Cinematica Exercicios Propostos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
FÍSICA I – MECÂNICA 
 1 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MOVIMENTO EM UMA E DUAS DIMENSÕES 
 
EQUAÇÕES 
2
00 )21( tatvrr

++= 
tavv  += 0 
ravv  ∆⋅+= 2202 
1) Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade 
inicial v0 (= 30 m/s). Determine (a) a altura máxima atingida; 
(b) o tempo decorrido até alcançar a altura máxima; (c) a velo-
cidade ao atingir o solo. (Para ter uma visão mais ampla do 
problema, esboce os gráficos da velocidade e da posição em 
função do tempo, desde o instante inicial até imediatamente 
antes de o objeto colidir com o solo.) 
2) Um balão sobe com velocidade constante jvv yB ˆ0=

. Ao a-
tingir a altura H uma pessoa a bordo solta um objeto. Deter-
mine (a) a velocidade do objeto ao atingir o solo; (b) esboce 
um gráfico para a sua posição em função do tempo. 
3) No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da 
trajetória explode e lança verticalmente, em sentidos opostos, 
duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais 
a v0 (= 15 m/s). (a) Sendo g (= 10 m/s2) a aceleração da gra-
vidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os ins-
tantes t1 e t2 em que as duas partículas chegam ao solo. 
Despreze o atrito com o ar. (b) Esboce num mesmo gráfico as 
posições em função do tempo para as duas partículas. 
4) De uma cidade A parte, para outra cidade B, um trem com ve-
locidade constante vA (= 36 km/h). Ao mesmo tempo, de B, 
partem, simultaneamente, para A, outro trem, com velocidade 
vB (= 44 km/h), e uma super-mosca, com velocidade v (= 100 
km/h). A mosca, encontrando o trem que partiu de A volta 
imediatamente para B, mas, encontrando o trem que partiu de 
B, volta imediatamente para A e assim sucessivamente. A dis-
tância entre as duas cidades é D (= 40 km). No instante em 
que os trens se encontram, para a mosca, (a) determine a dis-
tância d percorrida. (b) Escreva, em função dos vetores unitá-
rios que se fizerem necessários, os vetores posição ( px

) e 
deslocamento ( dx

), e represente-os no eixo inferior da figura 
abaixo. Coloque a origem do referencial na cidade A. 
5) Um garoto chuta uma bola para cima de tal maneira que sua 
velocidade inicial (v0) forme um ângulo θ 0 com a horizontal. 
(a) Determine a altura máxima atingida pela bola. (b) Escreva, 
em função dos unitários iˆ e jˆ , o vetor velocidade no ponto 
de altura máxima. 
6) Uma bola é lançada com velocidade =+= jvivv yx ˆˆ 000

 
m/s)ˆ4ˆ2( ji + . Determine (a) o alcance da bola e (b) a velo-
cidade com que a bola atingirá o solo, em termos dos vetores 
unitários ( iˆ e jˆ ). 
7) Um pequeno objeto é arremessado obliquamente com uma 
inclinação θ 0 acima da horizontal. No mesmo instante deixa-
se cair um segundo objeto de uma altura H acima do solo, 
conforme representado abaixo. Determine o módulo da velo-
cidade do primeiro objeto (v01), de tal forma que colidam no 
instante em que este primeiro se encontrar em sua altura má-
xima. Dê sua resposta em termos de g, H e θ 0. 
8) O alcance de um projétil é quatro vezes superior a altura má-
xima atingida durante sua trajetória em direção ao alvo. O pro-
jétil permanece no ar durante um intervalo de tempo t. Deter-
mine (a) o ângulo de lançamento e (b) a velocidade inicial. 
9) (a) Prove que a razão entre a altura máxima H e o alcance R, 
para um projétil lançado do solo com um ângulo θ 0 acima da 
horizontal, é dado por 0tan4
1/ θ=RH . (b) Para que ângu-
lo de lançamento θ 0 temos H = R ? 
10) Durante uma partida de futebol, um atacante, percebendo que 
o goleiro está adiantado, resolve tentar um chute de longa dis-
tância, conforme esquematizado na figura abaixo. O atacante 
está a uma distância D do goleiro e chuta a bola com veloci-
dade inicial de módulo v0, formando um ângulo θ0 com a dire-
ção horizontal. (a) Utilizando os eixos indicados na figura, es-
creva as expressões para as coordenadas da bola em função 
do tempo, x(t) e y(t). (b) Que altura mínima H, com os braços 
esticados, as mãos do goleiro devem atingir para intercepta-
rem a bola. Dê sua resposta em função de D, θ 0, v0 e g. 
(c) Determine o vetor velocidade (use os unitários iˆ e jˆ ) 
quando ela se encontra imediatamente sobre o goleiro. 
11) Um avião militar em vôo descendente formando um ângulo θ0 
com a horizontal, solta uma bomba quando se encontrava a 
uma altura H. Nesse instante sua velocidade era v0. Determi-
ne (a) a distância horizontal percorrida pela bomba até atingir 
o solo e (b) o vetor velocidade da bomba ao atingir o solo. 
y 
x 
01v
 
θ 0 
g
 
0 
(1) 
(1) ≡ (2) 
(2) 
H 
A B 
+x 
A B 
Av
 Bv
 
v 
+x 
D 
θ 0 
H 
y 
x 
0v

goleiro gol g

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
FÍSICA I – MECÂNICA 
 2 
12) De um avião, mergulhando em um ângulo θ 0 com a vertical e 
a uma altura H, é abandonado um objeto que bate no solo 
após um intervalo de tempo t. Determine, para o objeto, os ve-
tores velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e 
(c) o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em 
termos das variáveis θ 0, H, t e g (aceleração da gravidade) e 
dos vetores unitários que se fizerem necessários. 
13) Um avião, voando horizontalmente com velocidade de módulo 
v0 e a uma altitude H, deixa cair um pacote. Simultaneamente, 
um helicóptero parado à mesma altitude do avião, mas posi-
cionado a uma distância horizontal D à sua frente, também 
deixa cair outro pacote. (a) Escreva as equações que descre-
vem as velocidades e as posições dos dois pacotes, como 
funções do tempo, visto por um observador localizado no solo 
diretamente abaixo do helicóptero. Suponha agora que os pa-
cotes se choquem. Determine: (b) os vetores posição e velo-
cidade dos dois pacotes no instante do choque; (c) o módulo 
do deslocamento sofrido pelo pacote do avião, desde o instan-
te em que foi lançado até o choque. 
14) Um rifle está apontado horizontalmente para um alvo a 300 m 
de distância. A bala atinge um ponto 2,25 m abaixo do alvo. 
Determine: (a) o tempo de percurso da bala; (b) os vetores ve-
locidade da bala ao sair do rifle e (c) ao atingir o solo. 
15) Elétrons podem cair em queda livre como qualquer outro obje-
to material. (a) Se um elétron é projetado horizontalmente com 
velocidade de 3,0 × 106 m/s, quanto ele cairá, em relação à 
horizontal, após percorrer 1,0 m? (b) Se a velocidade inicial 
for aumentada, a resposta do item (a) aumenta ou diminui? 
16) Uma bola, ao se deslocar para fora da superfície horizontal de 
uma plataforma, atinge o solo 12,0 m abaixo e a 15,0 m da 
borda, na horizontal. Determine: (a) O tempo de queda da bo-
la e (b) sua velocidade (vetor) ao deixar aplataforma. 
17) Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está a 
45 m acima de um solo plano. A velocidade de saída do cano 
é 250 m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar? 
(b) A que distância da arma, na horizontal, ele cai no solo? 
(c) Qual o módulo da componente vertical da velocidade no 
instante em que ele atinge o solo? 
18) Um projétil é lançado com velocidade de 30 m/s, num ângulo 
de 60° acima da horizontal. Determine o módulo e a direção 
do vetor velocidade (a) 2 s e (b) 5 s, após o lançamento. 
19) Um projétil é lançado com um ângulo θ 0 acima da horizontal. 
(a) Mostre que o ângulo de elevação φ do ponto mais alto 
(ymax), visto do local de lançamento, está relacionado com θ 0, 
o ângulo de elevação do lançamento, por tanφ = (tanθ 0)/2. 
(b) Calcule φ para θ 0 = 45°. 
20) Um projétil é lançado do solo para o terraço de um edifício 
com velocidade inicial de v0 (= 42,0 m/s), fazendo um ângulo 
de θ0 (= 60°) acima da horizontal. O projétil atinge o terraço 
após um tempo t (= 5,50 s). Determine: (a) a altura h do edifí-
cio; (b) a velocidade do projétil imediatamente antes do impac-
to; (c) a altura máxima H atingida pelo projétil. 
21) Para um projétil lançado da origem de um sistema de referên-
cia com velocidade 0v

, fazendo um ângulo θ 0 acima da hori-
zontal, determine: (a) O temponecessário para atingir nova-
mente o solo, que se encontra na mesma coordenada vertical 
da origem. (b) O tempo necessário para atingir a altura máxi-
ma e o vetor posição neste instante. (c) O alcance do projétil. 
(d) A equação da posição vertical em função da posição hori-
zontal, )(xfy = . 
22) Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade 
inicial de módulo v0 a partir do solo. a) Que altura, a partir do 
solo, atingirá a bola? b) Quanto tempo ficará no ar? c) Em que 
instante(s) estará a um terço da altura máxima atingida em re-
lação ao solo? d) Faça um gráfico v × t correspondente ao 
movimento da bola. Escreva suas respostas apenas em ter-
mos dos dados do problema: v0 e g. 
23) Uma partícula move-se no plano xy com aceleração constante 
)ˆ()ˆ( jia −+= βα e, no instante t = 0 s, passa pela origem 
do sistema de coordenadas com velocidade )ˆ(0 jv γ=

. A ve-
locidade e a aceleração estão em unidades do SI. (a) Deter-
mine, em função dos vetores unitários, os vetores posição ( r ) 
e velocidade ( v ) no instante posterior quando a partícula cru-
zará a coordenada y = 0. Supor, neste item, β = 2α. (b) Faça 
um diagrama e esboce, além dos dados iniciais do problema, 
a trajetória da partícula. 
24) Uma partícula se move no plano xy com aceleração constante 
2m/s)ˆ0,2)ˆ0,3( jia += . No instante t0 = 0 s, a velocidade 
da partícula é zero e o vetor posição é ir ˆ)m0,5(0 =

. De-
termine: (a) o vetor posição e o vetor velocidade da partícula 
em função do tempo; (b) a equação da trajetória da partícula, 
y em função de x, e esboce o gráfico desta trajetória no sis-
tema de coordenadas abaixo. 
25) Um carro trafega ao longo de uma curva circular com raio de 
200 m. Considerando que sua velocidade aumenta uniforme-
mente de 15 m/s para 27 m/s em 3,0 s, determine o módulo 
de sua aceleração no instante em que sua velocidade é de 
20 m/s. (Atribua símbolos para as variáveis e resolva o pro-
blema literalmente. Após a obtenção do resultado literal, subs-
titua os dados e apresente o resultado numérico.) 
26) A figura abaixo representa 4 trajetórias de projéteis lançados 
por uma artilharia. Os disparos foram realizados ao mesmo 
tempo e os projéteis tinham a mesma velocidade inicial, em 
módulo. Qual dos projéteis permaneceu mais tempo no ar? 
Justifique. Explique para um leigo. Use equações e textos ex-
plicativos. 
 
	A
	B
	+x
	A
	B
	+x
	0
	(1)
	(1) ( (2)
	(2)
	H