac¸a˜o dessas forc¸as.
Segundos relatos histo´ricos, ja´ ao tempo da Gre´cia Antiga se tinha conhe-
cimento de que o aˆmbar (uma espe´cie de resina denominada de ele´tron na
l´ıngua grega), uma vez friccionado com la˜, adquiria a propriedade de atrair
pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso
1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELE´TRICA 13
substancial ocorreu todavia nesse assunto ate´ o se´culo XVIII, quando se des-
cobriu que o vidro friccionado com um pano de seda tambe´m apresentava
propriedades semelhantes a do aˆmbar. Estas observac¸o˜es levaram a admitir
duas espe´cies de eletricidade: a v´ıtrea e a resinosa.
Ainda dessas observac¸o˜es decorram as leis elementares da eletrosta´tica, a
saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes
diferentes se atraem.
Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a v´ıtrea)
e eletricidade negativa (a resinosa).
Hoje sabemos que esses efeitos sa˜o devidos a` existeˆncia do que chamamos
de carga ele´trica. Embora a carga ele´trica na˜o seja definida sabemos que ela
e´ uma caracter´ıstica das part´ıculas fundamentais que constituem os a´tomos.
1.2 Propriedades da carga ele´trica
Uma propriedade fundamental da carga ele´trica e´ a sua existeˆncia nas duas
espe´cies que ha´ muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observou-
se o fato de que todas as part´ıculas eletrizadas podem ser divididas em duas
classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem
entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe.
Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, enta˜o B
atraiu C.
Na˜o podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas
hoje os f´ısicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamen-
talmente como manifestac¸o˜es opostas de uma qualidade assim como direito
e esquerdo, manifestac¸o˜es opostas de lado.
O que no´s chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de
positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histo´rico.
A segunda propriedade e´ um dos princ´ıpios fundamentais da F´ısica: O
Princ´ıpio da conservac¸a˜o da carga ele´trica. Esse princ´ıpio e´ equivalente ao
14 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
POSTULADO DA TEORIA.
A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado =
nenhuma mate´ria atravessa os limites do sistema).
Observac¸a˜o 1.1. Podemos ter a criac¸a˜o de pares de cargas positivas e negati-
vas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa
na˜o pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si so´.
A terceira propriedade esta´ relacionada com a quantidade da carga.
A experieˆncia da gota de o´leo de Millikan, e diversas outras, demonstram
que a carga ele´trica aparece a natureza em mu´ltiplos de um u´nico valor
unita´rio. Essa intensidade e´ representada por e 1 , a carga eletroˆnica.
Experieˆncias mostram que a carga do pro´ton e do ele´tron sa˜o iguais com
uma precisa˜o de 1 para 10−20. De acordo com as odeias atuais, o ele´tron e
o pro´ton e o pro´ton sa˜o ta˜o diferentes entre si como o podem ser quaisquer
outras part´ıculas elementares. Ningue´m entende ainda porque suas cargas
devam ser iguais ate´ um grau ta˜o fanta´stico de precisa˜o.
Evidentemente a quantizac¸a˜o da carga e´ uma lei profunda e universal da
natureza. Todas as part´ıculas elementares eletrizadas, ate´ o ponto em que
podemos determinar, teˆm cargas de magnitudes rigorosamente iguais.
Observac¸a˜o 1.2. Nada na eletrodinaˆmica requer que as cargas sejam quanti-
zadas este e´ um fato.
Observac¸a˜o 1.3. Pro´tons e neˆutrons sa˜o compostos de treˆs quarks, cada qual
com cargas fracionadas ±2
3
e e ±1
3
e . No entanto, quarks livres parecem
na˜o existir na natureza, de qualquer forma isto na˜o alteraria o fato da carga
ser quantizada, so´ reduziria o mo´dulo da unidade ba´sica.
Observac¸a˜o 1.4. Por outro lado, a na˜o-conservac¸a˜o da carga (Propriedade
2) seria totalmente incompat´ıvel com a estrutura da teoria eletromagne´tica
atual.
1e= 1, 6.10−19C
Cap´ıtulo 2
Lei de Coulomb
2.1 A Lei de Coulomb
Voceˆ provavelmente ja´ sabe que a interac¸a˜o de cargas ele´tricas em repouso e´
regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso
ha´ uma forc¸a diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia que as separa. A forc¸a se da´ na direc¸a˜o
da reta que une as duas cargas.
→
F1=
1
4pi�o
q1q2
r21,2
rˆ1,2 = −
→
F2 (2.1)
→
F1 = forc¸a que age sobre a part´ıcula 1
rˆ1,2= versor na direc¸a˜o de q1 e q2
r1,2 = distaˆncia entre q1 e q2
No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)[→
F
]
= dina
1C = 2, 998.109 MES
Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Cou-
lomb com outro jeito da natureza: o princ´ıpio da superposic¸a˜o.
15
16 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB
Figura 2.1: Forc¸a ele´trica entre duas cargas
2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o
Considere o sistema constitu´ıdo de n cargas puntiformes q0, q1, q2....qn . Po-
demos calcular a forc¸a ele´trica resultante sobre qualquer uma das cargas
aplicando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o. Suponha que desejamos calcular o
vetor forc¸a ele´trica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a
forc¸a que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas
as contribuic¸o˜es.
A forc¸a resultante sobre q0 sera´:
→
F0=
→
F0,1 +
→
F0,2 +....+
→
F0,n (2.2)
Sendo
→
F0,n a forc¸a devido a qn
O Princ´ıpio da Superposic¸a˜o estabelece que a interac¸a˜o entre quaisquer
duas cargas na˜o e´ afetada pela presenc¸a das outras.
Assim,
→
F0= K0q0
n∑
i=1
qi
r20,i
rˆ0,i (2.3)
Reescrevendo:
2.2. PRINCI´PIO DE SUPERPOSIC¸A˜O 17
→
F0= K0q0
n∑
i=1
qi
| →r i − →r 0 |3
(
→
r i − →r 0) (2.4)
18 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB
Cap´ıtulo 3
Campo Ele´trico
3.1 O Campo Ele´trico
Suponhamos uma distribuic¸a˜o de cargas q1, q2,..., qn fixas no espac¸o, e ve-
jamos na˜o as forc¸as que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida a`s suas proximida-
des.
Sabemos que a forc¸a sobre q0 e´:
~Fo = Ko
n∑
i=1
qoqi
r2o,i
rˆo,i
Assim, se dividirmos
→
F 0 por q0 teremos:
~Fo
qo
= Ko
n∑
i=1
qi
r2o,i
rˆo,i (3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori-
ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posic¸a˜o do ponto (x,y,z). Chamamos essa
func¸a˜o vetorial de x,y e z de campo ele´trico criado por q1, q2,..., qn e usa-
mos o s´ımbolo
→
E . As cargas sa˜o chamadas fontes do campo. Desta forma
19
20 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
definimos o campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o de cargas no ponto (x,y,z):
~E(x, y, z) = Ko
n∑
i=1
qi
r2o,i
rˆo,i (3.2)
~Fo = qo ~E (3.3)
Note que utilizamos como condic¸a˜o que as cargas fontes do campo es-
tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espac¸o na˜o perturbara´ as
posic¸o˜es ou movimento de todas as outras cargas responsa´veis pelos campos.
Muitas pessoas, a`s vezes, definem o campo impondo a` q0 a condic¸a˜o de
ser uma carga infinitesimal e tomando
→
E como: lim
qo→0
~F
qo
Cuidado! Na realidade este rigor matema´tico e´ falso. Lembre-se que no
mundo real na˜o ha´ carga menor que e!
Se considerarmos a Equac¸a˜o 3.2 como definic¸a˜o de
→
E , sem refereˆncia
a uma carga de prova, na˜o surge problema algum e as fontes na˜o precisam
ser fixas. Casa a introduc¸a˜o de uma nova carga cause deslocamentodas
cargas fontes, enta˜o ela realmente produzira´ modificac¸o˜es no campo ele´trico
e se quisermos prever a forc¸a sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
ele´trico para calcula´-la.
Conceito de campo: um campo e´ qualquer quantidade f´ısica que pos-
sue valores diferentes em pontos diferentes no espac¸o. Temperatura, por
exemplo, e´ um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual no´s escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia tambe´m variar com o tempo, e no´s
poder´ıamos dizer que a temperatura e´ um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e´ o campo de velocidade de um l´ıquido
fluindo. No´s escrevemos
→
v =(x,y,z,t) para a velocidade do l´ıquido para cada
ponto no espac¸o no tempo t. esse e´ um campo vetorial. Existem va´rias ide´ias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta e´ tambe´m a mais abstrata: no´s simplesmente considerarmos
os campos como func¸o˜es matema´ticas da posic¸a˜o e tempo.
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 21
O campo e´ uma grandeza vetorial e na unidade no SI e´
N
C
(Newton/Coulumb).
Se tivermos somente uma carga:
~E =
Koq
r2
rˆ
Observac¸a˜o 3.1. Campo ele´trico e´ radial e cai com a distaˆncia ao quadrado
O Princ´ıpio da superposic¸a˜o tambe´m e´ aplicado para os campos ele´tricos,
ou seja, o campo ele´trico resultante em um ponto P qualquer sera´ a soma
dos campos ele´tricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En
3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga
Figura 3.1: Distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga
Usando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o: ~E =
∫
d ~E =Ko
∫
dq
r2
rˆ
3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es:
a) linear: carga distribu´ıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
Densidade linear de carga = λ =
dq
dl
dq = λdl
22 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~E = Ko
∫
λdl
r2
rˆ
b) superficial: carga distribu´ıda ao longo de uma superf´ıcie(ex: disco,placa).
Densidade superficial de carga = σ =
dq
ds
dq = λds
~E = Ko
∫
σds
r2
rˆ
c) volume´trica: carga distribu´ıda no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
Densidade volume´trica de carga = ρ =
dq
dv
dq = ρdv
~E = Ko
∫
ρdv
r2
rˆ
Exerc´ıcio 3.1. Determinar o campo ele´trico no ponto P.
Figura 3.2: Determinac¸a˜o do campo no ponto P
Resoluc¸a˜o. Se tomarmos limite quando b>>L temos:
∣∣∣ ~EP ∣∣∣ = KoλLb2 = KoQb2 NC
= carga pontual
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 23
Colocando uma carga q no ponto P, a forc¸a e´ dada por:
~F = q ~EP = qKo
λL
b(b− L) iˆN
Quando lim b >> L temos:
~F = Ko
qQ
b2
iˆ = forc¸a de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
Observac¸a˜o 3.2. So´ funciona para mate´rias isolantes. Com os metais ter´ıamos
uma redistribuic¸a˜o de carga no condutor quando a presenc¸a da carga q.
Exerc´ıcio 3.2. Determinar o campo ele´trico no ponto P.
Figura 3.3: Determinac¸a˜o do campo no ponto P
24 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Exerc´ıcio 3.3. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resoluc¸a˜o.
‖~r‖ = z2 +R2 dl = Rdθ
dEz = dE cosα =
λRdθ
z2 +R2
z√
z2 +R2
Por simetria so´ teremos componente na direc¸a˜o z.
~E = k0
2pi∫
0
z√
z2 +R2
λRdθ
z2 +R2
kˆ ⇒ ~E = k0 zRλ2pi
(z2 +R2)
3
2
kˆ
~E =
2pik0λRz
(z2 +R2)
3
2
kˆ
(
N
C
)
=
Qzλ
(z2 +R2)
3
2
kˆ
Analisando os limites R →∞ e z >> R:
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 25
z >> R : E =
2piλRk0z
z3
=
k0Q
z2
= carga puntual
R→∞:E→ 0, com 1
R3
se Q for fixa
com
1
R3
se λ constante
Exerc´ıcio 3.4. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resoluc¸a˜o. Pela simetria so´ temos componente na direc¸a˜o z.
26 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
ds = rdθdr
dEz = dE cosα = dE
z√
r2 + z2
Ez = k0
2pi∫
0
R∫
0
zσrdθdr√
r2 + z2 (r2 + z2)
= k0zσ2pi
R∫
0
rdr
(r2 + z2)
3
2
r2 + z2 = u du = 2rdr
Ez = k0zσ2pi
R2+z2∫
z2
du
(u)
3
2
= k0zσpi
u
−1
2
−1
2
∣∣∣∣∣
R2+z2
z2
Ez = −k0zσ2pi
(
1√
R2 + z2
− 1|z|
)
= 2pik0σ
(
z
|z| −
z√
R2 + z2
)
Analisando os limites:
z << R : Ez =
σ
2ε0
z
|z|
~E =

σ
2ε0
, z > 0
− σ
2ε0
, z < 0
z >> R :
1− z√
z2 +R2
= 1 +
(
1 +
R2
z2
)− 1
2
= 1−
(
1− 1
2
R2
z2
+ ...
)
≈ 1
2
R2
z2
⇒ Ez = σ
2ε0
R2
2z2
=
σpiR2
4piε0z2
=
Q
4piε0z2
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 27
Ez =

σ
2ε0
(
1− z√
z2 +R2
)
, z > 0
σ
2ε0
(
−1− z√
z2 +R2
)
, z < 0
Fazendo os gra´ficos:
z << R
Figura 3.6: Gra´fico para z << R
z >> R
Figura 3.7: Gra´fico para z >> R
28 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
3.3 Linhas de Forc¸as
Os esquemas mais utilizados para a representac¸a˜o e visualizac¸a˜o de um campo
ele´trico sa˜o:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espac¸o
Figura 3.8: Linhas de forc¸a-vetores
Quando q > 0 o campo e´ divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de forc¸a de um campo, ou simplesmente linhas de campo sa˜o retas
ou curvas imagina´rias desenhadas numa regia˜o do espac¸o, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direc¸a˜o e o sentido do vetor campo ele´trico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direc¸a˜o e o sentido, mas na˜o o mo´dulo. No
entanto, e´ poss´ıvel ter uma ide´ia qualitativa do mo´dulo analisando as linhas.
A magnitude do campo e´ indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atenc¸a˜o: o desenho esta´ definido em duas dimenso˜es, mas na realidade
representa as treˆs dimenso˜es.
3.3. LINHAS DE FORC¸AS 29
Figura 3.9: Linhas de forc¸a de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considera´ssemos duas dimenso˜es, a densidade de linhas que passam
atrave´s de uma circunfereˆncia seria igual a
n
2pir
, o que faria com que
E ∝ 1
r
Caso 3D a densidade seria igual a
n
4pir2
e
E ∝ 1
r2
30 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
, o que e´ correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contra´rio, ter´ıamos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto na˜o faz sentido pois
o campo que elas significam e´ sempre o resultante.
2) As linhas de campo comec¸am na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O nu´mero de linhas e´ proporcional ao mo´dulo das cargas.
Q1
Q2
=
n1
n2
Figura 3.11: Linhas de Campo
Exemplo 3.2.
3.4 Fluxo
Consideremos uma regia˜o no espac¸o, onde existe um campo ele´trico como na
figura abaixo:
Uma superf´ıcie de a´rea A perpendicular a direc¸a˜o de E.
O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´: f = EA
3.4. FLUXO 31
Figura 3.12: Fluxo na a´rea A
Se esta superf´ıcie estiver na mesma direc¸a˜o de
~E
(
~a⊥ ~E
)
Figura 3.13: Fluxo na a´rea A
Se esta superf´ıcie estiver inclinada em relac¸a˜o as linhas de campo em um
aˆngulo θ
Considere agora, uma superf´ıcie fechada qualquer. Divida a superf´ıcie em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor
32 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.14: Fluxo na a´rea A
campo na˜o varie apreciavelmente sobre um trecho.
Na˜o deixe que a superf´ıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superf´ıcie
A a´rea de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direc¸a˜o e sentido, a normala` superf´ıcie orientada para fora. Para cada
trecho, temos um vetor
→
a j que define sua a´rea e orientac¸a˜o.
3.5. LEI DE GAUSS 33
O fluxo atrave´s desse pedac¸o de superf´ıcie e´ dado por: Φ =
→
Ej .
→
a j
E o fluxo atrave´s de toda a superf´ıcie: Φ =
∑
j
→
Ej .
→
a j
Tornando os trechos menores, temos: Φ =
∫ →
E .d
→
a em toda a superf´ıcie
3.5 Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples poss´ıvel: o campo de uma u´nica carga punti-
forme. Qual e´ o fluxo Φ atrave´s de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme
34 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~E = k0
q
r2
rˆ
d~a = r2senθdθdϕrˆ
Φ =
∮
s
~E · d~a =
∫∫
©
s
k0
q
r2
r2senθdθdϕrˆ
= k0q
pi∫
0
2pi∫
0
senθdθdϕ =
= 4pik0q =
4piq
4piε0
=
q
ε0
Ou simplesmente:
E × area total = k0 q
r2
4pir2 =
q
ε0
Portanto o fluxo na˜o depende do tamanho da superf´ıcie gaussiana.
Agora imagine uma segunda superf´ıcie, ou bala˜o, mas na˜o esfe´rica envol-
vendo a superf´ıcie anterior. O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´ o mesmo do
que atrave´s da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme
3.5. LEI DE GAUSS 35
Para ver isto podemos considerar a definic¸a˜o de linhas de campo:
O nu´mero de linhas que atravessam as duas superf´ıcies e´ o mesmo.
Ou enta˜o podemos considerar um cone com ve´rtice em q.
Figura 3.18: Comparac¸a˜o de fluxos
O fluxo de um campo ele´trico atrave´s de qualquer superf´ıcie que envolve
uma carga puntiforme e´
q
εo
Corola´rio 3.1. Fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ nulo quando a carga
e´ externa a` superf´ıcie.
O fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna na˜o variar.
Superposic¸a˜o:
Considere um certo nu´mero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada
uma
~E1, ~E2, ..., ~En
O fluxo Φ , atrave´s de uma superf´ıcie fechada S, do campo total pode ser
escrito:
36 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Φ =
∮
S
~E · d~s =
∮
S
( ~E1 + ~E2 + ...+ ~En)·d~s∮
S
~Ei · d~s = qi
ε0
⇒ Φ = q1 + q2 + ...+ qn
ε0
=
qint
ε0
LEI DE GAUSS:
O fluxo do campo ele´trico
→
E atrave´s de qualquer superf´ıcie fechada e´ igual
a` carga interna dividida por �0 .∮
S
~Ei · d~s = qint
ε0
Pergunta: A lei de Gauss seria va´lida se∣∣∣ ~E∣∣∣ ∝ 1
r3
?
Na˜o, pois:
Φ = ~E · ~A = EAtotal = k0 q
r3
4pir2 =
q
ε0r
Por meio da lei de Gauss e´ poss´ıvel calcular a carga existente numa regia˜o
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, pore´m limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regio˜es para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superf´ıcies gaussianas observando a simetria do problema,
preferencialmente com E perpendicular e constante ou
→
E paralelo.
3) Calcule
Φ =
∮
S
~Ei · d~s
3.6. APLICAC¸O˜ES DA LEI DE GAUSS 37
4) Calcule qint
5) Aplique a Lei de Gauss para obter
→
E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss
E´ essencial que a distribuic¸a˜o tenha elemento de simetria (plana, axial,
esfe´rica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atrave´s de uma
superf´ıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime-
tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superf´ıcie.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cil´ındrico de densidade linear λ
Casca Esfe´rica
O campo ele´trico externo a` camada e´ o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELE´TRICO NA SUPERFI´CIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equil´ıbrio na˜o pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a ac¸a˜o do campo, rompendo o equil´ıbrio esta´tico. So´ e´
poss´ıvel ter componente do campo normal a` superf´ıcie.
38 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cil´ındrico de densidade linear λ
3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de
Poisson
A lei de Gauss e´ um indicador global de presenc¸a de cargas:
Φ =
∮
S
~E · d~s = qint
ε0
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 39
Figura 3.22: Casca esfe´rica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presenc¸a de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume e´ ρ∆V, enta˜o:
Φ∆Σ =
∮
∆Σ
~E.d~s =
qint
ε0
=
∫
V
ρ∆V
ε0
⇒ 1
∆V
∮
~E.d~s =
1
∆V
∫
V
ρ∆V
ε0
lim
∆V→0
1
∆V
∮
∆Σ
~E.d~s =
ρ(P )
ε0
(3.4)
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde-
pende de ∆Σ e e´ uma caracter´ıstica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergeˆncia como sendo:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim
∆V→0
1
∆V
∮
~v.d~s
onde ∆V e´ um volume arbitra´rio que envolve o ponto P e d
→
s (elemento
orientado de superf´ıcie).
De acordo com a Equac¸a˜o 3.4
40 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicac¸a˜o da Lei de Gauss
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 41
Figura 3.24: Continuac¸a˜o
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
~∇. ~E = ρ
εo
Equac¸a˜o de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
O divergente de
→
E num ponto P e´ o fluxo para fora de
→
E por unidade de
volume nas vizinhanc¸as do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente no´s temos que calcular pela
definic¸a˜o?
42 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.26: Paralelep´ıpedo infinitesimal
~∇.~v = lim
∆V→0
1
∆V
∮
~v.d~s
Na˜o. Vamos ver a forma do
~∇.~v
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definic¸a˜o ∆V e´ qualquer. Vamos considerar um paralelep´ıpedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
Vamos calcular o fluxo de
→
v na face 2:
vx(2).∆y.∆z
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 43
Fluxo
→
v na face 1:
−vx(1).∆y.∆z
Observe que vx(2) 6= vx(1)
vx(2) = vx(x+
1
2
∆x, y, z) = vx(x+ y + z) +
1
2
∂vx
∂x
∆x
vx(1) = vx(x− 1
2
∆x, y, z) = vx(x+ y + z)− 1
2
∂vx
∂x
∆x
Fluxo sobre 1 e 2:
∑
fluxos =
∂vx
∂x
∆x∆y∆z
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
Φtotal =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆x∆y∆z
Φtotal =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆V
Φtotal = ∂
∮
~v • d~s =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆V
Superf´ıcie infinitesimal = ∆Σ
~∇~v = ∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
~∇~v∆V =
∫
V
~∇~vdV
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri-
buic¸o˜es a`s superf´ıcies internas sa˜o iguais a zero.
44 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
∑
i
∮
∆
P
i
~vd~s =
∮
S
~vd~s
∫
V
~∇~vdV =
∮
S
~vd~s
Vimos que a definic¸a˜o de divergente e´:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim
∆Vi→0
1
Vi
∮
Si
~v.d~si
sendo
→
v um campo vetorial qualquer, Vi e´ o volume que inclui o ponto
em questa˜o e Si a superf´ıcie que envolve este volume Vi.
Significado de
→
∇ . →v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi-
nite´simo;
b) Densidade de fluxo desse valor atrave´s da regia˜o;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
Φ =
∮
S
~Fd~s =
n∑
i=1
∮
Si
~Fd~si =
n∑
i=1
∆Vi
∮
Si
~Fd~si
∆Vi
Fazendo lim
N→∞
e Vi −→ 0∮
S
~Fd~s =
∫
V
~∇~FdV
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergeˆncia
Ja´ t´ınhamos visto a equac¸a˜o de Poisson:3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
~∇. ~E = ρ
εo
Vamos usar o teorema da divergeˆncia para chegar neste resultado:
∮
s
~Ed~s =
∫
V
ρdV
ε0
Pelo teorema da divergeˆncia:∮
s
~Ed~s =
∫
V
~∇ ~EdV = 1
ε0
∫
V
ρdV
Como o volume e´ qualquer, temos:
~∇. ~E = ρ
εo
sendo a relac¸a˜o local entre densidade de carga e campo ele´trico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente
46 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ
~∇~F = lim
Vi→0
1
Vi
∮
si
~Fd~si
Queremos saber o
→
∇ .
→
F no ponto P
Sabemos que:
∂Fy
∂y
=
Fy(x, y + ∆y, z)− Fy(x, y, z)
∆y
Fy(x, y + ∆y/2, z) = Fy(x, y, z) +
∂Fy
∂y
∆y
2
Fluxo por 2:
~F ~A = Fy(x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =
(
Fy(x, y, z) +
∂Fy
∂y
∆y
2
)
∆x∆z
Fluxo por 1:
~F ~A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = −
(
Fy(x, y, z)− ∂Fy
∂y
∆y
2
)
∆x∆z
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∂Fy
∂y
∆x∆y∆
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂Fx
∂x
∆x∆y∆z
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂Fz
∂z
∆x∆y∆z
Figura 3.28: Superf´ıcies consideradas
Fluxo total que sai do volume Vi(
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
)
∆x∆y∆z
~∇~F = lim
∆Vi→0
1
∆Vi
(
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
)
∆Vi =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ
Operador nabla: ~∇ = ∂
∂x
iˆ+
∂
∂y
jˆ +
∂
∂z
kˆ
Em coordenadas esfe´ricas: (r,θ,ϕ):
~∇~F = 1
r2
∂
∂r
(r2Fr) +
1
rsenθ
∂
∂θ
(senθFθ) +
1
rsenθ
∂Fϕ
∂ϕ
Em coordenadas cil´ındricas: (r,ϕ,z):
~∇~F = 1
r
∂
∂r
(rFr) +
1
ρ
∂Fϕ
∂ϕ
+
∂Fz
∂z
48 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volume´trica de cargas posi-
tivas uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volume´trica de cargas uniforme
Resoluc¸a˜o.
E2pirL =
ρpir2L
ε0
↔ E2pirL = ρpia
2L
ε0
−→
E =
ρr
2ε0
rˆ (r < a)↔ E2pirL = ρpia
2L
ε0
~∇ ~E (r < a) = 1
r
∂
∂r
(rEr) =
1
r
∂
∂r
(
r
ρr
2ε0
)
~∇ ~E = ρ
ε0
~∇ ~E (r > a) = 1
r
∂
∂r
(rEr) =
1
r
∂
∂r
(
r
ρa2
2ε0r
)
~∇ ~E = 0
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo so´ e´ diferente de zero onde ha´ carga!
CARGA PONTIFORME
~E =
1
4piε0
q
r2
rˆ
~∇ ~E = q
4piε0
1
r2
∂
∂r
(r2Er) = 0 , r 6= 0
Na˜o faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja´ que
ela gera o campo.
50 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Cap´ıtulo 4
Potencial Eletrosta´tico
4.1 Introduc¸a˜o
A utilizac¸a˜o do campo ele´trico, como visto no cap´ıtulo anterior, para re-
soluc¸a˜o de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao
fato de o campo ele´trico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial
ele´trico entra como uma excelente forma de simplificar os ca´lculos a serem
realizados e possibilitar a resoluc¸a˜o de problemas ainda mais omplexos de
eletrosta´tica.
Inicialmente, pore´m, relembremos alguns conceitos ba´sicos:
4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica
Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado
por uma forc¸a ao longo deste caminho de P1 a P2 e´:
W
(c)
P1→P2 =
P2∫
P1(c)
~F ·d~l
Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cine´tica temos:
51
52 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
∆T = W
(c)
P1→P2
T2 − T1 = W (c)P1→P2
Ou seja, o trabalho e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica entre os pontos.
Assim temos que, se a forc¸a ~F for conservativa, pela conservac¸a˜o da energia
mecaˆnica temos:
∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0
WP1→P2 = −∆U
∆U = −
P2∫
P1
~F ·d~l
Que so´ depende dos pontos inicial e final.
4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico
Logo, assim como associamos a` forc¸a Peso um campo escalar U da energia
potencial gravitacional, podemos associar a` forc¸a eletrosta´tica um campo
escalar V, pois esse se trata tambe´m de um campo conservativo, da seguinte
forma:
W =
B∫
A
~Fele · d~l
∆U = −
B∫
A
q ~E · d~l (4.1)
4.2. DEFINIC¸A˜O DO POTENCIAL ELETROSTA´TICO 53
O que nos leva a`
∆V =
∆U
q
= −−
B∫
A
~E · d~l (4.2)
Ou seja
Potencial =
EnergiaPotencialEletrostatica
carga
Pore´m a escolha do n´ıvel o qual o poteˆncial e´ nulo e´ arbitra´rio, sendo
normalmente escolhido o infinito, assim, e´ conveniente escolher V (∞) = 0.
Exemplo:
4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por
uma carga pontual q
Sabe-se que:
~E =
1
4piε0
q
r2
rˆ
Logo:
V (r2)− V (r1) = −
P2∫
P1
~E·d~l = −
P2∫
P1
1
4piε0
q
r2
dr =
q
4piε0
(
1
r2
− 1
r1
)
Enta˜o, estabelecendo r1 →∞ e V (∞) = 0 temos que:
V (r) =
q
4piε0
1
r
54 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial
Como vimos, definimos o potencial eletrosta´tico atrave´s do campo ele´trico,
mas, dado o potencial e´ poss´ıvel obter o campo ele´trico?
A resposta e´ sim, da seguinte forma:
Sabe-se pelo teorema do gradiente que:
∆V = −
P2∫
P1
~∇V ·d~l
Mas:
∆V = −
P2∫
P1
~E·d~l
Logo, como a igualdade e´ verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2,
temos:
~E = −~∇V (4.3)
que nos da´ o vetor campo ele´trico a partir do campo escalar V. Vale notar
que isso so´ e´ poss´ıvel devido ao fato de o campo ele´trico ser conservativo.
4.3.1 Equipontenciais
Nesse momento, faz-se necessa´rio introduzir o conceito de equipontenciais.
Basicamente, as equipotenciais sa˜o regio˜es com o mesmo potencial eletrosta´tico.
Ale´m disso, deve-se notar que a equac¸a˜o dV = ~E · d~l implica que, se ~E⊥d~l:
dV = 0⇒ V = cte
Logo, as equipotenciais sa˜o perpendiculares ao campo.
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 55
4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas
O ca´lculo do potencial e´, muitas vezes, menos trabalhoso que o ca´lculo do
campo ele´trico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular
o potencial ele´trosta´tico e alguns exemplos de aplicac¸a˜o. Sempre lembrando
que ~E = −~∇V
Sabe-se, como o princ´ıpio da superposic¸a˜o e´ va´lido para o campo ele´trico,
o mesmo acontece para o campo eletrosta´tico, assim temos que:
Figura 4.1: Esquema
V (P ) =
n∑
i=1
qi
4piε0ri
Logo:
V (P ) =
1
4piε0
∫
dq
r
(4.4)
Que, Para uma distribuic¸a˜o:
Volume´trica: dq = ρdv
Superficial: dq = σdS
Linear: dq = λdl
Agora, vejamos alguns exemplos de aplicac¸a˜o:
56 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado
Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ
Assim:
V (P ) =
1
4piε0
2pi∫
0
λρdθ
(ρ2 + z2)1/2
V (P ) =
Q
4piε0 (ρ2 + z2)
1/2
Assim, como ~E = −~∇V , enta˜o:
~E =
Qz
4piε0 (ρ2 + z2)
3/2
zˆ
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia
z do centro
Como dq = σds = σr′dr′dθ e r = (z2 + r′2)1/2 enta˜o:
V =
1
4piε0
2pi∫
0
R∫
0
σr′dr′dθ
(z2 + r′2)1/2
=
piσ
4piε0
R∫
0
2r′dr′
(z2 + r′2)1/2
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 57
Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ
V =
σ
4ε0
[
2(z2 + r′2)1/2
]R
0
=
σ
2ε0
[√
z2 +R2 − |z|
]
Vale notar que, se lim |z| >> R enta˜o:
√
z2 +R2 = |z|
(
1 +
(
R
z
)2)1/2
= |z|
(
1 +
1
2
R2
z2
+ ...
)
Logo:
V ≈ σ
2ε0
R2
z |z| =
1
4piε0
Q
|z|
Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele ira´ se comportar
cada vez mais com uma carga pontual. Ale´m disso podemos obter ~E:
~E = − ∂
∂z
V =
σ
2ε0
[
z
|z| −
z√
R2 + z2
]
Desse exemplo no´spodemos tirar algumas concluso˜es:
58 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
⇒ Normalmente e´ mais dif´ıcil achar o potencial em outros pontos fora do
eixo de simetria, pois a integral na˜o e´ ta˜o simples apesar de bem conhecida
e tabelada (integrais el´ıpticas).
⇒ O campo, assim como o poteˆncial, pode ser dif´ıcil de calcular caso na˜o
haja simetria. Ale´m disso, ambos o potencial e o campo ele´trico se aproxi-
mam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distaˆncia.
Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco:
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo
Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ
Assim:
dq = σr(2θ)dr
V =
1
4piε0
∫
dq
r
V =
1
4piε0
∫
σ(2θ)dr
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 59
Pore´m, pela geometria do triaˆngulo:
r = 2R cos θ
dr = −2Rsenθdθ
Logo:
V =
1
4piε0
0∫
pi/2
σ2θ(−2Rsenθ)dθ = Rσ
piε0
pi/2∫
0
θsenθdθ =
Rσ
piε0
[senθ − θ cos θ]pi/20
Vborda =
Rσ
piε0
4.4.4 Casca esfe´rica
Temos:
r2 = z2 +R2 − 2zR cos θ
dq = σds = σR2senθdθdφ
Assim:
V (z) =
1
4piε0
2pi∫
0
pi∫
0
σR2senθdθdφ
(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2
V (z) =
2piσR22
4piε02zR
[
(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2]pi
0
V (z) =
σR
ε02z
[√
z2 +R2 + 2zR−
√
z2 +R2 − 2zR
]
=
σR
ε02z
[√
(z +R)2 −
√
(z −R)2
]
sez > R⇒ z −R > 0⇒
√
(z −R)2 = z −R⇒ V (z) = σR
2
ε0z
sez < R⇒ z−R < 0⇒
√
(z −R)2 = −(z−R)⇒ V (z) = σR
2ε0z
[z +R− (R− z)] = σR
ε0
60 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ
O potencial dentro da esfera e´ constante. Assim temos:
V (z) =
{
σR2
εoz
= Q
4piεoz
,r > R
σR
εo
= Q
4piεoR
,r < R
e E(z) =
{
Q
4piεoz2
,r > R
0,r < R
Podemos enta˜o, construir os gra´ficos de E e V em func¸a˜o de r obtendo
assim:
4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos
campos ele´tricos
Por definic¸a˜o, um dipolo ele´trico esta´ relacionado com o potencial ele´trico
gerado por um sistema de duas cargas.
Exemplo: Encontre o potencial ele´trico em um ponto arbitra´rio no eixo
x.
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS61
Figura 4.6: gra´fico de E e V por r
Figura 4.7: Esquema
Assim:
V (x) =
1
4piε0
q
|x− a| +
1
4piε0
(−q)
|x− a| =
q
4piε0
[
1
|x− a| −
1
|x− a|
]
Que, sendo V0 =
q
4piε0a
enta˜o:
V (x)
V0
=
1∣∣x
a
− 1∣∣ − 1∣∣x
a
− 1∣∣
Assim pode-se construir o gra´fico:
62 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Figura 4.8: Gra´fico de V/V0 em func¸a˜o de x
Que diverge no local onde as cargas se encontram.
Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posic¸a˜o de refereˆncia
sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos:
Figura 4.9: Esquema
V =
q
4piε0
[
1
r+
− 1
r−
]
Mas r2± = r
2 + a2∓ 2ra cos θ. Considerando uma posic¸a˜o na qual r >> a
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS63
temos:
1
r±
=
(
r2 + a2 ∓ 2ra cos θ)−1/2 = 1
r
1 + (a
r
)2
∓ 2a
r
cos θ︸ ︷︷ ︸
x

−1/2
mas se x << 1 enta˜o (1 + x)−
1/2 ' 1− 1
2
x, e como a
r
<< 1 enta˜o:
1
r±
=
1
r
(
1− 1
2
(a
r
)2
± a
r
cos θ
)
Logo:
V ≈ q
4piε0r
[
1− 1
2
(a
r
)2
+
a
r
cos θ − 1 + 1
2
(a
r
)2
+
a
r
cos θ
]
≈ q2a cos θ
4piε0r2
=
p cos θ
4piε0r2
=
⇀
p·rˆ
4piε0r2
Na qual
⇀
p = 2aqkˆ e´ o momento dipolo ele´trico.
Vale notar tambe´m que V cai com r2 e na˜o com r, o que e´ razoa´vel, que
V decresc¸a mais ra´pido que o potencial de uma u´nica carga, pois conforme
estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma
pequena unidade de carga zero.
Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esfe´ricas
e´ dado por:
~∇ = ∂
∂r
rˆ +
1
r
∂
∂θ
θˆ +
1
r sin θ
∂
∂ϕ
ϕˆ
Enta˜o:
Er = −∂V
∂r
= +
p cos θ
2piε0r3
, Eθ = −1
r
∂V
∂θ
= +
1
r
p sin θ
4piε0r2
= +
p sin θ
4piε0r3
64 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
~E =
p cos θ
2piε0r3
rˆ +
p sin θ
4piε0r3
θˆ
A seguir faremos uma ana´lise mais aprofundada do assunto, aplicando o
mesmo racioc´ınio anterior, poderemos deduzir que:
Em monopolo V cai com 1/r
Em um dipolo V cai com 1/r2
Em um quadripolo V cai com 1/r3
E assim sucessivamente...
Consideremos agora uma distribuic¸a˜o de cargas na vizinhanc¸a na ori-
gem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por
uma esfera de raio a que e´ pequeno comparado a` distaˆncia ate´ o ponto de
observac¸a˜o. Assim temos que:
Figura 4.10: Esquema
Na qual ρ = ρ(r′). Logo:
V (r) =
1
4piε0
∫
V
ρ(r′)
|~r − ~r′|dv
′
Mas,se r >> r′
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS65
|~r − ~r′|−1 = (r2 − 2~r.~r′ + r′2)−1/2 = 1
r
(
1− 2~r.~r
′
r2
+
(
r′
r
)2)−1/2
|~r − ~r′|−1 ≈ 1
r
(
1− 1
2
(
−2~r.~r
′
r2
+
r′2
r2
))
≈ 1
r︸︷︷︸
Potencialdemonopolo
+
~r.~r′
r3︸︷︷︸
Potencialdedipolo,sendo~p=~r′q→ ~p.rˆ
r2
+...
Logo, O potencial devido a` uma distribuic¸a˜o de carga arbitra´ria pode
sempre ser expresso em termos de uma expansa˜o de multipo´los. Assim, pela
Lei dos Cossenos: |~r′ − ~r|︸ ︷︷ ︸
r
2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′
Note que foram definidos duas distaˆncias, uma r e outra r na˜o se confunda!
r2 = r2
(
1 +
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
)
r = r
(
1 +
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
)1/2
r = r (1+ ∈)1/2 , ∈=
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
Logo:
1
r
=
1
r
(1+ ∈)−1/2 = 1
r
[
1− 1
2
∈ +3
8
∈2 − 5
16
∈3 +...
]
66 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
=
1
r
[
1− 1
2
(
r′
r
)2
+
r′
r
cos θ′ +
3
8
(
r′
r
)4
+
3
2
(
r′
r
)2
cos2 θ′ − 3
2
(
r′
r
)3
cos θ′ + ...
]
=
1
r
[
1 +
r′
r
cos θ′ +
(
r′
r
)2
(3 cos2 θ′ − 1)
2
+ ...
]
Que, utilizando enta˜o os polinoˆmios de Legendre:
Pl(x) =
1
2ll!
(
d
dx
)l (
x2 − 1)l
Podemos escrever:
1
r
=
1
r
∞∑
n=0
Pn (cos θ
′)
(
r′
r
)n
Logo:
V (r) =
1
4piε0
∫
ρ(r′)dv′
r
∞∑
n=0
Pn (cos θ
′)
(
r′
r
)n
V (r) =
1
4piε0
∞∑
n=0
1
rn+1
∫
(r′)n Pn (cos θ′) ρ(r′)dv′
Note que temos agora a expansa˜o multipolar do potencial em termos de
1/r, na qual: n = 0, contribuic¸a˜o de monopo´lo
n = 1, dipolo
n = 2, quadrupolo
Com o menor termo na˜o nulo da expansa˜o nos da´ aproximadamente o
potencial a grandes distaˆncias, e os termos sucessivos aumentam a precisa˜o
do resultado.
Nota-se tambe´m que o termo de dipolo e´ dado por:
Vdip =
1
4piεo
1
r2
rˆ ·
∫
~r′ρ (r′) dr′︸ ︷︷ ︸
~p=momentode
dipolodadistribuicao
4.6. CIRCULAC¸A˜O DO CAMPO ELE´TRICO 67
pois r′ cos θ = ~r′ · rˆ
4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico
Como visto no cap´ıtulo zero sabemos que:∮
Γi
~c.d~l =
(
~∇x~c
)
.nˆ∆S
Onde ~c e´ um campo vetorial qualquer.
Dessa forma, como sabemos que∮
Γ
~E.d~l = 0,∀Γ
Enta˜o: ∫
S
(
~∇x ~E
)
.d~s = 0,∀S
~∇x ~E = 0
Essa equac¸a˜o resume basicamente toda a eletrosta´tica, visto que, ela mos-
tra que o campo ele´trico e´ conservativo (na eletrosta´tica) e permite que o
campo ele´trico seja o gradiente de uma func¸a˜o potencial, visto que ~∇x~∇V = 0
(o rotacional de um gradiente e´ sempre nulo).
68 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Cap´ıtulo 5
Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e
Energia
5.1 Introduc¸a˜o
Neste momento, ja´ foram vistaspraticamente todas as equac¸o˜es e fo´rmulas
referentes a` eletrosta´tica. Dessa forma, nesse cap´ıtulo estudaremos algumas
das relac¸o˜es entre o poteˆncial eletrosta´tico, o campo ele´trico e as densidades
de carga dos corpos. Ale´m disso, sera˜o abordadas as equac¸o˜es de Laplace
e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar ca´lculos, as condic¸o˜es
de contorno da eletrosta´tica e as equac¸o˜es que fornecem a energia potencial
eletrosta´tica de um configurac¸a˜o de cargas
5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson
Como ja´ vimos:
~∇× ~E = 0 (5.1)
~∇· ~E = ρ
ε0
(5.2)
69
70 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, vimos que:
~∇× ~E = 0 Permite→ ~E = −~∇V (5.3)
Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:
~∇·~∇V = − ρ
ε0
~∇2V = − ρ
ε0
(5.4)
A equac¸a˜o acima e´ chamada equac¸a˜o de Poisson e relaciona o potencial
eletrosta´tico com a densidade de carga pontual. Com ela e´ poss´ıvel calcular,
em cada ponto, o potencial eletrosta´tico, desde que se conhec¸am as condic¸o˜es
de contorno do problema, de forma a resolver as equac¸o˜es diferenciais que
sera˜o obtidas.
A equac¸a˜o de Laplace vem diretamente da equac¸a˜o de Poisson, quando
ρ = 0. Assim:
~∇2V = 0 (5.5)
5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica
A partir de duas observac¸o˜es experimentais, notadamente o princ´ıpio da
superposic¸a˜o e a Lei de Coulomb, foi poss´ıvel depreender todas as outras
fo´rmulas da eletrosta´tica. Abaixo, segue um resumo de todas as equac¸o˜es
vistas ate´ aqui:
5.4 Condic¸o˜es de Contorno
Definidas as equac¸o˜es de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que
forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 71
Figura 5.1: Equac¸o˜es da eletrosta´tica
dessas formas ja´ foram comentadas.
5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de
uma superf´ıcie carregada
No´s notamos estudando alguns exemplos que o campo ele´trico apresenta em
alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superf´ıcie
carregada. Imagine uma superf´ıcie arbitra´ria
Considere a gaussiana desenhada com a´rea A extremamente pequena e
espessura �. Assim, pela lei de Gauss temos:∮
S
~E·d~S = qint
ε0
=
σA
ε0
Os lados na˜o contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De
forma que quando ε→ 0:
Em particular, quando na˜o ha´ uma superf´ıcie carregada E⊥ e´ cont´ınua,
72 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Figura 5.2: Esquema de uma superf´ıcie carregada com uma gaussiana
Figura 5.3: A componente normal de ~E e´ descont´ınua
exemplo: esfera so´lida uniformemente carregada.
Consideremos agora a circulac¸a˜o de E na mesma superf´ıcie:∮
~E·d~l = 0
quando ε→ 0. Assim:
~E
‖
acima·d~l1 + ~E‖abaixo·d~l2 = 0
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 73
d~l1 = −d~l2 → ~E‖acima = ~E‖abaixo
Logo a componente paralela do campo e´ cont´ınua, enta˜o:
~Eacima− ~Eabaixo =
σ
ε0
nˆ (5.6)
onde nˆ e´ o vetor unita´rio perpendicular a` superf´ıcie de cima para baixo.
5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais
Ao contra´rio do que acontece com o campo, o potencial e´ cont´ınuo, pois:
∆V = −
b∫
a
~E·d~l
Vb − Va = −
b∫
a
~E·d~l
E quando ε→ 0 enta˜o
b∫
a
~E·d~l→ 0, Logo
Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7)
5.4.3 Alguns outros comenta´rios
Ale´m das condic¸o˜es ja´ mencionadas, vale lembrar tambe´m de alguns pontos:
* Ja´ vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha´ distribuic¸a˜o
de cargas na˜o pontual V 6=∞
74 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de
Poisson e Laplace
Com as condic¸o˜es de contorno em ma˜os, somos capazes de aplicar as equac¸o˜es
de Poisson e Laplace para alguns exemplos.
5.5.1 Exemplo 1
Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0
e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual
a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas
situac¸o˜es: Densidade de carga entre as placas igual a` zero; Densidade de
carga entre as placas e´ contante igual a` ρ.
Figura 5.4: Esquema
No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equac¸a˜o de Laplace:
∇2V = d
2V
dx2
= 0
Logo:
V = ax+ b
Assim, pelas condic¸o˜es do problema, como para x = 0, V = V0, enta˜o:
5.5. EXEMPLOS DE APLICAC¸A˜O DAS EQUAC¸O˜ES DE POISSON E LAPLACE75
b = V
Ale´m disso, como para x = L, V = 0, enta˜o
a = −V0
L
Logo:
V (x) = −V0
L
+ V
Podemos calcular tambe´m o campo, assim:
~E = − d
dx
(
−V0
L
x+ V0
)
iˆ =
V0
L
iˆ
No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equac¸a˜o de Poisson:
∇2V = −ρ0
ε0
→ d
2V
dx2
= −ρ0
ε0
Logo:
V = −ρ0x
2
2ε0
+ ax+ b
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:
{
V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0→ a = −V0
L
+ ρ0L
2ε0
Logo:
V (x) = −ρ0x
2
2ε0
+
(
−V0
L
+
ρ0L
2ε0
)
x+ V0
Tambe´m podemos calcular o potencial, assim:
76 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
~E = − d
dx
(
−ρ0x
2
2ε0
+
(
−V0
L
+
ρ0L
2ε0
)
x+ V0
)
iˆ =
(
ρ0
2ε0
x+
V0
L
− ρ0L
2ε0
)
iˆ
5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica
No´s vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre´-
estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuic¸a˜o qualquer de cargas?
5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distri-
buic¸a˜o de cargas
Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car-
gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posic¸o˜es,
formando uma configurac¸a˜o escolhida, assim:
Para trazer a primeira carga q1, W = 0
Para trazer a segunda carga, como:
V = −
r∫
∞
~E·d~l = 1
4piε0
q
r
temos; W = 1
4piε0
q1q2
r12
Para a terceira temos:W = q3
4piε0
(
q1
r13
+ q2
r23
)
Assim sucessivamente...
Logo, obtemos a energia potencial da configurac¸a˜o qualquer de cargas
pontuais:
U =
1
4piε0
∑
i<j
qiqj
rij
=
1
4piε0
1
2
∑
i
∑
j 6=i
qiqj
rij
(5.8)
Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somato´rio duplo,
temos os termos qiqj e qjqi que sa˜o contados duas vezes.
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 77
Percebe-se pela fo´rmula 5.8 pore´m, que:
∑
j 6=i
1
4piε0
qj
rij
Representa o poteˆncial de todas as outras cargas na posic¸a˜o da carga i.
Assim:
U =
1
2
∑
i
qiVi
representa a energia potencial eletrosta´tica na posic¸a˜o i. Logo, caso te-
nhamos uma distribuic¸a˜o cont´ınua, podemos extender o somato´rio para:
U =
1
2
∫
ρV dv (5.9)
5.6.2 Exemplo
Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e´
uma constante). Ache a energia da configurac¸a˜o.
Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse
pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l ou pelas
equac¸o˜es de Poisson e Laplace.
Resolvendo por V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l temos:
∫
S
~E·d~S = qint
ε0
E4pir2 =
1
ε0
R∫
0
kr4pir2dr
Efora =
k
ε0
R4
4r2
rˆ
78 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso;
E =
k
ε0
r4
4r2
→ Edentro = kr
2
4ε0
rˆ
Precisamos de V para valores de r < R, assim:
V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l = −
R∫
∞
~Efora·d~l −
r∫
R
~Eentre·d~l
V (r) = −
R∫
∞
kR4
4ε0r2
dr −
r∫
R
kr2
4ε0
dr =
k
12ε0
(4R3 − r3)
Com o potencial em ma˜os, podemos aplicar a equac¸a˜o 5.9, assim:
U =
1
2
∫
ρV dv
U =
1
2
R∫
0
2pi∫
0
pi∫
0
krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10)
Logo:
U =
1
2
R∫
0
4pi
k2r3
12ε0
(4R3 − r3)dr = pik
2
7ε0
R7
Caso quisessemos calcular pelas equac¸o˜esde Laplace e Poisson, temos:
Para r < R:
∇2V = − ρ
ε0
Para r > R:
∇2V = 0
Para o primeiro caso r < R temos:
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 79
V = V (r)→ ∂V
∂θ
=
∂V
∂ϕ
= 0
Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfe´ricas, com a con-
siderac¸a˜o acima, e´ dado por:
∇2V = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂V
∂r
)
Logo:
∇2V = 1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= − ρ
ε0
Assim, temos que:
1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= −kr
ε0
→ d
dr
(
r2
dV
dr
)
= −kr
3
ε0
r2
dV
dr
= −kr
4
4ε0
+ A→ dV
dr
= −kr
2
4ε0
+
A
r2
Logo:
Vdentro(r) = − kr
3
12ε0
− A
r
+B
Para r > R, temos que:
∇2V = 0
1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= 0→ r2dV
dr
= C
Vfora(r) = −C
r
+D
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:{
Vfora(∞) = 0
Vfora(R) = Vdentro(R)
80 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, como se trata de uma distribuic¸a˜o volume´tica:{
Efora(R) = Edentro(R)⇒ V ′fora(R) = V ′dentro(R)
V (0) 6=∞
Assim:
Vfora(∞) = 0→ D = 0
Vdentro(0) 6=∞→ A = 0
Vdentro(R) = Vfora(R)→ − kr24ε0
∣∣∣
r=R
= C
r2
∣∣
r=R
→ C = −kr4
4ε0
Logo:
B =
kR4
4ε0R
+
kR3
12ε0
=
kR3
3ε0
Dessa forma:
Vdentro(r) = − kr
3
12ε0
+
kR3
3ε0
=
k
12ε0
(4R3 − r3)
Vfora(r) =
kR4
4ε0r
Para o ca´lculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando-
se o mesmo resultado
5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico
Uma pergunta interessante de se fazer e´ onde esta´ localizada a energia ele-
trosta´tica?
Tambe´m poder´ıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado
de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a
combinac¸a˜o tem certa energia. E´ necessa´rio dizermos que a energia esta´
localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode
ser que estas perguntas na˜o fac¸am sentido, porque realmente so´ sabemos que a
energia se conserva. A ide´ia de que a energia esta´ localizada em alguma parte
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 81
na˜o e´ necessa´ria tambe´m pode aparecer. Mas sera´ mesmo que a pergunta
na˜o tem nenhuma utilidade?
Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta´ locali-
zada em certo lugar, como ocorre com a energia te´rmica. Enta˜o poder´ıamos
estender o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia com a ide´ia de que se a ener-
gia contida dentro de um volume dado varia, poder´ıamos explicar a variac¸a˜o
mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poder´ıamos cha-
mar de princ´ıpio de conservac¸a˜o local de energia. Esse princ´ıpio diria que a
energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui
para fora ou para dentro deste volume. Ter´ıamos, portanto, uma lei muito
mais detalhada que o simples enunciado da conservac¸a˜o de energia total.
Tambe´m ha´ uma causa f¨´ısicap¨ara que possamos decidir onde esta´ locali-
zada a energia. De acordo com a teoria da gravitac¸a˜o, toda massa e´ uma fonte
de atrac¸a˜o gravitacional. Tambe´m sabemos que se E=mc2, enta˜o massa e
energia sa˜o equivalentes. Toda energia e´ uma fonte de forc¸a gravitacional. Se
na˜o pude´ssemos localizar todas as massas na˜o poder´ıamos dizer onde esta˜o
localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitac¸a˜o estaria
incompleta. Se nos restringimos a` eletrosta´tica, na˜o ha´ maneira de decidir
onde esta´ a energia se na carga ou no campo.
Pore´m, com o atual conhecimento, na˜o somos ainda capazes de responder
a esses questionamentos, as equac¸o˜es de Maxwell para a eletrodinaˆmica sa˜o
necessa´rias para nos dar mais informac¸o˜es. Por enquanto ficaremos somente
com esta resposta:
A energia esta´ localizada no espac¸o onde esta´ o campo ele´trico. O que
e´ razoa´vel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos ele´tricos.
Quando a luz ou as ondas de ra´dio viajam de um ponto a outro, transpor-
tam sua energia com elas. Mas na˜o ha´ carga nas ondas. Desta forma, e´
interessante localizar a energia no campo eletromagne´tico e na˜o nas cargas.
Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrosta´tica em
func¸a˜o do campo ele´trico, assim, como:
82 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
∇2V = − ρ
ε0
enta˜o:
U =
1
2
∫
ρV dv = −ε0
2
∫
V∇2V dv
Mas, matematicamente temos:
V∇2V = V
(
∂2V
∂x2
+ ∂
2V
∂y2
+ ∂
2V
∂z2
)
=
= ∂
∂x
(
V ∂V
∂x
)− (∂V
∂x
)2
+ ∂
∂y
(
V ∂V
∂y
)
−
(
∂V
∂y
)2
+ ∂
∂z
(
V ∂V
∂z
)− (∂V
∂z
)2
=
= ~∇·(V ~∇V )− (~∇V )·(~∇V )
Logo;
U =
ε0
2
∫
(~∇V )·(~∇V )dv − ε0
2
∫
~∇·(V ~∇V )dv
Mas, pelo teorema da divergeˆncia, temos:∫
v
~∇·(V ~∇V )dv =
∮
s
(V ~∇V )·d~s
Agora, devemos fazer uma ra´pida ana´lise. Para uma distribuic¸a˜o finita
de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipo´teses (Se a carga total
for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Ale´m disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a
integral:
−ε0
2
∫
~∇·(V ~∇V )dv
e´ proporcional a` 1/r, assim, caso integremos no espac¸o, teremos que essa
integral se anula e:
U =
ε0
2
∫
R3
(~∇V )·(~∇V )dv
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 83
Logo, como ∇V = ~E, enta˜o:
U =
ε0
2
∫
R3
~E· ~Edv (5.11)
Nos da´ a energia potencial eletrosta´tica da configurac¸a˜o em func¸a˜o do
Campo ele´trico. Vale notar tambe´m que devemos integrar em todo o espac¸o,
e na˜o so´ na regia˜o que conte´m
5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princ´ıpio da superposic¸a˜o,
pore´m, devido ao fato da energia ser quadra´tica nos campos, ela na˜o obe-
dece o princ´ıpio da superposic¸a˜o, temos, pois, que:
Wtotal =
ε0
2
∫
E2dv =
ε0
2
∫
( ~E1 + ~E2)
2dv (5.12)
Vejamos um exemplo:
Considere duas cascas esfe´ricas conceˆntricas de raio a e b. Suponha que a
interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribu´ıdas
na superf´ıcie. Calcule a energia desta configurac¸a˜o. Assim:
U =
ε0
2
∫
R3
E2dv
Mas
E =

0, r < a
q
4piε0
1
r2
,a < r < b
0, r > b
Logo:
84 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
U =
ε0
2
b∫
a
q2
16pi2ε20
1
r4
r24pidr → U = q
2
8piε0
(
1
a
− 1
b
)
Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 =
ε0
2
∫
R3
E21dv e U2 =
ε0
2
∫
R3
E22dv
U 6= U1 + U2
Como era de se esperar, o princ´ıpio da superposic¸a˜o na˜o foi va´lido.
Cap´ıtulo 6
Condutores
6.1 Breve Introduc¸a˜o
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada ele´tron esta´ preso a um
particular a´tomo. Num condutor meta´lico, de forma diferente, um ou mais
ele´trons por a´tomo na˜o possuem restric¸o˜es quanto a movimentac¸a˜o atrave´s
do material. Eles esta˜o livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores l´ıquidos, como a a´gua com cloreto de so´dio, a´gua com sal
de cozinha, sa˜o os ı´ons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possu´ısse a proprie-
dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, na˜o existem
condutores perfeitos, mas muitas substaˆncias esta˜o muito pro´ximas de ser.
A partir dessa pequena definic¸a˜o, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrosta´ticas de condutores ideais. Elas sera˜o listadas logo abaixo.
6.2 Propriedades dos Condutores
Essas propriedades esta˜o relacionadas com condutores em equil´ıbrio ele-
trosta´tico, ou seja, quando na˜o ha´ movimento ordenado de cargas ele´tricas
no seu interior e na sua superf´ıcie. Seus ele´trons livres encontram-se em
85
86 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
movimento aleato´rio.
Propriedade 1 (Propriedade Ba´sica).Um condutor e´ um so´lido que possui
muitos ele´trons livres. Os ele´trons podem se deslocar no interior da mate´ria,
mas na˜o deixar a superf´ıcie.
Propriedade 2. O Campo ele´trico dentro do condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico e´ nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os ele´trons iriam se mover e na˜o es-
tariam na situac¸a˜o eletrosta´tica. Quando colocamos um condutor na presenc¸a
de um campo externo as cargas dentro do condutor tendera˜o a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volume´trica de carga dentro do con-
dutor e´ zero.( ρ = 0 dentro do condutor )
~∇ · ~E = ρ
ε0
, se ~E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor na˜o ha´ cargas.
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superf´ıcie do con-
dutor.
Propriedade 5. O condutor e´ uma equipotencial.
Se ~E = 0 dentro do condutor, enta˜o ~E = −~∇V
Propriedade 6. ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,∮
~E · d~l = 0→ Va = Vb.
6.3. CARGA INDUZIDA 87
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, enta˜o o campo imediatamente fora e´ proporcional
a` densidade de carga local.
~E =
σ
ε0
nˆ
Em termos de potencial: σ = ε0
(−∂V
∂n
)
Observac¸a˜o 6.1. Esta equac¸a˜o permite calcular a densidade de carga super-
ficial de um condutor.
6.3 Carga Induzida
Um condutor e´ um so´lido que possui muitos ele´trons livres. Os ele´trons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga ele´trica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenoˆmenos de atrac¸a˜o e re-
pulsa˜o eletrosta´ticas, observa-se uma nova distribuic¸a˜o das cargas ele´tricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitra´ria.
Consideremos uma superf´ıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Enta˜o o fluxo atrave´s de S = 0, logo
a carga total dentro de S e´ zero.
88 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total e´ igual a zero, poder´ıamos dizer que ha´ igual quan-
tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenc¸a de um
campo ele´trico. Se tive´ssemos esta situac¸a˜o,
∮
Γ
~E · d~l 6= 0, o que na˜o pode
ser. Portanto, na˜o pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superf´ıcie interna.
Nenhuma distribuic¸a˜o esta´tica de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superf´ıcie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Trac¸ando uma gaussiana S que
conte´m a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e´ zero, pore´m,
6.3. CARGA INDUZIDA 89
Figura 6.5
Figura 6.6
trac¸ando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade na˜o e´ zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor e´ zero!
A cavidade e seu conteu´do esta˜o eletricamente isolados do mundo ex-
terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera´
cancelado pela carga induzida na superf´ıcie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade esta´ isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha´ uma carga q. Qual
e´ o campo fora?
Havera´ dependeˆncia com a forma da cavidade?
Resoluc¸a˜o. A carga +q induzida, por sua vez, na superf´ıcie externa ira´ se
90 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superf´ıcie da esfera. (a influeˆncia assime´trica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superf´ıcie interna).
O campo externo sera´ igual ao produzido pela superf´ıcie esfe´rica carregada
com carga +q.
~E =
q
4piε0r2
rˆ
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, na˜o deixando passar ne-
nhuma informac¸a˜o sobre como e´ a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4 Me´todo das Imagens
Suponha uma carga q a uma distaˆncia d de um plano condutor aterrado.
Pergunta: Qual e´ o potencial na regia˜o acima do plano?
Na˜o e´ so´ q
4piε0r
, pois havera´ carga induzida no plano condutor e na˜o
sabemos quanta carga e´ induzida e como ela esta´ distribu´ıda.
Outra situac¸~ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que ja´ estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superf´ıcies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superf´ıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superf´ıcie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superf´ıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, no´s na˜o dar´ıamos conta de que a
superf´ıcie meta´lica estaria ali.
Ter´ıamos a soluc¸a˜o do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor e´ exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
Dentro ~E = 0 e ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Enta˜o, para calcularmos os campos das situac¸o˜es discutidas, basta calcu-
lar o campo devido a` uma carga q e uma carga -q imagina´ria localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12
V (x, y, z) =
1
4piεo
 q(
x2 + (y − d)2 + z2) 12 − q(x2 + (y + d)2 + z2) 12

6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 93
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condic¸a˜o de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar˜→∞
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do
Plano
σ = −εo∂V
∂n
= −εo ∂V
∂y
∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − εoq
4piεo
∂
∂y
 1(
x2 + (y − d)2 + z2) 12 − 1(x2 + (y + d)2 + z2) 12
∣∣∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − q
4pi
 2 (y − d) (−12)(
x2 + (y − d)2 + z2) 32 −
2 (y + d)
(−1
2
)
(
x2 + (y + d)2 + z2
) 3
2
∣∣∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − q
2pi
d
(x2 + d2 + z2)
3
2
94 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
⇒ σ e´ negativa como esperado.
A carga total induzida
Qinduzida =
∫
σds = −ε0k2qd
∫
ds
(x2 + y2 + z2)
3
2
x2 + z2 = d2
ds = rdθdr
Qinduzida = −ε0k2qd
∞∫
0
2pi∫
0
rdθdr
(r2 + d2)
3
2
Qinduzida = −ε0kqd2pi
∞∫
d2
du
(u)
3
2
=
−ε0kqd
4piε0
2pi
(
2
d
)
= −q
r2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q e´ atra´ıda pelo plano, pois ha´ carga negativa induzida.
Forc¸a de atrac¸a˜o ~F = − q2
4piεo(2d)
2 jˆ
No´s assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo e´ igual.
A energia:
U =
1
2
∫
E2dv
Uduascargas = − 1
4piεo
q2
2d
6.5. PODER DAS PONTAS 95
Ucargaeplanocondutor = − 18piεo
q2
2d
que e´ a metade. Por que?
Somente a regia˜o de y¿0 possui E 6= 0
A integral U = 1
2
∞∫
0
E2dv = 1
2
1
2
∞∫
−∞
E2dv
Tudo isso foi poss´ıvel, pois:
Dado uma configurac¸a˜o de condic¸o˜es de contorno, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de
Laplace e´ u´nica, de modo que, se algue´m obtiver uma soluc¸a˜o V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condic¸o˜es de contorno, ter-se-a´
encontrado enta˜o uma soluc¸a˜o completa do problema.
6.5 Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VAα
Q′A
RA
VBα
Q′B
RB
96 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q′A
RA
=
Q′B
RB
Q′A
RA
=
4piR2Aσ
′
A
RA
=
4piR2Bσ
′
B
RB
⇒
RAσ
′
A = RBσ
′
B
⇒
σ′A
σ′B
=
RB
RA
⇒
σ′A =
RB
RA
σ′B
6.6 Carga Na Superf´ıcie