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Notas de Aula - FIS32 Lara Kuhl Teles 21 de julho de 2008 2 Suma´rio 0 To´picos matema´ticos 9 0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Vatorial . . . . . . . . . . 9 0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10 1 Introduc¸a˜o 11 1.1 Forc¸as ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Propriedades da carga ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Lei de Coulomb 15 2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Campo Ele´trico 19 3.1 O Campo Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Linhas de Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . 38 3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44 3 4 SUMA´RIO 4 Potencial Eletrosta´tico 51 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por uma carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas . . . . . . . . . . . . . 55 4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56 4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia z do centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo . . . 58 4.4.4 Casca esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos campos ele´tricos . . 60 4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e Energia 69 5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de uma su- perf´ıcie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4.3 Alguns outros comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de Poisson e Laplace . . 74 5.5.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distribuic¸a˜o de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 SUMA´RIO 5 5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico . . . . . . . . 80 5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6 Condutores 85 6.1 Breve Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87 6.4 Me´todo das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92 6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do Plano 93 6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.6 Carga Na Superf´ıcie e Forc¸a Em Um Condutor . . . . . . . . . 96 7 Capacitores 97 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3 Ca´lculos de Capacitaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.2 Capacitor Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3.3 Capacitor Esfe´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4 Associac¸a˜o de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4.2 Capacitores em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8 Diele´tricos 109 8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2 Campo no interior de um diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2.1 mole´culas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2.2 mole´culas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6 SUMA´RIO 8.3 Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3.1 Definic¸a˜o do vetor Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3.2 Susceptibilidade Ele´trica e constante diele´trica . . . . 113 8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento ele´trico . . . . . . . . . . . 114 8.5 Energia eletrosta´tica em diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . 116 8.6 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9 Corrente ele´trica e Resisteˆncia 121 9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121 9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente . . . . . . . . . . 121 9.2 Equac¸a˜o da Continuidade da Carga ele´trica . . . . . . . . . . 124 9.2.1 Caso De Corrente Estaciona´ria . . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Condutividade Ele´trica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127 9.3.1 Um Modelo Para a Conduc¸a˜o Ele´trica . . . . . . . . . 127 9.4 Associac¸a˜o de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4.1 Associac¸a˜o em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4.2 Associac¸a˜o em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.5 Forc¸a Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.5.1 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.5.2 Poteˆncia Ma´xima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138 9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144 10 Magnetosta´tica 149 10.1 Campo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2 Forc¸a magne´tica em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.5 A Auseˆncia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . 159 SUMA´RIO 7 10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 10.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Biot-Savart . . . . . . . .. . . . 166 10.8 A Lei Circuital de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . 174 10.8.3 Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . 175 10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.10Condic¸o˜es de Contorno na Magnetosta´tica . . . . . . . . . . . 189 10.10.1 Componente perpendicular a` superf´ıcie . . . . . . . . . 190 10.10.2 Componente paralela a` superf´ıcie e paralela a` direc¸a˜o da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.10.3 Componente paralela a` superf´ıcie e perpendicular a` direc¸a˜o da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.11Expansa˜o em multipo´los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11 Lei da Induc¸a˜o 195 11.1 O Fluxo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 11.4 Efeitos Mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.4.2 Atrito Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4.3 Canha˜o Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.5 Indutaˆncia Mu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.6 Auto-Indutaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.7 Associac¸a˜o de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.7.1 Dois indutores em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8 SUMA´RIO 11.7.2 Dois indutores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.10Analogia com sistema mecaˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.11.1 Subcr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.11.2 Cr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.11.3 Supercr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.12Energia em Campos Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12 Equac¸o˜es de Maxwell 231 12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.2 Modificac¸a˜o na lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.3 Equac¸o˜es de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.3.1 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.3.2 Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.4 Equac¸o˜es de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 13 Materiais Magne´ticos 241 13.1 Propriedades Magne´ticas da Mate´ria . . . . . . . . . . . . . . 241 13.2 Momentos magne´ticos e Momento angular . . . . . . . . . . . 243 13.3 Materiais Diamagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 13.4 Materiais Paramagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 13.5 Magnetizac¸a˜o e o campo ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 13.6 Materiais Magne´ticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 13.7 Materiais Ferromagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 13.8 Energia em meios magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Cap´ıtulo 0 To´picos matema´ticos 0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Va- torial Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superf´ıcie de bordo γ = ∂S e seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∮ γ=∂S ~F d~l = ∫∫ S ~∇× ~F d~S (1) Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial Teorema 2 (Teorema da Divergeˆncia ou de Gauss). Seja R uma regia˜o do espac¸o de bordo γ = ∂R e seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∫∫∫ R → ∇ → F dv = ∫∫ ∂R ~F d~S (2) Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial Tais Teoremas sa˜o de extrema importaˆncia pois facilitam em determina- das situac¸o˜es o ca´lculo de um dos membros das equac¸o˜es por meio do ou- 9 10 CAPI´TULO 0. TO´PICOS MATEMA´TICOS tro, que pode ser obtido por um me´todo de integrac¸a˜o mais ra´pido e menos prop´ıcio a erros. 0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente 1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os vetores associados. 2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o campo escalar associado. Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜o 1.1 Forc¸as ele´tricas Consideremos uma forc¸a ana´loga a` gravitac¸a˜o que varie com o inverso do quadrado da distaˆncia, mas que seja bilho˜es de bilho˜es de bilho˜es de vezes mais intensa. E com outra diferenc¸a: que haja duas classes de ”mate´ria”que poder´ıamos chamar de positiva e negativa. Se sa˜o da mesma classe se repelem e se sa˜o de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitac¸a˜o que e´ so´ atrativa. Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma forc¸a enorme, o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos opostos sa˜o mantidos juntos por uma forc¸a enorme de atrac¸a˜o. Estas terr´ıveis forc¸as se equilibrara˜o perfeitamente e formara˜o uma mescla de elementos positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas porc¸o˜es separadas na˜o sentira˜o nem atrac¸a˜o nem repulsa˜o entre elas. Uma forc¸a como esta existe e e´ chamada de forc¸a ele´trica. E toda a mate´ria e´ uma mescla de pro´tons positivos e ele´trons negativos que esta˜o se atraindo e repelindo com uma grande forc¸a. Mas, ha´ um equil´ıbrio ta˜o perfeito que com relac¸a˜o ao conjunto na˜o se sente nenhuma forc¸a resultante. Atualmente, sabemos que as forc¸as ele´tricas determinam em grande parte, 11 12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O as propriedades f´ısicas e qu´ımicas da mate´ria em toda a faixa que vai desde o a´tomo ate´ a ce´lula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos cientistas do se´culo XIX: Ampe`re, Faraday, Maxwell e muitos outros que descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como f´ısicos e qu´ımicos do se´culo XX que revelaram a estrutura atoˆmica da mate´ria. O eletromagnetismo cla´ssico estuda as cargas e correntes ele´tricas e suas ac¸o˜es mu´tuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medi- das independentemente, com precisa˜o limitada. Nem a revoluc¸a˜o da f´ısica quaˆntica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as equac¸o˜es do campo eletromagne´tico que Maxwell estabeleceu ha´ mais de cem anos atra´s. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experi- mentac¸a˜o, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo de aplicac¸a˜o original. No entanto, mesmo um eˆxito ta˜o grande na˜o garante a validade num outro domı´nio, por exemplo, no interior de uma mole´cula. Dois fatos ajudam a explicar importaˆncia cont´ınua da teoria cla´ssica do eletromagnetismo na f´ısica moderna. Primeiro, a relatividade restrita na˜o exigiu nenhuma revisa˜o do eletromagnetismo cla´ssico. Cronologicamente, a relatividade especial nasceu do eletromagnetismo cla´ssico e das experieˆncias inspiradas por ele. As equac¸o˜es de Maxwell, deduzidas muito antes dos tra- balhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compat´ıvel com a relatividade. Em segundo lugar, as modificac¸o˜es quaˆnticas das forc¸as eletro- magne´ticas revelaram-se sem importaˆncia ate´ distaˆncias da ordem de 10−10 cm, cem vezes menores que o a´tomo. Podemos descrever a repulsa˜o e atrac¸a˜o de part´ıculas no a´tomo utilizandoas mesmas leis que se aplicam a´s falhas de um eletrosco´pio, embora necessitemos da mecaˆnica quaˆntica para prever o comportamento sob ac¸a˜o dessas forc¸as. Segundos relatos histo´ricos, ja´ ao tempo da Gre´cia Antiga se tinha conhe- cimento de que o aˆmbar (uma espe´cie de resina denominada de ele´tron na l´ıngua grega), uma vez friccionado com la˜, adquiria a propriedade de atrair pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso 1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELE´TRICA 13 substancial ocorreu todavia nesse assunto ate´ o se´culo XVIII, quando se des- cobriu que o vidro friccionado com um pano de seda tambe´m apresentava propriedades semelhantes a do aˆmbar. Estas observac¸o˜es levaram a admitir duas espe´cies de eletricidade: a v´ıtrea e a resinosa. Ainda dessas observac¸o˜es decorram as leis elementares da eletrosta´tica, a saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes diferentes se atraem. Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a v´ıtrea) e eletricidade negativa (a resinosa). Hoje sabemos que esses efeitos sa˜o devidos a` existeˆncia do que chamamos de carga ele´trica. Embora a carga ele´trica na˜o seja definida sabemos que ela e´ uma caracter´ıstica das part´ıculas fundamentais que constituem os a´tomos. 1.2 Propriedades da carga ele´trica Uma propriedade fundamental da carga ele´trica e´ a sua existeˆncia nas duas espe´cies que ha´ muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observou- se o fato de que todas as part´ıculas eletrizadas podem ser divididas em duas classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe. Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, enta˜o B atraiu C. Na˜o podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas hoje os f´ısicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamen- talmente como manifestac¸o˜es opostas de uma qualidade assim como direito e esquerdo, manifestac¸o˜es opostas de lado. O que no´s chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histo´rico. A segunda propriedade e´ um dos princ´ıpios fundamentais da F´ısica: O Princ´ıpio da conservac¸a˜o da carga ele´trica. Esse princ´ıpio e´ equivalente ao 14 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O POSTULADO DA TEORIA. A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado = nenhuma mate´ria atravessa os limites do sistema). Observac¸a˜o 1.1. Podemos ter a criac¸a˜o de pares de cargas positivas e negati- vas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa na˜o pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si so´. A terceira propriedade esta´ relacionada com a quantidade da carga. A experieˆncia da gota de o´leo de Millikan, e diversas outras, demonstram que a carga ele´trica aparece a natureza em mu´ltiplos de um u´nico valor unita´rio. Essa intensidade e´ representada por e 1 , a carga eletroˆnica. Experieˆncias mostram que a carga do pro´ton e do ele´tron sa˜o iguais com uma precisa˜o de 1 para 10−20. De acordo com as odeias atuais, o ele´tron e o pro´ton e o pro´ton sa˜o ta˜o diferentes entre si como o podem ser quaisquer outras part´ıculas elementares. Ningue´m entende ainda porque suas cargas devam ser iguais ate´ um grau ta˜o fanta´stico de precisa˜o. Evidentemente a quantizac¸a˜o da carga e´ uma lei profunda e universal da natureza. Todas as part´ıculas elementares eletrizadas, ate´ o ponto em que podemos determinar, teˆm cargas de magnitudes rigorosamente iguais. Observac¸a˜o 1.2. Nada na eletrodinaˆmica requer que as cargas sejam quanti- zadas este e´ um fato. Observac¸a˜o 1.3. Pro´tons e neˆutrons sa˜o compostos de treˆs quarks, cada qual com cargas fracionadas ±2 3 e e ±1 3 e . No entanto, quarks livres parecem na˜o existir na natureza, de qualquer forma isto na˜o alteraria o fato da carga ser quantizada, so´ reduziria o mo´dulo da unidade ba´sica. Observac¸a˜o 1.4. Por outro lado, a na˜o-conservac¸a˜o da carga (Propriedade 2) seria totalmente incompat´ıvel com a estrutura da teoria eletromagne´tica atual. 1e= 1, 6.10−19C Cap´ıtulo 2 Lei de Coulomb 2.1 A Lei de Coulomb Voceˆ provavelmente ja´ sabe que a interac¸a˜o de cargas ele´tricas em repouso e´ regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso ha´ uma forc¸a diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia que as separa. A forc¸a se da´ na direc¸a˜o da reta que une as duas cargas. → F1= 1 4pi�o q1q2 r21,2 rˆ1,2 = − → F2 (2.1) → F1 = forc¸a que age sobre a part´ıcula 1 rˆ1,2= versor na direc¸a˜o de q1 e q2 r1,2 = distaˆncia entre q1 e q2 No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)[→ F ] = dina 1C = 2, 998.109 MES Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Cou- lomb com outro jeito da natureza: o princ´ıpio da superposic¸a˜o. 15 16 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB Figura 2.1: Forc¸a ele´trica entre duas cargas 2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o Considere o sistema constitu´ıdo de n cargas puntiformes q0, q1, q2....qn . Po- demos calcular a forc¸a ele´trica resultante sobre qualquer uma das cargas aplicando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o. Suponha que desejamos calcular o vetor forc¸a ele´trica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a forc¸a que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas as contribuic¸o˜es. A forc¸a resultante sobre q0 sera´: → F0= → F0,1 + → F0,2 +....+ → F0,n (2.2) Sendo → F0,n a forc¸a devido a qn O Princ´ıpio da Superposic¸a˜o estabelece que a interac¸a˜o entre quaisquer duas cargas na˜o e´ afetada pela presenc¸a das outras. Assim, → F0= K0q0 n∑ i=1 qi r20,i rˆ0,i (2.3) Reescrevendo: 2.2. PRINCI´PIO DE SUPERPOSIC¸A˜O 17 → F0= K0q0 n∑ i=1 qi | →r i − →r 0 |3 ( → r i − →r 0) (2.4) 18 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB Cap´ıtulo 3 Campo Ele´trico 3.1 O Campo Ele´trico Suponhamos uma distribuic¸a˜o de cargas q1, q2,..., qn fixas no espac¸o, e ve- jamos na˜o as forc¸as que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida a`s suas proximida- des. Sabemos que a forc¸a sobre q0 e´: ~Fo = Ko n∑ i=1 qoqi r2o,i rˆo,i Assim, se dividirmos → F 0 por q0 teremos: ~Fo qo = Ko n∑ i=1 qi r2o,i rˆo,i (3.1) uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori- ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posic¸a˜o do ponto (x,y,z). Chamamos essa func¸a˜o vetorial de x,y e z de campo ele´trico criado por q1, q2,..., qn e usa- mos o s´ımbolo → E . As cargas sa˜o chamadas fontes do campo. Desta forma 19 20 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO definimos o campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o de cargas no ponto (x,y,z): ~E(x, y, z) = Ko n∑ i=1 qi r2o,i rˆo,i (3.2) ~Fo = qo ~E (3.3) Note que utilizamos como condic¸a˜o que as cargas fontes do campo es- tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espac¸o na˜o perturbara´ as posic¸o˜es ou movimento de todas as outras cargas responsa´veis pelos campos. Muitas pessoas, a`s vezes, definem o campo impondo a` q0 a condic¸a˜o de ser uma carga infinitesimal e tomando → E como: lim qo→0 ~F qo Cuidado! Na realidade este rigor matema´tico e´ falso. Lembre-se que no mundo real na˜o ha´ carga menor que e! Se considerarmos a Equac¸a˜o 3.2 como definic¸a˜o de → E , sem refereˆncia a uma carga de prova, na˜o surge problema algum e as fontes na˜o precisam ser fixas. Casa a introduc¸a˜o de uma nova carga cause deslocamentodas cargas fontes, enta˜o ela realmente produzira´ modificac¸o˜es no campo ele´trico e se quisermos prever a forc¸a sobre a nova carga, devemos utilizar o campo ele´trico para calcula´-la. Conceito de campo: um campo e´ qualquer quantidade f´ısica que pos- sue valores diferentes em pontos diferentes no espac¸o. Temperatura, por exemplo, e´ um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual no´s escrevemos como T(x,y,z). A temperatura poderia tambe´m variar com o tempo, e no´s poder´ıamos dizer que a temperatura e´ um campo dependente do tempo e escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e´ o campo de velocidade de um l´ıquido fluindo. No´s escrevemos → v =(x,y,z,t) para a velocidade do l´ıquido para cada ponto no espac¸o no tempo t. esse e´ um campo vetorial. Existem va´rias ide´ias criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos. A mais correta e´ tambe´m a mais abstrata: no´s simplesmente considerarmos os campos como func¸o˜es matema´ticas da posic¸a˜o e tempo. 3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 21 O campo e´ uma grandeza vetorial e na unidade no SI e´ N C (Newton/Coulumb). Se tivermos somente uma carga: ~E = Koq r2 rˆ Observac¸a˜o 3.1. Campo ele´trico e´ radial e cai com a distaˆncia ao quadrado O Princ´ıpio da superposic¸a˜o tambe´m e´ aplicado para os campos ele´tricos, ou seja, o campo ele´trico resultante em um ponto P qualquer sera´ a soma dos campos ele´tricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto. ~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En 3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga Figura 3.1: Distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga Usando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o: ~E = ∫ d ~E =Ko ∫ dq r2 rˆ 3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es: a) linear: carga distribu´ıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra, anel). Densidade linear de carga = λ = dq dl dq = λdl 22 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO ~E = Ko ∫ λdl r2 rˆ b) superficial: carga distribu´ıda ao longo de uma superf´ıcie(ex: disco,placa). Densidade superficial de carga = σ = dq ds dq = λds ~E = Ko ∫ σds r2 rˆ c) volume´trica: carga distribu´ıda no interior de um volume(ex: esfera, cubo, cilindro). Densidade volume´trica de carga = ρ = dq dv dq = ρdv ~E = Ko ∫ ρdv r2 rˆ Exerc´ıcio 3.1. Determinar o campo ele´trico no ponto P. Figura 3.2: Determinac¸a˜o do campo no ponto P Resoluc¸a˜o. Se tomarmos limite quando b>>L temos: ∣∣∣ ~EP ∣∣∣ = KoλLb2 = KoQb2 NC = carga pontual 3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 23 Colocando uma carga q no ponto P, a forc¸a e´ dada por: ~F = q ~EP = qKo λL b(b− L) iˆN Quando lim b >> L temos: ~F = Ko qQ b2 iˆ = forc¸a de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q Observac¸a˜o 3.2. So´ funciona para mate´rias isolantes. Com os metais ter´ıamos uma redistribuic¸a˜o de carga no condutor quando a presenc¸a da carga q. Exerc´ıcio 3.2. Determinar o campo ele´trico no ponto P. Figura 3.3: Determinac¸a˜o do campo no ponto P 24 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Exerc´ıcio 3.3. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um anel de raio R Figura 3.4: Anel de raio R Resoluc¸a˜o. ‖~r‖ = z2 +R2 dl = Rdθ dEz = dE cosα = λRdθ z2 +R2 z√ z2 +R2 Por simetria so´ teremos componente na direc¸a˜o z. ~E = k0 2pi∫ 0 z√ z2 +R2 λRdθ z2 +R2 kˆ ⇒ ~E = k0 zRλ2pi (z2 +R2) 3 2 kˆ ~E = 2pik0λRz (z2 +R2) 3 2 kˆ ( N C ) = Qzλ (z2 +R2) 3 2 kˆ Analisando os limites R →∞ e z >> R: 3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 25 z >> R : E = 2piλRk0z z3 = k0Q z2 = carga puntual R→∞:E→ 0, com 1 R3 se Q for fixa com 1 R3 se λ constante Exerc´ıcio 3.4. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um disco com densidade de carga σ. Figura 3.5: Anel de raio R Resoluc¸a˜o. Pela simetria so´ temos componente na direc¸a˜o z. 26 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO ds = rdθdr dEz = dE cosα = dE z√ r2 + z2 Ez = k0 2pi∫ 0 R∫ 0 zσrdθdr√ r2 + z2 (r2 + z2) = k0zσ2pi R∫ 0 rdr (r2 + z2) 3 2 r2 + z2 = u du = 2rdr Ez = k0zσ2pi R2+z2∫ z2 du (u) 3 2 = k0zσpi u −1 2 −1 2 ∣∣∣∣∣ R2+z2 z2 Ez = −k0zσ2pi ( 1√ R2 + z2 − 1|z| ) = 2pik0σ ( z |z| − z√ R2 + z2 ) Analisando os limites: z << R : Ez = σ 2ε0 z |z| ~E = σ 2ε0 , z > 0 − σ 2ε0 , z < 0 z >> R : 1− z√ z2 +R2 = 1 + ( 1 + R2 z2 )− 1 2 = 1− ( 1− 1 2 R2 z2 + ... ) ≈ 1 2 R2 z2 ⇒ Ez = σ 2ε0 R2 2z2 = σpiR2 4piε0z2 = Q 4piε0z2 3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 27 Ez = σ 2ε0 ( 1− z√ z2 +R2 ) , z > 0 σ 2ε0 ( −1− z√ z2 +R2 ) , z < 0 Fazendo os gra´ficos: z << R Figura 3.6: Gra´fico para z << R z >> R Figura 3.7: Gra´fico para z >> R 28 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO 3.3 Linhas de Forc¸as Os esquemas mais utilizados para a representac¸a˜o e visualizac¸a˜o de um campo ele´trico sa˜o: a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espac¸o Figura 3.8: Linhas de forc¸a-vetores Quando q > 0 o campo e´ divergente. Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia. b) Desenhar as linhas de campo: Linhas de forc¸a de um campo, ou simplesmente linhas de campo sa˜o retas ou curvas imagina´rias desenhadas numa regia˜o do espac¸o, de tal modo que, a tangente em cada ponto fornece a direc¸a˜o e o sentido do vetor campo ele´trico resultante naquele ponto. As linhas de campo fornecem a direc¸a˜o e o sentido, mas na˜o o mo´dulo. No entanto, e´ poss´ıvel ter uma ide´ia qualitativa do mo´dulo analisando as linhas. A magnitude do campo e´ indicada pela densidade de linhas de campo. Exemplo 3.1. carga puntual +q Atenc¸a˜o: o desenho esta´ definido em duas dimenso˜es, mas na realidade representa as treˆs dimenso˜es. 3.3. LINHAS DE FORC¸AS 29 Figura 3.9: Linhas de forc¸a de um campo Figura 3.10: Carga pontual + q Se considera´ssemos duas dimenso˜es, a densidade de linhas que passam atrave´s de uma circunfereˆncia seria igual a n 2pir , o que faria com que E ∝ 1 r Caso 3D a densidade seria igual a n 4pir2 e E ∝ 1 r2 30 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO , o que e´ correto. Existem algumas regras para desenhar as linhas: 1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contra´rio, ter´ıamos dois sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto na˜o faz sentido pois o campo que elas significam e´ sempre o resultante. 2) As linhas de campo comec¸am na carga positiva e terminam na carga negativa, ou no infinito. 3) O nu´mero de linhas e´ proporcional ao mo´dulo das cargas. Q1 Q2 = n1 n2 Figura 3.11: Linhas de Campo Exemplo 3.2. 3.4 Fluxo Consideremos uma regia˜o no espac¸o, onde existe um campo ele´trico como na figura abaixo: Uma superf´ıcie de a´rea A perpendicular a direc¸a˜o de E. O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´: f = EA 3.4. FLUXO 31 Figura 3.12: Fluxo na a´rea A Se esta superf´ıcie estiver na mesma direc¸a˜o de ~E ( ~a⊥ ~E ) Figura 3.13: Fluxo na a´rea A Se esta superf´ıcie estiver inclinada em relac¸a˜o as linhas de campo em um aˆngulo θ Considere agora, uma superf´ıcie fechada qualquer. Divida a superf´ıcie em pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor 32 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Figura 3.14: Fluxo na a´rea A campo na˜o varie apreciavelmente sobre um trecho. Na˜o deixe que a superf´ıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma singularidade. (ex: carga puntiforme) Figura 3.15: Superf´ıcie A a´rea de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente uma direc¸a˜o e sentido, a normala` superf´ıcie orientada para fora. Para cada trecho, temos um vetor → a j que define sua a´rea e orientac¸a˜o. 3.5. LEI DE GAUSS 33 O fluxo atrave´s desse pedac¸o de superf´ıcie e´ dado por: Φ = → Ej . → a j E o fluxo atrave´s de toda a superf´ıcie: Φ = ∑ j → Ej . → a j Tornando os trechos menores, temos: Φ = ∫ → E .d → a em toda a superf´ıcie 3.5 Lei de Gauss Tomemos o caso mais simples poss´ıvel: o campo de uma u´nica carga punti- forme. Qual e´ o fluxo Φ atrave´s de uma esfera de raio r centrada em q? Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme 34 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO ~E = k0 q r2 rˆ d~a = r2senθdθdϕrˆ Φ = ∮ s ~E · d~a = ∫∫ © s k0 q r2 r2senθdθdϕrˆ = k0q pi∫ 0 2pi∫ 0 senθdθdϕ = = 4pik0q = 4piq 4piε0 = q ε0 Ou simplesmente: E × area total = k0 q r2 4pir2 = q ε0 Portanto o fluxo na˜o depende do tamanho da superf´ıcie gaussiana. Agora imagine uma segunda superf´ıcie, ou bala˜o, mas na˜o esfe´rica envol- vendo a superf´ıcie anterior. O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´ o mesmo do que atrave´s da esfera. Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme 3.5. LEI DE GAUSS 35 Para ver isto podemos considerar a definic¸a˜o de linhas de campo: O nu´mero de linhas que atravessam as duas superf´ıcies e´ o mesmo. Ou enta˜o podemos considerar um cone com ve´rtice em q. Figura 3.18: Comparac¸a˜o de fluxos O fluxo de um campo ele´trico atrave´s de qualquer superf´ıcie que envolve uma carga puntiforme e´ q εo Corola´rio 3.1. Fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ nulo quando a carga e´ externa a` superf´ıcie. O fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada deve ser independente do seu tamanho e forma se a carga interna na˜o variar. Superposic¸a˜o: Considere um certo nu´mero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada uma ~E1, ~E2, ..., ~En O fluxo Φ , atrave´s de uma superf´ıcie fechada S, do campo total pode ser escrito: 36 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Φ = ∮ S ~E · d~s = ∮ S ( ~E1 + ~E2 + ...+ ~En)·d~s∮ S ~Ei · d~s = qi ε0 ⇒ Φ = q1 + q2 + ...+ qn ε0 = qint ε0 LEI DE GAUSS: O fluxo do campo ele´trico → E atrave´s de qualquer superf´ıcie fechada e´ igual a` carga interna dividida por �0 .∮ S ~Ei · d~s = qint ε0 Pergunta: A lei de Gauss seria va´lida se∣∣∣ ~E∣∣∣ ∝ 1 r3 ? Na˜o, pois: Φ = ~E · ~A = EAtotal = k0 q r3 4pir2 = q ε0r Por meio da lei de Gauss e´ poss´ıvel calcular a carga existente numa regia˜o dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, pore´m limitados a sistemas que possuem alta simetria. 3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: 1) Identifique as regio˜es para as quais E deve ser calculado. 2) Escolha superf´ıcies gaussianas observando a simetria do problema, preferencialmente com E perpendicular e constante ou → E paralelo. 3) Calcule Φ = ∮ S ~Ei · d~s 3.6. APLICAC¸O˜ES DA LEI DE GAUSS 37 4) Calcule qint 5) Aplique a Lei de Gauss para obter → E Figura 3.19: Simetrias mais comuns 3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss E´ essencial que a distribuic¸a˜o tenha elemento de simetria (plana, axial, esfe´rica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atrave´s de uma superf´ıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime- tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta superf´ıcie. Plano Uniformemente Carregado Fio Cil´ındrico de densidade linear λ Casca Esfe´rica O campo ele´trico externo a` camada e´ o mesmo que se toda a carga da esfera estivesse concentrada no seu centro. CAMPO ELE´TRICO NA SUPERFI´CIE DE UM CONDUTOR A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor. No equil´ıbrio na˜o pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas se deslocariam sob a ac¸a˜o do campo, rompendo o equil´ıbrio esta´tico. So´ e´ poss´ıvel ter componente do campo normal a` superf´ıcie. 38 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado Figura 3.21: Fio Cil´ındrico de densidade linear λ 3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de Poisson A lei de Gauss e´ um indicador global de presenc¸a de cargas: Φ = ∮ S ~E · d~s = qint ε0 3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 39 Figura 3.22: Casca esfe´rica Queremos agora achar um indicador local que analise a presenc¸a de fontes num ponto P. Considere um ponto P: Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga dentro deste volume e´ ρ∆V, enta˜o: Φ∆Σ = ∮ ∆Σ ~E.d~s = qint ε0 = ∫ V ρ∆V ε0 ⇒ 1 ∆V ∮ ~E.d~s = 1 ∆V ∫ V ρ∆V ε0 lim ∆V→0 1 ∆V ∮ ∆Σ ~E.d~s = ρ(P ) ε0 (3.4) Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde- pende de ∆Σ e e´ uma caracter´ıstica local do campo. Para um vetor qualquer, definimos a divergeˆncia como sendo: div~v(P ) = ~∇.~v = lim ∆V→0 1 ∆V ∮ ~v.d~s onde ∆V e´ um volume arbitra´rio que envolve o ponto P e d → s (elemento orientado de superf´ıcie). De acordo com a Equac¸a˜o 3.4 40 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Figura 3.23: Esquema para aplicac¸a˜o da Lei de Gauss 3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 41 Figura 3.24: Continuac¸a˜o Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal ~∇. ~E = ρ εo Equac¸a˜o de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss O divergente de → E num ponto P e´ o fluxo para fora de → E por unidade de volume nas vizinhanc¸as do ponto P. Mas sempre que for calcular o divergente no´s temos que calcular pela definic¸a˜o? 42 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Figura 3.26: Paralelep´ıpedo infinitesimal ~∇.~v = lim ∆V→0 1 ∆V ∮ ~v.d~s Na˜o. Vamos ver a forma do ~∇.~v em coordenadas cartesianas: Segundo a definic¸a˜o ∆V e´ qualquer. Vamos considerar um paralelep´ıpedo de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z). Vamos calcular o fluxo de → v na face 2: vx(2).∆y.∆z 3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 43 Fluxo → v na face 1: −vx(1).∆y.∆z Observe que vx(2) 6= vx(1) vx(2) = vx(x+ 1 2 ∆x, y, z) = vx(x+ y + z) + 1 2 ∂vx ∂x ∆x vx(1) = vx(x− 1 2 ∆x, y, z) = vx(x+ y + z)− 1 2 ∂vx ∂x ∆x Fluxo sobre 1 e 2: ∑ fluxos = ∂vx ∂x ∆x∆y∆z Da mesma forma se considerarmos as outras faces: Φtotal = ( ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z ) ∆x∆y∆z Φtotal = ( ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z ) ∆V Φtotal = ∂ ∮ ~v • d~s = ( ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z ) ∆V Superf´ıcie infinitesimal = ∆Σ ~∇~v = ∂vx ∂x + ∂vy ∂y + ∂vz ∂z Por outro lado se somarmos para todos os elementos: ~∇~v∆V = ∫ V ~∇~vdV Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri- buic¸o˜es a`s superf´ıcies internas sa˜o iguais a zero. 44 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO ∑ i ∮ ∆ P i ~vd~s = ∮ S ~vd~s ∫ V ~∇~vdV = ∮ S ~vd~s Vimos que a definic¸a˜o de divergente e´: div~v(P ) = ~∇.~v = lim ∆Vi→0 1 Vi ∮ Si ~v.d~si sendo → v um campo vetorial qualquer, Vi e´ o volume que inclui o ponto em questa˜o e Si a superf´ıcie que envolve este volume Vi. Significado de → ∇ . →v : a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi- nite´simo; b) Densidade de fluxo desse valor atrave´s da regia˜o; c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto. 3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss Φ = ∮ S ~Fd~s = n∑ i=1 ∮ Si ~Fd~si = n∑ i=1 ∆Vi ∮ Si ~Fd~si ∆Vi Fazendo lim N→∞ e Vi −→ 0∮ S ~Fd~s = ∫ V ~∇~FdV Teorema de Gauss ou Teorema de Divergeˆncia Ja´ t´ınhamos visto a equac¸a˜o de Poisson:3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45 ~∇. ~E = ρ εo Vamos usar o teorema da divergeˆncia para chegar neste resultado: ∮ s ~Ed~s = ∫ V ρdV ε0 Pelo teorema da divergeˆncia:∮ s ~Ed~s = ∫ V ~∇ ~EdV = 1 ε0 ∫ V ρdV Como o volume e´ qualquer, temos: ~∇. ~E = ρ εo sendo a relac¸a˜o local entre densidade de carga e campo ele´trico O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS: Figura 3.27: Divergente 46 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO ~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ ~∇~F = lim Vi→0 1 Vi ∮ si ~Fd~si Queremos saber o → ∇ . → F no ponto P Sabemos que: ∂Fy ∂y = Fy(x, y + ∆y, z)− Fy(x, y, z) ∆y Fy(x, y + ∆y/2, z) = Fy(x, y, z) + ∂Fy ∂y ∆y 2 Fluxo por 2: ~F ~A = Fy(x, y + ∆y/2, z)∆x∆z = ( Fy(x, y, z) + ∂Fy ∂y ∆y 2 ) ∆x∆z Fluxo por 1: ~F ~A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = − ( Fy(x, y, z)− ∂Fy ∂y ∆y 2 ) ∆x∆z Somando fluxo 1 + fluxo 2: ∂Fy ∂y ∆x∆y∆ Somando fluxo 3 + fluxo 4: ∂Fx ∂x ∆x∆y∆z Somando fluxo 5 + fluxo 6: 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47 ∂Fz ∂z ∆x∆y∆z Figura 3.28: Superf´ıcies consideradas Fluxo total que sai do volume Vi( ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ) ∆x∆y∆z ~∇~F = lim ∆Vi→0 1 ∆Vi ( ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ) ∆Vi = ∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z ~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ Operador nabla: ~∇ = ∂ ∂x iˆ+ ∂ ∂y jˆ + ∂ ∂z kˆ Em coordenadas esfe´ricas: (r,θ,ϕ): ~∇~F = 1 r2 ∂ ∂r (r2Fr) + 1 rsenθ ∂ ∂θ (senθFθ) + 1 rsenθ ∂Fϕ ∂ϕ Em coordenadas cil´ındricas: (r,ϕ,z): ~∇~F = 1 r ∂ ∂r (rFr) + 1 ρ ∂Fϕ ∂ϕ + ∂Fz ∂z 48 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volume´trica de cargas posi- tivas uniforme. Figura 3.29: Cilindro com densidade volume´trica de cargas uniforme Resoluc¸a˜o. E2pirL = ρpir2L ε0 ↔ E2pirL = ρpia 2L ε0 −→ E = ρr 2ε0 rˆ (r < a)↔ E2pirL = ρpia 2L ε0 ~∇ ~E (r < a) = 1 r ∂ ∂r (rEr) = 1 r ∂ ∂r ( r ρr 2ε0 ) ~∇ ~E = ρ ε0 ~∇ ~E (r > a) = 1 r ∂ ∂r (rEr) = 1 r ∂ ∂r ( r ρa2 2ε0r ) ~∇ ~E = 0 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49 O divergente do campo so´ e´ diferente de zero onde ha´ carga! CARGA PONTIFORME ~E = 1 4piε0 q r2 rˆ ~∇ ~E = q 4piε0 1 r2 ∂ ∂r (r2Er) = 0 , r 6= 0 Na˜o faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja´ que ela gera o campo. 50 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO Cap´ıtulo 4 Potencial Eletrosta´tico 4.1 Introduc¸a˜o A utilizac¸a˜o do campo ele´trico, como visto no cap´ıtulo anterior, para re- soluc¸a˜o de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao fato de o campo ele´trico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial ele´trico entra como uma excelente forma de simplificar os ca´lculos a serem realizados e possibilitar a resoluc¸a˜o de problemas ainda mais omplexos de eletrosta´tica. Inicialmente, pore´m, relembremos alguns conceitos ba´sicos: 4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado por uma forc¸a ao longo deste caminho de P1 a P2 e´: W (c) P1→P2 = P2∫ P1(c) ~F ·d~l Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cine´tica temos: 51 52 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO ∆T = W (c) P1→P2 T2 − T1 = W (c)P1→P2 Ou seja, o trabalho e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica entre os pontos. Assim temos que, se a forc¸a ~F for conservativa, pela conservac¸a˜o da energia mecaˆnica temos: ∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0 WP1→P2 = −∆U ∆U = − P2∫ P1 ~F ·d~l Que so´ depende dos pontos inicial e final. 4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico Logo, assim como associamos a` forc¸a Peso um campo escalar U da energia potencial gravitacional, podemos associar a` forc¸a eletrosta´tica um campo escalar V, pois esse se trata tambe´m de um campo conservativo, da seguinte forma: W = B∫ A ~Fele · d~l ∆U = − B∫ A q ~E · d~l (4.1) 4.2. DEFINIC¸A˜O DO POTENCIAL ELETROSTA´TICO 53 O que nos leva a` ∆V = ∆U q = −− B∫ A ~E · d~l (4.2) Ou seja Potencial = EnergiaPotencialEletrostatica carga Pore´m a escolha do n´ıvel o qual o poteˆncial e´ nulo e´ arbitra´rio, sendo normalmente escolhido o infinito, assim, e´ conveniente escolher V (∞) = 0. Exemplo: 4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por uma carga pontual q Sabe-se que: ~E = 1 4piε0 q r2 rˆ Logo: V (r2)− V (r1) = − P2∫ P1 ~E·d~l = − P2∫ P1 1 4piε0 q r2 dr = q 4piε0 ( 1 r2 − 1 r1 ) Enta˜o, estabelecendo r1 →∞ e V (∞) = 0 temos que: V (r) = q 4piε0 1 r 54 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO 4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial Como vimos, definimos o potencial eletrosta´tico atrave´s do campo ele´trico, mas, dado o potencial e´ poss´ıvel obter o campo ele´trico? A resposta e´ sim, da seguinte forma: Sabe-se pelo teorema do gradiente que: ∆V = − P2∫ P1 ~∇V ·d~l Mas: ∆V = − P2∫ P1 ~E·d~l Logo, como a igualdade e´ verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2, temos: ~E = −~∇V (4.3) que nos da´ o vetor campo ele´trico a partir do campo escalar V. Vale notar que isso so´ e´ poss´ıvel devido ao fato de o campo ele´trico ser conservativo. 4.3.1 Equipontenciais Nesse momento, faz-se necessa´rio introduzir o conceito de equipontenciais. Basicamente, as equipotenciais sa˜o regio˜es com o mesmo potencial eletrosta´tico. Ale´m disso, deve-se notar que a equac¸a˜o dV = ~E · d~l implica que, se ~E⊥d~l: dV = 0⇒ V = cte Logo, as equipotenciais sa˜o perpendiculares ao campo. 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 55 4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas O ca´lculo do potencial e´, muitas vezes, menos trabalhoso que o ca´lculo do campo ele´trico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular o potencial ele´trosta´tico e alguns exemplos de aplicac¸a˜o. Sempre lembrando que ~E = −~∇V Sabe-se, como o princ´ıpio da superposic¸a˜o e´ va´lido para o campo ele´trico, o mesmo acontece para o campo eletrosta´tico, assim temos que: Figura 4.1: Esquema V (P ) = n∑ i=1 qi 4piε0ri Logo: V (P ) = 1 4piε0 ∫ dq r (4.4) Que, Para uma distribuic¸a˜o: Volume´trica: dq = ρdv Superficial: dq = σdS Linear: dq = λdl Agora, vejamos alguns exemplos de aplicac¸a˜o: 56 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO 4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ Assim: V (P ) = 1 4piε0 2pi∫ 0 λρdθ (ρ2 + z2)1/2 V (P ) = Q 4piε0 (ρ2 + z2) 1/2 Assim, como ~E = −~∇V , enta˜o: ~E = Qz 4piε0 (ρ2 + z2) 3/2 zˆ 4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia z do centro Como dq = σds = σr′dr′dθ e r = (z2 + r′2)1/2 enta˜o: V = 1 4piε0 2pi∫ 0 R∫ 0 σr′dr′dθ (z2 + r′2)1/2 = piσ 4piε0 R∫ 0 2r′dr′ (z2 + r′2)1/2 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 57 Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ V = σ 4ε0 [ 2(z2 + r′2)1/2 ]R 0 = σ 2ε0 [√ z2 +R2 − |z| ] Vale notar que, se lim |z| >> R enta˜o: √ z2 +R2 = |z| ( 1 + ( R z )2)1/2 = |z| ( 1 + 1 2 R2 z2 + ... ) Logo: V ≈ σ 2ε0 R2 z |z| = 1 4piε0 Q |z| Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele ira´ se comportar cada vez mais com uma carga pontual. Ale´m disso podemos obter ~E: ~E = − ∂ ∂z V = σ 2ε0 [ z |z| − z√ R2 + z2 ] Desse exemplo no´spodemos tirar algumas concluso˜es: 58 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO ⇒ Normalmente e´ mais dif´ıcil achar o potencial em outros pontos fora do eixo de simetria, pois a integral na˜o e´ ta˜o simples apesar de bem conhecida e tabelada (integrais el´ıpticas). ⇒ O campo, assim como o poteˆncial, pode ser dif´ıcil de calcular caso na˜o haja simetria. Ale´m disso, ambos o potencial e o campo ele´trico se aproxi- mam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distaˆncia. Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco: 4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ Assim: dq = σr(2θ)dr V = 1 4piε0 ∫ dq r V = 1 4piε0 ∫ σ(2θ)dr 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 59 Pore´m, pela geometria do triaˆngulo: r = 2R cos θ dr = −2Rsenθdθ Logo: V = 1 4piε0 0∫ pi/2 σ2θ(−2Rsenθ)dθ = Rσ piε0 pi/2∫ 0 θsenθdθ = Rσ piε0 [senθ − θ cos θ]pi/20 Vborda = Rσ piε0 4.4.4 Casca esfe´rica Temos: r2 = z2 +R2 − 2zR cos θ dq = σds = σR2senθdθdφ Assim: V (z) = 1 4piε0 2pi∫ 0 pi∫ 0 σR2senθdθdφ (z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2 V (z) = 2piσR22 4piε02zR [ (z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2]pi 0 V (z) = σR ε02z [√ z2 +R2 + 2zR− √ z2 +R2 − 2zR ] = σR ε02z [√ (z +R)2 − √ (z −R)2 ] sez > R⇒ z −R > 0⇒ √ (z −R)2 = z −R⇒ V (z) = σR 2 ε0z sez < R⇒ z−R < 0⇒ √ (z −R)2 = −(z−R)⇒ V (z) = σR 2ε0z [z +R− (R− z)] = σR ε0 60 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ O potencial dentro da esfera e´ constante. Assim temos: V (z) = { σR2 εoz = Q 4piεoz ,r > R σR εo = Q 4piεoR ,r < R e E(z) = { Q 4piεoz2 ,r > R 0,r < R Podemos enta˜o, construir os gra´ficos de E e V em func¸a˜o de r obtendo assim: 4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos campos ele´tricos Por definic¸a˜o, um dipolo ele´trico esta´ relacionado com o potencial ele´trico gerado por um sistema de duas cargas. Exemplo: Encontre o potencial ele´trico em um ponto arbitra´rio no eixo x. 4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS61 Figura 4.6: gra´fico de E e V por r Figura 4.7: Esquema Assim: V (x) = 1 4piε0 q |x− a| + 1 4piε0 (−q) |x− a| = q 4piε0 [ 1 |x− a| − 1 |x− a| ] Que, sendo V0 = q 4piε0a enta˜o: V (x) V0 = 1∣∣x a − 1∣∣ − 1∣∣x a − 1∣∣ Assim pode-se construir o gra´fico: 62 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO Figura 4.8: Gra´fico de V/V0 em func¸a˜o de x Que diverge no local onde as cargas se encontram. Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posic¸a˜o de refereˆncia sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos: Figura 4.9: Esquema V = q 4piε0 [ 1 r+ − 1 r− ] Mas r2± = r 2 + a2∓ 2ra cos θ. Considerando uma posic¸a˜o na qual r >> a 4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS63 temos: 1 r± = ( r2 + a2 ∓ 2ra cos θ)−1/2 = 1 r 1 + (a r )2 ∓ 2a r cos θ︸ ︷︷ ︸ x −1/2 mas se x << 1 enta˜o (1 + x)− 1/2 ' 1− 1 2 x, e como a r << 1 enta˜o: 1 r± = 1 r ( 1− 1 2 (a r )2 ± a r cos θ ) Logo: V ≈ q 4piε0r [ 1− 1 2 (a r )2 + a r cos θ − 1 + 1 2 (a r )2 + a r cos θ ] ≈ q2a cos θ 4piε0r2 = p cos θ 4piε0r2 = ⇀ p·rˆ 4piε0r2 Na qual ⇀ p = 2aqkˆ e´ o momento dipolo ele´trico. Vale notar tambe´m que V cai com r2 e na˜o com r, o que e´ razoa´vel, que V decresc¸a mais ra´pido que o potencial de uma u´nica carga, pois conforme estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma pequena unidade de carga zero. Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esfe´ricas e´ dado por: ~∇ = ∂ ∂r rˆ + 1 r ∂ ∂θ θˆ + 1 r sin θ ∂ ∂ϕ ϕˆ Enta˜o: Er = −∂V ∂r = + p cos θ 2piε0r3 , Eθ = −1 r ∂V ∂θ = + 1 r p sin θ 4piε0r2 = + p sin θ 4piε0r3 64 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO ~E = p cos θ 2piε0r3 rˆ + p sin θ 4piε0r3 θˆ A seguir faremos uma ana´lise mais aprofundada do assunto, aplicando o mesmo racioc´ınio anterior, poderemos deduzir que: Em monopolo V cai com 1/r Em um dipolo V cai com 1/r2 Em um quadripolo V cai com 1/r3 E assim sucessivamente... Consideremos agora uma distribuic¸a˜o de cargas na vizinhanc¸a na ori- gem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por uma esfera de raio a que e´ pequeno comparado a` distaˆncia ate´ o ponto de observac¸a˜o. Assim temos que: Figura 4.10: Esquema Na qual ρ = ρ(r′). Logo: V (r) = 1 4piε0 ∫ V ρ(r′) |~r − ~r′|dv ′ Mas,se r >> r′ 4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS65 |~r − ~r′|−1 = (r2 − 2~r.~r′ + r′2)−1/2 = 1 r ( 1− 2~r.~r ′ r2 + ( r′ r )2)−1/2 |~r − ~r′|−1 ≈ 1 r ( 1− 1 2 ( −2~r.~r ′ r2 + r′2 r2 )) ≈ 1 r︸︷︷︸ Potencialdemonopolo + ~r.~r′ r3︸︷︷︸ Potencialdedipolo,sendo~p=~r′q→ ~p.rˆ r2 +... Logo, O potencial devido a` uma distribuic¸a˜o de carga arbitra´ria pode sempre ser expresso em termos de uma expansa˜o de multipo´los. Assim, pela Lei dos Cossenos: |~r′ − ~r|︸ ︷︷ ︸ r 2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′ Note que foram definidos duas distaˆncias, uma r e outra r na˜o se confunda! r2 = r2 ( 1 + ( r′ r )2 − 2r ′ r cos θ′ ) r = r ( 1 + ( r′ r )2 − 2r ′ r cos θ′ )1/2 r = r (1+ ∈)1/2 , ∈= ( r′ r )2 − 2r ′ r cos θ′ Logo: 1 r = 1 r (1+ ∈)−1/2 = 1 r [ 1− 1 2 ∈ +3 8 ∈2 − 5 16 ∈3 +... ] 66 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO = 1 r [ 1− 1 2 ( r′ r )2 + r′ r cos θ′ + 3 8 ( r′ r )4 + 3 2 ( r′ r )2 cos2 θ′ − 3 2 ( r′ r )3 cos θ′ + ... ] = 1 r [ 1 + r′ r cos θ′ + ( r′ r )2 (3 cos2 θ′ − 1) 2 + ... ] Que, utilizando enta˜o os polinoˆmios de Legendre: Pl(x) = 1 2ll! ( d dx )l ( x2 − 1)l Podemos escrever: 1 r = 1 r ∞∑ n=0 Pn (cos θ ′) ( r′ r )n Logo: V (r) = 1 4piε0 ∫ ρ(r′)dv′ r ∞∑ n=0 Pn (cos θ ′) ( r′ r )n V (r) = 1 4piε0 ∞∑ n=0 1 rn+1 ∫ (r′)n Pn (cos θ′) ρ(r′)dv′ Note que temos agora a expansa˜o multipolar do potencial em termos de 1/r, na qual: n = 0, contribuic¸a˜o de monopo´lo n = 1, dipolo n = 2, quadrupolo Com o menor termo na˜o nulo da expansa˜o nos da´ aproximadamente o potencial a grandes distaˆncias, e os termos sucessivos aumentam a precisa˜o do resultado. Nota-se tambe´m que o termo de dipolo e´ dado por: Vdip = 1 4piεo 1 r2 rˆ · ∫ ~r′ρ (r′) dr′︸ ︷︷ ︸ ~p=momentode dipolodadistribuicao 4.6. CIRCULAC¸A˜O DO CAMPO ELE´TRICO 67 pois r′ cos θ = ~r′ · rˆ 4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico Como visto no cap´ıtulo zero sabemos que:∮ Γi ~c.d~l = ( ~∇x~c ) .nˆ∆S Onde ~c e´ um campo vetorial qualquer. Dessa forma, como sabemos que∮ Γ ~E.d~l = 0,∀Γ Enta˜o: ∫ S ( ~∇x ~E ) .d~s = 0,∀S ~∇x ~E = 0 Essa equac¸a˜o resume basicamente toda a eletrosta´tica, visto que, ela mos- tra que o campo ele´trico e´ conservativo (na eletrosta´tica) e permite que o campo ele´trico seja o gradiente de uma func¸a˜o potencial, visto que ~∇x~∇V = 0 (o rotacional de um gradiente e´ sempre nulo). 68 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO Cap´ıtulo 5 Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e Energia 5.1 Introduc¸a˜o Neste momento, ja´ foram vistaspraticamente todas as equac¸o˜es e fo´rmulas referentes a` eletrosta´tica. Dessa forma, nesse cap´ıtulo estudaremos algumas das relac¸o˜es entre o poteˆncial eletrosta´tico, o campo ele´trico e as densidades de carga dos corpos. Ale´m disso, sera˜o abordadas as equac¸o˜es de Laplace e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar ca´lculos, as condic¸o˜es de contorno da eletrosta´tica e as equac¸o˜es que fornecem a energia potencial eletrosta´tica de um configurac¸a˜o de cargas 5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson Como ja´ vimos: ~∇× ~E = 0 (5.1) ~∇· ~E = ρ ε0 (5.2) 69 70 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA Ale´m disso, vimos que: ~∇× ~E = 0 Permite→ ~E = −~∇V (5.3) Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos: ~∇·~∇V = − ρ ε0 ~∇2V = − ρ ε0 (5.4) A equac¸a˜o acima e´ chamada equac¸a˜o de Poisson e relaciona o potencial eletrosta´tico com a densidade de carga pontual. Com ela e´ poss´ıvel calcular, em cada ponto, o potencial eletrosta´tico, desde que se conhec¸am as condic¸o˜es de contorno do problema, de forma a resolver as equac¸o˜es diferenciais que sera˜o obtidas. A equac¸a˜o de Laplace vem diretamente da equac¸a˜o de Poisson, quando ρ = 0. Assim: ~∇2V = 0 (5.5) 5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica A partir de duas observac¸o˜es experimentais, notadamente o princ´ıpio da superposic¸a˜o e a Lei de Coulomb, foi poss´ıvel depreender todas as outras fo´rmulas da eletrosta´tica. Abaixo, segue um resumo de todas as equac¸o˜es vistas ate´ aqui: 5.4 Condic¸o˜es de Contorno Definidas as equac¸o˜es de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas 5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 71 Figura 5.1: Equac¸o˜es da eletrosta´tica dessas formas ja´ foram comentadas. 5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de uma superf´ıcie carregada No´s notamos estudando alguns exemplos que o campo ele´trico apresenta em alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superf´ıcie carregada. Imagine uma superf´ıcie arbitra´ria Considere a gaussiana desenhada com a´rea A extremamente pequena e espessura �. Assim, pela lei de Gauss temos:∮ S ~E·d~S = qint ε0 = σA ε0 Os lados na˜o contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De forma que quando ε→ 0: Em particular, quando na˜o ha´ uma superf´ıcie carregada E⊥ e´ cont´ınua, 72 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA Figura 5.2: Esquema de uma superf´ıcie carregada com uma gaussiana Figura 5.3: A componente normal de ~E e´ descont´ınua exemplo: esfera so´lida uniformemente carregada. Consideremos agora a circulac¸a˜o de E na mesma superf´ıcie:∮ ~E·d~l = 0 quando ε→ 0. Assim: ~E ‖ acima·d~l1 + ~E‖abaixo·d~l2 = 0 5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 73 d~l1 = −d~l2 → ~E‖acima = ~E‖abaixo Logo a componente paralela do campo e´ cont´ınua, enta˜o: ~Eacima− ~Eabaixo = σ ε0 nˆ (5.6) onde nˆ e´ o vetor unita´rio perpendicular a` superf´ıcie de cima para baixo. 5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais Ao contra´rio do que acontece com o campo, o potencial e´ cont´ınuo, pois: ∆V = − b∫ a ~E·d~l Vb − Va = − b∫ a ~E·d~l E quando ε→ 0 enta˜o b∫ a ~E·d~l→ 0, Logo Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7) 5.4.3 Alguns outros comenta´rios Ale´m das condic¸o˜es ja´ mencionadas, vale lembrar tambe´m de alguns pontos: * Ja´ vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha´ distribuic¸a˜o de cargas na˜o pontual V 6=∞ 74 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA 5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de Poisson e Laplace Com as condic¸o˜es de contorno em ma˜os, somos capazes de aplicar as equac¸o˜es de Poisson e Laplace para alguns exemplos. 5.5.1 Exemplo 1 Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0 e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas situac¸o˜es: Densidade de carga entre as placas igual a` zero; Densidade de carga entre as placas e´ contante igual a` ρ. Figura 5.4: Esquema No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equac¸a˜o de Laplace: ∇2V = d 2V dx2 = 0 Logo: V = ax+ b Assim, pelas condic¸o˜es do problema, como para x = 0, V = V0, enta˜o: 5.5. EXEMPLOS DE APLICAC¸A˜O DAS EQUAC¸O˜ES DE POISSON E LAPLACE75 b = V Ale´m disso, como para x = L, V = 0, enta˜o a = −V0 L Logo: V (x) = −V0 L + V Podemos calcular tambe´m o campo, assim: ~E = − d dx ( −V0 L x+ V0 ) iˆ = V0 L iˆ No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equac¸a˜o de Poisson: ∇2V = −ρ0 ε0 → d 2V dx2 = −ρ0 ε0 Logo: V = −ρ0x 2 2ε0 + ax+ b Aplicando as condic¸o˜es de contorno: { V (0) = V0 → b = V0 V (L) = 0→ a = −V0 L + ρ0L 2ε0 Logo: V (x) = −ρ0x 2 2ε0 + ( −V0 L + ρ0L 2ε0 ) x+ V0 Tambe´m podemos calcular o potencial, assim: 76 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA ~E = − d dx ( −ρ0x 2 2ε0 + ( −V0 L + ρ0L 2ε0 ) x+ V0 ) iˆ = ( ρ0 2ε0 x+ V0 L − ρ0L 2ε0 ) iˆ 5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica No´s vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre´- estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuic¸a˜o qualquer de cargas? 5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distri- buic¸a˜o de cargas Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car- gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posic¸o˜es, formando uma configurac¸a˜o escolhida, assim: Para trazer a primeira carga q1, W = 0 Para trazer a segunda carga, como: V = − r∫ ∞ ~E·d~l = 1 4piε0 q r temos; W = 1 4piε0 q1q2 r12 Para a terceira temos:W = q3 4piε0 ( q1 r13 + q2 r23 ) Assim sucessivamente... Logo, obtemos a energia potencial da configurac¸a˜o qualquer de cargas pontuais: U = 1 4piε0 ∑ i<j qiqj rij = 1 4piε0 1 2 ∑ i ∑ j 6=i qiqj rij (5.8) Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somato´rio duplo, temos os termos qiqj e qjqi que sa˜o contados duas vezes. 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 77 Percebe-se pela fo´rmula 5.8 pore´m, que: ∑ j 6=i 1 4piε0 qj rij Representa o poteˆncial de todas as outras cargas na posic¸a˜o da carga i. Assim: U = 1 2 ∑ i qiVi representa a energia potencial eletrosta´tica na posic¸a˜o i. Logo, caso te- nhamos uma distribuic¸a˜o cont´ınua, podemos extender o somato´rio para: U = 1 2 ∫ ρV dv (5.9) 5.6.2 Exemplo Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e´ uma constante). Ache a energia da configurac¸a˜o. Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = − r∫ ∞ ~E·d~l ou pelas equac¸o˜es de Poisson e Laplace. Resolvendo por V (r) = − r∫ ∞ ~E·d~l temos: ∫ S ~E·d~S = qint ε0 E4pir2 = 1 ε0 R∫ 0 kr4pir2dr Efora = k ε0 R4 4r2 rˆ 78 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA Ale´m disso; E = k ε0 r4 4r2 → Edentro = kr 2 4ε0 rˆ Precisamos de V para valores de r < R, assim: V (r) = − r∫ ∞ ~E·d~l = − R∫ ∞ ~Efora·d~l − r∫ R ~Eentre·d~l V (r) = − R∫ ∞ kR4 4ε0r2 dr − r∫ R kr2 4ε0 dr = k 12ε0 (4R3 − r3) Com o potencial em ma˜os, podemos aplicar a equac¸a˜o 5.9, assim: U = 1 2 ∫ ρV dv U = 1 2 R∫ 0 2pi∫ 0 pi∫ 0 krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10) Logo: U = 1 2 R∫ 0 4pi k2r3 12ε0 (4R3 − r3)dr = pik 2 7ε0 R7 Caso quisessemos calcular pelas equac¸o˜esde Laplace e Poisson, temos: Para r < R: ∇2V = − ρ ε0 Para r > R: ∇2V = 0 Para o primeiro caso r < R temos: 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 79 V = V (r)→ ∂V ∂θ = ∂V ∂ϕ = 0 Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfe´ricas, com a con- siderac¸a˜o acima, e´ dado por: ∇2V = 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂V ∂r ) Logo: ∇2V = 1 r2 d dr ( r2 dV dr ) = − ρ ε0 Assim, temos que: 1 r2 d dr ( r2 dV dr ) = −kr ε0 → d dr ( r2 dV dr ) = −kr 3 ε0 r2 dV dr = −kr 4 4ε0 + A→ dV dr = −kr 2 4ε0 + A r2 Logo: Vdentro(r) = − kr 3 12ε0 − A r +B Para r > R, temos que: ∇2V = 0 1 r2 d dr ( r2 dV dr ) = 0→ r2dV dr = C Vfora(r) = −C r +D Aplicando as condic¸o˜es de contorno:{ Vfora(∞) = 0 Vfora(R) = Vdentro(R) 80 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA Ale´m disso, como se trata de uma distribuic¸a˜o volume´tica:{ Efora(R) = Edentro(R)⇒ V ′fora(R) = V ′dentro(R) V (0) 6=∞ Assim: Vfora(∞) = 0→ D = 0 Vdentro(0) 6=∞→ A = 0 Vdentro(R) = Vfora(R)→ − kr24ε0 ∣∣∣ r=R = C r2 ∣∣ r=R → C = −kr4 4ε0 Logo: B = kR4 4ε0R + kR3 12ε0 = kR3 3ε0 Dessa forma: Vdentro(r) = − kr 3 12ε0 + kR3 3ε0 = k 12ε0 (4R3 − r3) Vfora(r) = kR4 4ε0r Para o ca´lculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando- se o mesmo resultado 5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico Uma pergunta interessante de se fazer e´ onde esta´ localizada a energia ele- trosta´tica? Tambe´m poder´ıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a combinac¸a˜o tem certa energia. E´ necessa´rio dizermos que a energia esta´ localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode ser que estas perguntas na˜o fac¸am sentido, porque realmente so´ sabemos que a energia se conserva. A ide´ia de que a energia esta´ localizada em alguma parte 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 81 na˜o e´ necessa´ria tambe´m pode aparecer. Mas sera´ mesmo que a pergunta na˜o tem nenhuma utilidade? Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta´ locali- zada em certo lugar, como ocorre com a energia te´rmica. Enta˜o poder´ıamos estender o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia com a ide´ia de que se a ener- gia contida dentro de um volume dado varia, poder´ıamos explicar a variac¸a˜o mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poder´ıamos cha- mar de princ´ıpio de conservac¸a˜o local de energia. Esse princ´ıpio diria que a energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui para fora ou para dentro deste volume. Ter´ıamos, portanto, uma lei muito mais detalhada que o simples enunciado da conservac¸a˜o de energia total. Tambe´m ha´ uma causa f¨´ısicap¨ara que possamos decidir onde esta´ locali- zada a energia. De acordo com a teoria da gravitac¸a˜o, toda massa e´ uma fonte de atrac¸a˜o gravitacional. Tambe´m sabemos que se E=mc2, enta˜o massa e energia sa˜o equivalentes. Toda energia e´ uma fonte de forc¸a gravitacional. Se na˜o pude´ssemos localizar todas as massas na˜o poder´ıamos dizer onde esta˜o localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitac¸a˜o estaria incompleta. Se nos restringimos a` eletrosta´tica, na˜o ha´ maneira de decidir onde esta´ a energia se na carga ou no campo. Pore´m, com o atual conhecimento, na˜o somos ainda capazes de responder a esses questionamentos, as equac¸o˜es de Maxwell para a eletrodinaˆmica sa˜o necessa´rias para nos dar mais informac¸o˜es. Por enquanto ficaremos somente com esta resposta: A energia esta´ localizada no espac¸o onde esta´ o campo ele´trico. O que e´ razoa´vel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos ele´tricos. Quando a luz ou as ondas de ra´dio viajam de um ponto a outro, transpor- tam sua energia com elas. Mas na˜o ha´ carga nas ondas. Desta forma, e´ interessante localizar a energia no campo eletromagne´tico e na˜o nas cargas. Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrosta´tica em func¸a˜o do campo ele´trico, assim, como: 82 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA ∇2V = − ρ ε0 enta˜o: U = 1 2 ∫ ρV dv = −ε0 2 ∫ V∇2V dv Mas, matematicamente temos: V∇2V = V ( ∂2V ∂x2 + ∂ 2V ∂y2 + ∂ 2V ∂z2 ) = = ∂ ∂x ( V ∂V ∂x )− (∂V ∂x )2 + ∂ ∂y ( V ∂V ∂y ) − ( ∂V ∂y )2 + ∂ ∂z ( V ∂V ∂z )− (∂V ∂z )2 = = ~∇·(V ~∇V )− (~∇V )·(~∇V ) Logo; U = ε0 2 ∫ (~∇V )·(~∇V )dv − ε0 2 ∫ ~∇·(V ~∇V )dv Mas, pelo teorema da divergeˆncia, temos:∫ v ~∇·(V ~∇V )dv = ∮ s (V ~∇V )·d~s Agora, devemos fazer uma ra´pida ana´lise. Para uma distribuic¸a˜o finita de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipo´teses (Se a carga total for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Ale´m disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a integral: −ε0 2 ∫ ~∇·(V ~∇V )dv e´ proporcional a` 1/r, assim, caso integremos no espac¸o, teremos que essa integral se anula e: U = ε0 2 ∫ R3 (~∇V )·(~∇V )dv 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 83 Logo, como ∇V = ~E, enta˜o: U = ε0 2 ∫ R3 ~E· ~Edv (5.11) Nos da´ a energia potencial eletrosta´tica da configurac¸a˜o em func¸a˜o do Campo ele´trico. Vale notar tambe´m que devemos integrar em todo o espac¸o, e na˜o so´ na regia˜o que conte´m 5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princ´ıpio da superposic¸a˜o, pore´m, devido ao fato da energia ser quadra´tica nos campos, ela na˜o obe- dece o princ´ıpio da superposic¸a˜o, temos, pois, que: Wtotal = ε0 2 ∫ E2dv = ε0 2 ∫ ( ~E1 + ~E2) 2dv (5.12) Vejamos um exemplo: Considere duas cascas esfe´ricas conceˆntricas de raio a e b. Suponha que a interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribu´ıdas na superf´ıcie. Calcule a energia desta configurac¸a˜o. Assim: U = ε0 2 ∫ R3 E2dv Mas E = 0, r < a q 4piε0 1 r2 ,a < r < b 0, r > b Logo: 84 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA U = ε0 2 b∫ a q2 16pi2ε20 1 r4 r24pidr → U = q 2 8piε0 ( 1 a − 1 b ) Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 = ε0 2 ∫ R3 E21dv e U2 = ε0 2 ∫ R3 E22dv U 6= U1 + U2 Como era de se esperar, o princ´ıpio da superposic¸a˜o na˜o foi va´lido. Cap´ıtulo 6 Condutores 6.1 Breve Introduc¸a˜o Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada ele´tron esta´ preso a um particular a´tomo. Num condutor meta´lico, de forma diferente, um ou mais ele´trons por a´tomo na˜o possuem restric¸o˜es quanto a movimentac¸a˜o atrave´s do material. Eles esta˜o livres para estar na parte do condutor que desejarem. ( Em condutores l´ıquidos, como a a´gua com cloreto de so´dio, a´gua com sal de cozinha, sa˜o os ı´ons que fazem esse movimento. Um condutor perfeito poderia ser um material que possu´ısse a proprie- dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, na˜o existem condutores perfeitos, mas muitas substaˆncias esta˜o muito pro´ximas de ser. A partir dessa pequena definic¸a˜o, pode-se descobrir algumas propriedades eletrosta´ticas de condutores ideais. Elas sera˜o listadas logo abaixo. 6.2 Propriedades dos Condutores Essas propriedades esta˜o relacionadas com condutores em equil´ıbrio ele- trosta´tico, ou seja, quando na˜o ha´ movimento ordenado de cargas ele´tricas no seu interior e na sua superf´ıcie. Seus ele´trons livres encontram-se em 85 86 CAPI´TULO 6. CONDUTORES movimento aleato´rio. Propriedade 1 (Propriedade Ba´sica).Um condutor e´ um so´lido que possui muitos ele´trons livres. Os ele´trons podem se deslocar no interior da mate´ria, mas na˜o deixar a superf´ıcie. Propriedade 2. O Campo ele´trico dentro do condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ nulo. ( E = 0 dentro do condutor ) Se tivesse campo dentro do condutor os ele´trons iriam se mover e na˜o es- tariam na situac¸a˜o eletrosta´tica. Quando colocamos um condutor na presenc¸a de um campo externo as cargas dentro do condutor tendera˜o a se distribuir de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo. Figura 6.1 Propriedade 3. A densidade volume´trica de carga dentro do con- dutor e´ zero.( ρ = 0 dentro do condutor ) ~∇ · ~E = ρ ε0 , se ~E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor na˜o ha´ cargas. Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superf´ıcie do con- dutor. Propriedade 5. O condutor e´ uma equipotencial. Se ~E = 0 dentro do condutor, enta˜o ~E = −~∇V Propriedade 6. ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie. Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,∮ ~E · d~l = 0→ Va = Vb. 6.3. CARGA INDUZIDA 87 Figura 6.2 Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como Edentro = 0, enta˜o o campo imediatamente fora e´ proporcional a` densidade de carga local. ~E = σ ε0 nˆ Em termos de potencial: σ = ε0 (−∂V ∂n ) Observac¸a˜o 6.1. Esta equac¸a˜o permite calcular a densidade de carga super- ficial de um condutor. 6.3 Carga Induzida Um condutor e´ um so´lido que possui muitos ele´trons livres. Os ele´trons podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga ele´trica de um condutor carregado eletricamente, devido as fenoˆmenos de atrac¸a˜o e re- pulsa˜o eletrosta´ticas, observa-se uma nova distribuic¸a˜o das cargas ele´tricas no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo: 6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitra´ria. Consideremos uma superf´ıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E = 0 (campo dentro do condutor = 0). Enta˜o o fluxo atrave´s de S = 0, logo a carga total dentro de S e´ zero. 88 CAPI´TULO 6. CONDUTORES Figura 6.3 Figura 6.4 Mas se a carga total e´ igual a zero, poder´ıamos dizer que ha´ igual quan- tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenc¸a de um campo ele´trico. Se tive´ssemos esta situac¸a˜o, ∮ Γ ~E · d~l 6= 0, o que na˜o pode ser. Portanto, na˜o pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na superf´ıcie interna. Nenhuma distribuic¸a˜o esta´tica de cargas externas pode produzir campo no interior do condutor. Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela. Teremos cargas induzidas na superf´ıcie interna, afim de cancelar o campo dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Trac¸ando uma gaussiana S que conte´m a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e´ zero, pore´m, 6.3. CARGA INDUZIDA 89 Figura 6.5 Figura 6.6 trac¸ando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo na cavidade na˜o e´ zero. Fato Importante: Campo dentro do condutor e´ zero! A cavidade e seu conteu´do esta˜o eletricamente isolados do mundo ex- terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera´ cancelado pela carga induzida na superf´ıcie externa ( da mesma forma que a cavidade vazia ). A cavidade esta´ isolada do mundo externo ao condutor. Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha´ uma carga q. Qual e´ o campo fora? Havera´ dependeˆncia com a forma da cavidade? Resoluc¸a˜o. A carga +q induzida, por sua vez, na superf´ıcie externa ira´ se 90 CAPI´TULO 6. CONDUTORES Figura 6.7 distribuir uniformemente na superf´ıcie da esfera. (a influeˆncia assime´trica da carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superf´ıcie interna). O campo externo sera´ igual ao produzido pela superf´ıcie esfe´rica carregada com carga +q. ~E = q 4piε0r2 rˆ O condutor, dessa forma, cria uma barreira, na˜o deixando passar ne- nhuma informac¸a˜o sobre como e´ a cavidade, revelando somente a carga total que a mesma possui. 6.4 Me´todo das Imagens Suponha uma carga q a uma distaˆncia d de um plano condutor aterrado. Pergunta: Qual e´ o potencial na regia˜o acima do plano? Na˜o e´ so´ q 4piε0r , pois havera´ carga induzida no plano condutor e na˜o sabemos quanta carga e´ induzida e como ela esta´ distribu´ıda. Outra situac¸~ao: : Carga e uma esfera condutora. 6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 91 Figura 6.8 Figura 6.9 Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito mais simples que ja´ estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superf´ıcies equipotenciais. Figura 6.10 Considere a superf´ıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha fina de metal da forma desta superf´ıcie. Se a colocarmos exatamente no lugar da superf´ıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor 92 CAPI´TULO 6. CONDUTORES apropriado de forma que nada mudasse, no´s na˜o dar´ıamos conta de que a superf´ıcie meta´lica estaria ali. Ter´ıamos a soluc¸a˜o do novo problema: Figura 6.11 O campo no exterior ao condutor e´ exatamente o mesmo campo de duas cargas pontuais! Dentro ~E = 0 e ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie. Enta˜o, para calcularmos os campos das situac¸o˜es discutidas, basta calcu- lar o campo devido a` uma carga q e uma carga -q imagina´ria localizada em um ponto apropriado. Caso mais simples: 6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado Figura 6.12 V (x, y, z) = 1 4piεo q( x2 + (y − d)2 + z2) 12 − q(x2 + (y + d)2 + z2) 12 6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 93 Figura 6.13 , para y ≥ 0. Condic¸a˜o de contorno V (x, 0, z) = 0 V → 0parar˜→∞ 6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do Plano σ = −εo∂V ∂n = −εo ∂V ∂y ∣∣∣∣ y=0 σ (x, y, z) = − εoq 4piεo ∂ ∂y 1( x2 + (y − d)2 + z2) 12 − 1(x2 + (y + d)2 + z2) 12 ∣∣∣∣∣∣ y=0 σ (x, y, z) = − q 4pi 2 (y − d) (−12)( x2 + (y − d)2 + z2) 32 − 2 (y + d) (−1 2 ) ( x2 + (y + d)2 + z2 ) 3 2 ∣∣∣∣∣∣ y=0 σ (x, y, z) = − q 2pi d (x2 + d2 + z2) 3 2 94 CAPI´TULO 6. CONDUTORES ⇒ σ e´ negativa como esperado. A carga total induzida Qinduzida = ∫ σds = −ε0k2qd ∫ ds (x2 + y2 + z2) 3 2 x2 + z2 = d2 ds = rdθdr Qinduzida = −ε0k2qd ∞∫ 0 2pi∫ 0 rdθdr (r2 + d2) 3 2 Qinduzida = −ε0kqd2pi ∞∫ d2 du (u) 3 2 = −ε0kqd 4piε0 2pi ( 2 d ) = −q r2 + d2 = u du = 2rdr A carga q e´ atra´ıda pelo plano, pois ha´ carga negativa induzida. Forc¸a de atrac¸a˜o ~F = − q2 4piεo(2d) 2 jˆ No´s assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem tudo e´ igual. A energia: U = 1 2 ∫ E2dv Uduascargas = − 1 4piεo q2 2d 6.5. PODER DAS PONTAS 95 Ucargaeplanocondutor = − 18piεo q2 2d que e´ a metade. Por que? Somente a regia˜o de y¿0 possui E 6= 0 A integral U = 1 2 ∞∫ 0 E2dv = 1 2 1 2 ∞∫ −∞ E2dv Tudo isso foi poss´ıvel, pois: Dado uma configurac¸a˜o de condic¸o˜es de contorno, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace e´ u´nica, de modo que, se algue´m obtiver uma soluc¸a˜o V (x, y, z) por qualquer meio e se este V satisfizer todas as condic¸o˜es de contorno, ter-se-a´ encontrado enta˜o uma soluc¸a˜o completa do problema. 6.5 Poder das Pontas Figura 6.14 Figura 6.15 VAα Q′A RA VBα Q′B RB 96 CAPI´TULO 6. CONDUTORES VA = VB ⇒ Q′A RA = Q′B RB Q′A RA = 4piR2Aσ ′ A RA = 4piR2Bσ ′ B RB ⇒ RAσ ′ A = RBσ ′ B ⇒ σ′A σ′B = RB RA ⇒ σ′A = RB RA σ′B 6.6 Carga Na Superf´ıcie
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